数学建模 第四章

t =1
2k1r （经济批量订货公式） x= k2
4.4 建模实验：混沌 建模实验：
•线性迭代要么收敛于它的不动点，要么 趋于无穷大。 •不收敛的非线性迭代可能会趋于无穷大， 也可能趋于一个周期解， •但也有可能在一个有限区域内杂乱无章 地游荡，这类由确定性运动导致的貌似 随机的现象称为混沌现象
4.2 非线性函数的MATLAB表达 非线性函数的MATLAB表达
Fun=inline(‘funstr’,’var’) 定义一个Inline 函数,其中funstr是函数的表达式, var是变量名
Fun=@Mfun 定义一个函数句柄，这里 Mfun是函数的M文件表达方式 Fun=@(var)funstr 定义匿名函数，其中var 是变量名, funstr是函数的表达式
4.3 计算实验：迭代法 计算实验：
1 迭代法
迭代法是从解的初始近似值x0(简称初值)开 始，利用某种迭代格式x k+1 = g (x k ), 求得一近似值序列x1, x2, …, xk, xk+1, … 逐步逼近于所求的解α(称为不动点)。 最常用的迭代法是牛顿迭代法，其迭代格式 为
xk +1
解 先作一些必要的假设将问题简化 1）汽车工厂对配件的日需求量是恒定的， 每日为r件； 2）所订配件按时一次性交货， 生产准备费每次k1元； 3）储存费按当日实际储存量计算， 储存费每日每件k2元; 4）你的工厂不允许缺货。 设一次订货x件，则订货周期为 T= x/r, 第t天的储存量为 q(t)= x-r t, 0<t<T
1．根据数据散布图，可选择线性函数、指 ．根据数据散布图，可选择线性函数、 数函数或其它合理的函数形式拟合数据， 数函数或其它合理的函数形式拟合数据， 建立经验模型； 建立经验模型； 2.分析你的经验模型预测的人口数与实际 分析你的经验模型预测的人口数与实际 人口数的差别的成因，一般有： 人口数的差别的成因，一般有： （1）模型的函数形式选择不当； ）模型的函数形式选择不当； （2）根据较少的数据建立经验模型，外推 ）根据较少的数据建立经验模型， 预测会产生较大误差； 预测会产生较大误差； （3）是由于人口政策和生育观念的改变使 ） 人口数增长规律发生较大的改变. 人口数增长规律发生较大的改变
4.2 最小二乘拟合MATLAB指令 MATLAB指令
• 假设已知经验公式 假设已知经验公式y=f(c,x)(c和x均可为向量 要求根 和 均可为向量 均可为向量), 确定参数c.这 据一批有误差的数据(x 据一批有误差的数据 i,yi), i=0,1,…,n, 确定参数 这 样的问题称为数据拟合。 • 最小二乘法就是求 使得均方误差最小化 最小二乘法就是求c使得均方误差最小化 Q(c)=
第t天的储存费为 k2q(t)
一个周期的总储存费为 k2 百度文库q(t) ≈ k2 ∫o q(t)dt
T
T
一个周期总费用 C(x) = k1+k2x2/(2r) 优化目标是使单位产品费用 f(x)=C(x)/x=k1/x+k2x/(2r) 达到最小 由f’(x)=0 ,即 -k1/x2+k2/(2r)=0 得
MATLAB中一个多项式用系数降幂排列 向量来表示。
例1.求多项式x3 + 2 x2 - 5的根 » p=[1 2 0 -5]; x=roots(p) , polyval(p,x) 例2.用2次多项式拟合下列数据. x 0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3 y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72
例 5 .求二元函数f(x,y)= 5-x4-y4+4xy在 原点附近的极大值。 解：max f→min(-f) x→ x(1), y→ x(2)
注：在使用fsolve, fminsearch等指令时， 在使用fsolve, fminsearch等指令时 等指令时， 多变量必须合写成一个向量变量， 多变量必须合写成一个向量变量，如用 x(1), x(2),…。 x(2),…。
适的函数形式对数据进行拟合； 适的函数形式对数据进行拟合； （2）用你的经验回归模型试计算：以1960年为基 ）用你的经验回归模型试计算： 年为基 人口增长一倍需要多少年？ 准，人口增长一倍需要多少年？世界人口何时将达 到100亿？ 亿 年的世界人口数， （3）用你的模型估计 ）用你的模型估计2002年的世界人口数，请分 年的世界人口数 析它与现在的实际人口数的差别的成因. 析它与现在的实际人口数的差别的成因
4.1 预备知识：极值 预备知识：
4.2 函数零点MATLAB指令 函数零点MATLAB指令
• 多项式
y=polyval(p,x) 求得多项式p在x处的值y，x可以是一 个或多个点 p3=conv(p1,p2) 返回多项式p1和p2的乘积 [p3,r]=deconv(p1,p2) p3返回多项式p1除以p2的商，r 返回余项 x=roots(p) 求得多项式p的所有复根. p=polyfit(x,y,k)用k次多项式拟合向量数据(x, y),返回 多项式的降幂系数
ex．（分析题目） ．（分析题目） ．（分析题目 下面是六十年代世界人口的增长数据（单位： 下面是六十年代世界人口的增长数据（单位：亿）： 年份1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 年份 人口29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 人口 （1）请你仔细分析数据，绘出数据散布图并选择合 ）请你仔细分析数据，
4.4 建模实验：最佳订货量 建模实验：
• 每次订货需要收取一定量的生产准备费。 • 没用完的配件，要在仓库里储存一段时间，为 此要付出储存费。 • 若订货量很小，则需频繁定货，造成生产准备 费的增加； • 反之，若订货量很大，定货周期延长而使生产 准备费减少但会造成储存费的增加。 • 如何确定合适的订货量？
MATLAB数学实验 MATLAB数学实验
第四章 函数和方程
第四章 函数和方程
预备知识：零点、 4.1 预备知识：零点、极值和最小二乘法 4.2 函数零点、极值和最小二乘拟合的 函数零点、 MATLAB指令 MATLAB指令 4.3 计算实验：迭代法 计算实验： 4.4 建模实验：购房贷款的利率和最佳订货 建模实验： 量
f ( xk ) = xk − f ' ( xk )
例6 求方程 x 2 - 3 x + e x = 2 的正根 (要求精度ε = 10 -6) 解 令f (x) = x 2 - 3 x + e x - 2, f(0)=-1, 当x > 2, f (x) > 0, f ’(x) > 0 即f (x)单调上升，所以根在[0,2]内。 先用图解法找初值， 再用牛顿法程序newton.m求解。
例8 .下面是《新民晚报》2000年3月30日 上的一则房产广告：
建筑面积 总价 30%首付 70%按揭 月还款
2
85.98 m 36 万 10.8 万
30 年
1436 元
不难算出，你向银行总共借了25.2万， 30年内共要还51.696万， 这个案例中贷款年利率是多少呢？
解 设xk为第k个月的欠款数， a为月还款数, r为月利率。 xk+1 = (1+r) xk- a 那么 xk = (1+r) xk-1- a = (1+r)2 xk-2 – (1+r)a – a =…… = (1+r)k x0 – a[1+(1+r)+……+(1+r)k-1] = (1+r)k x0 – a[(1+r)k-1]/r 根据 a=0.1436, x0=25.2, x360=0 得到 25.2(1+r)360 – 0.1436[(1+r)360-1]/r=0 很难用roots求解！
( yi − f (c, xi ))2 ∑
i =0
n
• 当f关于 是线性函数 问题转化为一个线性方程组求解， 关于c是线性函数 问题转化为一个线性方程组求解， 关于 是线性函数,问题转化为一个线性方程组求解 且其解存在唯一。 且其解存在唯一。 如果f关于 是非线性函数， 关于c是非线性函数 • 如果 关于 是非线性函数，问题转化为函数极值问题
常识上，r应比当时活期存款月利率略高一 些。我们用活期存款月利率0.0198/12 作为 迭代初值，用fzero求解 >>clear; fun=inline('25.2*(1+r)^360-((1+r)^360-… 1)/r*0.1436' ,'r') >>r=fzero(fun,0.0198/12); >>R=12*r 得年利率为5.53%. (你知道最新利率吗？)
x→x(1) → y →x(2)
4.2 函数极值MATLAB指令 函数极值MATLAB指令
min(y) max(y) 返回向量y的最小值 返回向量y的最大值
[x,f]=fminbnd(fun,a,b) x返回一元函数y=f(x)在[a,b]内的 局部极小值点,f返回局部极小值 fun为函数句柄或inline。 [x,f]=fminsearch(fun,x0) x返回多元函数y=f(x)在初始值x0 附近的局部极小值点,f返回局部极小值. x, x0均为向量。
4.1 预备知识：零点 预备知识：
• • • • 非线性方程 f (x) = 0 若对于数α有f (α) = 0, 则称α为方程的解或根，也 称为函数f (x)的零点 若f (α) = 0, f ’(α)≠0 则α称为单根。 若有k >1, f (α) = f ’(α) = …= f (k-1)(α) = 0，但f (k)(α)≠0 , 称为k重根 非线性方程求解通常用数值方法求近似解，常见 的有二分法、牛顿法等 非线性方程（组）f (x) = 0， x=(x1, x2, …, xn), f=(f1, f2, …, fm)
c= lsqnonlin (Fun,c0) 使用迭代法搜索最 优参数c. 其中Fun是以参数c(可以是向量) 为自变量的函数,表示误差向量 y-f(c,x)(x, y为数据)， c0为参数c的近似值,作为迭代初值
c=lsqcurvefit(Fun2,c0, x, y) 从外部输入数据， 这里Fun2为两变量c和x的函数 f(c, x)
4.2 函数零点MATLAB指令 函数零点MATLAB指令
x=fzero(Fun, x0) 返回一元函数Fun的一 个零点,其中Fun为函数句柄、 内嵌函数或字符串表达方式。 x0为标量时, 返回函数在x0附近的零点； x0为向量[a, b]时, 返回在[a,b]中的零点
[x,f,h]=fsolve(Fun, x0)
x返回一元或
多元函数Fun在x0附近的一个零点， 其中x0为迭代初值; f返回Fun在x的函数值, 应该接近0; h返回值如果大于0， 说明计算结果可靠， 否则计算结果不可靠。
例3 求函数y=xsin(x2-x-1)在(-2, -0.1)内的 零点 >> fun=inline('x*sin(x^2-x-1)','x') >> fzero(fun,[-2 -0.1]) 例4 求方程组在原点附近的解 1 x 4x − y + 10 e = 1 −x + 4y + 1 x2 = 0 8
4.1 预备知识：极值 预备知识：
设x为标量或向量，y=f(x)是x∈D上的标量值函数。 如果对于包含x=a的某个邻域∆ ,有 f(a)≤f(x) (f(a)≥f(x))对任意x∈∆成立, 则称a为f(x)的一个局 部极小(大)值点。
如果对任意x∈D，有f(a)≤f(x)（f(a)≥f(x)）成立， 则称a为f(x)在区域D上的一个全局极小(大)值点。
2．线性化拟合 ． • 线性最小二乘拟合可直接用求解超定线 性方程组的方法，计算速度快且唯一。 • 非线性最小二乘拟合的缺点是求解结果 依赖于初值的选取，可能会陷于局部极小 值而难以求得真解。 • 常常将有些非线性函数拟合问题转化为 线性问题求解。 例7 .用函数y=aebx 拟合例2的数据
4.4 建模实验：购房贷款的利率 建模实验：