苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter6

第六章 自旋和角动量 典型例题分析
6.1 以 s, l, j 表示电子的自旋，轨道角动量和总角动量，取 = = 1 。j 和 j2 可以表示成
K K K 1 K K j = s +l = σ +l 2 K K2 K2 K2 3 K K K K j = s + l + 2s ⋅ l = + l 2 + σ ⋅ l 4 K K K K K2 K K K K K K a) 计算 [σ , σ ⋅ l ] ， [l , σ ⋅ l ] ， [ j , σ ⋅ l ] ， [ j , l ] ；
（6.20）
⎛ C1 ⎞ ⎟ ，本征值为 λ ，则本征方程为， ⎝ C2 ⎠
(σ n − λ )φ = 0
即
（6.21）
⎧(cos θ − λ )C1 + sin θ e − iϕ C2 = 0 ⎪ ⎨ iϕ ⎪ ⎩sin θ e C1 − (cosθ − λ )C2 = 0 det(σ n − λ ) = 0 为有菲平庸解条件，可知 λ = ±1 ，相应的本征函数为
K
解题思路：在课本中给出的自旋矩阵为在 σ z 表象中的，具有简单的形式。若要表示空间任 意方向上的自旋矩阵，只要在原来的矩阵上作空间旋转的相li 算符的矩阵表示为，
σx = ⎜
因此，
⎛ 0 1⎞ ⎛ 0 −i ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎟, σ y = ⎜ ⎟ ,σ z = ⎜ ⎟ ⎝ 1 0⎠ ⎝i 0⎠ ⎝ 0 −1⎠
（6.15） 由关系 [ J1x , J1 y ] = i=J1z ， [ J 2 x , J 2 y ] = i=J 2 z ，故
K x K y − K y K x = i=( J1z + J 2 z ) ≠ i=K z
因此，不满足关系（6.13） ，不是角动量。 2） 如果 J1 和 J2 不是两个独立的角动量，且满足下列对易关系，
因此，在（6.17）下， （6.13）式才能满足，K 是角动量。 （6.18）
6.3 给 定 (θ , ϕ ) 方 向 单 位 矢 量 n = (nx , n y , nz ) = (sin θ cos ϕ ,sin θ sin ϕ , cos θ ) ， 求
K
σ n = σ ⋅ n 的本征值和本征函数。 （ σ z 表象）
（6.16）
[ J1a , J 2 a ] = 0, a = x, y, z [ J1x , J 2 y ] = i=J 2 z ,[ J1 y , J 2 z ] = i=J 2 x ,[ J1z , J 2 x ] = i=J 2 y
则（6.15）的第二个等号不能成立，
（6.17）
K x K y − K y K x = ( J1x − J 2 x )( J1 y − J 2 y ) − ( J1 y − J 2 y )( J1x − J 2 x ) = [ J 1 x , J1 y ] − [ J 1 x , J 2 y ] + [ J 1 y , J1 x ] + [ J 2 x , J 2 y ] = i=( J1z − J 2 z − J 2 z + J 2 z ) = i= ( J1z − J 2 z ) = i=K z
即
（6.9）
K K K K (σ ⋅ l − l )(σ ⋅ l + l + 1) = 0
所以，
（6.10）
σ ⋅ l = l , − (l + 1)
将 σ ⋅ l 及 l 的本征值代入 j = s + l + 2 s ⋅ l =
K K
（6.11）
K K
K2
K2
K2
K2
K K
3 K2 K K + l + σ ⋅ l 中，得： 4
（6.1）
利用
K K K l × l = il
得
（6.2）
K K K K [lx , σ ⋅ l ] = σ y [lx , l y ] + σ z [lx , lz ] = −i (l × σ ) x
所以，
（6.3）
K K K K K [l , σ ⋅ l ] = −i (l × σ )
由（6.1） （6.4）得，
（6.7）
（可以自己试着证一下） ，得
K K K K K K K K K K (σ ⋅ l ) 2 = l ⋅ l + iσ ⋅ (l × l ) = l 2 − σ ⋅ l
对于 σ ⋅ l 和 l 的共同本征态（ j 和 l 的共同本征态）
（6.8）
K K
K2
K2
K2
K K K K K K K K K (σ ⋅ l ) 2 + (σ ⋅ l ) − l 2 = (σ ⋅ l )2 + (σ ⋅ l ) − l (l + 1) = 0
⎛ cos θ ⎞ φ1 = ⎜ θ 2iϕ ⎟ , λ = 1 ⎝ sin 2 e ⎠
（6.22）
（6.23）
φ−1 = ⎜
⎞ ⎟ , λ = −1 ⎝ − sin 2 e ⎠
θ
iϕ
⎛
cos θ 2
（6.24）
（6.19）
σ n = σ ⋅ n = σ x nx + σ y n y + σ z n z
⎛ nz =⎜ ⎝ nx + in y
设 σ n 的本征函数为 φ = ⎜
K
nx − in y ⎞ ⎛ cos θ ⎟= iϕ − nz ⎠ ⎜ ⎝ sin θ e
sin θ e − iϕ ⎞ ⎟ − cos θ ⎠
1 2
（6.12）
K2 j = j ( j + 1),
j=l± 1 2
σ ⋅ l = l,
K K
K K
j =l+
σ ⋅ l = −(l + 1),
K K
j=l−
1 2
注意，l=0 时，l2=0; l=0, 因此 σ ⋅ l =0, j=1/2。j=l-1/2 的情况只能出现在 l 不为 0 的情况中。
（6.4）
K K K K K K K K K [ j , σ ⋅ l ] = [σ , σ ⋅ l ] + [l , σ ⋅ l ] = 0
另外
（6.5）
K K K K K K [ j , l 2 ] = [l , l 2 ] + [ s , l 2 ] = 0
b）利用公式
（6.6）
K K K K K K K K K (σ ⋅ A)(σ ⋅ B) = A ⋅ B + iσ ⋅ ( A × B)
6.2
J1 和 J2 都是角动量，
1） 若 J1 和 J2 是两个独立的角动量，已经知道 J=J1+J2 是角动量，但 K= J1-J2 不是角动量为 什么？ 2） 此两个角动量满足什么条件，K 才是角动量？
解题思路：此题涉及角动量的定义，任何物理量只要是满足关系
K K K l × l = i=l ，
b) 求 σ ⋅ l 和 j 的本征值。
K K
K2
解题思路： 此类题目重点考察各种角动量算符间的关系。 所以只要运用各种算符间的对易关 系就能容易的解决。
解： a) s =
K
K 1 K K K σ ，它和 l 属于不同的自由度，彼此可对易， [σ , l ] = 0 。由此知 2 K K K K K K K K [σ , σ ⋅ l ] = [σ x i + σ y j + σ z k , σ xlx + σ y l y + σ z lz ] = 2il × σ
就是角动量。
（6.13）
解： 1） 若 J1 和 J2 是两个独立的角动量，则
K K K J1 × J1 = i=J1 K K K K K
K K K J 2 × J 2 = i=J 2
（6.14）
及 [ J1 , J 2 ] = 0 的对易关系。而 K = J1 − J 2 ，有
K x K y − K y K x = ( J1x − J 2 x )( J1 y − J 2 y ) − ( J1 y − J 2 y )( J1x − J 2 x ) = [ J1x , J1 y ] + [ J 2 x , J 2 y ]