第5章 概率与概率分布习题
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《概率论与数理统计答案》第五章
2 答案与提示：由于 X ~ N ( µ , σ / n) ，所以
P{ X − 8 > 3} = 0.1336
3．设 X 1 , X 2 , " , X n 为来自总体 X ~ P (λ ) 的一个样本， X 、 S 2 分别为样本均值 和样本方差。求 DX 及 ES 2 。 答案与提示：此题旨在考察样本均值的期望、方差以及样本方差的期望与总体 期望、总体方差的关系，显然应由定理 5-1 来解决这一问题。
2
=(
1
hd a
) e
n 2 − 1
n
为
2σ 2
2πσ 2
w. c
∑ ( xi − µ )2
i =1
om
，
8．设 X 1 , X 2 , " , X n 为来自正态总体 X ~ N ( µ , σ 2 ) 的一个样本， µ 已知，求 σ 2
第五章 习题参考答案与提示
⎧ ⎪λax a −1e − λx , x > 0, （2） f ( x, λ ) = ⎨ ⎪ x ≤ 0, ⎩ 0,
1 3 1 （3） X 1 + X 2Leabharlann + X 3 。 5 10 2
om
（1）
（2）
第五章 习题参考答案与提示
3，求 θ 的矩估计值和极大似然估计值。
ˆ = 1/ 4 。 答案与提示： θ 的矩估计值为 θ
对于给定的样本值，似然函数为 L(θ ) = 4θ 6 (1 − θ ) 2 (1 − 2θ ) 4 ，解得
其中 θ > −1 为未知参数。
网
9．设 X ~ N ( µ , 1) ， X 1 , X 2 , " , X n 为来自正态总体 X 的一个样本，试求 µ 的极
P{ X − 8 > 3} = 0.1336
3．设 X 1 , X 2 , " , X n 为来自总体 X ~ P (λ ) 的一个样本， X 、 S 2 分别为样本均值 和样本方差。求 DX 及 ES 2 。 答案与提示：此题旨在考察样本均值的期望、方差以及样本方差的期望与总体 期望、总体方差的关系，显然应由定理 5-1 来解决这一问题。
2
=(
1
hd a
) e
n 2 − 1
n
为
2σ 2
2πσ 2
w. c
∑ ( xi − µ )2
i =1
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，
8．设 X 1 , X 2 , " , X n 为来自正态总体 X ~ N ( µ , σ 2 ) 的一个样本， µ 已知，求 σ 2
第五章 习题参考答案与提示
⎧ ⎪λax a −1e − λx , x > 0, （2） f ( x, λ ) = ⎨ ⎪ x ≤ 0, ⎩ 0,
1 3 1 （3） X 1 + X 2Leabharlann + X 3 。 5 10 2
om
（1）
（2）
第五章 习题参考答案与提示
3，求 θ 的矩估计值和极大似然估计值。
ˆ = 1/ 4 。 答案与提示： θ 的矩估计值为 θ
对于给定的样本值，似然函数为 L(θ ) = 4θ 6 (1 − θ ) 2 (1 − 2θ ) 4 ，解得
其中 θ > −1 为未知参数。
网
9．设 X ~ N ( µ , 1) ， X 1 , X 2 , " , X n 为来自正态总体 X 的一个样本，试求 µ 的极
第五章概率与正态分布
正态分布曲线的特点
• 钟形轴对称曲线，对称轴是随机变量的平均数
。
• 正态分布曲线的位置和形状分别由平均数
和标准差 决定。
• 平均数大小决定图形向左移或右移。 • 标准差大小决定图形的陡峭程度，即纵线的最大
值。
y
0 1
5 1
x
－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
图5.3 平均数不等，标准差相等的正态分布示意图
标准正态分布表中各变量的含义
表 5.4 标准正态分布表中各变量的说明
Z 横轴坐标
原始变量（Xi）取值转换后的标准
分数（Zi）
Y 纵轴高度
某一点取值（Zi）所对应的概率密
度（相对频次，Yi）
P （0，Zi）两点间 取值界于区间（0，Zi）的概率
曲线下的面积
• 已知下列Z值，查表求P值。
– （1）Z＝-1与Z＝1之间的概率 – （2）Z＝-2与Z＝2之间的概率 – （3）Z＝-3与Z＝3之间的概率 – （4）Z＝-1.96与Z＝1.96之间的概率 – （5）Z＝-2.58与Z＝2.58之间的概率
• 经验概率 对多次重复相同或相似试验所得到的数据进行分 析，获得事件发生的相对频率，作为对此事件 发生概率的一个估计。
P(A) a,N NFra bibliotek事件的概率
• 先验概率 • 当试验满足:试验中各种可能结果（基本事件）是
有限的，并且每种结果发生的可能性是不变时， 则某事件发生的概率等于该事件包含的基本事件 数除以试验中可能发生的基本事件总件数之商。 • 设N代表可能发生的基本事件总数，K代表事件A 包含的基本事件数，则A事件发生的概率为：
– 例：某公共汽车停车点上乘客候车的时间记为 随机变量Y
第5章概率与概率分布
第5章 概率与概率分布一、思考题、频率与概率有什么关系 、独立性与互斥性有什么关系、根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。
、根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。
二、练习题、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录某班一次统计学测试的平均分数。
（2）某人在公路上骑自行车，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。
（3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
、某市有50%的住户订阅日报，有65%的住户订阅晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。
、设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有个发生的概率是31，A 发生且B 不发生的概率是91，求B 发现的概率。
、设A 与B 是两个随机事件，已知P(A)=P(B)=31，P(A ｜B)= 61，求P(A ｜B ) 、有甲、乙两批种子，发芽率分别是和。
在两批种子中各随机取一粒，试求： （1）两粒都发芽的概率。
（2）至少有一粒发芽的概率。
（3）恰有一粒发芽的概率。
、某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少、某种品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为43，用到10000小时未坏的概率为21。
现在有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，它能用到10000小时的概率是多少、某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%，25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。
从该厂随机抽取一名职工，发现年龄不到25岁，他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各为多少、某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18%。
已知这四个车间产品的次品率分别为，，和，从该厂任意抽取一件产品，发现为次品，且这件产品是由A ，B 车间生产的分布。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第五章习题参考答案
（2）上班所需时间在半小时以内有 25 + 60 + 85 = 170 人． 5． 40 种刊物的月发行量（单位：百册）如下： 5954 5022 14667 6582 6870 1840 2662 4508 1208 3852 618 3008 1268 1978 7963 2048 3077 993 353 14263 1714 11127 6926 2047 714 5923 6006 14267 1697 13876 4001 2280 1223 12579 13588 7315 4538 13304 1615 8612 （1）建立该批数据的频数分布表，取组距为 1700（百册） ； （2）画出直方图． 解： （1）最大观测值为 353，最小观测值为 14667，则组距为 d = 1700， 区间端点可取为 0，1700，3400，5100，6800，8500，10200，11900，13600，15300， 频率分布表为 组序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 （2）作图略．
1091 1572 775 1044 738
3． 假若某地区 30 名 2000 年某专业毕业生实习期满后的月薪数据如下： 909 1086 1120 999 1320 1071 1081 1130 1336 967 825 914 992 1232 950 1203 1025 1096 808 1224 871 1164 971 950 866 （1）构造该批数据的频率分布表（分 6 组） ； （2）画出直方图． 解： （1）最大观测值为 1572，最小观测值为 738，则组距为 d =
样本的分布为 p ( x1 , x2 , L , xn ) = λ eλ x1 ⋅ λ eλ x2 L λ eλ xn = λ n e
统计(05)第5章__概率与概率分布
3. P(A∪A)= P(A)+P(A)= P ( ) = 1
统计学
概率的加法法则
(例题分析)
【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一 名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的 概率
某钢铁公司所属企业职工人数 工厂 男职工 女职工 合计
炼铁厂 炼钢厂 轧钢厂 合计
4400 3200 900 8500
P ( C ) =P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B ) =0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28
统计学
5.2.3 条件概率、乘法公式与独立事件
统计学 条件概率 (conditional probability)
• 在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概 率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生 的条件概率，记为
统计学
事件的独立性
(例题分析)
【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内 机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机 床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求
（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率
二. 条件概率、乘法公式与独立事件 三. 全概率公式和贝叶斯公式
统计学
5.2.1 概率的性质
统计学
1. 非负性
–) 1
2. 规范性
– 必然事件的概率为1；丌可能事件的概率为0。 即P ( ) = 1； P ( ) = 0
若A不B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
统计学
概率的加法法则
(例题分析)
【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一 名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的 概率
某钢铁公司所属企业职工人数 工厂 男职工 女职工 合计
炼铁厂 炼钢厂 轧钢厂 合计
4400 3200 900 8500
P ( C ) =P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B ) =0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28
统计学
5.2.3 条件概率、乘法公式与独立事件
统计学 条件概率 (conditional probability)
• 在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概 率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生 的条件概率，记为
统计学
事件的独立性
(例题分析)
【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内 机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机 床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求
（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率
二. 条件概率、乘法公式与独立事件 三. 全概率公式和贝叶斯公式
统计学
5.2.1 概率的性质
统计学
1. 非负性
–) 1
2. 规范性
– 必然事件的概率为1；丌可能事件的概率为0。 即P ( ) = 1； P ( ) = 0
若A不B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
练习题答案05
第五章 概率、概率分布与临床决策练 习 题一、最佳选择题1．若事件A 和事件B 互不相容，则一定有（ ）。
A. P (A +B )=P (A )+P (B )B. P (A +B )=P (AB )C. P (AB )= P (A ) P (B )D. P (A │B )= P (A )E. P (B │A )= P (B )2．若人群中某疾病发生的阳性数X 服从二项分布，则从该人群随机抽取n 个人，阳性数X 不小于k 人的概率为( )。
A. P (k )+ P (k +1)+…+ P (n )B. P (k +1)+ P (k +2)+…+ P (n )C. P (0)+ P (1)+…+ P (k )D. P (0)+ P (1)+…+ P (k -1)E. P (1)+ P (2)+…+ P (k -1)3．Poisson 分布的标准差σ和平均数λ的关系是( )。
A.λ=σ B. λ<σ C. λ=σ2 D. λ= E. λ>σ4．当n 很大，二项分布在下列条件下可用Poisson 分布近似（ ）。
A. λπ≈nB. λ≈n X /C. λππ≈-)1(nD. λππ≈-)1(E. λππ≈-n /)1(5．对于任何两个随机变量X1和X2，一定有( )。
A. E (X 1+X 2)＝E (X 1)+E (X 2)B. V (X 1+X 2)＝V (X 1)+ V (X 2)C. E (X 1+X 2)＝E (X 1)·E (X 2)D. V (X 1+X 2)＝V (X 1)·V (X 2)E. E (X 1+X 2)＝E (X 1X 2)二、问答题1．简述概率的统计定义。
2．举例说明医学观察结果中的离散型随机变量和连续型随机变量。
3．举例说明医学现象中的先验概率和后验概率。
4．简述二项分布的应用条件。
5．简述Poisson 分布的性质特征。
6．简述概率和概率分布在临床决策中的运用。
概率论与数理统计(经管类)第五章课后习题答案
习题 5.1 1. 设随机变量 X 的方差为 2.5.试利用切比雪夫不等式估计概率P |X 解: P |X
E X |
7.5 .
E X |
7.5
D X .
.
0.44
2. 在每次实验中,事件 A 发生的概率为 0.5.利用切比雪夫不等式估计,在 1000 次独立实验中,事件 A 发 生的次数在 400~600 之间的概率. 解:用 X 表示事件 A 发生的次数,它服从 n=1000,p=0.5 的二项分布. 则 E(X)=np=1000*0.5=500, D(X)=npq=1000*0.5*0.5=250 P 400 600 P |X 10
2.387 P X 6 2.387 10 6 2.387 1 Φ 10 6 2.387 1 Φ 1.68 0.0465
np P
1000 0.005
5, npq
2.23
X X 5 7 5 0.007 PX 7 P Φ 0.90 0.8159 1000 2.23 2.23 4. 在抛硬币的实验中,至少抛多少次,才能是正面出现的频率落在(0.4,0.6)区间的概率不小于 0.9? 解:用 X 表示 n 次试验中出现正面的次数, 则 X~B(120, ), np P 0.4 0.5n, npq X n 0.6 0.6 0.5n X 0.5n √n 2 √n 5 0.9 0.9505 0.6n 0.5n √n , 2
A. N 2,4 B. N 2, 解: E Z
∑
E x
2n
2
D Z
1 n
1 n2
n
n
E xi
i 1
1 n2 4 n
4n
4
n
故Zn
二,填空题
E X |
7.5 .
E X |
7.5
D X .
.
0.44
2. 在每次实验中,事件 A 发生的概率为 0.5.利用切比雪夫不等式估计,在 1000 次独立实验中,事件 A 发 生的次数在 400~600 之间的概率. 解:用 X 表示事件 A 发生的次数,它服从 n=1000,p=0.5 的二项分布. 则 E(X)=np=1000*0.5=500, D(X)=npq=1000*0.5*0.5=250 P 400 600 P |X 10
2.387 P X 6 2.387 10 6 2.387 1 Φ 10 6 2.387 1 Φ 1.68 0.0465
np P
1000 0.005
5, npq
2.23
X X 5 7 5 0.007 PX 7 P Φ 0.90 0.8159 1000 2.23 2.23 4. 在抛硬币的实验中,至少抛多少次,才能是正面出现的频率落在(0.4,0.6)区间的概率不小于 0.9? 解:用 X 表示 n 次试验中出现正面的次数, 则 X~B(120, ), np P 0.4 0.5n, npq X n 0.6 0.6 0.5n X 0.5n √n 2 √n 5 0.9 0.9505 0.6n 0.5n √n , 2
A. N 2,4 B. N 2, 解: E Z
∑
E x
2n
2
D Z
1 n
1 n2
n
n
E xi
i 1
1 n2 4 n
4n
4
n
故Zn
二,填空题
概率论第五章习题解答(全)
X
i 1
i
0.5 5000
5000 0.1
10 } 50
1 (
10 ) 1 (1.414) ＝1－0.9207＝0.0793。 7.07
5、有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m，现从这批木柱中随机地取 100 根，求其中至少有 30 要短于 3m 的概率。 解 把从这批木柱中随机地取一根看作一次试验，并假定各次试验相互独立，在 100 次试验中长度不小于 3m 的根数记作 X ，则 X 是随机变量 X ，且 X b(100, 0.8) ， 其分布律为
2\（1）一保险公司有 10000 个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为 280 美 元，标准差为 800 美元，求索赔总金额不超过 2700000 美元的概率； （2）一公司有 50 张签约保险单，每张保险单的索赔金额为 X i ， i 1, 2, ,50 （以千美元 计）服从韦布尔分布，均值 E ( X i ) 5 ，方差 D ( X i ) 6 求 50 张保险单索赔的合计总金额 大于 300 的概率。 解 （1）设每个投保人索赔金额为 X i ， i 1, 2, ,10000 ，则索赔总金额为 X 又 E ( X i ) 280 ， D ( X i ) 800 ，所以，
以 X 表示总收入，即 X
300 i 1
X
i 1
300 i 1
300
i
，由独立同分布中心极限定理，得
X i 300 1.29
300 0.0489
X
i
387 N (387,14.67)
14.67
则收入超过 400 元的概率为
P{ X i 400} 1 P{ X i 400}
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5-4
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.05 有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7。在两批 种子中各随机取一粒，求： 1) 两粒都发芽的概率； 2) 至少有一粒发芽的概率； 3) 恰有一粒发芽的概率。 设甲发芽为事件A，乙发芽为事件B P(AB)=P(A)P(B)=0.56 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.94
i 1 3
0.1 0.2 0.5 0.5 0.4 0.7 0.55
5-9
习题
P( Ai B) P( Ai | B ) P( B) P ( Ai ) P ( B | Ai )
P( A ) P( B | A )
j 1 j j
3
P( A1 B ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) 0.1 0.2 P( A1 | B ) 3 2 / 55 P( B) 0.55 P ( A ) P ( B | A ) j j
5-6
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.07 某种品牌的电视机用到 5000小时未坏的概率为 3/4, ， 用到 10000 小时未坏的概率为 1/2 。现在有一台这种 品 牌 的 电 视 已 经用了 5000 小时未 坏 ， 问 它 能 用 到 10000小时的概率是多少？
设前5000个小时未坏为事件A，后5000个小时未坏为事件B
E(x)=100*0.001+10*0.01+1*0.2+0*0.789=0.4
5 - 12
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.12 设随机变量X的概率密度是
f ( x) 3x 2 0 x
7 8
3
1) 已知 P ( X 1)
，求的值
2) 求X 的期望与方差。
5 - 13
5-8
习题
解：设 A1表示“职工文化程度为小学”， A2表示“职工文 化程度为初中”， A3表示“职工文化程度为高中及以上 ”， B表示“职工年龄为25岁以下”。根据全概公式有
P( B) P( A1B) P( A2 B) P( A3 B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 ) P( Ai ) P( B | Ai )
j 1
P( A2 | B ) 5/11 P( A3 | B ) 28/55
5 - 10
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.10 考虑掷两枚硬币的试验。令 X 表示观察到正面的个数，试 求X的概率分布。
X = xi P(X=xi)=pi
0 0.25
1 0.5
2 0.25
5 - 11
习题 第 5 章 概率与概率分布
E ( X 2 ) x 2 f ( x)dx
0
2
2
0
3x 4 3 5 2 dx [ x ]0 12 / 5 8 40
5 - 15
习题
D( X ) E{[ X E( X )]2 }
D( X ) E{X 2 2 XE( X ) [ E( X )]2}
D( X ) E ( X 2 ) 2 E ( X ) E ( X ) [ E ( X )]2 E ( X 2 ) [ E ( X )]2 3 / 20
P(A)=3/4 P(AB)=1/2 P(B|A)=P(AB)/P(A)=2/3
5-7
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.08 某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程 度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%。25 岁以下青年在小学、初中、高中以上文化程度各组中 的比例分别为20%，50%，70%。从该厂随机抽取一 名职工，发现其年龄不到 25 岁，问他具有小学、初 中、高中以上文化程度的概率各为多少？
5.04 设A与B是两个随机事件，已知 P(A)=P(B)=1/3, P(A|B)=1/6,求 P( A | B )
P( AB ) P( A | B ) P( B ) P( AB ) P( A) P( B ) P( A B ) P( A B ) P( AB) 1 P( AB) P( AB) P( B) P( A | B)
5 - 23
习题
1 X 200 1 P(190 X 210) P{ } 2 20 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 1 2 ( ) 1 2
5 - 24
5 - 16
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.13 一张考卷上5道题目，同时每道题列出 4个选择答案， 其中有一个答案是正确的。某学生凭猜测能答对至少 4 道题的概率是多少？ 答对4道题包括两种情况：4对1错或5对
C (1/ 4) (3/ 4) C (1/ 4) 1/ 64
4 5 4 5 5 5
P( AB) P( AB) P( A)P(B) P( A)P(B) 0.38
5-5
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.06 某厂产品的合格率为 96% ，合格品中一级品率为 75%。从产品中任取 一件为一级品的概率是多少？
设合格为事件A，合格中一级品率为事件B P(AB)=P(A)P(B|A)=0.96*0.75=0.72
5 - 17
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.14 设 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P{X=1}=P{X=2}，求P{X=4}。
P{ X k} e k!
k
(k 0,1,2,)
2 P{ X 2} e 2!
A∩B
P(A ∩ B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.5+0.65-0.85=0.3
5-2
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.03 设A与B是两个随机事件，已知A与B至少有一个发生 的概率是1/3，A发生且B不发生的概率是1/9，求B发 生的概率。
A B A B
5-3
习题 第 5 章 概率与概率分布
P{ X 1}
1
1!
e e
2
5 - 18
24 2 2 P{ X 4} e 2 4! 3e
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.15 设随机变量X服从参数为的泊松分布：
k P{ X k} e k!
(k 0,1,2,)
问k取何值时 P{ X k} 最大？（为整数时）
k 1e
P{ X k 1} (k 1)! k 1 e P{ X k} k 1 k!
5 - 19
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.16 设X~N（3，4），求： 1) P{|X|>2}； 2) P{X>3}。
5 - 20
习题
P(| X | 2) P ( X 2) P ( X 2) X 3 2 3 X 3 23 P{ } P{ } 2 2 2 2 X 3 5 X 3 1 P{ } 1 P{ } 2 2 2 2 5 1 ( ) 1 ( ) 2 2 5 1 1 ( ) ( ) 2 2
5.11 某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是0.1%，抽 中10元奖的概率是1%，抽中1元奖的概率是1/2，假设各 种奖不能同时抽中，求： 1) 此人收益的概率分布； 2) 此人收益的期望值。
X = xi P(X=xi)=pi 0 0.789 1 0.2 10 0.01 100 0.001
习题
第 5 章 概率与概率分布
5.01 写出下列随机试验的样本空间： 1) 记录某班一次统计学测验的平均分数； 2) 某人骑自行车在公路上行驶，观察该骑车人在遇 到第一个红灯停下来以前已经遇到的绿灯次数； 3) 生产产品，直到有 10 件正品为止，记录生产产品 的总件数。
1) =[0，100] 2） =N
习题
f ( x)dx 1
3x 2
3
3
dx 1
3x 2
1
dx 1
5 - 14
3x 2
1
3
dx [
x3
3 1
] 1
1
3
1
2
习题
E ( X ) xf ( x)dx
0 2 2
0
3x3 3 4 2 dx [ x ]0 3 / 2 8 32
3） ={10，11，12，……}
5-1
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.02 某市有 50%的住户订日报，有65%的住户订晚报， 有85%的住户至少订两种报纸的一种，求同时订这两 种报的住户的百分比。
设订日报的住户集合为A，订晚报的住户为B，至少订一种 报的集合为 A∪B ，同时订两种报纸的住户的集合为
5 - 21
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.18 一本书排版后一校时出现错误处数X服从正态分布N （ 200 ， 400 ），求：记录某班一次统计学测验的平 均分数； 1) 出现错误处数不超过230的概率； 2) 出现错误处数在190~210之间的概率。
5 - 22
习题
X 200 230 200 P( X 230) P{ } 20 20 X 200 3 P{ } 20 2 3 ( ) 2
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.05 有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7。在两批 种子中各随机取一粒，求： 1) 两粒都发芽的概率； 2) 至少有一粒发芽的概率； 3) 恰有一粒发芽的概率。 设甲发芽为事件A，乙发芽为事件B P(AB)=P(A)P(B)=0.56 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.94
i 1 3
0.1 0.2 0.5 0.5 0.4 0.7 0.55
5-9
习题
P( Ai B) P( Ai | B ) P( B) P ( Ai ) P ( B | Ai )
P( A ) P( B | A )
j 1 j j
3
P( A1 B ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) 0.1 0.2 P( A1 | B ) 3 2 / 55 P( B) 0.55 P ( A ) P ( B | A ) j j
5-6
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.07 某种品牌的电视机用到 5000小时未坏的概率为 3/4, ， 用到 10000 小时未坏的概率为 1/2 。现在有一台这种 品 牌 的 电 视 已 经用了 5000 小时未 坏 ， 问 它 能 用 到 10000小时的概率是多少？
设前5000个小时未坏为事件A，后5000个小时未坏为事件B
E(x)=100*0.001+10*0.01+1*0.2+0*0.789=0.4
5 - 12
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.12 设随机变量X的概率密度是
f ( x) 3x 2 0 x
7 8
3
1) 已知 P ( X 1)
，求的值
2) 求X 的期望与方差。
5 - 13
5-8
习题
解：设 A1表示“职工文化程度为小学”， A2表示“职工文 化程度为初中”， A3表示“职工文化程度为高中及以上 ”， B表示“职工年龄为25岁以下”。根据全概公式有
P( B) P( A1B) P( A2 B) P( A3 B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 ) P( Ai ) P( B | Ai )
j 1
P( A2 | B ) 5/11 P( A3 | B ) 28/55
5 - 10
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.10 考虑掷两枚硬币的试验。令 X 表示观察到正面的个数，试 求X的概率分布。
X = xi P(X=xi)=pi
0 0.25
1 0.5
2 0.25
5 - 11
习题 第 5 章 概率与概率分布
E ( X 2 ) x 2 f ( x)dx
0
2
2
0
3x 4 3 5 2 dx [ x ]0 12 / 5 8 40
5 - 15
习题
D( X ) E{[ X E( X )]2 }
D( X ) E{X 2 2 XE( X ) [ E( X )]2}
D( X ) E ( X 2 ) 2 E ( X ) E ( X ) [ E ( X )]2 E ( X 2 ) [ E ( X )]2 3 / 20
P(A)=3/4 P(AB)=1/2 P(B|A)=P(AB)/P(A)=2/3
5-7
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.08 某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程 度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%。25 岁以下青年在小学、初中、高中以上文化程度各组中 的比例分别为20%，50%，70%。从该厂随机抽取一 名职工，发现其年龄不到 25 岁，问他具有小学、初 中、高中以上文化程度的概率各为多少？
5.04 设A与B是两个随机事件，已知 P(A)=P(B)=1/3, P(A|B)=1/6,求 P( A | B )
P( AB ) P( A | B ) P( B ) P( AB ) P( A) P( B ) P( A B ) P( A B ) P( AB) 1 P( AB) P( AB) P( B) P( A | B)
5 - 23
习题
1 X 200 1 P(190 X 210) P{ } 2 20 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 1 2 ( ) 1 2
5 - 24
5 - 16
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.13 一张考卷上5道题目，同时每道题列出 4个选择答案， 其中有一个答案是正确的。某学生凭猜测能答对至少 4 道题的概率是多少？ 答对4道题包括两种情况：4对1错或5对
C (1/ 4) (3/ 4) C (1/ 4) 1/ 64
4 5 4 5 5 5
P( AB) P( AB) P( A)P(B) P( A)P(B) 0.38
5-5
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.06 某厂产品的合格率为 96% ，合格品中一级品率为 75%。从产品中任取 一件为一级品的概率是多少？
设合格为事件A，合格中一级品率为事件B P(AB)=P(A)P(B|A)=0.96*0.75=0.72
5 - 17
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.14 设 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P{X=1}=P{X=2}，求P{X=4}。
P{ X k} e k!
k
(k 0,1,2,)
2 P{ X 2} e 2!
A∩B
P(A ∩ B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.5+0.65-0.85=0.3
5-2
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.03 设A与B是两个随机事件，已知A与B至少有一个发生 的概率是1/3，A发生且B不发生的概率是1/9，求B发 生的概率。
A B A B
5-3
习题 第 5 章 概率与概率分布
P{ X 1}
1
1!
e e
2
5 - 18
24 2 2 P{ X 4} e 2 4! 3e
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.15 设随机变量X服从参数为的泊松分布：
k P{ X k} e k!
(k 0,1,2,)
问k取何值时 P{ X k} 最大？（为整数时）
k 1e
P{ X k 1} (k 1)! k 1 e P{ X k} k 1 k!
5 - 19
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.16 设X~N（3，4），求： 1) P{|X|>2}； 2) P{X>3}。
5 - 20
习题
P(| X | 2) P ( X 2) P ( X 2) X 3 2 3 X 3 23 P{ } P{ } 2 2 2 2 X 3 5 X 3 1 P{ } 1 P{ } 2 2 2 2 5 1 ( ) 1 ( ) 2 2 5 1 1 ( ) ( ) 2 2
5.11 某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是0.1%，抽 中10元奖的概率是1%，抽中1元奖的概率是1/2，假设各 种奖不能同时抽中，求： 1) 此人收益的概率分布； 2) 此人收益的期望值。
X = xi P(X=xi)=pi 0 0.789 1 0.2 10 0.01 100 0.001
习题
第 5 章 概率与概率分布
5.01 写出下列随机试验的样本空间： 1) 记录某班一次统计学测验的平均分数； 2) 某人骑自行车在公路上行驶，观察该骑车人在遇 到第一个红灯停下来以前已经遇到的绿灯次数； 3) 生产产品，直到有 10 件正品为止，记录生产产品 的总件数。
1) =[0，100] 2） =N
习题
f ( x)dx 1
3x 2
3
3
dx 1
3x 2
1
dx 1
5 - 14
3x 2
1
3
dx [
x3
3 1
] 1
1
3
1
2
习题
E ( X ) xf ( x)dx
0 2 2
0
3x3 3 4 2 dx [ x ]0 3 / 2 8 32
3） ={10，11，12，……}
5-1
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.02 某市有 50%的住户订日报，有65%的住户订晚报， 有85%的住户至少订两种报纸的一种，求同时订这两 种报的住户的百分比。
设订日报的住户集合为A，订晚报的住户为B，至少订一种 报的集合为 A∪B ，同时订两种报纸的住户的集合为
5 - 21
习题 第 5 章 概率与概率分布
5.18 一本书排版后一校时出现错误处数X服从正态分布N （ 200 ， 400 ），求：记录某班一次统计学测验的平 均分数； 1) 出现错误处数不超过230的概率； 2) 出现错误处数在190~210之间的概率。
5 - 22
习题
X 200 230 200 P( X 230) P{ } 20 20 X 200 3 P{ } 20 2 3 ( ) 2