2018北师大版高中数学必修五学案：第三章 3.2 基本不等式与最大(小)值
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 3.2基本不等式与最大（小）值》5
基本不等式及其应用一、教材分析1、本节课在教材中的地位、作用基本不等式选自高中数学北师大版必修5第3章第3节第二课时。
“基本不等式”在不等式的证明和求最值过程中都有着广泛的应用。
并且求最值问题一直是高考的热点。
它作为一个工具，在电学、力学、机械设计与制造等方面都有着广泛的应用。
2、教学目标（1）巩固基本不等式的简单应用。
（2）能灵活构造基本不等式求最值成立的三个条件。
（3）通过对基本不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯。
3、本节课的教学重点和难点重点：利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等突出重点的方法：我将采用学案教学，难度梯次递增。
强调基本不等式应用的条件；突出基本不等式成立的条件重要性。
难点：如何构造定值利用基本不等式求最值突破难点的方法：教学中通过条件的变换体现构造定值的具体过程，配备适量的习题让学生亲身去体验，从而突破构造定值这个难点。
二、教法分析思维是一个不断深入不断发展的过程，在学习、探索以及解题过程中都是这样的。
培养学生的思维能力，一直都是数学教学的基本要求。
知识的传授固然重要，但学生掌握知识的思维过程更重要。
所以在教学过程中，注重引导学生发现知识的形成过程，恰当的编排习题降低思维的梯度引导学生去接受。
总之，时刻注意教师是作为引导者的身份出现在课堂。
三、教学程序（一）、复习引入：1、重要不等式2、基本不等式3、简单推论设计意图：在复习旧知识的基础上为新课教学做好必要的铺垫。
（二）、例题讲解：【题型1不具备“正数”】1 ()()91,01log a a x a x x><<2.求f =2+log x+的最值 【题型2不具备“定值”】34【题型3不具备“相等”】 5()40,sin 2x πθθθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦求函数f =sin +其中的最小值。
【题型4分式型函数的最值求法】()27107.11x x x x ++>-+求函数y=的最小值。
高中数学 第三章 不等式 3.3.2 基本不等式与最大(小)值学案(含解析)北师大版必修5-北师大版
3．2 基本不等式与最大(小)值知识点 基本不等式与最大(小)值[填一填]已知x ，y 都是正数，则(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当且仅当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当且仅当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .[答一答]均值不等式可以解决什么问题？提示：均值不等式可以解决定积、定和问题．使用均值不等式解决问题时，常见的变形 常用的变形公式有：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(当且仅当a ＝b 时取等号)；(2)a ＋1a ≥2(a >0)(当且仅当a ＝1时取等号)；a ＋1a≤－2(a <0)(当且仅当a ＝－1时取等号)；(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)(当且仅当a ＝b 时取等号)； (4)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)(当且仅当a ＝b 时取等号)．类型一 利用基本不等式求最值【例1】 (1)若x >0，求函数f (x )＝12x ＋3x 的最小值；(2)若x <0，求函数f (x )＝12x＋3x 的最大值．【思路探究】 利用基本不等式求最值，必须同时满足3个条件：①两个正数；②其和为定值或积为定值；③等号必须成立．三个条件缺一不可．对(1)，由x >0，可得12x >0,3x >0.又因为12x ·3x ＝36为定值，且12x ＝3x (x >0)时，x ＝2，即等号成立，从而可利用基本不等式求最值．对(2)，由x <0，得12x <0,3x <0，所以－12x >0，－3x >0，所以对⎝⎛⎭⎫－12x ＋(－3x )可利用基本不等式求最值．【解】 (1)因为x >0，所以12x >0,3x >0，所以f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝236＝12. 当且仅当12x ＝3x ，即x ＝2时，等号成立．所以当x ＝2时，f (x )取得最小值12. (2)因为x <0，所以－x >0， 所以－f (x )＝⎝⎛⎭⎫－12x ＋(－3x )≥2⎝⎛⎭⎫－12x ·(－3x )＝12，所以f (x )≤－12.当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时，等号成立．所以当x ＝－2时，f (x )取得最大值－12.规律方法 利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正二定三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解．设x >0，求y ＝2－x －4x 的最大值．解：∵x >0，∴x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，∴y ＝2－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤2－4＝－2.当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立，y 取最大值－2.【例2】 (1)求函数y ＝x (5－2x )(0<x <2)的最大值； (2)求函数y ＝x 2＋8x －1(x >1)的最小值；(3)已知x >0，求函数y ＝2xx 2＋4(x >0)的最大值．【思路探究】 (1)中要注意构造2x ＋(5－2x )为定值；(2)中要注意挖掘出(x －1)·9x －1为定值．【解】 (1)y ＝x (5－2x ) ＝12·2x ·(5－2x )． ∵0<x <2，∴0<2x <4,1<5－2x <5， ∴y ≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(5－2x )22＝12×254＝258. 当且仅当2x ＝5－2x ， 即x ＝54时取等号，故y max ＝258.(2)y ＝x 2＋8x －1＝(x 2－1)＋9x －1＝x －1＋9x －1＋2，∵x >1，∴x －1>0，∴y ≥2(x －1)·9x －1＋2＝2×3＋2＝8.当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时取等号．故y min ＝8.(3)∵x >0，∴y ＝2x ＋4x .又x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号，∴y ≤24＝12.故当x ＝2时，y ＝2x x 2＋4(x >0)取得最大值12. 规律方法 运用基本不等式求函数的最值，主要是在定义域中构造出“和为定值”或“积为定值”，同时注意检验是否满足取等号的条件．(1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为6. (2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是116.解析：(1)因为x >2，所以x －2>0， 所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x ·(1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，y max ＝116.类型二 利用基本不等式比较大小【例3】 已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小．【思路探究】 a ，b ，c 是非负数，两个待比较的式子的结构特征符合基本不等式的变形式：a ＋b2≤a 2＋b 22，所以借助它就可以比较大小． 【解】 ∵a 2＋b 22≥a ＋b2， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 同理可得b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(c ＋a )， ∴a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]＝2(a ＋b ＋c )， 故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．规律方法 利用基本不等式或其变形式比较大小时，一般有两种思路： (1)确定每个式子的范围，用不等式的传递性比较；(2)观察待比较式子的结构特征，合理选取基本不等式或其变形式，利用不等式的性质比较．已知a >b >c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是(a －b )(b －c )≤a －c2.解析：观察题中两式的特点，发现(a －b )＋(b －c )恰好是a －c . ∵a －b >0，b －c >0，∴(a －b )(b －c )≤(a －b )＋(b －c )2＝a －c2，当且仅当a －b ＝b －c 即2b ＝a ＋c 时，等号成立， ∴(a －b )(b －c )≤a －c 2. 类型三 利用基本不等式解决有关实际应用问题【例4】 某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元(50<x ≤80)时，每天销售的件数为p ＝105(x －40)2，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？【思路探究】 首先据题意建立关于利润的函数模型，利润＝销售件数×(销售价格－进货价格)．再应用基本不等式解决最值问题．【解】 解法一：由题意知利润 S ＝(x －50)·105(x －40)2＝(x －50)·105(x －50)2＋20(x －50)＋100＝105(x －50)＋100(x －50)＋20.∵x －50>0，∴(x －50)＋100(x －50)≥20.∴S ≤10520＋20＝2 500，当且仅当x －50＝100x －50，即x ＝60或x ＝40(不合题意舍去)，即x ＝60时，取等号． 解法二：由题意知利润 S ＝(x －50)·105(x －40)2令x －50＝t ，x ＝t ＋50(t >0)， 则S ＝105t (t ＋10)2＝105tt 2＋20t ＋100＝105t ＋100t ＋20≤10520＋20＝2 500.当且仅当t ＝100t，即t ＝10时取等号，此时x ＝60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多． 规律方法 1.解实际应用问题要遵循以下几点：(1)在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题(纯数学问题)；(3)在定义域内(使实际问题有意义的自变量取值范围)求出函数的最大值、最小值； (4)回到实际问题中，写出正确答案．2．本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解．若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也可以先使用换元法，再拼凑成基本不等式的形式，去求最值．现有一批货物用轮船从甲地运往乙地，甲地与乙地的距离为500海里，已知该船最大速度为45海里/小时，每小时运输成本由燃料费用和其他费用组成．轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比，其余费用为每小时960元．已知轮船速度为20海里/小时，全程运输成本为30 000元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/小时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应为多大速度行驶？解：(1)由题意得，每小时燃料费用为kx 2(0<x ≤45)，全程所用时间为500x 小时．则全程运输成本y ＝kx 2·500x ＋960·500x，x ∈(0,45]，当x ＝20时，y ＝30 000得k ＝0.6， 故所求的函数为y ＝300(x ＋1 600x)，x ∈(0,45]． (2)y ＝300(x ＋1 600x)≥300×2x ·1 600x＝24 000，当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，故当轮船速度为40海里/小时时，所需成本最小．【例5】 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其余各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若使每间虎笼的面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【思路探究】 设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则问题(1)是在4x ＋6y ＝36的前提下求xy 的最大值；而问题(2)则是在xy ＝24的前提下求4x ＋6y 的最小值．【解】 (1)设每间虎笼的长为x m ，宽为y m ， 则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼的面积为S ，则S ＝xy . ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，解得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． (2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网的总长为l ，则l ＝4x ＋6y . ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长为6 m ，宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小．要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值．解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a >0，b >0.广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2.——多维探究系列—— 利用均值不等式解恒成立问题不等式的恒成立问题在高中数学中非常重要，在此类问题的解决中，均值不等式和不等式的传递性是最重要的一种方法．【例6】 已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．【规范解答】 原不等式化为1＋a ＋y x ＋axy ≥9，而1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ，(x >0，y >0)当且仅当y ＝ax 时取等号， ∴1＋a ＋2a ≥9，∴a ＋2a －8≥0， ∴a ≥2，即a ≥4，∴a min ＝4.若对任意x >0，ax 2＋(4a －1)x ＋a ≥0恒成立，则a 的取值范围是[16，＋∞)．解析：将原不等式等价转化x x 2＋4x ＋1≤a 恒成立，x >0时，x x 2＋4x ＋1＝1x ＋1x＋4≤12＋4＝16，∴a ≥16.一、选择题1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( C )A ．3B ．3－3 2C ．3－2 3D ．－1解析：y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”．2．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( C )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析：因为1a ＋1b＋2ab ≥21ab＋2ab ＝2( 1ab ＋ab )≥4，当且仅当1a ＝1b，且1ab＝ab ，即a ＝b ＝1时，取“＝”号．二、填空题3．当x >0时，函数f (x )＝x ＋1x 的最小值为2.解析：∵x >0，∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x， 即x ＝1时，等号成立．4．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1ab 的最小值为4.解析：∵3＝3a ＋b ，∴a ＋b ＝1，∴2ab ≤1，∴ab ≤12，∴ab ≤14，∴1ab ≥4.三、解答题5．已知x <0，求函数f (x )＝x ＋9x ＋1的最大值．解：∵x <0，∴－x >0. ∴－x ＋9－x≥2(－x )·9－x＝6，当且仅当－x＝9，－x即x＝－3时，等号成立．∴x＋9x≤－6. ∴f(x)＝x＋9＋1≤－6＋1＝－5.x∴f(x)的最大值是－5.。
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_15
3．4基本不等式教案（第一课时）
一、知识与技能
1.探索并了解基本不等式的证明过程；
2.了解基本不等式的代数及几何背景；
3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
三、情感态度与价值观
通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。
教学重点：1.数形结合的思想理解基本不等式；
2.基本不等式成立的条件及应用。
教学难点：基本不等式成立的条件及应用。
教具准备：投影仪
教学过程。
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_16
《基本不等式》导学案学习目标学习难点1探索并了解基本不等式的形成过程； 2掌握用基本不等式求一些实际的应用问题． 3能初步运用求一些函数的最值。
1基本不等式形成过程 2基本不等式的求最值的使用要点自主预习 合作探究 启发引导二、学习过程（一）趣味情景导学（见ppt ）（二）探究“重要不等式”与“基本不等式” 1.自主学习“重要不等式”（1）代数解释：由完全平方差公式0)(2≥=-b a ；得≥+22b a 。
其中a ，b ∈R ；当且仅当a b 时，等号成立。
（2）几何解释：效果检测1：下面是“重要不等式”的两个变式，请同学们说出其成立条件和取等条件。
（1）222c d cd +≥ （2）212x x +≥ 2.小组合作探究“基本不等式”（1）代数解释：（i ）对于“重要不等式”：特别的，当a>0,b>0时.用a 替换a ；用 替换b 可得。
（ii ）或者可以 由0)(2≥=-b a ；移项得ab b a 2≥+，即： ，当且仅当a b 时，等号成立。
（2）几何解释：如右图，直角三角形两直角边分别是a ，b 。
则： 大正方形的面积是______， 4个直角三角形的面积之和是____； 大正方形的面积 （填“大于”或“小于”）4个直角三角形的面积之和； 即有： 。
；（a ，b ∈R ） 当且仅当a=b 时，等号成立。
重要不等式 ab b a 222≥+观察右图：当 时，大正方形的面积等于4个直角三角形的面积之和；即：当且仅当a b 时，等号成立。
ab b a 222>+ ab b a基本不等式2b a ab +≤；（a>0,b>0） 当且仅当a b 时,等号成立。
）（0,02>>+≤b a b a ab（3）对基本不等式的理解效果检测2：下面是“基本不等式”的两个变式，请同学们说出其成立条件和取等条件。
（1）12x x+≥ （2）1)2(≤-⋅x x（三）例题讲解例：（联系生活，解决问题）：例题呈现解题过程小结（1）张先生打算在平地上用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时篱笆最省，最短的篱笆是多少？ 解：（2）张先生打算在平地上用36米长篱笆围成一个矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时菜园面积最大，最大面积是多少？解：基本不等式求最值使用要点：一 、二 、三 。
高中数学第三章不等式3 2基本不等式与最大小值学案含解析北师大版必修5
3.2 基本不等式与最大(小)值学习目标1.理解与两正数和积相关的命题.(数学抽象)2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(逻辑推理)3.会用基本不等式解决简单的实际问题.(数学建模、逻辑推理)必备知识·自主学习导思1.如何记忆利用基本不等式求最值时是最大还是最小?2.利用基本不等式求最值时要满足什么条件?利用基本不等式求最值大前提条件结论三个注意点x,y均为正数若x+y=s,则当x=y 时积xy取得最大值一正:x,y必须是正数;二定:和“x+y”为定值或积“xy”为定值;三相等:等号是否能够取到若xy=p,则当x=y时和x+y取得最小值2在利用基本不等式求两个数或代数式的最值时必须注意的三个条件是什么?提示:①x,y必须是正数.②求积xy的最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y的最小值时,应看积xy是否为定值.③等号成立的条件是否满足.综上,解决问题时要注意“一正、二定、三相等”.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)对于任意实数x,y,若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值s2. ( )(2)若两个正数的积是定值p,则这两个正数的和一定有最小值2. ( )(3)因为sin x·=1(x∈(0,2π))为定值,所以y=sin x+有最小值. ( )(4)若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集为M,则必有2∈M. ( )提示:(1)×.条件中没有说明x,y∈(0,+∞),故错误.(2)×.等号不一定能取到,故错误.(3)×.sin x可正可负,故不满足两数都为正数,故错误.(4)√.把x=2代入不等式可得(1+k2)×2≤k4+4,即k4-2k2+2≥0,因为k4-2k2+2=+1≥1恒成立,故k4-2k2+2≥0成立.2.若x>0,则x+的最小值为( )A.2B.3C.2D.4〖解析〗选D.因为x>0,所以x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时等号成立,所以x+的最小值为4.3.(教材二次开发:例题改编)(2020·大连高一检测)设a,b是实数且a+2b=3,则2a+4b的最小值为.〖解析〗根据题意,有2a+4b≥2=2=2=2=4,当且仅当2a=4b时取最小值4.答案:4关键能力·合作学习类型一利用基本不等式求最值(逻辑推理)1.(2020·银川高一检测)已知x>2,y=x+,则y的最小值为( )A.2B.1C.4D.32.已知函数f(x)=x+(x<0),则下列结论正确的是 ( )A.f有最小值4B.f有最大值4C.f有最小值-4D.f有最大值-43.函数y=log2(x>1)的最小值为.〖解析〗1.选C.因为x>2,y=x+,所以y=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时取等号.2.选D.由题意,因为x<0,可得-x>0,则f(x)=x+=-≤-2=-4,当且仅当-x=,即x=-2时取等号,所以f(x)的最大值为-4.3.因为x++5=(x-1)++6≥2+6=8,所以log2≥3,所以y min=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.答案:3利用基本不等式求最值的两种形式及相应的策略(1)形式一:积定和最小.当a,b都为正数,且ab为定值时,有a+b≥2(定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时a+b 有最小值,即“积定和最小”.(2)形式二:和定积最大.当a,b都为正数,且a+b为定值时,有ab≤(定值),当且仅当a=b时,等号成立,此时ab 有最大值,即“和定积最大”.以上两类问题可简称为“积大和小”问题.〖补偿训练〗已知t>0,则函数y=的最小值为.〖解析〗y==t+-4≥2-4=-2,当且仅当t=,即t=1或t=-1(舍)时,等号成立,所以y的最小值为-2.答案:-2类型二利用基本不等式求范围(逻辑推理)角度1 一般求范围问题〖典例〗已知x>0,y>0,且满足+=2,则8x+y的取值范围是.〖思路导引〗利用已知条件,使代数式8x+y能利用基本不等式求最值.〖解析〗因为x>0,y>0,+=2,则+=1,所以8x+y=(8x+y)=5++≥5+2=9.当且仅当=⇒y=4x⇒x=,y=3时,等号成立.所以,8x+y的取值范围是〖9,+∞).答案:〖9,+∞)已知a,b为正实数,向量m=(a,a-4),向量n=(b,1-b),若m∥n,则a+b的取值范围为. 〖解析〗因为m∥n,所以a(1-b)-b(a-4)=0,所以a+4b=2ab,所以+=1,且a,b为正实数,所以a+b==++2+≥2+=,当且仅当=时取“=”.所以a+b的取值范围为.答案:角度2 含参数不等式的求参数问题〖典例〗不等式|x2-3x|+x2+32≥kx恒成立,则k的取值范围是.〖思路导引〗先分离参数,再利用基本不等式求最值,最后得出范围.〖解析〗当x∈〖1,9〗时,不等式|x2-3x|+x2+32≥kx等价为≥k,设f(x)=,当1≤x≤3时,f(x)=3+在〖1,3〗上单减,所以f(x)min=f(3)=,当3<x≤9时,f(x)=2x+-3≥2·-3=13,当且仅当2x=,即x=4时成立,所以f(x)的最小值为13.所以k≤13.综上所述,k的取值范围是(-∞,13〗.答案:(-∞,13〗含有参数的不等式问题解题策略(1)对于求不等式成立时的参数范围问题,在条件简单的情况下把参数分离出来,使不等式一端是参数,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为求函数的最大值或最小值.如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,就不要使用分离参数法.(2)一般地,a≥f(x)恒成立时,应有a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立时,应有a≤f(x)min.一般地,a≥f(x)能成立时,应有a≥f(x)min,a≤f(x)能成立时,应有a≤f(x)max.1.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( )A.〖0,2〗B.〖-2,0〗C.〖-2,+∞)D.(-∞,-2〗〖解析〗选D.因为2x+2y≥2,2x+2y=1,所以2≤1,所以2x+y ≤=2-2,所以x+y≤-2,即(x+y)∈(-∞,-2〗.2.已知a>0,b>0,+=,若不等式2a+b≥9m恒成立,则实数m的最大值为( )A.8B.7C.6D.5〖解析〗选C.由已知,可得6=1,所以2a+b=6·(2a+b)=6≥6×(5+4)=54,当且仅当=时等号成立,所以9m≤54,即m≤6.类型三基本不等式的实际应用(数学建模、数学运算)〖典例〗某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 四步内容理解题意(1)利用总收入≥原收入列关系式求解;(2)销售收入≥原收入+总投入.思路探求(1)设每件定价为t元,将实际问题转化为数学问题,即可解决;(2)分离参数求最值即可.续表书写表达(1)设每件定价为t元,依题意,有t≥25×8,整理得t2-65t+1 000≤0,解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.(2)依题意,x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解,等价于x>25时,a≥+x+有解.因为+x≥2=10(当且仅当x=30时,等号成立),所以a≥10.2.当该商品明年的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.题后反思正确列出不等关系是解决问题的关键在应用基本不等式解决实际问题时需要注意的四点(1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;(3)在定义域内,求出函数的最值;(4)写出正确答案.桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2米,如图所示,池塘所占面积为S平方米,其中a∶b=1∶2.(1)试用x,y表示S;(2)若要使S最大,则x,y的值各为多少?〖解析〗(1)由题可得,xy=1 800,b=2a,则y=a+b+6=3a+6,S=(x-4)a+(x-6)b=(3x-16)a=(3x-16)=1 832-6x-y(x>6,y>6,xy=1 800).(2)S=1 832-6x-y≤1 832-2=1 832-480=1 352,当且仅当6x=y,xy=1 800,即x=40,y=45时,S取得最大值1 352.课堂检测·素养达标1.若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,则+的最小值是( )A. B.1 C.4 D.8〖解析〗选C.由a>0,b>0,ln(a+b)=0,可得所以+=+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=时等号成立.所以+的最小值为4.2.函数y=3--x(x>0)的最大值为( )A.-1B.1C.-5D.5〖解析〗选 A.因为y=3--x=3-且x>0,故可得y=3-≤3-2=-1.当且仅当x=,即x=2时取得最大值.3.(教材二次开发:习题改编)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.〖解析〗因为直线+=1过点(1,2),所以+=1.因为a>0,b>0,所以2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8,当且仅当b=2a时等号成立.答案:84.已知x,y>0且x+y=1,则p=x++y+的最小值为.〖解析〗x++y+=x++y+=3+≥3+2=5,当且仅当x=y=时等号成立.答案:5。
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_12
《基本不等式与最大（小）值》教学设计 一、学习目标
1．知识与技能：进一步掌握基本不等式a ＋b 2
≥ab (a ＞0，b ＞0)，会用此不等式求某些函数的最大(小)值，能够解决一些简单的实际问题．
2．过程与方法：通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力、创新能力和勇于探索的精神．
3．情感态度价值观：通过实例的引入及实际问题的探究，使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生的应用意识，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点．
四、教学方法
1.注意基本不等式的基本形式是“和的形式≥积的形式”,还要注意“反向”不等式
2b
a+
≤
22
2b
a+
.在解题中的灵活运用.
2.注意对字母轮换式的识别，从而通过某种形式的迭加或迭乘使问题获解.
3.重视化归思想的运用，等式与不等式之间的转化、不等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等.要把握准转化的条件，达到化归目的.。
高中数学北师大版必修5 3.3 教学设计 《3.2 基本不等式与最大(小)值 》(北师大)
《基本不等式与最大(小)值》本节的标题明确地说明了基本不等式的作用。
从高考来看，基本不等式一直是个热点，它在不等式的证明和求最大(小)值的过程中有着广泛的应用，它作为一个工具，在电工学、力学、机械设计与制造等方面都有着广泛的应用。
在本节教学过程中，要坚持协同创新的原则，把教材创新，教法创新以及学法创新有机地统一起来。
教师创新的引导，学生创新的探究，才能营造一个有利于创新能力培养的良好环境。
本节的中心任务就是巩固基本不等式的应用。
本节的学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
本节的新课标要求是：会用基本不等式解决简单的最大(小)问题。
从历年的高考来看，基本不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等。
不等式的灵活证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点。
题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点。
【知识与能力目标】 进一步掌握基本不等式ab ba ≥+2(a ＞0，b ＞0)，会用此不等式求某些函数的最大(小)值，能够解决一些简单的实际问题。
【过程与方法目标】通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力、创新能力和勇于探索的精神。
【情感态度价值观目标】通过实例的引入及实际问题的探究，使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生的应用意识，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。
【教学重点】用基本不等式求函数的最大(小)值及解决一些简单的实际问题。
【教学难点】基本不等式ab ba≥+2等号成立条件的运用，及应用基本不等式解决实际问题。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分让学生回忆上节课我们探究的基本不等式：如果a ，b 是正数，那么ab ba ≥+2(当且仅当a ＝b 时等号成立)。
在这个不等式中，+2a b为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数，这样基本不等式就有了几何意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
数学 第三章 不等式 3.2 基本不等式与最大(小)值教案 北师大版必修5 教案
3.2基本不等式与最大（小）值课标依据“基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了（展示课本和参考书封面）。
它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
教材分析求最值又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
学情分析文一进入高中以后，随着学生逻辑思维能力和抽象思维能力的加强，不能再仅局限于一些结论的获得，而要注重结论的推导过程,揭示知识的来龙去脉，也就是不仅要知其然还要知其所以然。
教材也要求学生要对发现到的结论进行推理论证。
本节课着重于理解。
理一同上三维目标知识与能力会用基本不等式解决简单的最值问题，能通过变换的方法求解特定条件下的二元最值问题。
过程与方法通过教学培养学生分析问题和解决问题的能力，采用题组教学的方法。
情感态度与价值观通过本节课的学习，让学生对最值问题有个整体把握，激发学生学习的兴趣。
教学重难点教学重点会用基本不等式求特定条件下的二元最值问题。
教学难点通过变换的方法求特定条件下的二元最值问题。
教法与学法启发式探究教学信息技术应用分析知识点学习目标媒体内容与形式使用方式媒体来源课程导入情感、态度与价值观视频教师播放下载创设情境知识与技能过程与方法电子白板（时钟计时器）教师演示教师制作揭示课题知识与技能过程与方法电子白板（特效交互功能）教师演示教师制作归纳公式知识与技能情感、态度与价值观电子白板（移动、智能笔、特效交互功能）教师演示学生操作教师制作课堂练习知识与技能过程与方法电子白板（特效交互功能、钢笔）学生操作演示教师制作教学活动设计师生活动设计意图批注新课导入今天我们要讨论的话题是基本不等式，先一起来看考纲对这块内容的要求：会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，前面我们学过哪些求最值的方法呢？函数的单调性、导数、线性规划等等。
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3.2 基本不等式与最大(小)值
学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
知识点一 基本不等式及变形 思考 使用基本不等式证明：
2
1a ＋1b ≤ab (a >0，b >0)，并说明什么时候等号成立． 梳理 以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件． 当a >0，b >0时，有2
1a ＋1b
____ab ____a ＋b
2____
a 2＋
b 2
2
；当且仅当________时，以上三个等号同时成立．
知识点二 用基本不等式求最值
思考 因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2. 以上说法对吗？为什么？
梳理 基本不等式求最值的注意事项 (1)x ，y 必须是________；
(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为________；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为________；
(3)等号成立的条件是否满足．
使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．
类型一 基本不等式与最值
例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4
x 的最小值，并求此时x 的值；
(2)设0<x <3
2，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；
(3)已知x >2，求x ＋4
x －2
的最小值；
(4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9
y ＝1，求x ＋y 的最小值．
跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12
x ＋3x 的最小值；
(2)已知x <3，求f (x )＝
4
x －3
＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 类型二 基本不等式在实际问题中的应用 命题角度1 几何问题的最值
例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m 2的矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(2)一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？
命题角度2 生活中的最优化问题 引申探究
若受车辆限制，该厂最少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？
例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭
⎫v
202千米，那么这批货物全部运到B 市，最
快需要________小时．
1．已知x ≥5
2，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )
A ．最大值5
2
B ．最小值5
4
C ．最大值1
D ．最小值1
2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m
3．设a>0，b>0，且不等式1
a＋
1
b＋
k
a＋b
≥0恒成立，则实数k的最小值等于()
A．0 B．4 C．－4 D．－2
4．已知0<x<1，则f(x)＝2＋log2x＋
5
log2x的最大值是________．
1．用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不
到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋p
x(p>0)的单调性求得函数的最值．
2．求解应用题的方法与步骤
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。