高二数学第三章学案3 均值不等式
《均值不等式》学案
3．2 均值不等式学案【预习达标】⒈正数a、b的算术平均数为；几何平均数为．⒉均值不等式是。
其中前者是，后者是．如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．⒋试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件）（1）a2+b2 ( ) （2）（）（3）＋（）（4）x＋ (x>0)（5）x＋ (x<0) （6）ab≤（）⒌在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b或ab是否为值，并且还需要注意等号是否成立．6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；．⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是；此时x的值为___________________。
【典例解析】例⒈已知a、b、c∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证 ++≥9．例⒉（1）已知x<，求函数y=4x－2+的最大值．（2）已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值。
（3）已知a、b为常数，求函数y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。
【达标练习】一．选择题：⒈下列命题正确的是（）Ａ．a2+1>2a Ｂ．│x+│≥2 Ｃ．≤2 Ｄ．sinx+最小值为4．⒉以下各命题(1)x2+的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1则（a+）(b+)的最小值是4，其中正确的个数是（）Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（）Ａ．＋≥2 Ｂ．a2+b2≥2abＣ．＋≥a＋b Ｄ．2+⒋设a、bR＋，若a+b=2，则的最小值等于（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4⒌已知ab>0，下列不等式错误的是（）Ａ．a2+b2≥2ab Ｂ．Ｃ．Ｄ．二．填空题：⒍若a、b为正数且a+b=4，则ab的最大值是________．⒎已知x>1.5，则函数y＝2x+的最小值是_________．⒏已知a、b为常数且0<x<1，则的最小值是_________________________．三．解答题：⒐（1）设a=，b=，c=且x≠0，试判断a、b、c的大小。
2020学年高中数学第3章不等式3.2均值不等式学案新人教B版必修5(2021-2022学年)
3.2 均值不等式1．重要不等式如果ａ,b ∈Ｒ，那么ａ２＋b 2≥２ab (当且仅当ａ=b 时取“=”)． 2.均值不等式错误!未定义书签。
≤错误!未定义书签。
(1）均值不等式成立的条件：a >0,ｂ〉0； （2)等号成立的条件：当且仅当ａ＝b 时取等号. ３．算术平均值与几何平均值(1)设a 〉0,b 〉0，则ａ，b 的算术平均值为错误!未定义书签。
，几何平均值为错误!未定义书签。
；(２）均值定理可叙述为两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 4.用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值． （2)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.1．若x >0,则ｘ+错误!的最小值是( ) A.２ ﻩ B.3 C ．2错误!D ．４D ［∵x 〉0,∴错误!未定义书签。
〉0,∴x ＋＼ｆ(4，x )≥2＼r(x ·＼f(4，ｘ)）=４.当且仅当ｘ＝＼f （４,x ),即x =2时，等号成立.]２.已知a,b∈R ，且ab >０，则下列结论恒成立的是（ ）ﻬA ．a2＋b ２〉２ab ﻩＢ.a +ｂ≥２错误!C.错误!未定义书签。
+错误!未定义书签。
>错误!未定义书签。
D.错误!＋错误!≥2D ［利用均值不等式需注意各数必须是正数，不等式a 2+b ２≥2ａb 的使用条件是a ，b ∈Ｒ。
对于A,当a＝ｂ时,ａ２+b2＝2aｂ，所以Ａ错误；对于Ｂ,Ｃ，虽然ab>０，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B,C错误；对于D，因为ａｂ>0，所以＼f（b，a)>0，错误!〉0，所以错误!未定义书签。
＋＼f(a,b)≥2错误!，即错误!+错误!未定义书签。
≥２恒成立．］3.若0〈a<b且ａ+b＝1,则下列四个数中最大的是（)A．错误!未定义书签。
B．a２+ｂ２Ｃ.2aｂD．ａB[a2＋b２=（a+b）2－２ab≥（a＋b)２-2·错误!未定义书签。
高中数学：3.2 均值不等式 教案(新人教版必修5B)
3.2 均值不等式 教案教学目标：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用教学重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理利用均值定理求极值教学过程一、复习：1、复习不等式的性质定理及其推论 1：a>b ⇔b<a2：a>b,b>c ⇒a>c(或c<b,b<a ⇒c<a)(传递性)3：a>b ⇒a+c>b+c(或a<b ⇒a+c<b+c)(1)：a+b>c ⇒a>c-b(移项法则)(2)：a>b,c>d ⇒a+c>b+d4、若a>b,且c>0，那么ac>bc ；若a>b,且c<0，那么ac<bc.(1)、若a>b>0,且c>d>0，则ac>bd(2)、若a>b>0,则a n >b n (n ∈+N ,且n>1)(3)、若a>b>0,则n n b a > (n ∈+N ,且n>1)2、定理变式： 如果a,b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时，等号成立）3、均值定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 证明：∵,2)()(22ab b a ≥+b a ≥+∴ab b a ≥+2 显然，当且仅当ab b a b a =+=2,时 说明：ⅰ）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ⅱ）ab b a ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数ⅲ）“当且仅当”的含义是等价3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a +b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b 过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么CB CA CD ⋅=2，即ab CD =这个圆的半径为2b a +，显然，它不小于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立应用例题：例1、已知a 、b 、c ∈R ，求证：不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。
(新课标)高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式 第2课时 均值不等式的应用——证明问题课时作
不等式的应用——证明问题课时作业新人教B版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（新课标）2017春高中数学第3章不等式3.2 均值不等式第2课时均值不等式的应用——证明问题课时作业新人教B版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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的应用——证明问题课时作业新人教B版必修5基础巩固一、选择题1．a、b、c是互不相等的正数,且a2＋c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是错误!（ C ）A．a>b〉c B．c>a>bC．b〉a>c D．a〉c>b［解析］∵a、c均为正数，且a≠c,∴a2＋c2〉2ac，又∵a2＋c2＝2bc，∴2bc〉2ac,∵c>0，∴b〉a，排除A、B、D，故选C．2．设{a n｝是正数等差数列，{b n｝是正数等比数列，且a1＝b1,a21＝b21，则错误!（ D ) A．a11＝b11B．a11>b11C．a11〈b11D．a11≥b11[解析］∵a n>0，b n〉0，a1＝b1，a21＝b21,∴a11＝错误!＝错误!≥错误!＝b11，等号成立时，b＝b21，即此时｛a n}、｛b n}均为常数列，故选D．13．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a〈b），其全程的平均时速为v，则导学号 27542694（ A )A．a〈v<错误!B．v＝错误!C．错误!<v<错误!D．v＝错误![解析］设甲、乙两地之间的路程为s.∵a〈b，∴v＝错误!＝错误!＝错误!〈错误!＝错误!，又v－a＝错误!－a＝错误!>错误!＝0，∴v〉a.4．已知R1、R2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①、②连接,设相应的总阻值分别为R A、R B，则R A与R B的大小关系是导学号 27542695（ A ）A．R A〉R B B．R A＝R BC．R A〈R B D．不确定[解析]R A＝错误!，R B＝错误!，R A－R B＝错误!－错误!＝错误!＝错误!>0，所以R A>R B．5．已知a〉1，b〉1，且lg a＋lg b＝6，则lg a·lg b的最大值为导学号 27542696（ B ) A．6 B．9C．12 D．18［解析］∵a>1，b〉1,∴lg a>0，lg b>0，又lg a＋lg b＝6，∴lg a·lg b≤（错误!）2＝(错误!）2＝9，故选B．6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为错误!天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品错误!( B ）A．60件B．80件C．100件D．120件［解析］由题意知仓储x件需要的仓储费为错误!元，所以平均费用为y＝错误!＋错误!≥2错误!＝20，当且仅当x＝80等号成立．二、填空题7．已知错误!＋错误!＝2(x>0，y>0），则xy的最小值是6。
高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式教案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案
均值不等式1．不等式m 2＋1≥2m 中等号成立的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1 C．m ＝－1 D ．m ＝0 答案 A2．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a >a ＋b2>ab >b B ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .3．如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P答案 B 解析 P ＝log 12a ＋b2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )＝log 12ab ， M ＝12log 12(a ＋b )＝log 12a ＋b ，∴只需比较a ＋b2，ab ，a ＋b 的大小，显然a ＋b2>ab ，又因为a ＋b2<a ＋b (由a ＋b >a ＋b24，也就是a ＋b4<1)，∴a ＋b >a ＋b2>ab .而y ＝log 12x 为减函数，故Q >P >M ，选B.4．已知0<a <1,0<b <1，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________． 答案 a ＋b解析 方法一 ∵a >0，b >0， ∴a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ， ∴四个数中最大数应为a ＋b 或a 2＋b 2. 又∵0<a <1,0<b <1， ∴a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0， ∴a 2＋b 2<a ＋b ，∴a ＋b 最大． 方法二 令a ＝b ＝12，则a ＋b ＝1，2ab ＝1，a 2＋b 2＝12，2ab ＝2×12×12＝12，再令a ＝12，b ＝18，a ＋b ＝12＋18＝58，2ab ＝212·18＝12，∴a ＋b 最大．1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2．由均值不等式变形得到的常见的结论： (1)ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22；(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R +)；(3)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(4)(a ＋b )(1a ＋1b)≥4(a ，b ∈R +)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .。
辽宁省大连市高中数学第三章不等式3.2均值不等式习题课教案新人教B版必修5
(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝ )
1、巡视学生的完成情况
2、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。
3、要对学生不同的解题过程和答案给出准确的评价，总结。
均值不等式
课题
均值不等式
课时
第二课时
课型
习题课
教学
重点
1、利用均值不等式解决有关最值问题。
2、利用均值不等式证明一些简单不等式
依据：数学课程标准
教学
难点
利用均值不等式解决有关最值问题
依据：教参，教材
学习
目标
1、知识目标
1.牢记均值不等式的内容及证明.
2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小.
3.能运用均值不等式证明简单的不等式．
C．最大值1D．最小值1
答案D
解析f(x)＝ ＝ ＝ [ (x－2)＋ ]≥1.当且仅当x－2＝ ，
即x＝3时等号成立．
3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()
A．6.5 mB．6.8 mC．7 mD．7.2 m
评价总结预习情况结果
独立完成课前检测
明确本节课学习目标，准备学习。
3
分钟
2.
承
接
结果
1．用均值不等式求最值的结论
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为 .
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2 .
高中数学人教B版五学案：第三单元 §3.2 均值不等式(一) 含答案
学必求其心得，业必贵于专精学习目标1。
理解均值不等式的内容及证明。
2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小。
3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均值与几何平均值思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b,过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP,PB。
如何用a,b表示PO,PQ的长度?梳理一般地,对于正数a,b，错误!为a，b的________平均值,错误!为a，b的________平均值．两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即错误!≤错误!。
其几何意义如上图中的|PO|≥｜PQ|。
知识点二均值不等式及其常见推论思考如何证明不等式错误!≤错误!（a〉0，b〉0)?梳理错误!≤错误!(a〉0，b〉0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论:(1）ab≤(错误!）2≤错误!(a，b∈R);（2)错误!＋错误!≥2（a，b同号);（3）当ab>0时，错误!＋错误!≥2；(4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）．类型一常见推论的证明例1证明不等式a2＋b2≥2ab（a，b∈R)．引申探究证明不等式(错误!）2≤错误!（a，b∈R)．反思与感悟(1）本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R,与均值不等式不同．（2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1已知a,b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca.类型二用均值不等式证明不等式例2已知x、y都是正数．求证：（1）错误!＋错误!≥2;（2)(x＋y）(x2＋y2）(x3＋y3)≥8x3y3。
反思与感悟在(1)的证明中把错误!,错误!分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在（2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证:(a＋b）（b＋c）·(c＋a）≥8abc.类型三用均值不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则(）A．x＝错误!B．x≤错误!C．x＞错误!D．x≥错误!反思与感悟均值不等式错误!≥错误!一端为和，一端为积,使用均值不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3设a＞b＞1，P＝错误!，Q＝错误!，R＝lg 错误!，则P,Q，R的大小关系是()A．R＜P＜Q B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R D．P＜R＜Q1．已知a〉0，b>0，则错误!＋错误!＋2错误!的最小值是（）A．2 B．2错误!C．4 D．52．若0〈a〈b,则下列不等式一定成立的是()A．a>错误!〉错误!>b B．b〉错误!〉错误!〉aC．b>错误!〉错误!〉a D．b〉a>错误!〉错误!3．设a、b是实数，且a＋b＝3,则2a＋2b的最小值是（)A．6 B．42C．2错误!D．84．设a〉0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1〉a；②错误!错误!≥4；③（a＋b)错误!≥4；④a2＋9>6a。
高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思
高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思3.2.1《均值不等式》教案一、教学目标确立依据1.课程标准要求及解读（1）课程标准要求基本不等式：ab b a ≥+2)(0,>b a ①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
（2）课程标准解读课程标准对均值不等式要求探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
这个要求可以分为两个层次：一是探索并了解基本不等式的证明过程；二是会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
从第一个层次来看，要达到“探索并了解”，需要三个步骤：首先要给学生创造相关的问题情景，启发学生的思维，获取感性认识。
其次通过问题探究让学生步步深入，剖析特点；最后利用不等式的性质将得出的结论，进行完整的证明，并明确使用均值不等式的三个条件。
第二个层次是应用层面，因此要通过适当的例题、习题和变式训练，引导学生明白对式子如何变形才可满足运用均值不等式的条件。
2.教材分析本节是高中人教B 版《数学》必修5第三章不等式第二节的内容。
本节内容的教学需要两个课时，这是第一课时。
高中数学不等式是初中不等式知识的完善和提升，更是高等数学的基础，起着承前启后的作用．高中不等式与其他知识联系紧密，具有工具性功能．高中数学课程标准加强了不等式知识与实际生活的联系，力求体现数学来源于现实的真谛，教学中也更为突出不等式在解决实际问题中的工具作用．均值不等式的的三个条件是学生掌握的重点也是用均值不等式解决实际问题的易错点。
教学重点：理解均值定理并运用其解题。
教学难点：均值不等式成立的三个条件，也是学生用均值不等式解决实际问题的易错点。
难点突破方法：①多观察、勤类比、善归纳、重建构②题组引路、逐层深化、归纳总结、明确要点3.学情分析从知识方面看：通过对必修五模块第一节不等关系与不等式的学习，以及学生在初中对一些不等式知识有一定的掌握，相关技能和能力有了一定的提高，均值不等式的推出即证明过程学生可顺利的出，但均值不等式的运用，以及式子的变形是对学生的一个新的要求。
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【解析】
【评析】解应用题应注意两个问题：一是读懂题意，建 立数学模型，即通过题中已知的数量关系，把应用题转化 为单纯的数学问题；二是建模后求解问题，即用相关的数 学知识将其解答出来.
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某单位用木料制作如图3-3-1所示的框架, 框架的下部是边长分别为x，y(单位:m)的 矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围 成的总面积为8 m2,问x、y分别为多少时用 料最省?(精确到0.001 m)
②如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值
S2.
即两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个
正数的和为常数时，它们的积有最大值.
（2）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：
①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成
立.
（3）应用此公式求最值时，还应注意配凑和一定或积
一定，进而用公式求解.
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1.在理解和应用定理时，要特别注意定理成立的条件， 避免因条件遗漏导致解题结果错误.
2.利用两个正数的算术平均数和几何平均数的关系定理 求函数的最值，是本学案内容的一个重点.这里要指出的是， 应用定理解决实际问题时，使定理成立的条件不一定现成 摆在那里，这就需要根据问题的需要凑配出定理成立的条 件，然后再运用定理解决相关问题.
的最大值； 的最小值；
x(1-2x)的最大值.
【分析】利用均值定理求函数的最值，需记住：两个正 数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常 数时，它们的积有最大值.
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【解析】
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【评析】（1）利用此公式求最值，必须同时满足以下 三个条件：
①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成立. （2）应用此公式求最值时，还应注意配凑和一定或积 一定，进而用公式求解.
某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记 名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名同学， 老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡 外，每次还要包1辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的 包车费均为40元，若使每名同学游8次，那么购买几张游 泳卡最合算？每人最少交多少钱？
【分析】游泳活动的总费用包括两个方面，即包车费和 买游泳卡费用，可先建立总开支y元的函数关系，再利用 不等式求最值.
ab
正数a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方 平均数，由本题可得一般性结论：
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数； （2）此组关系应用广泛，可称作广义二元均值定理， 要熟记.
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下列不等式：①x+1x ≥2;② x ≥1x2;③若0<x<1<y,则 logxy+logyx≤-2;④若0<x<1<y，则logxy+logyx≥2.
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（1）已知x＞0，y＞0，lgx+lgy=1，求2 z=5
的最
小值.
12 x
xy
（2）x＞0，求f(x)=x
4
3
+3x的最小值.
（3）x＜3，求f(x)=
+xs的in 2最5x 大1值.
（4）解x：∈R，求f(xபைடு நூலகம்=sin2x+1+
的最小值.
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学点四 实际应用
3.基本不等式及其推论主要用于证明不等式和求函数的 最值.解题时往往需要拆（添）项，其目的：一是创设一个 应用基本不等式的条件；二是使等号成立的条件.
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• 一样的软件
• 不一样的感觉
• 一样的教室
• 不一样的心情
•
一样的知识
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不一样的收获
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人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
实数的
算大术于平或均等值于它的
. 几何平均值
3.两个正数的 积为时常，数它们的和有最小值；两个正数
的 和时为，常它数们的积有最大值.
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学点一 均值不等式 设a,b∈R+，试比较a2b, ab, a22b的2,大1小21.
ab
【分析】
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【解析】
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【评析】（1）题中 121, ab,a分2b别, 叫a2做2b2
解：
图3-3-1
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1.如何理解均值不等式?
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2.对于公式a2+b2≥2ab以及均值不等式
ab
≤
a
2
b
，
应注意什么？
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3.应用均值不等式求最值时，应注意什么？
（1）已知x,y都是正数，则
①如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小
1 4
值;
式的左【边证进明行】恰当的变形.
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【评析】
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（ （12））已证知明a：＞a04+，bb4+＞c04，+da4+≥b4=a1b，cd求. 证a1 ：b1
≥4.
解：
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学点三 求最值
求下列函数的最值. （1）已知x>0，求y=2-x4x （2）已知x>2，求y=xx+1 2 （3）已知0<x<12 ，求y12 =
高二数学第三章学案3 均值不等式
学案3 均值不等式
开始
学点一 学点二 学点三 学点四
1.如果a,b∈R+，那么
a
2
b≥
ab，当且仅当 a=时b，式
中等号成立，这个结论通常称为均值不等式.
ab
2.对任意两个正实数a,b，数 叫2 做a,b的算术平均值，
数 叫做aa,bb 的几何平均值.均值定理还可表述为：两个正
其中正确的是
（）
C
A.②④ B.①② C.②③ D.①②④
解:
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学点二 证明不等式
已知a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1，求证a1：
1 b
1 c
≥9.
【分析】欲证不等式的右边为常数9，联想到公式
a+b ab
1 x
≥2 (a>0,b>0)的变形x+ ≥2(x>0)的应用，故将不等