第五章 概率及概率分布
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概率第五章_大数定律与中心极限定理090505
加法法则
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同
03第五章_概论及概论分布
用于比较几个分属性质不同的观测值在各
自数据分布中相对位置的高低。
计算不同质的观测值的总和或平均值，以
表示在团体中的相对位置。
当研究需要合成不同质的数据时，如果已知这 些不同质的观测值的次数分布为正态，这时可采用 Ｚ分数来计算不同质的观测值的总和或平均值。
表示标准测验分数
经过标准化的心理和教育测验，常常
种数学模型计算出的概率分布。
３、基本随机变量分布与抽样分布
依所描述的数据的样本特性，可将概率分
布分为基本随机变量分布与抽样分布 （sampling distribution）。
基本随机变量分布是随机变量各种不同取
值情况的概率分布，抽样分布是从同一总体 内抽取的不同样本的统计量的概率分布。
二、二项分布
抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题的概率和抽到第二题的概率之和即四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第一题其概率应为抽到第一题的概率的乘积即20个黑球共50个球中随机抽取两次放回抽样问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少
第五章
概率及概论分布
一、概率的一般概念
1.概论的定义
后验概率（或统计概率）
率之和，即
0 0 6 1 5 2 2 4 P P P C p q C p q C p q ( 0) 1 2 6 6 6
3 2 3 2 6 15 5 5 5 5
6
m n
（5．2）
2．概率的公理系统
（1）任何随机事件Ａ的概率都是在0与1之间 的正数，即 0 ≤ P（A）≤1 （2）不可能事件的概率等于零，即 P（A）= 0 （3）必然事件的概率等于1，即 P （A ）= 1
自数据分布中相对位置的高低。
计算不同质的观测值的总和或平均值，以
表示在团体中的相对位置。
当研究需要合成不同质的数据时，如果已知这 些不同质的观测值的次数分布为正态，这时可采用 Ｚ分数来计算不同质的观测值的总和或平均值。
表示标准测验分数
经过标准化的心理和教育测验，常常
种数学模型计算出的概率分布。
３、基本随机变量分布与抽样分布
依所描述的数据的样本特性，可将概率分
布分为基本随机变量分布与抽样分布 （sampling distribution）。
基本随机变量分布是随机变量各种不同取
值情况的概率分布，抽样分布是从同一总体 内抽取的不同样本的统计量的概率分布。
二、二项分布
抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题的概率和抽到第二题的概率之和即四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第一题其概率应为抽到第一题的概率的乘积即20个黑球共50个球中随机抽取两次放回抽样问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少
第五章
概率及概论分布
一、概率的一般概念
1.概论的定义
后验概率（或统计概率）
率之和，即
0 0 6 1 5 2 2 4 P P P C p q C p q C p q ( 0) 1 2 6 6 6
3 2 3 2 6 15 5 5 5 5
6
m n
（5．2）
2．概率的公理系统
（1）任何随机事件Ａ的概率都是在0与1之间 的正数，即 0 ≤ P（A）≤1 （2）不可能事件的概率等于零，即 P（A）= 0 （3）必然事件的概率等于1，即 P （A ）= 1
概率与概率分布
第五章 概率及概率分布
掌握概率的概念、性质和法则 明确概率分布的含义，了解二项试验和分布
的基础知识。
概率与概率分布
第一节 概率的一般概念
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人 寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资 料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性 的数学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数 之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能 性较大？
概率与概率分布
一、频率和概率的定义
1. 频率 对随机现象进行观测时，若事件Ａ在ｎ次观测中出 现了ｍ次,则ｍ与ｎ的比值，就是事件Ａ出现的频 率（也称为相对频数）。用 Ｗ（Ａ）表示事件Ａ 的频率。 公式为：Ｗ（Ａ）=ｍ/ｎ
概率与概率分布
2. 概率
概率是对随机事件出现可能性大小的客观量度。
事件Ａ发生的概率记为P（Ａ）。
概率与概率分布
二、概率的性质
1. 对于任何事件Ａ，均有0≤Ｐ（Ａ）≤1 2. 不可能事件的概率为零，P（V）=0 3. 必然事件的概率为1，P（U）=1
概率与概率分布
三、概率的加法和乘法
1. 概率的加法
互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的 事件。
事件之和：有限个互不相容事件中任意一个发生。 如：A+B=A或B发生。
假设把两枚硬币投1000次，得到的结果为下表：
正面的数量 0 1 2
总计
频数（f） 253 499 248 1000
百分比（%） 25.3 49.9 24.8 100.0
概率分布实质上是无限次抛掷的频数分布。尽 管我们永远不能观察到这个无限次抛掷的频数 分布，但我们知道这是的频数分布会无限接近 概率分布。
概率与概Байду номын сангаас分布
掌握概率的概念、性质和法则 明确概率分布的含义，了解二项试验和分布
的基础知识。
概率与概率分布
第一节 概率的一般概念
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人 寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资 料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性 的数学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数 之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能 性较大？
概率与概率分布
一、频率和概率的定义
1. 频率 对随机现象进行观测时，若事件Ａ在ｎ次观测中出 现了ｍ次,则ｍ与ｎ的比值，就是事件Ａ出现的频 率（也称为相对频数）。用 Ｗ（Ａ）表示事件Ａ 的频率。 公式为：Ｗ（Ａ）=ｍ/ｎ
概率与概率分布
2. 概率
概率是对随机事件出现可能性大小的客观量度。
事件Ａ发生的概率记为P（Ａ）。
概率与概率分布
二、概率的性质
1. 对于任何事件Ａ，均有0≤Ｐ（Ａ）≤1 2. 不可能事件的概率为零，P（V）=0 3. 必然事件的概率为1，P（U）=1
概率与概率分布
三、概率的加法和乘法
1. 概率的加法
互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的 事件。
事件之和：有限个互不相容事件中任意一个发生。 如：A+B=A或B发生。
假设把两枚硬币投1000次，得到的结果为下表：
正面的数量 0 1 2
总计
频数（f） 253 499 248 1000
百分比（%） 25.3 49.9 24.8 100.0
概率分布实质上是无限次抛掷的频数分布。尽 管我们永远不能观察到这个无限次抛掷的频数 分布，但我们知道这是的频数分布会无限接近 概率分布。
概率与概Байду номын сангаас分布
人大版_贾俊平_第五版_统计学_第5章_概率与概率分布
P ( ) = 1； P ( ) = 0
可加性
若A与B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有 P
( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
5.2.2 概率的加法法则 法则一
• 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数小于7
• 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示
例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
样本空间
1. 基本事件 • 一个不可能再分的随机事件 • 例如：掷一枚骰子出现的点数 2. 样本空间 • 一个试验中所有基本事件的集合，用表示 • 例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6} • 在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
连续型随机变量 1. 随机变量 X 取无限个值 2. 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是 取数轴上某一区间内的任意点
试验 随机变量 可能的取值
X0 使用寿命(小时) 抽查一批电子元件 半年后工程完成的百分比 0 X 100 新建一座住宅楼 X0 测量一个产品的长度 测量误差(cm)
4800 1500 P( A B) P( A) P( B) 0.504 12500 12500
法则二 对任意两个随机事件 A 和 B ，它们和的 概率为两个事件分别概率的和减去两个事件 交的概率，即
P ( A∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B )
事件的关系和运算（事件的包含） 若事件 A发生必然导致事件 B 发生，则称 事件 B 包含事件 A ，或事件 A 包含于事件 B ，记 作或 A B或 B A
第五章概率与正态分布
正态分布曲线的特点
• 钟形轴对称曲线，对称轴是随机变量的平均数
。
• 正态分布曲线的位置和形状分别由平均数
和标准差 决定。
• 平均数大小决定图形向左移或右移。 • 标准差大小决定图形的陡峭程度，即纵线的最大
值。
y
0 1
5 1
x
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
图5.3 平均数不等，标准差相等的正态分布示意图
标准正态分布表中各变量的含义
表 5.4 标准正态分布表中各变量的说明
Z 横轴坐标
原始变量（Xi）取值转换后的标准
分数（Zi）
Y 纵轴高度
某一点取值（Zi）所对应的概率密
度（相对频次，Yi）
P （0，Zi）两点间 取值界于区间（0，Zi）的概率
曲线下的面积
• 已知下列Z值，查表求P值。
– （1）Z＝-1与Z＝1之间的概率 – （2）Z＝-2与Z＝2之间的概率 – （3）Z＝-3与Z＝3之间的概率 – （4）Z＝-1.96与Z＝1.96之间的概率 – （5）Z＝-2.58与Z＝2.58之间的概率
• 经验概率 对多次重复相同或相似试验所得到的数据进行分 析，获得事件发生的相对频率，作为对此事件 发生概率的一个估计。
P(A) a,N NFra bibliotek事件的概率
• 先验概率 • 当试验满足:试验中各种可能结果（基本事件）是
有限的，并且每种结果发生的可能性是不变时， 则某事件发生的概率等于该事件包含的基本事件 数除以试验中可能发生的基本事件总件数之商。 • 设N代表可能发生的基本事件总数，K代表事件A 包含的基本事件数，则A事件发生的概率为：
– 例：某公共汽车停车点上乘客候车的时间记为 随机变量Y
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
教育统计学 第五章
1 P e 2
( x )2 2 2
正态分布
0.13%
2.14%
13.59%
34.13% - 1
34.13%
13.59%
2.14% 3 3
0.13%
-3பைடு நூலகம்
- 2
1
2
0.13%
2.14%
13.59% 34.13% 34.13% 13.59% 2.14% 0.13 %
-
3
独立性 乘法公式 P(AB)=P(A)P(B)
独立试验概型（非等概）
在此概型中，基本事件的概率可以直接计 如果掷的分币非均匀，出现 算出来；单它与古典概型不同，这些基本 “上”的概率为2/3，出现 事件不一定是等概的。 “下”的概率为1/3，则 例5.10 P(“恰有两次正面朝上”)=？
掷一均匀分币，独立重复五次，求其中恰有两次 正面朝上的概率？ n=25=32个（基本事件） “恰有两次正面朝上”=10个（基本事件）
-
2
-
1
1
2
3
0.13%
2.14%
13.59%
34.13% - 1
34.13%
-3
- 2
13.59%
2.14%
0.13%
1
2
3
标准正态分布
0.13% -3
2.14% -2
13.59% -1
34.13% 0
34.13% 1
13.59% 2
2.14% 3 3
0.13%
丁
例5.1
盒子中装有五个球（三个白球、二各黑球）从中 任取一个，问：取到白球的概率是多少？
P(取到白球）=3/5 例5.2
教育统计学概率及概率分布练习题目答案
答案：86.65分
第五章 概率及概率分布
练习11
○ 有100人其统计能力呈现正态分布，欲将分成ABCD四个等距等级，问各等级应该有多少人？ ○ 答案：
A等级7人 B等级43练 习 5
l从 男 生 占 2 / 5 的学校中随机 抽取6个学生， 问正好抽到4个 男生的概率是 多少？至少抽 到4个女生的概 率是多少？
l答 案 ： 0 . 1 3 8 2 ， 0.5443
l练 习 6
l从 男 生 占 1 / 2 的学校中随机 抽取10个学生， 请问理论上抽 取男生的平均 数是多少？标 准差呢？
6
答 案 ： 3 0 2 . 1 5
第五章 概率及概率分布
练习9 某测试成绩呈正态分布，平均分72，标准差6，问平均分上下多少分中间包括95%的
学生？ 答案：60.24分至83.76分之间
○ 练习10 ○ 某考试从1600人中选出200人，成绩呈正态，平均分74，标准差11，问选拔分数线多少？
0 6 答案：0.375
第五章 概率及概率分布
练习3
一学生从5个试题中任意抽取一题，抽取每题的 概率都是五分之一，则抽到第一题或第二题的 概率是多少？
答案：0.4
练习4
一学生从5个试题中任意抽取一题（抽后放回）， 抽取每题的概率都是五分之一，则两个学生都 抽到第一题的概率是多少？
答案：0.04
l答 案 ： 5 ， 1.58
第五章 概率及概率分布
1
练 习 7
3
答 案 ： 8 道 或 以 上 。
2
学 生 做 1 0 道 判 断 题 ， 凭 猜 测 可 以 猜 对 一 半 。 那么，学生必须做对多少道题目，我们才有 95%的把握认为他们掌握了相关知识呢？
第五章 概率及概率分布
练习11
○ 有100人其统计能力呈现正态分布，欲将分成ABCD四个等距等级，问各等级应该有多少人？ ○ 答案：
A等级7人 B等级43练 习 5
l从 男 生 占 2 / 5 的学校中随机 抽取6个学生， 问正好抽到4个 男生的概率是 多少？至少抽 到4个女生的概 率是多少？
l答 案 ： 0 . 1 3 8 2 ， 0.5443
l练 习 6
l从 男 生 占 1 / 2 的学校中随机 抽取10个学生， 请问理论上抽 取男生的平均 数是多少？标 准差呢？
6
答 案 ： 3 0 2 . 1 5
第五章 概率及概率分布
练习9 某测试成绩呈正态分布，平均分72，标准差6，问平均分上下多少分中间包括95%的
学生？ 答案：60.24分至83.76分之间
○ 练习10 ○ 某考试从1600人中选出200人，成绩呈正态，平均分74，标准差11，问选拔分数线多少？
0 6 答案：0.375
第五章 概率及概率分布
练习3
一学生从5个试题中任意抽取一题，抽取每题的 概率都是五分之一，则抽到第一题或第二题的 概率是多少？
答案：0.4
练习4
一学生从5个试题中任意抽取一题（抽后放回）， 抽取每题的概率都是五分之一，则两个学生都 抽到第一题的概率是多少？
答案：0.04
l答 案 ： 5 ， 1.58
第五章 概率及概率分布
1
练 习 7
3
答 案 ： 8 道 或 以 上 。
2
学 生 做 1 0 道 判 断 题 ， 凭 猜 测 可 以 猜 对 一 半 。 那么，学生必须做对多少道题目，我们才有 95%的把握认为他们掌握了相关知识呢？
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三、正态分布
三、正态分布
①已知Z值求面积：
求z=0至某一z值之间的面积； 求两个z值之间的面积； 求某一z值以上或以下的面积；
②已知面积求z值：从附表中p值一列寻找与已
知面积最接近的值，然后在第一列寻找与之对应 的z值。
三、正态分布
（二)正态分布在测验记分方面的应用
1、将原始分数转化为标准分数
一、概率及概率分布的一般概念
离散型随机变 量的概率分布
连续型随机变 量的概率分布
二项 分布
泊松 分布
超几何 分布
均匀 分布
正态 分布
指数 分布
其他
一、概率及概率分布的一般概念
2）经验分布与理论分布
依分布函数的来源而划分。 经验分布：是指根据观察或实验所获得的数据而编制 的次数分布或相对频数分布。 理论分布：一是随机变量概率分布的函数——数学模 型，二是按某种数学模型计算出来的总体的次数分布。
P(A)=m/n
先验概率是在特定条件下直接计算出来的， 不是由频率估计出来的，当试验重复次数充分大 时，后验概率接近先验概率。
一、概率及概率分布的一般概念
3 概率的基本性质 1）概率的公理系统
任何随机事件A的概率都是在0与1之间的正数。 不可能事件的概率等于0，P(V)=0。 必然事件的概率等于1，P(U)=1。
二、二项分布
2）二项分布
二项分布（binomi distribution）是一种具有广泛用途 的离散型随机变量的概率分布，由贝努里创造，又叫贝努 里分布。 二项分布是指试验仅有两种不同性质结果的概率分布 ，即各个变量都可归为两个不同性质中的一个，两个观测 值是对立的，因而二项分布又可以说是两个对立事件的概 率分布。
三、正态分布
正态分布（normal distribution):也称常 态分布或者常态分配，是连续随机变量概 率分布的一种，学生成绩的好坏，能力的 高低，身高、体重等身体状态都属于正态 分布。 正态分布是由莫弗1733年发现的，拉普 拉斯，高斯对正态分布的研究也作出了贡 献，所以正态分布有时也称高斯分布。
一、概率及概率分布的一般概念
4 何谓概率分布？
概率分布（probability distribution）是指对随 机变量取值的概率分布情况用数学方法（函数） 进行描述。
一、概率及概率分布的一般概念
1）离散分布与连续分布
依随机变量是否具有连续性来划分的概率分布。 离散分布：当随机变量只取孤立的数值时，称为离散 随机变量，这种变量的概率分布称作离散分布。 连续分布：指连续随机变量的概率分布，即测量数据 的概率分布。
在比较学生几门学科的总成绩时，可将各科原始分数转化成标准分数 ，求其总和，再比较其总分大小。 标准分数的优点：各科标准分数的单位是绝对等价的；标准分数的数 值大小和正负，可以反映某一考分在团体中所处的位置。
2、确定录取分数线
在选拔性考试中，若考分呈正态分布，可将录取人数比率作为正态分 布中分线右侧的面积，由此找出相应标准分数，已知Z值求原始分数X.
一、概率及概率分布的一般概念
3）基本随机变量分布与抽样分布
这是依概率分布所描述的数据特征而划分的概率分 布类型。 基本随机变量分布：二项分布、正态分布 抽样分布：样本统计量的理论分布，样本统计量有 平均数、方差、标准差、相关系数、回归系数等。
二、二项分布
1 二项试验与二项分布
1）二项试验（贝努里试验） 必须满足以下几个条件： 任何一次实验恰好有两个结果（如由判断题组成的测验）； 共有n次试验，并且n是预先给定的任一正整数； 每次试验各自独立，各次试验之间无相互影响； 某种结果出现的概率在任何一次试验中都是固定的。 （注意：第3、4点有时较难保证，必要时可假设相等。） 例如：某射击手的命中率为0.70，由于身心状态变化，并不 能保证每次都是0.70，但为了计算假设相等。
（6）在正态分布曲线下，标准差与概率有一定的数 量关系。
三、正态分布
3 正态曲线的面积
（1）正态曲线与基线之间某一区间的面积，相当 于能在该区间找到个体的概率。 （2）标准正态曲线下面积的求法： 先将原始变量X值转化成标准分数（Z），因此 标准正态分布也成Z分布。
X
X 为原始数据，X 为平均数，S 为标准差
三、正态分布
（一）正态分布特征 1 正态分布曲线函数（密度函数）
描述正态分布曲线的一般方程为：
Y
N
X
2
2
2
e
2
三、正态分布
Y 表示变量X的高度或纵坐 标 X表示连续变量的任何一点 μ表示平均数 N表示总频数 σ表示此分布的标准差 π表示常数，约为3.14159 e表示常数，即自然对数之 底，约为2.71828
二、二项分布
3）二项各次试验都是彼此独立的，每次试验 某事件出现的概率都是p，某事件不出现的概率都是q(1-p), 则对于某事件出现X次（0，1，2，…，n）的概率分布为：
b x n p C p q
x n x
n x
二、二项分布
2 二项分布图
P(A)≈m/n
当观测次数n无限增大时，计算出的概率估计 值越趋近真实的概率值。这种概率是由事件A出 现的次数决定，因此称为后验概率。
一、概率及概率分布的一般概念
3）概率的古典定义（先验概率）
如果某一随机试验的结果有限，而且各个结 果在每次试验中出现的可能性相同，若所有可能 结果的总数为n，随机事件A包括m个可能结果， 则事件A的概率为：
第五章 概率及概率分布
一、概率及概率分布的一般概念
1 引言：什么是概率？
在掷硬币、抛骰子、抽扑克牌的游戏，以及 许多日常生活问题中存在着许多随机现象，又称 随机事件，或简称事件。 随机是指在一定条件下可能出现也可能不出 现，比如硬币掷起落下后，可能出现牡丹花，也 可能出现国徽图案。 表明随机事件出现可能性的客观指标就是概 率（probability）。
一、概率及概率分布的一般概念
例如：对学生进行考核，该生得优的概率为.10， 得良的概率为0.50，根据加法定理，该生考核成 绩为“优”或“良”的概率为： P(A+B)=P(A)+P(B) = 0.10+0.50 =0.60
一、概率及概率分布的一般概念
3）概率的乘法定理
两个独立事件同时出现的概率等于该两事件 概率的乘积。所谓独立事件指的是一个事件的出 现对另一个事件的出现不发生影响。 P(A· =P(A)P(B) B) 有限个独立事件积的概率，等于这些事件概 率的乘积。 P(A1·A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
三、正态分布
（二)正态分布在测验记分方面的应用 3、确定等级评定的人数（见教材P79） 4、品质评定数量化
等级数量化分数是将两位老师所评定的各等级人数百分 比分别作为正态曲线下的面积，再以平分每块面积中的Z 值，作为各等级数量化的分数。
练习
• 课内完成本章练习题。
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一、概率及概率分布的一般概念
2 概率的定义 1）频率（相对频数）
随机事件A在n次试验中出现m次，m与n的 比值，就是随机事件A出现的频率，用公式表示 为：W(A)=m/n
一、概率及概率分布的一般概念
2）概率的统计定义（后验概率）
随着试验次数n的无限增大，随机事件A的频 率稳定于一个常数P，这一常数P就是随机事件A 出现概率的近似值，可以表示为：
二、二项分布
4 二项分布的应用
除了用来求成功事件恰好出现X次的概率之外，在教育中 主要用来判断试验结果的真实性与机遇性的界限。
例：有10道正误题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对 几题，才能认为不是出于猜测因素？ 解：已知猜对与猜错的概率p=q=0.5，np=5，此二项分布接近正态分布， 故： μ=np=10 ×0.5=5 σ² =npq=10 ×0.5 ×0.5=2.5，σ=1.58 根据正态分布规律，当Z=1.645时，该点一下包含了全体的95%，原 始分数为μ+1.645Xσ=5+1.645 ×1.58=7.6=8。即完全凭猜测，10道题 中答对8道以下的可能性为95%。
三、正态分布
2 正态曲线的特点
1）曲线在Z=0（X=M d=Mo)处为最高点。 2）曲线以Z=0处为中心，双侧对称，无论Z是正是负， 平方后，Y值相等。 3）曲线从最高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但 永不与基线相交。 4）标准正态分布上的平均数为0，标准差为1。
三、正态分布
（5）曲线从最高点向左右延伸时，在正负一个标准 差之内，既向下又向内弯。
从二项分布图可以看出： 当p=q,不管n多大，二项分 布呈对称形。 当n很大时，二项分布接 近于正态分布。 当n趋近与无限大时，正 态分布是二项分布的 极限。
二、二项分布
3 二项分布的平均数和标准差
当二项分布接近正态分布时，在n次二项试验中 成功事件出现次数的平均数为：
μ=np
方差为：
σ² =npq
一、概率及概率分布的一般概念
2）概率的加法定理
两个互不相容事件（互斥事件）A、B之和 的概率，等于两个事件概率之和。所谓不相容事 件是指在一次试验或调查中，若事件A发生，事 件B就一定不发生。
P（A+B)=P(A)+P(B)
有限个互不相容事件和的概率，等于这些事 件的概率之和。
P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)