自然界之美罗马花椰菜斐波纳契数列黄金螺旋共88页文档
有趣的斐波那契数列
有趣的斐波那契数列有趣的斐波那契数列谈起斐波那契数列，我想很多⼈会想到《达芬奇密码》中的故事：午夜,卢浮宫博物馆年迈的馆长被⼈杀害在⼤陈列馆的镶⽊地板上.在⼈⽣的最后时刻,馆长脱光了⾐服,明⽩⽆误的⽤⾃⼰的⾝体摆成了达.芬奇名画维特鲁维⼈的样⼦,还在⼫体旁边留下了⼀个令⼈难以捉摸的密码.符号学专家罗伯特.兰登与密码破译天才索菲.奈夫,在对⼀⼤堆怪异的密码进⾏整理的过程当中,发现⼀连串的线索竟然隐藏在达.芬奇的艺术作品当中。
⽽这串密码就是斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...然⽽它们到底是怎样的⼀串数字呢？今天就让我们⼀起来认识⼀下吧！斐波那契数列，⼜称黄⾦分割数列，指的是这样⼀个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的⽅法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）递推公式斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, (1)如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：[1]显然这是⼀个线性递推数列。
[1]通项公式(如上，⼜称为“⽐内公式”，是⽤⽆理数表⽰有理数的⼀个范例。
)注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）待定系数法构造等⽐数列2（初等代数解法）已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。
解：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。
得α+β=1。
αβ=-1。
构造⽅程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。
所以。
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^ (n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。
自然界中的斐波那契数列
自然界中的斐波那契数列
斐波那契数列是一种非常有趣的数学序列，它的前两项是1，后续每一项都是前两项的和。
这个数列的前几项是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，…
这个数列不仅在数学中有着广泛的应用，它还出现在了自然界中。
其中最著名的例子就是斐波那契兔子问题。
假设有一对刚出生的兔子，它们一年后可以生下一对小兔子。
而每对小兔子在出生后第二年就可以生下一对小兔子。
那么，如果一对兔子从出生开始，每个月都生下一对新的小兔子，那么，n个月后，一共会有多少对兔子呢？
答案就是斐波那契数列中的第n项。
这个问题的答案之所以是斐波那契数列，是因为每个月的小兔子数量，都是由前两个月的小兔子数量相加得到的。
除此之外，斐波那契数列还出现在了许多其他自然现象中。
例如，一些植物的花瓣数量，往往是斐波那契数列中的某个数。
一只蜜蜂修建蜂巢时，会将六边形的蜜蜂巢连接起来，这些六边形的数量也是斐波那契数列中的某个数。
总之，斐波那契数列在自然界中的存在，充分展示了数学与自然之间紧密的联系。
- 1 -。
斐波那契螺旋(黄金分割)
斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出的数论学家。
我们对他的生平知道得很少。
他出生在意大利那个后来因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有他的一座雕像。
他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。
在他最重要的著作《算盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包括0）及其演算法则。
数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要贡献。
坐落在意大利比萨的斐波那契雕像数学中有一个以他的名字命名的著名数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。
这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。
在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的兔子数就是斐波那契数列的第n项。
斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系。
斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。
但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。
不过在这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏大自然的造化。
在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。
本期封面上是起绒草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。
很容易想像，如果从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时针方向的。
斐波那契螺旋(黄金分割)
斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出的数论学家。
我们对他的生平知道得很少。
他出生在意大利那个后来因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有他的一座雕像。
他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。
在他最重要的著作《算盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包括0）及其演算法则。
数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要贡献。
坐落在意大利比萨的斐波那契雕像数学中有一个以他的名字命名的著名数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。
这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。
在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的兔子数就是斐波那契数列的第n项。
斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系。
斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。
但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。
不过在这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏大自然的造化。
在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。
本期封面上是起绒草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。
很容易想像，如果从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时针方向的。
斐波那契螺旋线 ppt课件
我们把斐波那契数列中相邻的两个数相 除，得到的结果都近似等于Φ，当取斐波那契 数列中数值越大，则它们的比值越接近Φ，当 取值接近无穷大时，其比值就等于Φ。所以斐 波那契数与黄金数是密切联系在一起的。下 面我们把斐波那契数列画成图形会怎么样？ 一起来试试。绘制你的第一条斐波那契螺旋 线。
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最佳猫眼
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漩涡
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如何甩出最佳水花
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ห้องสมุดไป่ตู้
走上去如弹钢琴般的楼梯
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最佳摄影位置
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最佳摄影位置
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最佳摄像位置
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大家准备好一些白纸和一只铅笔、圆规等作 图工具:
第一步：拿出一张白纸和一只铅笔，画出 两条长度为至少13个单元格的平行线。一条线在 另一条线的上面，它们分别是长方形的上下两条 边。
第二步：然后连接两条边的左端点，再连 接两条边的右端点，一个长方形就出来了。
第三步：接着请作出一个边长为8个单元格 的正方 形，如下图。
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有电脑作图技巧同学可以设计更加漂亮的 螺旋线。
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斐波那契螺旋线，是根据斐波那契数列画出 来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契 螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金 比例。斐波那契螺旋线，以斐波那契数为边 的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面 画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波 那契螺旋线。一起来看看：
花朵中的斐波那契数列（组图）
花朵中的斐波那契数列（组图）花朵中的斐波那契数列作者：西蒙妮.普罗伊斯拍摄人：Mack Hall1、图中的是紫色金光菊(又称紫锥花)自然界鬼斧神工：随意的几朵白云，溪水水中浑圆的鹅卵石，或海中白色的浪花等等。
多数情况下，看似毫无规律而言-好比野地里花花草草一样杂乱无章-但有些特却如花头按序排列的种子一样有序可循。
自然界和数学的完美结合，让我们惊叹之余不得不感慨自然界布局竟然完全符合数学领域严格的要求。
在此探讨的是自然界中的斐波纳契数列，借助一些花朵图片开始研究之旅。
这些看似平淡无奇的花朵如何一转眼成为令人叹为观止的艺术品。
拍摄人: Daaynos2、瓢虫毫不关心尖尖的紫锥花头。
而是被排列如此整齐的景象深深吸引。
中世纪数学家比萨的莱昂纳多(公元1170-1250年)发现了斐波纳契数列(拼写构成为fib-on-arch-ee)。
“斐波纳契”是拉丁语“弗立维.波纳切”的缩写，含义是“Bonaccio之子”，其父亲名为Guglielmo Bonaccio。
拍摄人：Daaynos3、令人想起斐波那契数列的花自于意大利比萨市的莱昂纳多，其父Guglielmo是一名海关官员，工作地点就是今天阿尔及利亚的贝贾亚省。
北非留学期间，常常与地中海附近的商旅打交道，莱昂纳多青年时就熟知算数及阿拉伯数字系统。
他发现阿拉伯数字0-9远比常用的罗马数字(I, V, X等等)更高级、更好用。
拍摄人：Rohit Sood4、业余植物学家眼中普普通通的绿芯雏菊斐波纳契如此喜爱数字系统，于是开始在整个欧洲推广数字系统，并著书立说，1202年，他的著作公开出版。
其著作《算盘书》(或者叫《计算之书》)被当时的欧洲同行和后辈数学家称作是推进”新的“十进制系统的开山之作。
拍摄人: Solidskorpion5、像牙齿一样洁白的白菊花花瓣这些历史和这些美轮美奂的花朵图片有什么联系呢？请耐心一点！马上，就给您揭晓答案。
《算盘书》第12章，斐波纳契记录了一组另后人十分着迷的数字序列。
fibonacci数列在自然界中的
fibonacci数列在自然界中的
"自然界中的Fibonacci数列：从花瓣的数量到种子的排列，把一切
用数学的规律表示出来。
"
Fibonacci数列在自然界中具有重要意义。
它是以0、1开头，后续
元素由其前两位之和而来，这种现象就出现在自然界中。
1.生物界: 在动物和植物的发展过程中，都可以看到Fibonacci数列的踪迹。
比如花瓣的设计，往往是3，5，8，13等等Fibonacci数；而在昆
虫的触角中，也可以看到Fibonacci数的精彩表现。
2.自然界: 在天文界，有很多基于Fibonacci数的十足惊喜，比如类似MILKYWAY银河系的行星环绕木星的轨迹，其轨道半径都接近的Fibonacci的比例；而在地质界，我们可以找到很多Fibonacci数的痕迹，比如在咖啡壳里，有精妙的纤维螺旋，其实就是Fibonacci数列。
3.数学界: Fibonacci数列在数学界有很多用处，比如可以求解各种衍生函数，解决求最大公约数，最小公倍数等问题；而且在金融界，有大
量的金融模型都依赖于Fibonacci数列，比如股票定价，投资等。
总之，Fibonacci数列在自然界中带给我们许多惊喜，虽然它看似极其简单，但是却拥有强大的生命力，值得人们越来越深入地去研究它。
人教版小学数学六年级下册《斐波那契数列》课件.doc
人教版小学数学六年级下册《斐波那契数列》课件假设: : 一对刚出生的兔子一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔子，并且此后每个月都会生一对小兔子，一年内没有死亡，那么，12 个月后会有多少对兔子呢？1 123 5 8 6 月 5 月4 月 3 月 2 月 1 月1 123 5 8 6 月 5 月4 月 3 月 2 月 1 月斐波那契斐波那契（（1170 1250 ）意大利杰出的数论学家。
1202 年著作《算盘书》。
1 12 13 24 35 56 87 138 21 9 34 10 55 11 89 12 144 【第1 年】 13 233 14 377 15 610 16 987 17 1597 18 2584 19 418120 6765 21 10946 22 17711 23 28657 24 46368 25 75025 26 121393 27 196418 28 317811 29 51422930 832040 31 1346269 32 2178309 33 3524578 345702887 35 9227465 36 14930352 37 24157817 38 39088169 39 63245986 40 102334155 41 165580141 42 267914296 43 433494437 44 701408733 45 1134903170 46 1836311903 47 2971215073 48 4807526976 斐波那契数列与数学4807526976 【第2 年】【第3 年】【第4 年】1 123 5 8 斐波那契螺旋黄金螺旋黄金矩形大自然中的斐波那契数列鹦鹉螺大自然中的斐波那契数列种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列 8种子的排列（松果）大自然中的斐波那契数列 13大自然中的斐波那契数列有13 条逆时针螺旋和21 条顺时针螺旋有13 条顺时针螺旋和21 条逆时针螺旋蓟大自然中的斐波那契数列大自然中的斐波那契数列 21 条和34条条最多可达89 条和144条条 34 条和55 条 55 条和89条条台风旋转云图台风旋转云图水流漩涡水流漩涡星云星云1 123 5 8斐波那契数列。