2018版高中数学第三章不等式3.2均值不等式二学案新人教B版必修5(含答案)
学习目标 1. 熟练掌握均值不等式及变形的应用 .2. 会用均值不等式解决简单的最大 问题 .3. 能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．
( 小) 值
知识点一 均值不等式及变形 2
思考 使用均值不等式证明： 1 1≤ ab( a>0， b>0) ，并说明什么时候等号成立． a＋ b
3 (2) 设 0<x<2，求函数 y＝4x(3 － 2x) 的最大值；
4 (3) 已知 x>2，求 x＋ x－ 2的最小值；
19 (4) 已知 x>0， y>0，且 x＋ y＝ 1，求 x＋ y 的最小值．
反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求 和式最小值时应使积为定值， 求积式最大值时应使和为定值 ( 恰当变形， 合理拆分项或配凑因 式是常用的解题技巧 ) ；三是考虑等号成立的条件是否具备．
梳理 以下是均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．
2
a＋ b
当 a>0， b>0 时，有 1 1________ ab________ 2 ________
a＋b
a2＋ b2 2；
当且仅当 ________时，以上三个等号同时成立．
知识点二 用均值不等式求最值 思考 因为 x2＋1≥２x，当且仅当 x＝ 1 时取等号．所以当 x＝ 1 时， ( x2＋1) ＝ min 2. 以上说法对吗？为什么？
跟踪训练 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为
4 800 m 3，深为 3 m，如果池
底每 1 m2 的造价为 150 元，池壁每 1 m2 的造价为 120 元，问怎样设计水池才能使总造价最低？
最低总造价是多少？
命题角度 2 生活中的最优化问题
例 3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉
)
5 A．最大值 2
5 B．最小值 4
400 千米，为了安全，两列货车的间距不得小于
v 20
2 千米，那么这批货物全部运到
B 市，最
快需要 ________小时．
11 k
1．设 a>0， b>0，且不等式 a＋ b＋ a＋b≥０恒成立，则实数 k 的最小值等于 (
)
A． 0 B ． 4 C ．－ 4 D ．－ 2
5
x2－ 4x＋ 5
2．已知 x≥ 2，则 f ( x) ＝ 2x－ 4 有 (
反思与感悟 应用题，先弄清题意 ( 审题 ) ，建立数学模型 ( 列式 ) ，再用所掌握的数学知识解
决问题 ( 求解 ) ，最后要回应题意下结论 ( 作答 ) ．使用均值不等式求最值，要注意验证等号是 否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．
跟踪训练 3 一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米 / 小时匀速直达 B 市，已知两地铁路线长
12 跟踪训练 1 (1) 已知 x>0，求 f ( x) ＝ x ＋ 3x 的最小值；
4 (2) 已知 x<3，求 f ( x) ＝x－ 3＋ x 的最大值； (3) 设 x>0， y>0，且 2x＋8y＝ xy，求 x＋ y 的最小值．
类型二 均值不等式在实际问题中的应用
命题角度 1 几何问题的最值 例 2 (1) 用篱笆围一个面积为
梳理 均值不等式求最值的条件： (1) x，y 必须是 ________； (2) 求积 xy 的最大值时，应看和 x＋ y 是否为 ________；求和 x＋y 的最小值时，应看积 xy 是否为 ________； (3) 等号成立的条件是否满足．
类型一 均值不等式与最值 4
例 1 (1) 若 x>0，求函数 y＝ x＋x的最小值，并求此时 x 的值；
100 m2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱
笆最短，最短的篱笆是多少？
(2) 一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积 最大，最大面积是多少？
反思与感悟 利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利
用均值不等式求解目标函数的最大 ( 小 ) 值及取最大 ( 小 ) 值的条件．
6 吨，每每吨每天
3 元，购买面粉每次需支付运费 900 元．求该厂多
少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
引申探究 若受车辆限制， 该厂至少 15 天才能去购买一次面粉， 则该厂应多少天购买一次面粉， 才能使 平均每天所支付的费用最少？
人教B版高中数学必修五第3章32均值不等式教案.docx
课题均值不等式课时一课时课型新授教学重点1、均值定理的推导2、均值定理的应用依据：2017年高考大纲分析：均值定理得应用教学难点均值定理在实际问题川的应用依据：学生刚接触到均值定理，实际问题屮均值定理及•其变形应用比较抽象自主学习目标一•知识冃标：1、能熟•记均值定理的内容并会推导2・能应用均值。
定理求最值二、能力目标：应用均值定理求最值时，通过构造和一定积一定让学生学会自主探索。
理由：均值-定理的推导及其应用是本节课的重点。
教具多媒体课件、教材，教辅教学教学内容教师行为学生行为设计意图时间环节1.课前3分钟1、教辅第67页《预习自测》课前导学1-52、目标解读检查，评价总结小考结果。
1.小考：《「预习测评》课前导读及1-52.提出自主学习困惑明确本节课学习目标，准备学习。
3分钟2.承接结果1、教材第71页练习A组第1,2,3题和练习B3O2、教辅第67页：课前导学。
3、学生提出的困惑.1.巡视检查学纶预习习题完成情况，进行及时评价。
2.补充学生出现的漏洞。
3.解决「学生的问题，并达成共识。
1、学生自己展示预习习题完成情况。
2、其余”学生互相补充并学牛对所展示习题进行评价。
3、质疑、解答。
验收学生自主学习的结果，并解决学生自主学习中遇到的困惑。
13分钟3.做、议讲、评均值定理：均值定理:如果a,b是正实数而5啤2当且仅当a二b吋“二”成立1、展示课件2、让学生熟记均值定理的内容并抽查记忆情况。
1、独立完成课熟记定理的内容便于应用3分钟思考1:均值定理成立的条件是什么？思考2：均值定理“当且仅当时取等号的含义是什么” ？O思考3：完成教材7, & 9?让学牛.注意应用均值定理求最值时必需满足三个条件。
1、学纶先独立完成课后习题，然后以小组为单位统一答案。
2、小组讨论并展示自己组所写的答案。
3、•其他组给予评价（主要是找错，纠错）在具体问题中，探索量与量Z 间的关系，挖掘内在规律、发现数学的本质。
人教版数学高二B版必修5学案3.2均值不等式
数学人教B 必修5第三章3.2 均值不等式1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2____2ab ，当且仅当______时，等号成立．(1)重要不等式成立的条件是a ，b ∈R .它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a ＝b ，即当a ＝b 时，等号成立；反之，等号成立时有a ＝b .【做一做1】不等式a ＋1≥2a (a ＞0)中等号成立的条件是( )． A ．a ＝2 B ．a ＝1C ．a ＝12 D ．a ＝02．(1)均值不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式．(2)对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的______，数ab 叫做a ，b 的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．公式变形：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ＋)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a ＋1a ≥2(a ∈R ＋)，当且仅当a ＝1时，等号成立．(3)a b ＋ba ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 【做一做2－1】若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．【做一做2－2】已知0＜x ＜13，则函数y ＝x (1－3x )的最大值是__________．3．已知x ，y 都为正数，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当______时，积xy 取得最大值________． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当______时，和x ＋y 取得最小值________．(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用． 【做一做3】已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x 的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋1－x≥2(－x )×1－x＝2，此时有f (x )≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2x x －1.由于2xx －1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝[(x －1)＋1x －1]＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3.因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab ＝a ＋b 2.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x 是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52.因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ∈R ＋.(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一 利用均值不等式比较大小【例1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．分析：变形利用不等式找出a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小，结合条件a ＋b ＋c ＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．题型二 利用均值不等式求最值【例2】已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．分析：1x ＋1y →(1x ＋1y )·1→(1x ＋1y)(2x ＋y )→利用均值不等式求解反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型三 利用均值不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .分析：注意到a ＋b ＋c ＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四 利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五 易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x的最值． 错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x≥2＋2log 5x ·5log 5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋2 5.错因分析：a ＋b ≥2ab 的前提条件是a ，b ∈R ＋，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴5log 5x ＜0.∴不能直接使用均值不等式．【例6】求f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值．错解：因为f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值为3.错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x 2＋3＝1x 2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．1对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( )．A ．a ＋b ≥2abB ．a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2abD ．b a ＋ab≥22已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( )． A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值03设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y )的最小值为( )．A ．6B ．9C ．12D ．154若x ＞3，那么当x ＝________时，y ＝x ＋1x －3取最小值________．5已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案： 基础知识·梳理 1．≥ a ＝b 【做一做1】B2．(1)a ＋b 2≥ab a ＝b (2)算术平均值 几何平均值 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值【做一做2－1】22 x ＞0⇒x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时，等号成立．【做一做2－2】112 ∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x )2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴x ＝16时，函数取得最大值112.3．(1)x ＝y 14S 2 (2)x ＝y 2P【做一做3】(1)215 (2)2254(1)当xy ＝15时，x ＋y ≥2xy ＝215，当且仅当x ＝y ＝15时，等号成立．所以x ＋y 的最小值为215；(2)当x ＋y ＝15时，xy ≤x ＋y 2＝152，所以xy ≤2254，当且仅当x ＝y ＝152时，等号成立．所以xy 的最大值为2254.典型例题·领悟【例1】解：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc .① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .②①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2，得 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.由②式，得3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上，知a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .【例2】解：1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋y x ≥3＋22x y ·yx＝3＋22，当且仅当2x y ＝yx，即⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝22x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋2，y ＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 【例3】证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又∵a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.∴(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【例4】解：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy，又x ＞0，y ＞0，a ＞0， ∴y x ＋ax y ≥2y x ·ax y＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，∴要使(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a ≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4， ∴正实数a 的最小值为4.【例5】正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴(－log 5x )＋(－5log 5x )≥2(－log 5x )·(－5log 5x )＝2 5.∴log 5x ＋5log 5x≤－2 5.∴f (x )≤2－2 5.当且仅当log 5x ＝5log 5x，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－2 5.【例6】正解：f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1. 令t ＝x 2＋3(t ≥3)， 则原函数变为f (x )＝t ＋1t ＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1.所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1取得最小值433＋1.随堂练习·巩固1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a ，b 不能保证是正值，则选项A ，B ，D 都不一定成立，只有选项C 对任意实数恒成立．2．A 这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.3．B 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )(1x ＋4y )＝1＋4＋y x ＋4xy≥9，当且仅当y ＝2x 时，等号成立，故选B.4．4 5 y ＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2(x －3)×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，y 取最小值5. 5．116因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1， 所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116.。
高中数学第三章不等式3.2均值不等式名师讲义新人教B版必修5(2021学年)
201７-2018学年高中数学第三章不等式3.2 均值不等式名师讲义新人教B版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(20１7-2０18学年高中数学第三章不等式 3．2 均值不等式名师讲义新人教B版必修5)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
2 均值不等式预习课本P69~71,思考并完成以下问题(1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件?（2)在利用均值不等式求最值时,应注意哪些方面？（3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题?错误!1.均值定理如果a，b∈R＋,那么错误!≥错误!.当且仅当a＝b时，等号成立,以上结论通常称为均值不等式.对任意两个正实数a,b,数＼f(a＋b,２)称为a，b的算术平均值（平均数）,数＼ｒ(aｂ)称为ａ，b的几何平均值（平均数)．均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.［点睛］(１)“a＝b”是＼f(a＋b,2)≥ab的等号成立的条件.若a≠b，则＼f(a＋b,２）≠错误!，即错误!＞错误!。
(2）均值不等式错误!≥错误!与a2＋b2≥2ab成立的条件不同,前者a>0,b>０,后者ａ∈R,b ∈Ｒ。
２.利用均值不等式求最值(１)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值;（２）两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.错误!１．判断下列命题是否正确.(正确的打“√"，错误的打“×”）(1)对任意a,ｂ∈R,a2+b2≥2ab,ａ＋b≥2错误!均成立( )（2)若ａ≠0，则a ＋错误!≥２错误!＝４（ ）(3)若a 〉０,b 〉０,则ａb ≤错误!２( )解析：（1)错误．任意a ，ｂ∈R,有a 2+ｂ2≥2ａb 成立,当a ,b 都为正数时,不等式a ＋b ≥2错误!成立．(2)错误.只有当a >０时，根据均值不等式,才有不等式ａ+错误!≥2错误!=4成立. （３）正确.因为＼r(ab ）≤a +b2，所以ab ≤错误!2。
人教B版高中数学必修5-3.2导学案2-均值不等式
3．2 均值不等式（一）一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空1.正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．2.均值不等式是 。
其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？3.在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．4.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a 2+b 2 （ ）（2）2b a （ ） （3）a b ＋ba （ ）（4）ab≤ （ ） （5）x ＋x 1 (x>0)（6）x ＋x1 (x<0) 5.在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．（二）典型例题例1.已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例2.（1）一个矩形的面积为100m 2。
问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m 。
问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？（三）课堂训练1.已知a 、b ∈（0，1）且a≠b ，下列各式中最大的是（ ）A ．a 2+b 2B ．2abC ．2a bD ．a +b2.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。
（1）若a 、b ∈R ，则a b ＋ba ≥2b a a b ∙＝2（ ） （2）若x 、y ∈R ＋，则lgx ＋lgy≥2y x lg lg ∙（ ）（3）x ∈R －，则x ＋x4≥－2x x 4∙＝－4（ ） （4）若x ∈R ，则x 2＋x -2≥2x x -∙22＝2（ ）3.x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 4.设x>0，则函数y=2－x 4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
高中数学必修五第三章不等式导学案及课后作业加答案
【学习要求】
1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质．
不等关系与不等式
如果 a－b 是正数，那么 ；
如果 a－b 是负数，那么
；
【学法指导】
1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”转化成 “数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即 可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻 底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形．
如果 a－b 等于零，那么
.
【知识要点】
1．不等式：用数学符号<，≤，>，≥或≠表示 式子叫做不等式． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 大于 > 小于 < 大于等于 ≥ 小于等于 ≤ 的
至多 ≤
至少 ≥
不少于 ≥
不多于 ≤ ，那么 a<b，
3．比较实数 a，b 大小的依据 （1）文字叙述：如果 a－b 是 ，那么 a>b；如果 a－b 等于 ，那么 a＝b；如果 a－b 是 反过来也对． （2）符号表示:a－b>0⇔ ;a－b＝0⇔ ;a－b<0⇔ . 4．常用的不等式的基本性质 （1）a>b⇔b a(对称性)； （2）a>b，b>c⇒ a c(传递性)； （3）a>b⇒ a＋c b＋c(可加性)； （4）a>b，c>0⇒ ac bc；a>b，c<0⇒ ac bc； （5）a>b，c>d⇒ a＋c b＋d； （6）a>b>0，c>d>0⇒ ac bd； （7）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ an bn； （8）a>b>0，n∈N，n≥2⇒ n a n b.
高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式教案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案
均值不等式1．不等式m 2＋1≥2m 中等号成立的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1 C．m ＝－1 D ．m ＝0 答案 A2．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a >a ＋b2>ab >b B ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .3．如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P答案 B 解析 P ＝log 12a ＋b2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )＝log 12ab ， M ＝12log 12(a ＋b )＝log 12a ＋b ，∴只需比较a ＋b2，ab ，a ＋b 的大小，显然a ＋b2>ab ，又因为a ＋b2<a ＋b (由a ＋b >a ＋b24，也就是a ＋b4<1)，∴a ＋b >a ＋b2>ab .而y ＝log 12x 为减函数，故Q >P >M ，选B.4．已知0<a <1,0<b <1，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________． 答案 a ＋b解析 方法一 ∵a >0，b >0， ∴a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ， ∴四个数中最大数应为a ＋b 或a 2＋b 2. 又∵0<a <1,0<b <1， ∴a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0， ∴a 2＋b 2<a ＋b ，∴a ＋b 最大． 方法二 令a ＝b ＝12，则a ＋b ＝1，2ab ＝1，a 2＋b 2＝12，2ab ＝2×12×12＝12，再令a ＝12，b ＝18，a ＋b ＝12＋18＝58，2ab ＝212·18＝12，∴a ＋b 最大．1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2．由均值不等式变形得到的常见的结论： (1)ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22；(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R +)；(3)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(4)(a ＋b )(1a ＋1b)≥4(a ，b ∈R +)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .。
人教B版数学必修五：3.2均值不等式学案含答案解析
§3.2均值不等式13材拓展1. 一个常用的均值不等式链 设a>0, b>0,则有：2a + bmin{ a , b} < 1<abw —< max{a ,b},(1) a , b € R ，都有ab w ©严w 色严成立.(2) a 2 + b 2> 2ab 可以加强为a 2 + b 2> 2|a| |b|,当且仅当|a|=|b|时取等号. (3) a , b , c € R ，都有 a 2 + b 2 + c 2> ab + bc + ca 成立.a b⑷若ab>0，则^ + a 》2.3. 利用均值不等式求最值的法则d _ a + b 均值不等式，ab w数)常用于证明不等式或求代数式的最值.(1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即 ab w 号 2,当且仅当a = b 时, 等号成立.(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a +b >2 ab ，当且仅当a = b 时,等号成立.注意：利用均值不等式求代数式最值，要注意满足三个条件： ①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立.概括为“一正、二定(值)、三相等”.k4. 函数f(x)= x + x (k>0)的单调性在求最值中的应用 有些最值问题由于条件的限制使等号取不到， 其最值又确实存在，我们可以利用函数f(x)k=x + x (k>0)的单调性加以解决.利用函数单调性的定义可以证明函数f(x) = x + - (k>0)在(0, ■. k ］上单调递减，在［.k , +x8)上单调递增.因为函数f(x)= x + x (k>0)是奇函数，所以f(x)= x + x (k>0)在(一8, — . k ］上为增函数， 在［—k , 0)上为减函数.k函数f(x) = x + - (k>0)在定义域上的单调性如右图所示.x5当且仅当a = b 时，所有等号成立. 若a>b>0，则有：2.均值不等式的拓展x€ (0, n的最小值. 例如：求函数f(x)= sin2x + -,sin x.25解 令 t = sin x , x € (0, n, g(t) = t + -.t € (0,1]，易知g(t)在(0,1]上为单调递减函数, 所以当 t = 1 时，g (t) min = 6.即 sin x = 1 , X =n 时，f(x)min = 6.一、利用均值不等式求最值方法链接：均值不等式是求函数最值的有利工具，在使用均值不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”.不要仅仅关注结构上的定值， 而忽略对相等条件的考察.解 设 t = "J x + 2,从而 x = t 2- 2(t >0)，则 y =当 t = 0 时，y = 0;当 t>0当且仅当2t = 1，即t =¥时等号成立. 即当x = — 3时,y max =于. 二、 利用均值不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题， 通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最 值问题.a>f(x)恒成立? a>[f(X )]max , a<f(x)恒成立? a<[f(x)]min .【例2】已知f(x)= 32x — (k + 1)3x + 2,当x € R 时，f(x)恒为正值，则k 的取值范围是( )A .(―汽一1)B . (— a, 2 ,2— 1)C . ( — 1,2 .2 — 1)D . (— 2 2 — 1,2 2 — 1)解析 由 f(x)>0 得 32x — (k + 1) 3x + 2>0 , 解得 k + 1<3x + 令，而 3x + 3x > 2 .2, ••• k + 1<2 2, k<2 2 — 1. 答案 B三、 利用均值不等式证明不等式方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构， 合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性.【例 3】已知 a>2，求证:log a (a — 1) log a (a +1)<1. 证明 因为 a>2，所以 log a (a — 1)>0, log a (a + 1)>0. 又 log a (a — 1)丰 log a (a +1), log a a — 1 + log a a + 1/ /1 ”丿、¥ ・2匕乙\5] J^^ya's I ] JF 212 12=2〔og a (a — “Vqlog a a = 1.所以 log a (a — 1)log a (a + 1)<1.即 sin x = 1, x = 【例1】求函数y = 乂+ 2的最大值.2x + 52 /2t + 1四、均值不等式的实际应用方法链接：应用均值不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围.例4 某公司计划用一块土地建造一幢总面积为 A m2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的 2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m2,以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m2,试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用. (总费用=建筑费用+征地费用)解设建造这幢办公楼的楼层数为n,总费用为y元，当n = 1 时，y= 2.5 A 2 388 + 445A = 6 415A(元),A当n = 2 时，y= 2.5 刁 2 388 + 445A = 3 430A(元),A 2A A A当n>3 时，y= 2.5 下 2 388 + 445 〒 + (445 + 30) + (445 + 60) +…+ ［445 + 30(n-A A ------------2)］ n = 6 000 n + 15nA + 400A > 2A 6 000 X 15 + 400A=1 000A(元)(当且仅当n = 20时取等号).即n = 20时，有最小值1 000A元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A元.区突破1.忽略应用均值不等式的前提条件而致错5【例1】求f(x)= 2 + log2x+iogn0<x<1)的最值.5［错解］f(x)= 2+ Iog2x+ —> 2+2 :log2x lot 2+2 5…f(x)min = 2+ 2 , 5.这实际是一个错解，错在哪里？请你找出来.5［点拨］•/ 0VXV1 , •••Iog2xv0, ］og z x<0，不能直接运用公式.［正解］••• 0VXV1 ,•••( - log2X)>0, >0.X- log2x) + -点》2 log2x -急=2 5.•••log z x+T"^w-2 5.log2x• f(x) = 2 + log2x+l og5"x< 2 - 2 .5.当且仅当log2X=jo5x时，即x = 2 .5时取等号.• f(x)［正解］利用三角代换可避免上述问题.m = v a COS a-m+ n = a, •••设(a€ ［0,2 力),n=/a sin ax=/b cos 3 ••• x2+ y2= b, •••设$ (3€ ［0,2 n)y = {5 sin 3• mx+ ny= abcos a cos 3+ . absin osin 3=^/ab(cos acos 3+ sin a sin 3 = ^/abcos( a— 3 w ^ab--(mx+ ny)max= \：ab,1 1【例3】已知x>0 , y>0，且x+ 2y= 1,求-+丄的最小值.x y［错解］因为x>0, y>0,且x+ 2y= 1,x+〉G+ 1：(x+ 2y)》2昭X 2何=4返1 1所以- + -的最小值为4 2.x y［点拨］上述解答是错误的，错因是连续两次使用均值不等式解题忽视了等号成立的一致性.［正解］因为x>0, y>0，且x+ 2y= 1,所以1+1=注 + _= 1+ 2 + x y x y=3+ 2 2.当且仅当牛鸽x + 2y=1,即x = 2—1, y= 1 —宁时，取得等号所以：+1的最小值为3+2逅2.忽略等号成立的条件而致错【例2】已知m2+ n2= a, x2+ y2= b (a、b为大于0的常数且2 2 2 2m + x n + y［错解］T mx w —2，ny w -,b),求mx+ ny的最大值.m2+ x2 n2+ y2 m2+ n2+ x2+ y2 a+ b /• mx+ny w —2— +当且仅当m = x, n = y时取“=”［点拨］如果m = x, n=y,则会有m2+ n2= x2+ y2= a= b，这与条件b”矛盾，如果m = x, n = y中有一个不成立，则=”取不到，则不满足使用均值不等式的条件.□题多解例若正数a, b满足ab= a + b+ 3,求ab的取值范围解方法一把代数式ab转化为a(或b)的函数.a+ 3ab = a + b+ 3, b = b>0, a>1.a- 12 2 2a + 3a (a—1 )+ 5a-1 (a—1 )+ 5(a—1 + 4--ab = = =a-1 a -1 a-14=(a —1) + + 5a- 1a>1 ,二a —1>0,二(a —1) + 》2叫/(a—1 •= 4.a- 1 弋a —1••• ab>9，当且仅当a- 1 ==，即a = 3, b= 3 时，取“=”.a - 1方法二利用均值不等式a + b > 2可，把a + b转化为ab,再求ab的范围.a+ b》2、.;ab, •- ab = a + b + 3》2 ab + 3.• ab-2 ab - 3》0, •• C ab-3)( ab+ 1)》0.•ab》3, • ab》9,从以上过程可以看出：当且仅当 a = b= 3时，取“=”.方法三把a, b视为一元二次方程x2+ (3- ab)x + ab= 0的两个根，那么该方程应有两个正根.X1 X2= ab>0所以有：X1+ X2= ab- 3>02I △= (3 —ab J —4ab》0其中由△= (3 —ab)2—4ab= a2b2—10ab + 9=(ab—9)(ab—1)》0，解得ab》9 或ab< 1.-X1 + X2 = ab —3>0, ab》9.又ab= a + b + 3, a+ b= 6,•当且仅当a= b = 3时取“=”.题赏析1 41.已知a>, b>o,a+ b=2，则y=1+4的最小值是(B. 4C.|D. 51 4 a + b 5 2a b 5 2a b 9(2 +b)(〒)=2 +(7 +刃》2+ 2行•aP解析•/ a + b = 2, a+ b 2（当且仅当2a=》，即b = 2a时，“=”成立），故y = ~+ f的最小值为9b 2a a b 2答案Ca b 112.（2009天津）设a>0, b>0,若.3是3与3b的等比中项，贝V匚+匚的最小值为（）a b1A . 8 B. 4 C. 1 D.T4解析由题意知3a 3b= 3,即卩3a+ b= 3,所以a+ b= 1.因为a>0, b>0，所以1+ b = £ @+ b）= 2+ £+ >2+ 2 b a= 4，当且仅当 a = b时，等号成立. '答案B赏析本题考查了等比中项的概念、均值不等式，解答本题时要注意等号成立的条件是否具备，防止最小值取不到.。
高中数学 3.2 均值不等式教案 新人教B版必修5
3．2 均值不等式整体设计教学分析均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系．三维目标1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b 2≥ab 的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a ＋b 2≥ab 等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．思路 2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．推进新课新知探究提出问题均值定理的内容是什么？怎样进行证明？你能证明a 2＋b 2≥2ab吗？你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？均值不等式有哪些变形式？活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a 、b 的a ＋b 2叫做数a 、b 的算术平均值，数ab 叫做a 、b 的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当a≠b时，有(a－b)2＞0.当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？图1(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础) 这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD ＝ab.或由射影定理也可得到CD＝ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长，a＋b表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示2为：a＋b≥ab.2显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．。
高中数学人教B版五学案：第三单元 §3.2 均值不等式(一) 含答案
学必求其心得，业必贵于专精学习目标1。
理解均值不等式的内容及证明。
2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小。
3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式．知识点一算术平均值与几何平均值思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b,过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP,PB。
如何用a,b表示PO,PQ的长度?梳理一般地,对于正数a,b，错误!为a，b的________平均值,错误!为a，b的________平均值．两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，即错误!≤错误!。
其几何意义如上图中的|PO|≥｜PQ|。
知识点二均值不等式及其常见推论思考如何证明不等式错误!≤错误!（a〉0，b〉0)?梳理错误!≤错误!(a〉0，b〉0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论:(1）ab≤(错误!）2≤错误!(a，b∈R);（2)错误!＋错误!≥2（a，b同号);（3）当ab>0时，错误!＋错误!≥2；(4）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）．类型一常见推论的证明例1证明不等式a2＋b2≥2ab（a，b∈R)．引申探究证明不等式(错误!）2≤错误!（a，b∈R)．反思与感悟(1）本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R,与均值不等式不同．（2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1已知a,b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca.类型二用均值不等式证明不等式例2已知x、y都是正数．求证：（1）错误!＋错误!≥2;（2)(x＋y）(x2＋y2）(x3＋y3)≥8x3y3。
反思与感悟在(1)的证明中把错误!,错误!分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在（2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2已知a、b、c都是正实数，求证:(a＋b）（b＋c）·(c＋a）≥8abc.类型三用均值不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则(）A．x＝错误!B．x≤错误!C．x＞错误!D．x≥错误!反思与感悟均值不等式错误!≥错误!一端为和，一端为积,使用均值不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3设a＞b＞1，P＝错误!，Q＝错误!，R＝lg 错误!，则P,Q，R的大小关系是()A．R＜P＜Q B．P＜Q＜RC．Q＜P＜R D．P＜R＜Q1．已知a〉0，b>0，则错误!＋错误!＋2错误!的最小值是（）A．2 B．2错误!C．4 D．52．若0〈a〈b,则下列不等式一定成立的是()A．a>错误!〉错误!>b B．b〉错误!〉错误!〉aC．b>错误!〉错误!〉a D．b〉a>错误!〉错误!3．设a、b是实数，且a＋b＝3,则2a＋2b的最小值是（)A．6 B．42C．2错误!D．84．设a〉0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1〉a；②错误!错误!≥4；③（a＋b)错误!≥4；④a2＋9>6a。
高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式课件 新人教B版必修5
解析：A 中xy＜0 时，不满足题意；B 中等号不能成立；D
中 tanθ＜0 时，不符合题意；C 中12ex＋2e－x≥2，当 ex＝2，即
x＝ln 2 时等号成立．故选 C. 答案：C
3．已知 x，y 都是正数，若 xy＝4，则 x＋y 的最小值是 ________．
解析：∵x>0，y>0， ∴x＋y≥2 xy＝4， 当且仅当 x＝y＝2 时，等号成立． 答案：4
解析：若x2＋3xx＋1≤a(x>0)恒成立， 则x2＋3xx＋1max≤a，
令 y＝x2＋3xx＋1＝x＋11x＋3≤2＋1 3＝15，
当且仅当 x＝1 时，等号成立，
∴ymax＝15，
∴a
的取值范围为15，＋∞
.
答案：15，＋∞
基础知识达标
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1．已知实数 a>0，则 a＋4a的最小值为( )
＝n＋1n－＋112＋8＝
n＋12－2n＋1＋9 n＋1
＝n＋1＋n＋9 1－2≥2 n＋1·n＋9 1－2＝4，
当且仅当 n＋1＝n＋9 1，即 n＝2 时，符号成立，故选 A.
答案：A
5．(2019·河南中原名校联考)已知等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn，且 S3＝15，a7＋a9＝34，数列ana1n＋1的前 n 项和为 Tn， 且对于任意的 n∈N*，Tn<an＋t 11，则实数 t 的取值范围为 ________．
课堂互动探究
典例精析 规律总结
设 a，b∈(0，＋∞)，试比较a＋2 b， ab，
a2＋b2， 2
1a＋2 1b的大小． 【解】 ∵a，b∈(0，＋∞)，
∴1a＋1b≥2 a1b，
即2≤ 1a＋1b