【6月2日哈三中高考三模文数】2020年6月哈三中高三学年第三次模拟考试文科数学试卷含答案
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第三次高考模拟考试试题 数学文【含解析】
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第三次高考模拟考试试题数学文【含解析】本试卷共23题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|28}xA x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则AB =（ ）A. [)1,3B. (]1,3C. ()1,+∞D. [)3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可. 【详解】解：{|3},{|1}A x x B x x =≥=>，∴()1,AB =+∞.故选：C.【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题. 2.复平面内，复数12ii-对应点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，求出点的坐标得答案. 【详解】解：∵()()()12221121212555i i i i i i i i +-+===-+--+， ∴12i i -对应的点的坐标为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 3. 下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上单调递增的是（ ）A. ()2f x x =B. ()2xf x =C. ()21log 1f x x =+ D. ()2f x x =-【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数定义判断是否为偶函数，根据在(),0-∞上函数解析式以及二次函数、指数函数、对数函数，反比例函数性质确定单调性.【详解】对于A ，()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，是偶函数，在(),0-∞上单调递减；对于B ，()2xf x =的定义域为R ，()()22xxf x f x --===，是偶函数，在(),0-∞上()1222xxxf x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,单调递减； 对于C ，()21log 1f x x =+定义域为{}|1x R x ∈≠-，不关于原点对称，∴不是偶函数； 对于D ，()2f x x =-的定义域为R ，()()22f x x x f x -=--=-=，是偶函数，在(),0-∞上()2f x x =，单调递增；【点睛】本题考查函数的奇偶性单调性的判定，涉及指数函数，对数函数，复合函数，属基础题. 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有等量关系．4. 数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么5a =（ ） A.35 B.35C. 5D. -5【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，由等差中项的性质1532222111a a a +=⨯+++得到关于5a 的方程，求解即得. 【详解】由于数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，所以1532222111a a a +=⨯+++， 又11a =，313a =-，∴52222111113a +=⨯++-+，解得535a ， 故选：B.【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差中项，考查运算能力，属基础题. 5. 函数()xf x xe =在1x =处的切线方程是（ ） A. 20ex y e --= B. 230ex y e --=C. 20ex y e +-=D. 230ex y e +-=【答案】A 【解析】 【分析】先求得切点坐标与导函数()f x '，根据导数的几何意义可求得切线斜率，再由点斜式即可得解.【详解】函数()xf x xe =，当1x =时，(1)f e =，所以切点坐标为()1,e ， 则()xxf x e xe =+'，由导数几何意义可知切线斜率为(1)2k f e e e ='==+， 由点斜式可得切线方程为()21y e e x -=-， 化简可得20ex y e --=， 故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义，曲线切线方程的求法，属于基础题.6. 在区间23,23⎡-⎣上随机取一个数k ，则直线4y kx =+与圆224x y +=有两个不同公共点的概率为（ ） A.133 C.14D.12【答案】D 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可求出满足条件的k 的范围，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【详解】k 是区间23,23⎡-⎣ 上的随机数，即2323k -≤≤43由直线4y kx =+与圆224x y +=2421k<+，∴3k >3k <233k ≥>233k -≤<-3直线4y kx =+与圆224x y +=有两个不同公共点的概率为231243P == 故选: D ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，与长度有关的几何概型的求解．属于中档题. 7. 有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A. 残差平方和变小B. 相关系数r变小C. 相关指数2R变小 D. 解释变量x与预报变量y的相关性变弱【答案】A【解析】【分析】D后，y与x的线性相关性加强，由相关系数r，相关指数2R及残差平方和与由散点图可知，去掉(3,10)相关性的关系得出选项.【详解】∵从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，去掉D点，变量x与变量y的线性相关性变强，∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.n 猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一8. “克拉茨猜想”又称“31个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，得到1即终止运算，己知正整数m经过5次运算后得到1，则m 的值为（）A. 32或5B. 16或2C. 16D. 32或5或4【答案】A【解析】【分析】设m 经过第k 次运算后变为()k a k N*∈，可知51a =，11a ≠，21a ≠，31a ≠，41a ≠，经过逆向运算，逐步推导可依次得出4a 、3a 、2a 、1a ，并对m 分奇数和偶数两种情况分类讨论，进而可求得m 的值. 【详解】设m 经过第k 次运算后变为()k a k N*∈，可知51a=，21a ≠，31a ≠，41a ≠，51a =，则4522a a ==，3424a a ==，若2a 为奇数，则32314a a =+=，得21a =，不合乎题意，所以，2a 为偶数，且2328a a ==. 若1a 为奇数，则21318a a =+=，得173a =，不合乎题意； 若1a 为偶数，则12216a a ==.若m 为奇数，则13116a m =+=，可得5m =； 若m 为偶数，则1232m a ==. 综上所述，5m =或32. 故选：A.【点睛】本题考查数列递推公式的应用，考查了分类讨论思想的应用，利用逆向思维逐项推导是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.9. 某程序框图如图所示，若输入的a 、b 分别为5、3，则输出的n =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由题意运行程序框图，注意变量的取值变化，即可得解. 【详解】由题意运行该框图：1n =，515522a =+=，236b =⨯=，此时a b >； 2n =，151545244a =+=，2612b =⨯=，此时a b ≤；输出2n =. 故选：A.【点睛】本题考查了程序框图的求解，属于基础题.10. 已知12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，P 为y 轴上一点，Q 为左支上一点，若22()0OP OF PF +=，且2PF Q △周长最小值为实轴长的3倍，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2 32D. 22【答案】C 【解析】 【分析】取2PF 的中点R ，连接OR ，连接1QF 、1PF ，由题意转化条件得2OR PF ⊥，进而可得22PF c =，2PF Q △周长可转化为122PQ QF a c ++，求出1PQ QF +2226c a c a +=，化简即可得解.【详解】设椭圆半焦距为c ，取2PF 的中点R ，连接OR ，连接1QF 、1PF ，如图所示：由平面向量线性运算法则可得2=2OP OF OR +， 因为22()0OP OF PF +⋅=，所以220OR PF ⋅=即2OR PF ⊥，所以2PO OF c ==，22PF c =，又2PF Q △的周长为2221222PQ QF PF PQ QF c PQ QF a c ++=+=++， 所以当1PQ QF +取最小值时，2PF Q △的周长最小， 当P 、Q 、1F 三点共线时，1PQ QF +取最小值， 且()112min 2PQ QF PF PF c +===，2226c a c a ++=，化简得224c a =， 所以2ce a==故选：C.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用与离心率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题. 11. 已知数列{}n a ，2sin2n na n π=，则数列{}n a 的前100项和为（ ） A. 5000 B. 5000-C. 5050D. 5050-【答案】B 【解析】 【分析】 由通项公式可知，{}n a 的偶数项为0，从而可得2222210013599...1357...9799S a a a a =++++=-+-++-，结合分组求和的思想以及等差数列的前n项和公式即可求出前100项和.【详解】解：由题意知， 当2,n k k N *=∈时，()222sin 0k a k k π==；当21,n k k N *=-∈时，()2212121sin2k k a k π--=-，所以数列{}n a 的前100项和 2222210012310013599......1357...9799S a a a a a a a a =++++=++++=-+-++-()()()()()()13135757...97999799=-⨯++-⨯+++-⨯+()504921357...9799250250002⨯⎛⎫=-⨯++++++=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选:B【点睛】本题考查了正弦函数值，考查了等差数列求和，考查了分组求和.本题的关键是结合正弦函数的性质对数列并项求和.对于数列求和问题，常见的思路有公式法、错位相减法、裂项相消法、并项求和法等.12. 已知ABC 中，长为2的线段AQ 为BC 边上的高，满足：sin sin AB B AC C AQ +=，且12AH AC =，则BH =（ ） 47B. 743D. 27【答案】D 【解析】 【分析】分别在AB 、AC 上取点E 、F ，使得AE AF AQ ==，连接QE 、QF 、BF ，转化条件得AE AF AQ +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得//AE QF ，//AF QE ，结合平面几何的知识可得E 、F 分别为AB 、AC 的中点，BAF 120∠=，再由余弦定理即可得解.【详解】分别在AB 、AC 上取点E 、F ，使得2AE AF AQ ===，连接QE 、QF 、BF ，如图所示：线段AQ 为BC 边上的高，∴sin AB B AQ =，sin AC C AQ =，∴sin AB B AE =，sin AC C AF =，∴AE AF AQ +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得//AE QF ，//AF QE ，∴四边形AEQF 为菱形，∴AQ 平分角BAC ∠，BAF 120∠=， ∴AB AC =，Q 为BC 的中点，∴E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴224AB AF AQ ===，又12AH AC =，∴点H 为AC 的中点，即与点F 重合， 在ABF 中，22222cos 164828BH BF AB AF AB AF BAF ==+-⋅⋅∠=++=,∴27BH =故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数乘及加法的平行四边形法则的应用，考查了余弦定理的应用与运算求解能力，属于中档题.二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若π2sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin2θ=__. 【答案】1725- 【解析】 【分析】由题意结合诱导公式、二倍角余弦公式直接运算即可得解. 【详解】若π2sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2ππ417cos 2sin212sin 12242525θθθ⎛⎫⎛⎫+=-=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴17sin225θ=-.故答案为：1725-. 【点睛】本题考查了诱导公式、二倍角余弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 14. 已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______. 【答案】()12,0- 【解析】 【分析】将条件转化为任意x ∈R ，230x ax a -->恒成立，此时有∆<0，从而解出实数a 的取值范围. 【详解】命题：“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题 即230x ax a -->恒成立，则∆<0， 即：2120a a ∆=+<，解得120a -<<， 故实数a 的取值范围为()12,0- 故答案为：()12,0-【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.15. 直线l 过抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点F ，交抛物线C 于点A （点A 在x 轴上方），过点A 作直线2px =-的垂线，垂足为M ，若垂足M 恰好在线段AF 的垂直平分线上，则直线l 的斜率为_______ 3【解析】 【分析】 由垂直平分线性质和抛物线的定义可得MAF △为等边三角形，结合三角形内角和的特征可得直线l 的倾斜角为60，进而可得结果. 【详解】如图所示，∵M 恰好在线段AF 的垂直平分线上，∴MA MF =， 由抛物线的定义可得MA AF =，∴MAF △为等边三角形，即60AMF ∠=，又∵MA ME ⊥，可得30FME ∠=，∴60MFE ∠=， 易得60AFx ∠=，即直线l 的倾斜角为60， 所以直线l 的斜率为3， 故答案为：3.【点睛】本题主要考查了抛物线上点到焦点的距离和到准线距离相等这一性质的应用，属于中档题. 16. 在三棱锥S ABC -中，2AB =，2BC =，22AC =2SB =SB ⊥面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球半径为_______，三棱锥S ABC -的内切球半径为______. 【答案】1042-【解析】 【分析】可以将三棱锥S ABC -放置在如图所示的长方体中，外接球的直径即为长方体的对角线，由此可得外接球的半径；利用等体积法，将三棱锥S ABC -的体积分成四个小三棱锥的体积和，建立方程即可求得内切球的半径．【详解】∵2AB =，2BC =，22AC =222AB BC AC +=,∴AB BC ⊥，又∵SB ⊥面ABC ，∴可以将三棱锥S ABC -放置在如图所示的长方体中，外接球的直径即为长方体的对角线.设外接球的半径为R ，则()222222210R =++=，10R =． 设内切球的球心为O ，半径为r ，则由S ABC O SAB O SAC O SBC O ABC V V V V V -----=+++得：()()222111111·22?2?·2222222222323222r ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+- ⎪⎝⎭，整理得()42222r +=，解得427r -=，故答案为10 ，42-． 【点睛】本题考查利用构造长方体法求三棱锥外接球半径和利用体积法求内切球半径，考查分析能力，空间想象能力，化归与转化思想，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 函数()()ππsin 0022ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭，，f x A x A 的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）若26()f x =324x ππ<<，求cos2x .【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）3326--【解析】 【分析】（1）根据五点作图法和图象，求正弦型函数的解析式. （2）利用两角和与差公式求解.【详解】解：（1）由图像可知2,2A ω==,则()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭， 得52,62k k Z ππϕπ+=+∈，得2,3k k Z πϕπ=-∈，由ππ22ϕ-<<，得3πϕ=-，故()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）由题意知()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭263=,得sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭63=， 由324x ππ<<，则272336x πππ<-<，则cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭33=-，cos 2cos 233x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭13cos 2sin 2233x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 332--=. 【点睛】本题考查了由函数的图象求正弦型函数的解析式，利用两角和差公式求值及角变换技巧. 18. 如图，三棱锥P ABC -中，底面△ABC 是边长为2的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点,E F 分别为AC ，PC 的中点.（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）在线段PB 上是否存在点G ，使得三棱锥B AEG -3？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2）存在，G 为PB 中点. 【解析】 【分析】（1）由PA ⊥底面ABC 推出PA BE ⊥，结合BE AC ⊥可推出BE ⊥平面PAC ，线面垂直推出面面垂直；（2）过G 作GH AB ⊥，由面面垂直的性质证明GH ⊥平面ABC ，再利用等体积法由3B AEG G ABE V V --==即可求得GH ，根据线面垂直的性质及中位线的性质即可求得点G 的位置. 【详解】（1）因为PA ⊥底面ABC ，BE ⊂底面ABC ，所以PA BE ⊥， 因为△ABC 是等边三角形且E 为AC 的中点，所以BE AC ⊥， 又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ，因为BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAC ； （2）过G 作GH AB ⊥,PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABC又平面PAB 平面ABC =AB ，GH ∴⊥平面ABC ,36B AEG G ABE V V --==1336ABEGH S∴⋅=， 1332=222ABES=⨯⨯，1GH ∴=， PA ⊥平面ABC ，GH ⊥平面ABC ，//PA GH ∴,12GH PA =，G ∴为PB 中点. 【点睛】本题考查面面垂直的判定及性质、线面垂直的性质、等体积法求点到平面的距离，属于中档题. 19. 某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机调查了某中学高三某班6名学生每周课下钻研数学时间x (单位：小时)与高三下学期期中考试数学解答题得分y ，数据如下表：x2 4 6 8 10 12 y303844485054（1）根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分y 与该学生课下钻研数学时间x 的线性回归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为7小时其数学考试中的解答题得分；（2）从这6人中任选2人，求2人中至少有1人课下钻研数学时间不低于8小时的概率.参考公式：ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆnniii ii i nni ii i x x y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =- ；参考数据：662112008,364,44i iii i x yxy =====∑∑【答案】（1）线性回归方程： 16ˆ287yx =+，预测值为：44分（2）45【解析】 【分析】（1）先求均值，再代入公式求ˆˆb a ，，即得线性回归方程；在线性回归方程令7x =，解得预测值；（2）利用枚举法确定总基本事件数以及所求事件包含的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）2468101276x +++++==()()()661166222116200867441636464976ˆiii ii i i ii i x x y y x y xybx x xx ====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑ˆˆ28ay bx =-=16ˆ287yx ∴=+ 当7x =时，ˆ44y= 预测值为：44分（2）设“这2人中至少有一个人刻下钻研数学时间不低于8小时为事件A ” 所有基本事件如下：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(2，10)，(2，12)，(4，6)，(4，8)，(4，10)，(4，12)， (6，8)，(6，10)，(6，12)，(8，10)，(8，12)，(10，12) 共15个基本事件事件A 包含(2，8)，(2，10)，(2，12)，(4，8)，(4，10)，(4，12)，(6，8)，(6，10)(6，12)，(8，10)，(8，12)，(10，12)共12个基本事件 所以124()155P A == 【点睛】本题考查线性回归方程、利用线性回归方程估计、古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.20. 函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求导化简证明导函数大于等于0即可.(2)利用作差法,化简可得21ln ln 21ln m n 1m m n mn m m n m n n n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-=--+- ⎪+ ⎪⎝⎭,再构造函数()21()ln 1t h t t t-=-+,根据(1)中所得的单调性证明()0h t >即可. 【详解】（1）22214(1)'()0(1)(1)x f x x x x x -=-=≥++，∴()f x 在()0,∞+上单调递增. （2）不妨设m n >，ln ln 212()ln m n m n m m n m n m n n m n --⎛⎫-=- ⎪-+-+⎝⎭211ln 1m mn m m n n n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭. 令1m t n=>，设2(1)()ln 1t h t t t -=-+，()()h t f t =由（1）知在()0,∞+上单调递增，()10h =，1t >，∴()0h t >，又m n >，∴ln ln 2m n m n m n->-+.【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调性,以及构造函数与作差法分析大小关系的方法.难点在于第（2）问中根据()()21ln 1x f x x x -=-+的形式,将ln ln 2m n m n m n ---+整理变形,以便使用(1)的结论证明.属于中档题.21. 已知椭圆2222+1(0:)x C y a b a b =>>2，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆1C 过点()1,0.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点M ()2,0的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且与圆1C 没有公共点，设G 为椭圆C 上一点，满足()OA OB tOG +=（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.【答案】（1）22 1.2x y +=（2）4545(2,(2).t ∈-⋃【解析】 【分析】（1）利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b 的值，利用椭圆的离心率公式得到a ，c 的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a ，c 的值，将a ，b 的值代入椭圆的方程即可；（2）设AB 的方程代入椭圆方程，利用OA OB tOP +=确定A ，B ，P 三点之间的关系，利用点P 在椭圆上，建立方程，从而可求实数t 取值范围． 【详解】（1）以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切22b = 1b ∴=椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为222c a ∴=22112a a -∴=22a ∴=∴椭圆C 的方程为：2212x y +=（2）由题意直线AB 斜率不为0， 设直线AB ：2x ny =+22212x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)420.n y ny +++= 由28160n ∆=->得∴22n >，设112200(,),(,),(,)A x y B x y G x y ， 由韦达定理12122242,.22n y y y y n n -+==++OA OB tOG +=121200(,)(,)x x y y t x y ∴++= 002284,(2)(2)n x y t n t n -∴==++ 点G 在椭圆上2222222642162(2)(2)n t n t n ⨯∴+=++得22162t n =+——① 2211n>+，∴223n <<.——②由①②可得：21645t << 4545(2,(2).t ∴∈-⋃ 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和直线与椭圆位置关系问题，解题关键是掌握圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若()1,0P -，求11AP BP+的值. 【答案】（1）10x y ++=，C ：()2224x y ++=.；（2）143. 【解析】 【分析】(1)相加消去参数t 可得直线l 的普通方程,对=4cos ρθ-两边乘以ρ再根据极坐标与,x y 的关系化简可得曲线C 的直角坐标方程.(2)将直线l 的参数方程与圆的方程联立化简求得关于t 的二次方程,进而根据t 的几何意义,结合韦达定理求解11AP BP+即可.【详解】（1）直线l 的参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,相加可得直线的普通方程为10x y ++=,.又=4cos ρθ-,即2224cos 40x y x ρρθ=-⇒++=,化简可得曲线C 的直角坐标方程22(2)4x y ++=.（2）直线l 的参数方程为21222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入曲线()2224x y ++=可得22221422t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简可得2230t t -=, 由韦达定理有()212121212122,3,414t t t t t t t t t t +==--=+-=所以12121114||||3t t AP BP t t -+== 【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标方程的互化,同时也考查了直线参数的几何意义,属于中档题.选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数()1f x x a x =+--和函数()21xg x =-+. （1）当2a =时，求关于x 的不等式()1f x ≥-的解集；（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}1|x x ≥-；（2）20a -<<.【解析】【分析】（1）2a =时，函数()21f x x x =+--，分类讨论，即可求解； （2）由绝对值的三角不等式，求得()1f x a ≤+，由指数函数的性质，求得()(),1g x ∈-∞，根据题意，得到()f x 的值域是()g x 的值域的子集，列出不等式，即可求解.【详解】（1）2a =时，函数()21f x x x =+--，当2x <-时，()31f x =-≥-，x 无解；当21x -≤≤时，()211f x x =+≥-，11x -≤≤；当1x >时，()31f x =≥-恒成立，1x >；综上，()1f x ≥-的解集为{}1|x x ≥-.（2）由()()()111f x x a x x a x a =+--≤+--=+，()()21,1xg x =-+∈-∞， 由对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，可得()f x 的值域是()g x 的值域的子集，即11a +<，∴实数a 的取值范围为20a -<<.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，绝对值三角不等式的应用，以及方程的有解问题的求解，着重考分类讨论思想，查推理与运算能力.。
2020届哈三中文科数学第三次-试题
倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里
斯
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跑完下一个 100 米时，乌龟仍然前于他 10 米.当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟
仍然前于他 1 米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里
14. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽 出了一个容量为 n 且支出在[20,60)元的样本，其频 率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外
读物方面的支出费用的中位数为________元．
15. ABC 中， AB 3, AC 4, BC 5 ，P 为 BC 边上一动点，则| PA 2PC | 的最小
题 1. 设集合 A {x | y x 1} ， B {y | y x2, x R}，则 A B
2.
试 A.
B. [0, )
C. [1, )
D. [1, )
已知 a 0 ，函数 f (x) ax 2 bx c . 若 x0 满足关于 x 的方程 2ax＋b＝0，则下列
选项的命题中为假命题的是
7 （Ⅱ）求函数 f (x) 在区间[ , ] 上的取值范围.
6 12
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18.（本小题满分 12 分）
某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，
称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图.
A．
e 1
黑龙江省哈师大附中2020届高三(6月)第三次模拟考试数学(文)试题 (含答案)
又 ， ， ，同理， ，……10分
又 ，所以 ， ，因此， . ……12分
20.（本小题满分12分）
（ ） 关于 轴对称， 关于 轴对称，
在 上， ……1分
若 在 上，则 ， 不在 上， 在 上， ……3分
，又 ……4分
（ ）（ ）设 ，代入 中，得
……5分
为定值……7分
（ ） ，所以设直线
将直线 代入 中得：
综上， .……12分
21.（本小题满分10分）
(I) ，
……3分
……5分
（II）设 ，
， ……8分
因此， 的取值范围是 .……10分
22.（本小题满分12分）
（I）
（当 时取等号）……3分
，因此，实数 的取值范围是A= ；……5分
（II）原不等式等价于
右式-左式=
（其中 ）
因此，原不等式成立.……10分
哈师大附中第三次模拟考试数学文科参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
C
B
A
B
C
D
C
A
D
二、填空题（第16题第一个空2分，第二个空3分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.（本小题满分12分）
(I) , , ,
即 ， ，因此， 是首项为 ，公差为 的等差数列，
……6分
（II） ，
，
作差得， ，
……12分
18.（本小题满分12分）
(I)A套餐数据的平均数: ，
【100所名校】2020届黑龙江省哈尔滨三中高三三模考试数学(文科)试题(解析版)
2020届黑龙江省哈尔滨三中高三三模考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合A ={y|y =2x }，B ={x|x+1x−1>0}，则A ∩B =( )A ．(0,1)B ．(1,+∞)C ．(−1,1)D ．(−∞,−1)∪(1,+∞)2．已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 7+a 13=2π，则tana 7=（ ）A ．−√3B ．√3C ．±√3D ．−√333．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,3)的圆的方程为( )A ．x 2+(y −3)2=1B ．x 2+(y +3)2=1C ．(x −3)2+y 2=1D ．(x +3)2+y 2=14．设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0，则目标函数z =−3x +2y 的最小值为( )A ．4B ．−2C ．−6D ．−85．从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图．根据茎叶图，下列描述正确的是( )A ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B ．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D ．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 6．已知ΔABC 中，AB =10,AC =6,BC =8 ,M 为AB 边上的中点，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = A ．0 B ．25 C ．50 D ．100 7．记函数f(x)=√12−x −x 2的定义域为D ，在区间[−5,5]上随机取一个实数x ，则x ∈D 的概率是( ) A ．710 B ．35 C ．110 D ．15 8．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N≡n （modm ），例如10≡2（mod4）．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ） A ．13 B ．11 C ．15 D ．8 9．钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A ．9+√36πB ．6+√36πC ．3+√36πD ．12+√36π11．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)aπ|x | (ω>0,0<φ<π,a ∈R)，在[−3,3]的大致图象如图所示，则ωa可取（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π12．已知f(x)={|log 2(x −1)|,1<x ≤312x 2−5x +232,x >3 ，若f(x)=m 有四个不同的实根x 1,x 2,x 3,x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则(m x 1+mx 2)⋅(x 3+x 4)的取值范围( )A ．(0,10)B ．[0,10]C ．(0,4)D ．[0,4]二、填空题13．已知tana =−2，则tan2a =______．14．已知f(x)是定义在R 上的周期为4的偶函数，当x ∈[−2,0]时，f(x)=−2x ，则f(5)=______．15．已知点P 为中心在坐标原点的椭圆C 上的一点，且椭圆的右焦点为F 2(√5,0)，线段PF 2的垂直平分线为y =2x ，则椭圆C 的方程为______．16．数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n =6a n −2n −3，设b n =log 3(a n +12)，则数列{1b n ⋅b n+1}的前10项和为______． 三、解答题 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足asinB +√3bcos(B +C)=0，a =√19． (1)求A ； (2)若b =2，求△ABC 的面积． 18．为了解某冷饮店的经营状况，随机记录了该店1∼5月的月营业额y （单位：万元）与月份x 的数据，如下表：（1）求y 关于x 的回归直线方程y ̂=a +bx ； （2）若在这些样本点中任取两点，求恰有一点在回归直线上的概率. 附：回归直线方程y ̂=a +bx 中， b ̂=∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1∑(x i −x̅)2n i=1 =∑x i y i −nx̅y ̅n i=1∑x i 2−nx̅2n i=1，a ̂=y ̅−b ̂x̅.19．矩形ABCD 中，AB =2AD =2，P 为线段DC 中点，将△ADP 沿AP 折起，使得平面ADP ⊥平面ABCP ． (Ⅰ)求证：AD ⊥BP ； (Ⅱ)求点P 到平面ADB 的距离． 20．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A 、B 两点． (Ⅰ)若点T(−1,0)，且直线AT ，BT 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1+k 2为定值；(Ⅱ)设A 、B 两点在抛物线的准线上的射影分别为P 、Q ，线段PQ 的中点为R ，求证：AR//FQ ．21．已知e 为自然对数的底．(Ⅰ)求函数J 1(x)=e x −(1+x)，J 2(x)=e x −(1+x +12x 2)的单调区间； (Ⅱ)若e x −(1+12x 2+16x 3)≥ax 恒成立，求实数a 的值． 22．已知圆锥曲线C ：{x =2√2cosαy =√6sinα(α为参数)和定点A(0,√6)，F 1，F 2是此圆锥曲线的左、右焦点．(Ⅰ)以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程； (Ⅱ)经过点(−1,0)且与直线AF 2垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求|MF 1|−|NF 1|的值．23．设函数f (x )=|2x −a |+|2x +1|(a >0)，g (x )=x +2.（1）当a =1时，求不等式f (x )≤g (x )的解集；（2）若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围.2020届黑龙江省哈尔滨三中高三三模考试数学（文科）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】求出集合A，再求解不等式化简集合B，然后由交集运算性质得答案．【详解】：A={y|y=2x}=(0,+∞)，B={x|x+1x−1>0}=(−∞,−1)∪(1,+∞)，∴A∩B=(0,+∞)∩[(−∞,−1)∪(1,+∞)]=(1，+∞)．故选：B．【点睛】本题考查了集合的交集及其运算和不等式的解法，是基础题．2．A【解析】分析：先化简a1+a7+a13=2π，再求tana7.详解：由题得(a1+a13)+a7=2a7+a7=3a7=2π,∴a7=23π.所以tana7=tan23π=−√3.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查等差中项和简单三角函数求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平. (2) 等差数列{a n}中，如果m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q,特殊地，2m=p+q时，则2a m=a p+a q，a m是a p、a q的等差中项.3．A【解析】【分析】由题意设圆的标准方程为x2+（y﹣a）2=1，把点（1，3）代入求得a的值即可．【详解】设圆心坐标为(0,a)，∵圆的半径为1，且过点(1,3)，∴(0−1)2+(a−3)2=1，解得a=3，∴所求圆的方程为x2+(y−3)2=1，故选：A．【点睛】本题考查了圆的标准方程应用问题，属于基础题．4．C【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最小值．【详解】画出约束条件{3x−y−6≤0x−y+2≥0x≥0,y≥0表示的平面区域，如图所示；由z=−3x+2y得y=32x+12z，平移直线y=32x+12z，由图象可知当直线y=32x+12z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小；由{y=03x−y−6=0，解得A(2,0)，此时z min=−3×2+0=−6，∴z=−3x+2y的最小值为−6．故选：C．【点睛】本题考查了简单的线性规划的应用问题，是基础题．5．D【解析】从茎叶图的数据可以看出甲种树苗的平均高度为27，乙种树苗的平均高度为30，因此乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．又从茎叶图分析知道，甲种树苗的高度集中在20到30之间，因此长势更集中．6．C【解析】【分析】三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM 为斜边上的中线，所以|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，原式=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×25=50.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.7．A【解析】【分析】求出函数f （x ）的定义域，再利用几何概型的概率公式计算即可．【详解】函数f(x)=√12−x −x 2的定义域为：D ={x|12−x −x 2≥0}={x|x 2+x −12≤0}={x|−4≤x ≤3}，则在区间[−5,5]上随机取一个实数x ，x ∈D 的概率是P =3−(−4)5−(−5)=710．故选：A ．【点睛】本题考查了求函数的定义域与几何概型的概率计算问题，是基础题．8．A【解析】【分析】：按照程序框图的流程逐一写出前面有限项，最后得出输出的结果。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三第三次模拟数学(文)试题(含答案)
A
0，
0，
π 2
π 2
的部分图象如图所示．
（1） 求函数 f (x) 的解析式；
文科数学试卷 第 3页 共 4 页
（2） 若
f (x) 2 6 3
，且 x 3
2
4
，求 cos 2x ．
P
18． 如图，三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形， PA 2 ， PB． 第二象限
C． 第三象限
3． 下列函数中，既是偶函数，又在 , 0 上单调递增的是
D．第四象限
A． f x x2
B． f x 2 x
C．
f
x log2
1 x 1
D． f x 2 x
4．
数列
2
an
1
是等差数列，且
a1
1，
a3
1 3
，那么
a5
3 A．
5
B． 3 5
………… 7 分
VBAEG VGABE
3 6
， 1 GH 3
SABE
3 6
且 SABE
3， 2
GH 1 ，
………… 9 分 ………… 11 分
G 为 PB 中点
………… 12 分
19.（1） x 7
n
n
xi x yi y
xi yi nx y
bˆ i1 n
2
xi x
ABC ，点 E, F 分别为 AC ， PC 的中点．
G
F
（1） 求证：平面 BEF 平面 PAC ；
（2） 在线段 PB 上是否存在点 G ，使得三棱锥 B AEG 体积为 3 ？
A
E
C
6
【精准解析】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三第三次模拟考试语文试题
2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟考试语文试题本试卷共150分，考试时间150分钟。
考生作答时，请将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．答题时使用0.5毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，无破损。
一、现代文阅读（一）论述类文本阅读阅读下面的文字，完成下面小题。
考古研究中发现，在古代，造成人类非正常死亡的原因有很多，很复杂，主要可分为自然因素和社会文化因素。
自然因素一般是指那些剧烈、不可抗拒的自然运动造成的伤害，这在考古发现中也屡见不鲜。
最著名的当属罗马庞贝古城遗址和中国青海民和喇家遗址。
社会文化因素造成的人类非正常死亡也有多种类型，最常见的是社会暴力冲突所造成的死亡和社会文化习俗造成的死亡。
这些非正常死亡一般会在人类遗骸上留下可观测的痕迹，例如骨折、创伤、骨骼非正常失踪。
此外，还有一种非正常死亡现象，与自然因素和社会文化因素可能都有关系，在考古中也很常见，却难以通过遗骸研究得以确认，这就是瘟疫。
瘟疫考古线索难以发现。
瘟疫类型多种多样，引发的原因也各有不同。
有的是天气原因造成的，有的因环境破坏加剧了瘟疫的流行，有的是不合格的医疗卫生造成的，有的是不健康的生活方式造成的，具有社会性和自然因素双重属性。
也有一些瘟疫的流行与密切接触动物有关，可分为被动性接触和主动性接触。
瘟疫在中国史料中早有记载，我国最早的文字——甲骨文中就有关于瘟疫及其治疗的记载。
《周礼·天官·冢宰》记载：“疾医掌养万民之疾病，四时皆有疠疾。
”《吕氏春秋·季春纪》记载：“季春行夏令，则民多疾疫。
”这说明当时对瘟疫的认识已达到了一定水平，认为瘟疫一年四季皆可发生，原因之一是时令之气的不正常，是由“非时之气”造成的。
哈尔滨市第三中学2020年高三第三次模拟考试数学文试题及答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
1．设集合 A {x | 2x 8}，集合 B {x | y lg x 1}，则 A B
A． 1, 3
B． 1,3
（1）求证：函数 （f x）在 (0, ) 上单调递增；
（2）若 m, n 为两个不等的正数，求证 ln ． 3 6
C． 1 4
D． 1 2
7．有一散点图如图所示，在 5 个 (x, y) 数据中去掉 D(3,10) 后，下列说法正确的是
y
• E(10,12)
A．残差平方和变小
• D(3,10)
B．相关系数 r 变小
1
•A•(B1,(32•),C4)(4,5)
O
x
C．相关指数 R2 变小 D．解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变弱
面 ABC ，点 E, F 分别为 AC ， PC 的中点． （1）求证：平面 BEF 平面 PAC ；
GF
（2）在线段 PB 上是否存在点 G ，使得三棱锥 B AEG 体积为 3 ？
A
E
C
6
B
若存在，确定点 G 的位置；若不存在，请说明理由．
3
19． 某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系， 随机调查了某中学高三某班 6 名学生每周课下钻研数学时间 x （单位：小时）与高三 下学期期中考试数学解答题得分 y ，数据如下表：
(一) 必考题：共 60 分．
17． 函数
f
x
Asin
x
A
0，
东北三省三校哈师大附中2020年高三第三次模拟考试文科数学试卷文字版含答案
东北三省三校哈师大附中2020年高三第三次模拟考试文 科 数 学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60 分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则集合A∩B 的子集的个数为A ．2B ．4C ．8D ．162．小赵到哈尔滨南岗区7个小区和道里区8个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为A ．4B ．3C ．2D ．13．已知复数i z )31(cos 323sin -+-=θθ为纯虚数，则θtan = A ．22 B ．22- C ．42 D ．42-4．事件的控制需要根据大数据进行分析，并有针对性的采取措施．下图是甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周内的新增人数的折线图，根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，下列说法错误的是A ．2月7日到2月13日甲省的平均新增人数低于乙省B ．2月7日到2月13日甲省的单日新增人数最大值小于乙省C ．2月7日到2月13日乙省相对甲省的新增人数的波动大D ．后四日（2月10日至13日）乙省每日新增人数均比甲省多5．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为A ．32B ．34C ．35D ．376．如图是关于秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 的值为A ．))((0320100x a a x a x a +++的值B ．))((0010203x a a x a x a +++的值C ．))((0200301x a a x a x a +++的值D ．))((0130002x a a x a x a +++的值7．已知M 为△ABC 的边AB 的中点，N 为△ABC 内一点，13AN AM BC =+，则BCNAMN S S ∆∆= A ．61 B ．31 C ．21 D ．32 8．已知6π-=x 为函数()sin 3cos f x a x x =-的图象的一条对称轴，若0)()(21=+x f x f ，且()f x 在)(21x x ，单调，则)(21x x f +=A ．0B ．1C ．3D ．29．已知112=，32122-=-，6321222=+-，1043212222-=-+-，……照此规律=-++-+-+-22222222109654321A ．45B ．－45C ．55D ．－5510．已知F 为双曲线C ：122=-y x 的右焦点，M 为双曲线C 上一点，且MF 与x 轴垂直，点M 关于双曲线的渐近线的对称点为N ，则△MNP 的面积为A ．212+B ．212-或223-C ．212+或212-D ．212+或223- 11．已知A 、B 为半径为2的球O 表面上的两点，且2=AB ．平面⊥α平面β，βα =直线AB ，若平面βα、截球O 所得的截面分别为1OO 和2OO ，则21O O =A ．3B ．32C ．2D ．2212．已知函数)()(R a x ae x f x ∈-=有两个零点21x x ，，且21x x <则下列结论中不正确的是A ．ea 10<< B ．101<<x C ．221>+x x D ．2211ln ln x x x x -<-第Ⅱ卷（非选择题 共90 分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．随着国内形势好转，暂停的中国正在重启，为了尽快提升经济、吸引顾客，哈西某商场举办购物抽奖活动，凡当日购物满1000元的顾客，可参加抽奖，规则如下：盒中有大小质地均相同5个球，其中2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，若在第一次和第二次均摸到红球则获得特等奖，否则获得纪念奖，则顾客获得特等奖的概率是 ．14．设函数()xf x e =在x=0处的切线与x ，y 轴围成的区域为Ω，点P 是Ω内一动点，点Q是函数3y =上的动点，则线段｜PQ ｜的最小值为 ．15．已知函数3ln(),0()3,0x x f x x x x -<⎧=⎨-≥⎩，则不等式(1)(0)f x f +≤的解集为 ．16．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2tan (tan tan )c B b A B ⋅=⋅+，则A = ；若O 是△ABC 外接圆的圆心，则22cos cos 2sin 2sin B AB AO C AC AO C B AO AO ⋅⋅⋅+⋅= ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(文科)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）己知集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}，则(A B =I ) A ．{1-，0，1} B ．{0，1}C ．{1-，1]D ．∅2．（5分）设2iz i+=，则||(z = ) A ．2B ．5C ．2D ．53．（5分）己知向量||1a =r ，||2b =r ，3a b =rr g ，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 4．（5分）函数()(0)a f x x x =…，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．5．（5分）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则 (OAF S ∆= )A ．3B ．35C ．25D 56．（5分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班7．（5分）如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，则()f x 在[0，2)π内的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）己知函数2,01(),1ax x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩…在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(0，2]10．（5分）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( ) A ．13B ．23C ．1D ．211．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0x ∈，1]时，()f x =13(log 54)a f =，2019()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．（5分）己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED ∆，则D 点的横坐标为(( ) A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 3α=-，则cos2α= ．14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„则3z x y =-的最大值是 ．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B = ．16．（5分）若函数()2(x f x xe ax e =-+为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 满足13a =，1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列()n b 的通项公式：（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)n n n c S =-g ，求数列()n c 的前80项和80T ．18．（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：)cm ，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．下面的临界值表仅供参考： 20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．)19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，22DA DP ==． （1）证明：:AP BD ⊥（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积．20．（12分）设直线:AB y =与直线:CD y =分别与椭圆221:1(0)2x y C m m m +=>交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ACBD （1）求椭圆1C 的方程；（2）过椭圆1C 上一点P 作椭圆1C 的切线1，设直线l 与椭圆222:142x y C +=相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求||MNOP 的取值范围．21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->，2()24g x x =-． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a „，证明：当0x …时，()()f x g x >．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为(x m tt y t=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||||||FA FB FB FA +的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）己知集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}，则(A B =I ) A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1]D ．∅【解答】解：Q 集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}， {0A B ∴=I ，1}．故选：B ． 2．（5分）设2iz i+=，则||(z = ) A ．2 B ．5 C ．2 D ．5【解答】解：22(2)12i i iz i i i++===-，则22||1(2)5z =+-=， 故选：B ．3．（5分）己知向量||1a =r ，||2b =r ，3a b =rr g ，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【解答】解：Q ||1,||2,3a b a b ===r rr r g， ∴3cos ,a b <>=r r ，且0,a b π<>rr 剟，∴向量,a b r r 的夹角为6π．故选：A ．4．（5分）函数()(0)a f x x x =…，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：当12a =时，12(),()f x x g x log x ==，选项B 符合． 故选：B ．5．（5分）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则 (OAF S ∆= )A ．3B ．35C ．25D 5【解答】解：双曲线22145x y -=的右焦点为(3,0)F ，F 到渐近线520x y +=的距离35554FA ==+则222352AO OF FA =--=． 则1152522OAF S FA OA ∆==g 故选：D ．6．（5分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”． 老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班【解答】解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班． 故选：C ．7．（5分）如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-【解答】解：模拟程序的运行，可得0N =，0T =，1i =满足条件100i <，执行循环体，1N =，2T =，3i = 满足条件100i <，执行循环体，13N =+，24T =+，5i = 满足条件100i <，执行循环体，135N =++，246T =++，7i =⋯观察规律可知，当99i =时，满足条件100i <，执行循环体，13599N =+++⋯+，246100T =+++⋯+，101i = 此时，不满足条件100i <，退出循环，可得(12)(34)(56)(99100)50S N T =-=-+-+-+⋯-=-．故选：B ．8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，则()f x 在[0，2)π内的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数， 所以2πϕ=，()cos f x x ω=；又因为该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，所以43T π=，423T ππω==，32ω=； 则()f x 在[0，2)π内的零点个数为3个． 故选：C ．9．（5分）己知函数2,01(),1ax x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩„在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(0，2]【解答】解：要使得函数2,01(),1aa x x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩„在(0,)+∞上为增函数，则满足120a a >⎧⎨-⎩„，故12a <„；则a 的取值范围为(1，2]． 故选：C ．10．（5分）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( ) A ．13B ．23C ．1D ．2【解答】解：如图，连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+， 两三棱锥高的和的最大值为2SA =． 要使三棱锥S ABC -的体积最大，则OBC ∆面积最大为111sin 111222OB OC BOC ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=． ∴三棱锥S ABC -的体积最大值为1112323⨯⨯=． 故选：A ．11．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0x ∈，1]时，2()1f x ln x =+13(log 54)a f =，2019()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【解答】解：()f x Q 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，(1)(1)(1)f x f x f x ∴+=-=--，则(2)()f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，则函数的周期是4，[0x ∈，1]时，2()1f x ln x =+()f x 在[1-，1]上为增函数，1333333(log 54)(log 54)(3log 2)(3log 24)(log 21)(1log 2)f f f f f f =-=-+=-+-=--=-，20191111()(10081)(1)(1)()22222f f f f f =++=+=-= f （3）(34)(1)f f =-=-，3111log 22-<<-Q ， 31(1)()(1log 2)2f f f ∴-<<-，即c b a <<， 故选：C ．12．（5分）己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED∆的面积为2，则D 点的横坐标为(( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：设2(4b B ，)b ，(D D x ，0)，由题意可得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，所以可得(1,)C b -，由12BE EF =u u u r u u u r ，可得2(4E b x -，1)(12E E y b x -=-，)E y -，可得226E b x +=，23E b y =，即22(6b E +，2)3b ，因为C ，E ，D 三点共线，可得CDCE k k =，即2232116Db bb b x -=+----， 可得232D b x =+，因为BED ∆的面积为22，所以3213(1)22BFD BED D S S x b ∆∆===-g ，即34620b b +-=，可得2b =， 所以2(2)34D x =+=，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 3α=-，则cos2α= 45- ．【解答】解：tan 3α=-Q ，2222221194cos21195cos sin tan cos sin tan ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-．14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„则3z x y =-的最大值是 9 ．【解答】解：由约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(3,0)A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为9． 故答案为：9．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B =45． 【解答】解：因为4sin 5sin c B b A =， 由正弦定理可得，45bc ba =即45c a =， 因为2b c a +=， 所以34b a =，54c a =，由余弦定理可得，22222225941616cos 5254a a a a c bB aca α+-+-===g g ．故答案为：4516．（5分）若函数()2(x f x xe ax e =-+为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为 21(e -，0) ． 【解答】解：()2x f x xe ax =-+在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则()(1)0x f x x e a '=+-=在(,0)-∞的区间内有两个解，即(1)x a x e =+在(,0)-∞的区间内有两个解，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e '=+，易得，当(,2)x ∈-∞-，()0g x '<，函数单调递减，当(2,0)x ∈-，()0g x '>，函数单调递增， 又x →-∞时，()0g x <，且21(2)g e-=-， 故210a e -<<， 故答案为：21(e -，0) 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 满足13a =，1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列()n b 的通项公式：（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)n n n c S =-g ，求数列()n c 的前80项和80T ． 【解答】解：（1）证明：11323n n n a a ++=+⨯， 可得11233n nn na a ++=+， 则12n nb b +=+，即12n n b b +-=，可得数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列； 则12(1)21n b n n =+-=-，即213nna n =-， 可得(21)3n n a n =-g，*n N ∈； （2）2113521(121)2n S n n n n =+++⋯+-=+-=，2(1)(1)n n n n c S n =-=-g g ，22222222801234567980(21)(21)(43)(43)(65)(65)(8079)(8079)T =-+-+-++⋯-+=-++-++-++⋯+-+1123456798080(180)32402=++++++⋯++=⨯⨯+=．18．（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：)cm ，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．下面的临界值表仅供参考： 20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．)【解答】解：（1）由频率分布直方图知，(20.10.20.1)21a a a +++++⨯=，解得0.025a =，计算200.05220.1240.2260.4280.2300.0525.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 估计这批树苗的平均高度为25.5cm ；（2）优质树苗有1200.2530⨯=，根据题意填写列联表，A 试验区B 试验区合计 优质树苗 10 20 30 非优质树苗 60 30 90 合计7050120计算观测值2120(10306020)7210.2910.828309070507K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，22DA DP ==． （1）证明：:AP BD ⊥（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积．【解答】（1）证明：取AP 中点M ，连接DM ，BM ，DA DP =Q ，BA BP =， PA DM ∴⊥，PA BM ⊥，DM BM M =Q I ，PA ∴⊥平面DMB ．又BD ⊂Q 平面DMB ，PA BD ∴⊥；（2）解：由（1）知，PA ⊥平面BDM ，在等边三角形PAB 中，由边长为4，得16423BM =-= 在等腰三角形ADP 中，由22AD DP ==2AM =，得2DM =，又4BD =，222DM BM DB ∴+=，得DM BM ⊥．∴1223232DBM S ∆=⨯⨯=． 则118323433P ABD BDM V S PA -∆=⨯⨯=⨯⨯=．∴1632P ABCD P ABD V V --==．20．（12分）设直线6:AB y =与直线6:CD y =分别与椭圆221:1(0)2x y C m m m +=>交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ACBD 6 （1）求椭圆1C 的方程；（2）过椭圆1C 上一点P 作椭圆1C 的切线1，设直线l 与椭圆222:142x y C +=相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求||MNOP 的取值范围．【解答】解：（1）由22612y x y m m ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得223214x m y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴6||||m x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由椭圆的对称性可知，四边形ACBD 64||||6x y m ==g，1m ∴=， 故椭圆1C 的方程为2212x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，点P 为椭圆1C 的左或右顶点，其坐标为())2,02,0-或，不妨取左顶点，即(2,0)P -，此时||2OP =，且直线l 与x 轴垂直，将2x =-代入22142x y +=得，21y =，||2MN ∴=， 所以||22MN OP ==②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，点P 的坐标为0(x ，0)y ，M 、N 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=， Q 直线l 与椭圆1C 相切，∴△2222164(12)(22)0k m k m =-+-=，化简整理得，2221m k =+，由韦达定理知，2220222241212m k x k k -==++， ∴222222200022214||2212x x k OP x y x k-++=+=+==+， 联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4240k x kmx m +++-=，由韦达定理知，12221224122412km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12|||MN x x =-===，∴2222222218||1112()888314||144112k MN k k k OP k k k +++===++-++g g g „，当且仅当20k =时，等号成立，∴||||MN OP ∈ 综上所述，||MNOP的取值范围为(0,． 21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->，2()24g x x =-． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a „，证明：当0x …时，()()f x g x >． 【解答】解：（1）当0x =时，(0)2f =，当0x ≠时，()20xf x e ax =-=，即2x e a x=，设2()xe g x x=，22(1)()x e x g x x -∴'=， 当1x <且0x ≠时，()0g x '<，即()g x 在(,0)-∞，(0,1)上单调递减， 当1x >时，()0g x '>，即()g x 在(1,)+∞上单调递递增， 当1x =时，()g x g =极小值（1）2e =，当x →-∞时，()0g x →，当x →+∞时，()g x →+∞， 分别画出()y f x =与y a =的图象，如图所示，结合图象可得，当2a e =时，()y f x =与y a =的图象只有一个交点，即函数()f x 只有一个零点，当02a e <<时，()y f x =与y a =的图象没有只有交点，即函数()f x 没有零点， 当2a e >时，()f x 与y a =的图象有两个交点，即函数()f x 有两个零点． （2）证明：当0x =时，(0)2(0)4f g =>=-，此时a 取任何数都成立，当0x ≠时，要证当0x >时，()()f x g x >，只要证2224xe ax x ->-，即证242x e a x x x<-+，4a Q …，∴只要证2424x e x x x-+>，0x >，只要证222440x e x x -+->，即证2220x e x x -+-> 设2()22x h x e x x =-+-，0x >， ()22x h x e x ∴'=--，令()22x x e x ϕ=--，0x >， ()2x x e ϕ∴'=-，∴当2x ln >时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ在(2,)ln +∞上单调递增，当02x ln <<时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ在(0,2)ln 上单调递减， ()(2)220min x ln ln ϕϕ∴==-<，()(0)10x g ϕ<=-<Q ，ϕ（1）40e =-<，ϕ（2）260e =->，∴存在0(1,2)x ∈，使得0000()()220x h x x e x ϕ'==--=， ∴当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，0220000()()2240x min h x h x e x x x ∴==-+-=->，2220x e x x ∴-+->成立，即当0x >时，()()f x g x >，综上所述：4a „时，当0x …时，()()f x g x >．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为(x m tt y t =+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||||||FA FB FB FA +的值． 【解答】解：（1）直线l 的参数方程为(x m tt y t =+⎧⎨=⎩为参数），消去参数t 可得普通方程：x y m -=．曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．可得曲线C 的直角坐标方程：22222()()12x y x y +--=，∴曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为(22,0)-，故m =-C 的方程221124x y +=．（2）直线l的参数方程为x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t ''--=，则12||||||2FA FB t t ''==g ，12||||||FA FB t t ''+=-= 故2||||(||||)24||||||||FA FB FA FB FB FA FB FA ++=-=g ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．【解答】解：（1）1111()()|||||()|2222f x f x x x x x +-+=-+--+-=…，当且仅当1()02x x -„时等号成立，()f x Q 对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…，∴12m „，m ∴的取值范围为1(,]2-∞．（2）由（1）知，12m „，又m N ∈，0m ∴=． 要证22(sin )(cos 1)f f m αα-+„，即证22(sin )(cos 1)0f f αα-+„， 222211(sin )(cos 1)|sin ||cos |22f f αααα-+=--+Q2222212sin 2,sin 1112|sin |cos 1221,0sin 2ααααα⎧-⎪⎪=---=⎨⎪-<⎪⎩剟„，当21sin 12α剟时，222(sin )(cos 1)2sin 20f f ααα-+=-„； 当210sin 2α<„，22(sin )(cos 1)1f f αα-+=-， 综上，22(sin )(cos 1)0f f αα-+„，∴原命题成立．。
2020年哈三中三模文科数学试卷
A．第一象限 B． 第二象限
C． 第三象限
3． 下列函数中，既是偶函数，又在 , 0 上单调递增的是
D．第四象限
A． f x x2
B． f x 2 x
C．
f
x log2
1 x 1
D． f x 2 x
4．
数列
2 an
1
是等差数列，且
a1
1，
a3
1 3
，那么 a5
3 A．
5
B． 3 5
二、 填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．
若 sin
4
2 5
，则
sin 2
．
14． 已知 a R ，命题“存在 x R ，使 x2 ax 3a 0 ”为假命题，则 a 的取值范围为
．
15． 直线 l 过抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点 F ，交抛物线 C 于点 A （点 A 在 x 轴上方），过点
C． 5
D． 5
5． 函数 f (x) xex 在 x 1 处的切线方程是
A． 2ex y e 0 B． 2ex y 3e 0
C． 2ex y e 0 D． 2ex y 3e 0
6． 在区间 2 3, 2 3 上随机取一个数 k ，则直线 y kx 4 与圆 x2 y2 4 有两个不同公共点的概率
GF
（2） 在线段 PB 上是否存在点 G ，使得三棱锥 B AEG 体积为 3 ？
6
A
E
C
若存在，确定点 G 的位置； 若不存在，请说明理由．
B
19． 哈三中某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机调查了哈