量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.16-6#8
量子力学(二)习题参考答案
2µ (U1 − E ) h2 2µ E h2
ψ 2 '' ( x) + k 2ψ 2 ( x ) = 0, k =
西华师大物理与电子信息学院
4
四川省精品课程——量子力学补充习题参考答案
ψ 3'' ( x) − β 2ψ 3 ( x) = 0, β =
其解分别为：
2µ (U 2 − E ) h2
ψ 1 ( x) = A1eα x + B1e −α x ψ 2 ( x) = C sin(kx + δ ) ψ 3 ( x ) = A2e β x + B2 e− β x
2
2
⑤
而透射系数
⑥
2） 、当 E＜U0 时，有ψ 2 '' ( x ) − k3 2ψ 2 ( x ) = 0 ， k3 = 其解为：ψ 2 ( x ) = Ce
− k3 x
+ De k3 x = Ce − k3 x （ψ 2 有限条件）
⑦
以下可以重复前面的求解过程。 不过， 为了简单我们亦可以在前面得到的结果⑤中做代 换 k2 ＝i k3 ，得到
由（18）式， （16） 、 （17）变成 或由 （19） 式， （16） 、 （17） 变成
（20）或（21）式就是讲义上习题 2．7 的结果。 a) 将 δ = 0 代入ψ 2 ( x) 中有：ψ 2 ( x) = C sin kx 由连续性条件：ψ 2 ( a) = ψ 3 ( a ) → C sin( ka ) = B2 e − β a
ψ m (ϕ ) =
除了 m=0 的态之外， E m 圴是二重简并的。 5、梯形式——— U ( x ) =
0, x < 0 U 0 , x > 0
苏汝铿量子力学(第二版)课后习题(含答案)--第六章6.16-6.18#8(延边大学)三年级
6.16带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场2201()2e U r m r 中运动，求粒子的能谱. 解：该带电粒子的哈密顿量222011()22e e H p A m r m c ，且1()2A B r ，不妨设磁场沿＋y 轴方向，则有12A （-By,Bx,0）2222222220012111()()()222x y Lz L zL zHp p m x y p m zlmm H H l１＋２ =22222210222201()()()21122()2x y Lz LH p p m x y m H p m z m eBmc１其中＋２ 拉磨频率易知1H ，2H ，z l 相互对易，所以有共同的本征函数，所以可得到能谱为：221200121(1)();2LLEN N m N N ２ （=,0）6.17自旋为１２的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随时间变化如下： sin cos ,sin sin ,cos X yzB B t B B t B B设t=0时自旋在磁场方向上的分量等于12，求在t 时刻粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量等于－12的态中的概率？ 解：0000(),(sin cos ,sin sin ,cos )cos sin cos sin sin sin cos sin sin cos cos sin sin cosxy yxyyi titHBBt t t itBt i t e Be 设该粒子磁矩为 = ＝代入薛定鄂方程：iHt，设()()()a t tb t ＝，则有00()cos ()sin () (1)()cos ()sin () (2)i ti t i d a t a t eb t B dt id b t b te a t B dt化简得： '112'211i t i tc i ec c i e c其中：1cos ,sin ,BB2212()()i t i ta t c eb tc e解得：222212'''c i c c（＊）由初始条件：(0)1(0)0(0)a tb tt2 即c所以设解2sin c t ，代入＊式可得：1222tan it（超越方程）若可求得，则可得到()b t ，则所求概率为220(())()1t b t6.18电子和正电子靠库仑吸引力束缚在一起构成一个类氢的系统．在外磁场中它的哈密顿量（l=0）近似为01212()z z eBHH AS S S S mc,A,e,m,c,是正实数，BBz ,12,S S 分别是电子和正电子的自旋算符，0H 包含电子动能，正电子动能及正负电子间的库仑能．对自旋相互作用0HH 用一级微扰计算0H 的四度简并基态的能量分裂．解：01212222012()()()z z x y z z z eB HH AS S S S mc eB H A s s s S S mc ＝由两自旋为12的粒子系统具有对称三重态和反对称单态，写出其波函数为：12112212123121241()21()()2 波函数正交归一易得：22221122222122223122241()41()41()4()x y z x y z x y z x y z A s s s A A s s s A A s s s A A s s s12112241233124()0()()2()2z z zz z z zz S S S S S S S S所以得到：22210042104'1024202eB Amc A H eB eB A mc mc eB mc解久期方程得：222(1)2222111()444e B EA AA c2二重，－＋m。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.10-6#6 @
1 N L 2
耦合之后总磁矩
1 1 N L J ( g p g N )N S J J 2 2 R J ( J 1)
因 J LS 有
N 3 ( g p g N ) N (1) J / 2
旋 S , 然后总自旋再与轨道角动量 l 耦合形成总角动量 J , 用核磁子表示你的结果. 已知质子和 中子的磁矩分别是 2.79 和-1.91 核磁子. 解: (i) S,D 态的宇称为正, 而 P 态的宇称为负, 由于宇称守恒, 开始时为 S 态的量子态在任何 时刻都不可能有 P 态混入 (ii)
1 1 1.5 ( g p g N ) N J 0.31 N J 2 2
取 J 方向的投影并使 J s 为最大值 J 1 , 从而有 0.31 N 6.11 一个 介子(赝标粒子, 自旋为零, 奇宇称)最初别束缚在氘核周围, 并处在最低库仑态
的角分布是多少? (i). 反应前后宇称守恒, 有
p( ) p(d )(1) L1 p(n) p(n)(1) L
L1 , L2 分 别 是 d 及n+n 的 轨 道角 动量 . 但反 应 前 是 在库 仑 势的 最低 能 态
中, L1 0 , 且已知: p( ) 1, p(d ) 1 有
2/3 c , 2/ d 3 , 1/ 3
p 1,1 p 1, 1 0 n 1, 0
查 C G 系数表, 可得
a 1 / 3b ,
共振态的 I 3/ 2 , 经过此面的截面比为 1 2 4 2 a : b : c 1: a : ac 1: : 9 9
能的, 因为 L 1 , 所以几率为 0 (iii) 从而有 初始态为 J , J z 1,1 , 将其变成非耦合表象 L 1, S 1, L, L3 , S , S z
量子力学答案(第二版)苏汝铿第六章课后答案6.10-6#16
p( ) 1 ， p(d ) 1 ，有： (1) L2 1, L2 2m 1, m 0,1, 2
反应前后角动量守恒。反应前 J 1 ，所以反应后有 L2 S J 。
。
n 与 n 的全同性要求总波函数反对称现在空间波函数反对称，所以自旋函数必须对称，即：
S 1 ，所以 L 2,1, 0 。但 L 2m 1，所以 L 1, S 1 。
总轨道角动量为 2 ；总自旋角动量为 2 。 （ii）设反应前氘核子方向 J 2 ，若中子对全部反向， S2 ，那么 L2 2 ，这是不 可能的，因为 L 1 ，所以几率为 0。 （iii）初始态为 J , J 2 1,1 ，将其变到非耦合表象： L 1, S 1, L, L2 , S , S2 ， 从而有 1,1
l
e Lp n Lp 2m p c
1 L p 是 p 对质心的角动量, 因为 L p Ln L , 且可以认为 L p Ln , 有 L p L (质心在连线中 2 1 心), 这样就有 l n L 2
耦合之后的总磁矩
p 1,1 1 2,1 2 3 2,3 2 , p 1, 1 1 2,1 2 a 3 2, 1 2 b 1 2, 1 2 , 0 n 1, 0 1 2, 1 2 c 3 2, 1 2 d 1 2, 1 2 .
由 C G 系数可得： a 1 3,
取 J 方向的投影并使 J z 为最大值 J 1 ，从而有
1 2
1 2
0.31 n
6.11 一个 介子（赝标粒子、自旋为零、奇宇称）最初被束缚在氘核周围，并处在最低库 仑能态上。它被氘核（一个质子和一个中子处在 3S1 态中）俘获，并使氘核转变为一对中子：
量子力学导论第6章答案
第六章 中心力场6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式相对动量 ()21121p m p m M r p -==∙μ （1）总动量 21p p R M P+==∙ （2）总轨迹角动量p r P R p r p r L L L⨯+⨯=⨯+⨯=+=221121 （3）总动能 μ222222222121M P m p m p T +=+= （4）反之，有 ,11r m R rμ+= r m R r22μ-= （5） m p +=21μ，m p -=12μ（6）以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ证： 212211m m r m r m R ++=， （17） 21r r r -=， （18）相对动量 ()21122121211p m p m M r r m m m m r p-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==∙∙∙μ （1’） 总动量 ()2121221121p p m m r m r m m m R M P+=+++==∙∙∙ （2’）总轨迹角动量 221121p r p r L L L⨯+⨯=+=)5(2211p r m uR p r m u R ⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ()()2112211p m p m Mp p -⨯++⨯= )2)(1(⨯+⨯=由（17）、(18)可解出21,r r，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。
总动能()22112262221212222m p P m m p P m m p m p T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=μμ2122222122112222122222m m pP u m p m m u m m p P u m p m m u⋅-++⋅++=()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++=2122221222211112122m m p P m m m P m m m μ2222M P += （4’） ［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.6.2) 同上题，求坐标表象中p 、和的算术表示式r i ∇-= R i ∇-= ，p r P R L ⨯+⨯=解： ()()211221121r r m m Mi p m p m M ∇-∇-=-=（1） 其中 1111z y x r ∂∂+∂∂+∂∂=∇， 而x X M m x x x X x X x ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1111， 同理，y Y M m y ∂∂+∂∂=∂∂11zZ M m z ∂∂+∂∂=∂∂11； （利用上题（17）（18）式。
苏汝铿统计物理答案
苏汝铿统计物理答案【篇一：125本物理学名著精编版】>1 爱因斯坦文集2 费曼物理学讲义(原声录音) 出国留学必备书之一！3 费曼物理学讲义_卷一4 费曼物理学讲义_卷二5 费曼物理学讲义_卷三6 费曼物理学讲义习题集7 别闹了，费曼先生！8 泡利物理学讲义(共六卷) 出国留学必备书之一！9 faraday(法拉第)_lectures on the forces of matter 10faraday(法拉第)_the chemical history of a candle 11 从抛物线谈起—混沌动力学引论12 多粒子系统的量子理论13 量子力学与路径积分（费曼）出国留学必备书之一！ 14 物理力学讲义（钱学森）15 物理学家用微分几何出国留学必备书之一！16 相对论（索末菲）17 相对论的意义18 算法大全19 相对论量子场20 相对论量子力学21 引力论与宇宙论22 自然哲学之数学原理宇宙体系23 物理学进展200124 history of modern physics25 nobel lectures(1998--2001)26 numerical recipes in c27 phy question28 physics review letter(vol74-vol86)29 thermal physics30 topics appl. phys vol 80 carbon nanotubes31 trends in colloid and interface science xiv32 relativity the special and general theory33 interact（斯坦福直线加速器实验室）34 introduction to tensor calculus and continuum mechanics35 lect statistic36 mathematicalhandbook37 relativity the special and general theory -by albert einstei38 gre物理sub试题（爆全）39 北大物理类研究生入学考题40 大学物理课件41 概率统计课件42 核辐射物理电子讲义43 计算机常用算法44 计算物理讲义45 离子束分析（课件）46 数据结构算法课件(部分)47 数值计算课件48 hilbert空间问题集 halmos49 波动学《伯克利物理学教程》第三卷上、下册50 场论（朗道）51 场论与粒子物理学（上册）（李政道）出国留学必备书之一！52 场论与粒子物理学（下册）（李政道）53 非平衡态热力学和耗散结构(李如生)54 分形物理学55 辐射的量子统计性质（路易塞尔）56 高等量子力学（第二版）(杨泽森)57 高温辐射物理和量子辐射理论（李世昌）58 孤子理论59 经典力学( goldston，戈德斯坦著)出国留学必备书之一！ 60 固体的电子结构61 固体化学导论62 固体物理导论（基泰尔）出国留学必备书之一！63 固体物理习题详解（基泰尔）64 固体物理学（黄昆）65 光和物质的奇异性 66 光学(planck)67 光学原理上册、下册(m.玻恩 e.沃耳夫)68 广义相对论（刘辽）69 广义相对论dirac70 广义相对论引论（俞允强）71 规范场的量子理论导引72 规范场论（胡瑶光）73 规范场与群论、完全可积问题74 计算物理学(张开明顾昌鑫)75 结晶化学导论(第二版)76 经典电动力学(jackson_vol1) 出国留学必备书之一！ 77 经典电动力学(jackson_vol278 经典电动力学习题答案(jackson_2nd)79 经典和现代数学物理方程(陆振球) 出国留学必备书之一！ 80 空间群表81 李代数李超代数及在物理学中的应用82 理论电化学83 理论物理基础（彭恒武徐锡中）84 理论物理学基础教程丛书统计物理学(苏汝铿)85 理论物理学基础教程丛书量子力学(苏汝铿)86 理论物理学中的计算机模拟方法(w.heermann)87 量子场论上册(c.依捷克森) 出国留学必备书之一！ 88 量子场论下册(c.依捷克森)89 量子场论导引（上、下册）杨炳麟90 量子电动力学（栗弗席茨）出国留学必备书之一！91 量子混沌 92 量子力学(messiah，梅西亚著)vol193 量子力学(messiah梅西亚著，)vol294 量子力学（非相对论理论）上册(朗道) 出国留学必备书之一！95 量子力学（非相对论理论）下册(朗道)96 量子力学（fermi，费米著。
量子力学教程(第二版)周世勋习题解答
2
23
T 100 K 时， E 1.381021 J 。
7
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子 波长最大是多少？ 解：转化条件为 h ec 2 ，其中 e 为电子的静止质量，而
c h ，所以 ，即有 ec
0 h h 7.091010 m 7.09A p 2m E
3 kT ，求 T 1K 时氦原子的 de Broglie 波长。 2
0 h h h 12.631010 m 12.63A p 2m E 3m kT
其中 m 4.0031.661027 kg ， k 1.381023 J K 1 # 1.4 利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场 B 10T ，玻尔磁子 B 0.9231023 J T 1 ，求动能的量子化间隔 E ，并与 T 4K 及
③
由于(1)、(3)方程中，由于U (x) ，要等式成立，必须
1 ( x) 0
2 ( x) 0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
d 2 2 ( x) 2m E 2 2 ( x) 0 方程(2)可变为 dx2
令k
2
2mE ，得 2
d 2 2 ( x) 2 k 2 ( x) 0 dx2
max
0 h 6.626 1034 c 0.024A （电子的康普顿波长）。 31 8 e c 9.1 10 3 10
8
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令
曾谨言《量子力学导论》第二版的课后答案
(
)
d d 3 rψ 1* r ,.t ψ 2 r , t = 0 。 ∫ dt
( ) ( )
2.4）设一维自由粒子的初态ψ ( x,0 ) = e
⎛ p2 ⎞ i ⎜ p0 x − 0 t ⎟ / ℏ ⎜ 2 m ⎟ ⎝ ⎠
ip0 x / ℏ
， 求ψ ( x, t ) 。
解：
ψ ( x, t ) = e
∫p
即
x
⋅ dx = n x h ,
(n x
= 1, 2 , 3 , ⋯)
p x ⋅ 2a = n x h
∴ p x = n x h / 2a ,
（ 2a ：一来一回为一个周期）
同理可得，
p y = n y h / 2b ,
p z = n zห้องสมุดไป่ตู้h / 2c ,
n x , n y , n z = 1, 2 , 3 , ⋯
（4）
E = ∫ d 3r ⋅ w 。
（b）由（4）式，得
. . ⎤ . ∂w ℏ 2 ⎡ . * * * = ∇ ψ ⋅ ∇ ψ + ∇ ψ ⋅ ∇ ψ + ψ Vψ + ψ *V ψ ⎢ ⎥ ∂t 2m ⎣ ⎦
=
. . . . ⎛ .* 2 ℏ2 ⎡ ⎛ .* *⎞ 2 * ⎞⎤ * * ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∇ ⋅ ψ ∇ ψ + ψ ∇ ψ − ψ ∇ ψ + ψ ∇ ψ + ψ V ψ + ψ V ψ ⎢ ⎟ ⎜ ⎟⎥ 2m ⎣ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
. ⎛ ⎞ ⎞ * ℏ2 2 � . ⎛ ℏ2 2 ⎟ ⎜ = −∇ ⋅ s + ψ * ⎜ − ∇ + V ψ + ψ − ⎜ 2m ⎟ ⎜ 2m ∇ + V ⎟ ⎟ψ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . . ⎛ * � *⎞ = −∇ ⋅ s + E ⎜ ⎜ψ ψ + ψ ψ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ � （ ρ ：几率密度） = −∇ ⋅ s + E ρ ∂t � = −∇ ⋅ s （定态波函数，几率密度 ρ 不随时间改变）
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(s x + s y + s y ) ？？
sin qe- iwt ÷ ÷ ÷ - cos q ÷
，设 f (t )＝ç ç
¶f = Hf ¶t
骣 a(t )÷ ÷，则有 ç ÷ b(t )÷ 桫
i d a(t ) = cos qa(t ) + sin qe- iwt b(t )......(1) - m0 B dt i d b(t ) = - cos qb(t ) + sin qeiwt a(t ).....(2) - m0 B dt
c1' = iw1e- iwt c2
化简得： 其中：
c2' = iw1eiwt c1
cos q, w1 = m0 B sin q, w2 = w + 2w0
w0 =
m0 B
a(t ) = c1eiwt b(t ) = c2e- iwt
解得： c2 '' = iw2c2 '- w12c2 （＊） 由初始条件：
( S1z - S 2 z )c 1 = 0 ( S1z - S 2 z )c 2 = 0 c 4 ( S1z - S 2 z )c 3 = c 3 ( S1z - S2 z )c 4 = 2 2
骣1 2 ç A ç ç 4 ç ç ç ç ç ç 0 ç 所以得到： H ' = ç ç eB ç ç ç ç mc 2 ç ç ç ç ç 0 ç 桫
eB ( S1z - S2 z ) mc 解： eB ＝H 0 + A( sx 2 + s y 2 + sz 2 ) + ( S1z - S2 z ) mc H = H 0 + AS1 S2 +
由两自旋为
1 的粒子系统具有对称三重态和反对称单态，写出其波函数为： 2
c 1 = c 1+ c 2+ c 2 = c 1- c 2c3 = 1 (c 1+ c 2- + c 1- c 2+ ) 2 1 c4 = (c 1+ c 2- - c 1- c 2+ ) (波函数正交归一) 2
0 2 2 ) = b(t ) 1
6.18 电子和正电子靠库仑吸引力束缚在一起构成一个类氢的系统． 在外磁场中它的哈密顿量 （l=0） 近似为 H = H 0 + AS1 S2 +
eB ( S1z - S2 z ) ,A,e,m,c,是正实数， B = Bz , S1 , S2 分别 mc
是电子和正电子的自旋算符， H 0 包含电子动能，正电子动能及正负电子间的库仑能．对自 旋相互作用 H - H 0 用一级微扰计算 H 0 的四度简并基态的能量分裂．
\ H=
1 １ 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ( px + py )＋ m(w0 + wL )( x 2 + y 2 ) + pz + mw0 z - wLlz 2m ２ 2m 2
= H 1 + H 2 - wLlz
其中H 1 =
1 １ 2 2 2 2 ( px + py )＋ m(w0 + wL )( x 2 + y 2 ) 2m ２ 1 2 1 2 2 H2 = pz + mw0 z 2m 2 eB wL = (拉磨频率) 2mc
BX = B sin q cos wt , By = B sin q sin wt , Bz = B cos q
设 t=0 时自旋在磁场方向上的分量等于 等于－ 解：
1 ， 求在 t 时刻粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量 2
1 的态中的概率？ 2
批注 [JL1]:
设该粒子磁矩为m = m0 (s x + s y + s y ), \ H = - m B = - m0 B(s x sin q cos wt , s y sin q sin wt , s y cos q) 骣 cos q sin q cos wt - i sin q sin wt ÷ = - m0 B ç ? ç ÷ ç ÷ sin q cos wt + i sin q sin wt - cos q 桫 骣cos q ＝- m0 B ç ç ç ç sin qeiwt 桫
1 2 c1 4 1 A( sx 2 + s y 2 + sz 2 )c 2 = A 2 c 1 4 易得： 1 A( sx 2 + s y 2 + sz 2 )c 3 = A 2 c 1 4 2 2 2 A( sx + s y + sz )c 4 = 0 A( sx 2 + s y 2 + sz 2 )c 1 = A
解久期方程得：
0 A 1 4 0 0
2
eB mc 2 0 A 1 2 4 NhomakorabeaB mc 2
0 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 0 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ eB ÷ ÷ ÷ ÷ mc 2 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 0 ÷ ÷ ÷
E (1) = A
1 4
2
(二重)，－A
1 4
2
?
A
1 2 e2 2 B 2 ＋ 2 2 4 mc
编辑者：霍团长
1 2 2 me w0 r 中运动，求粒子的能谱. 2 1 e 1 2 2 解：该带电粒子的哈密顿量 H = ( p - A)2 + me w0 r ， 2m c 2 1 1 且 A = ( B ? r ) ，不妨设磁场沿＋y 轴方向，则有 A = （-By,Bx,0） 2 2
6.16 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场 U (r ) =
易知 H 1 ， H 2 ， l z 相互对易，所以有共同的本征函数，所以可得到能谱为：
E = ( N1 + 1) w + ( N 2 +
1 2 2 ) w0 - wL m （w２=w0 + wL ; N1,N 2 ? 0） 2
6.17 自旋为
１ 的粒子， 在均匀磁场中运动， 磁场的绝对值不变， 但各个分量随时间变化如下： ２
a(t = 0) = 1 b(t = 0) = 0 即c2 (t = 0) = 0
所以设解 c2 = sin l t ，代入＊式可得： tan l t =
iw2l （超越方程） w1 2 - l 2
批注 [JL2]: 数值解？
r = ( f (t ) 若可求得 l ，则可得到 b(t ) ，则所求概率为