基于Fokker-Planck方程的等离子体模拟
分数阶fokker–planck方程
分数阶Fokker-Planck方程I.概述Fokker-Planck方程在物理学和数学领域有着广泛的应用。
它描述了具有随机性质的系统的演化过程，并在统计物理、金融工程、生态学和化学等领域得到了广泛的应用。
然而，传统的Fokker-Planck方程假设了系统的漂移和扩散过程是由布朗运动描述的，而在实际应用中，很多系统的漂移和扩散行为不能完全由布朗运动来描述。
引入分数阶导数来描述非马尔科夫性质的随机过程，成为了当前研究的热点之一。
II.分数阶导数A.分数阶微积分的概念及应用分数阶微积分是指微分和积分可以取非整数次幂的一种微积分。
在不同的领域中，分数阶微积分有着不同的解释和应用。
在描述复杂介质中的传热传质问题时，分数阶微分方程可以更好地描述材料中的多尺度性质。
在描述非马尔科夫性质的随机过程时，分数阶微分方程可以更好地描述系统的长程记忆和非局域性行为。
B.分数阶导数的定义及性质分数阶导数可以由分数阶积分来定义，具体的定义为：[1] $\frac{d^{\alpha} f(t)}{dt^{\alpha}}=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dt} \int_{0}^{t} \frac{f(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha}}d\tau$其中，$\alpha$为分数阶，$\Gamma$为gamma函数。
III.分数阶Fokker-Planck方程的推导A.经典Fokker-Planck方程经典的Fokker-Planck方程描述了布朗运动中粒子位置和速度分布的演化过程，其一维形式可以写为：[2] $\frac{\partial}{\partial t}p(x,t)=\frac{\partial}{\partialx}(\mu(x)p(x,t))+\frac{\partial^2}{\partialx^2}(\sigma^2(x)p(x,t))$其中，$p(x,t)$为粒子在位置x处于时间t时的概率密度函数，$\mu(x)$为粒子的漂移系数，$\sigma(x)$为粒子的扩散系数。
多物理场耦合分析软件COMSOLMultiphy
多物理场耦合分析软件COMSOLMultiphyCOMSOL Multiphysics AC/DC Module视频教学--2D旋转电机(二)点击下载这个例子是旋转电机模型的扩展,机械运动利用常微分方程描述,计算了电磁力的力矩.此外他利用对称性把模型尺寸降低到原来的八分之一.COMSOL Multiphysics AC/DC Module视频教学--2D旋转电机(一)点击下载这个例子是旋转电机模型的扩展,机械运动利用常微分方程描述,计算了电磁力的力矩.此外他利用对称性把模型尺寸降低到原来的八分之一.COMSOL Multiphysics视频教学--Modelling With Finite Element Methodes第十四章的实例动画和.mph文件点击下载第十四章直流微装置的磁流体动力学数值模拟磁流体动力学理论(MHD)研究电磁场中导电流体的交互作用。
它在很多领域，包括热核反应、太阳和太空等离子体、火箭引擎中都有着非常重要的作用。
目前对MHD的研究兴趣越来越集中在芯片实验中的微尺度流动控制应用上。
驱动MHD微尺度泵的Lorentz力，在方向和大小上取决于施加的磁场B和电场E矢量。
这种泵的主要特性就是可以控制局部流体流动，不需要力学设备就可以精确控制流体在微尺度流道网络中按照预定路径流动。
这种借助Lorentz力的局部流体控制方法使得流体控制变得十分灵活，例如流体可以双向流动、累积、减速甚至回退。
与电动泵使用高的轴线电压相比，MHD微型泵使用低的横向电场。
低的发热量使其可以用于驱动对高温和电压敏感的生物流动过程。
简单的电子设备就可以顺序控制复杂微流动中的各个独立微型泵。
流动速度通过电磁场的强度来控制。
似乎到目前为止仍没有关于MHD微型泵模拟的发表文章。
下面我们将给出一些基于Galerkin有限元法的微型泵模拟结果，模拟过程在商业软件COMSOL Multiphysics 3.2中实现。
数值求解采用压力修正算法--SIMPLE，它首先假设一个压力场，然后通过求解不可压缩流动的Navier-Stokes方程得到速度场。
fokkerplanck方程
Fokker-Planck 方程（FPE）是一种描述粒子在流体中扩散和漂移运动的偏微分方程。
它是由荷兰物理学家Christiaan Huygens（克里斯蒂安·惠更斯）和德国物理学家Ludwig Planck （路德维希·普朗克）在20 世纪初独立发现的。
Fokker-Planck 方程在许多领域都有广泛的应用，如物理、化学、生物和工程等。
Fokker-Planck 方程描述了粒子在给定温度和压力条件下的扩散行为。
方程如下：
其中：
- $f(x, v, t)$ 是粒子在位置x 和速度v 处的概率密度函数；
- D 是粒子的扩散系数；
- v 是粒子的速度。
Fokker-Planck 方程的解可以用来计算粒子在流体中的浓度分布、传输速率以及其他相关物理量。
求解Fokker-Planck 方程的过程通常涉及数值方法，如有限差分法、有限元法和谱方法等。
Fokker-Planck 方程是一个简化模型，实际应用中可能需要考虑更复杂的物理现象，如碰撞、吸附和解离等。
在这种情况下，Fokker-Planck 方程需要与其他物理模型相结合，以更准确地描述粒子的运动。
介观系统普适电导涨落的fokker-planck方程研究
介观系统普适电导涨落的Fokker-Planck方程研究介观系统是指介于微观和宏观之间的系统，具有复杂的结构和动力学行为。
在介观系统中，电导涨落是一种普遍存在的现象，它对于介观系统的性质和行为具有重要影响。
因此，研究介观系统普适电导涨落的Fokker-Planck方程具有重要意义。
一、电导涨落的定义和意义电导涨落是指电导率在时间上的随机变化，它是介观系统中的一种普遍存在的现象。
电导涨落可以通过电阻噪声实验来观测和测量。
电导涨落的存在对于介观系统的性质和行为具有重要影响，如介观系统的输运性质、热力学性质等。
二、Fokker-Planck方程的基本原理Fokker-Planck方程是描述随机过程的一种方程，它描述了随机变量的概率密度随时间演化的规律。
Fokker-Planck方程可以描述介观系统中的随机过程，如电导涨落等。
Fokker-Planc k方程的一般形式为：$$\frac{\partial P(x,t)}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partialx}[A(x)P(x,t)]+\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}[B(x)P(x,t)]$$其中，$P(x,t)$是随机变量$x$的概率密度函数，$A(x)$和$B(x)$是分别描述漂移和扩散的函数。
三、介观系统普适电导涨落的Fokker-Planck方程研究介观系统普适电导涨落的Fokker-Planck方程研究可以通过实验测量和理论模拟相结合的方式进行。
实验测量可以通过电阻噪声实验来进行，理论模拟可以通过计算机模拟等方式进行。
近年来，许多研究者对介观系统普适电导涨落的Fokker-Planck方程进行了深入研究。
例如，研究者通过计算机模拟得到了介观系统中电导涨落的概率密度函数，并对其进行了分析和讨论。
另外，研究者还通过实验测量和理论模拟相结合的方式，研究了介观系统中电导涨落的时间演化规律和统计性质。
推导一维fokker-planck方程
一维Fokker-Planck方程是描述概率密度随时间演化的偏微分方程，在物理学、生物学和金融学等领域都有广泛的应用。
本文将从基本概念开始，详细介绍一维Fokker-Planck方程的推导过程，以及其在实际问题中的应用。
一、概念介绍1.1 Fokker-Planck方程的基本概念1.2 随机过程与概率密度函数1.3 Langevin方程及其与Fokker-Planck方程的关系二、推导过程2.1 布朗运动的描述与随机微分方程2.2 极限过程与Fokker-Planck方程的出现2.3 一维Fokker-Planck方程的具体推导三、方程性质分析3.1 稳态解与边界条件3.2 Langevin方程的稳态解与Fokker-Planck方程的关系3.3 数学方法与数值模拟四、应用领域4.1 生物学中的应用4.2 物理学中的应用4.3 金融学中的应用五、总结与展望5.1 一维Fokker-Planck方程的研究现状5.2 发展趋势与挑战5.3 在实践中的意义与价值通过以上分析，我们对一维Fokker-Planck方程的推导过程和应用领域有了更深入的了解。
在未来的研究和实践中，我们可以更好地利用这一理论工具，解决复杂的实际问题，推动该领域的发展。
希望本文能够对读者有所启发，引起更多人对一维Fokker-Planck方程的关注和研究。
一维Fokker-Planck方程是描述概率密度随时间演化的偏微分方程，在物理学、生物学和金融学等领域都有广泛的应用。
本文将从基本概念开始，详细介绍一维Fokker-Planck方程的推导过程，以及其在实际问题中的应用。
一、概念介绍1.1 Fokker-Planck方程的基本概念Fokker-Planck方程是描述随机过程中概率密度函数随时间演化的方程，它可以用来描述粒子在势场中的扩散过程。
其形式为一个偏微分方程，通常用于描述布朗运动和扩散过程，在物理、化学、生物和金融等领域有着广泛的应用。
关于fokker——planck方程的几种解法
关于fokker——planck方程的几种解法FokkerPlanck方程是由德国物理学家以克弗克莫尔和德国数学家马克斯普朗克于1906年共同提出的。
它是对分布函数随时间动态变化的研究，它可以精准地描述物理系统中的随机运动，因此它在物理学上有着非常重要的意义。
在统计物理学的研究中，FokkerPlanck 方程扮演着重要的角色。
FokkerPlanck方程有许多解法，这些解法都是基于具体问题进行求解的。
这里就涉及到了概率论等数学方面的知识，因此很多人都会遇到很大的挑战。
FokkerPlanck方程的解法可以根据以下几种情况进行分类：一、常微分方程法利用概率论计算机技术，可以利用常微分方程法求解FokkerPlanck方程。
该方法是利用概率论的背景将FokkerPlanck方程改写成一组有限个常微分方程，然后求解这些常微分方程，得到FokkerPlanck方程的解。
二、Wiener-Ito-Kolmogorov法这种方法是将Fokker-Planck方程转化为Wiener-Ito-Kolmogorov(WIK)方程。
通过解WIK方程，可以获得Fokker-Planck方程的解。
WIK方程描述的是一个傅里叶变换及其反变换的形式，它可以用来描述概率密度的协方差函数的变化。
三、基本解法这种方法是证明Fokker-Planck方程的基本解。
通过利用概率论的方法和多元变量微分学的原理，证明Fokker-Planck方程的基本解，用这种解式解法可以求出Fokker-Planck方程的解。
四、变分法变分法是一种常用的求解Fokker-Planck方程的方法，它是将变分优化技术应用到Fokker-Planck方程中，从而求解出Fokker-Planck方程的解。
这种方法简单易操作，可以有效提高求解Fokker-Planck方程的效率。
五、积分变换法积分变换法是一种求解Fokker-Planck方程的方法，它是将概率论的概念加以处理，将Fokker-Planck方程转换为一个积分问题，然后进行求解。
《COMSOL Multiphysics有限元法多物理场建模与分析》_中文版
COMSOL Multiphysics 有限元法多物理场建模与分析序 言多物理场耦合模型及数值模拟在各领域的研究及应用正在快速地发展。
本书的读者可通过如下方式获得实用的信息，新的期刊、国际多物理场期刊(/)和ComsolMultiphysics 软件包()，同时可以访问中文网站( )以获取更多的中文资料及在线的视频教程，Comsol 软件对于复杂过程的耦合建模能力给用户呈现了广阔的应用空间。
本书整理了我近年来对Comsol Multiphysics 软件的应用体会，同时我也随着软件一起“成长”。
我最早的博士研究生中有一位在1995 年就开始使用Matlab 软件的PDE toolbox，该工具箱也就是ComsolMultiphysics (原Femlab)软件的前身，用于开发多相流电容层析成像重建算法。
我们早在2001 年就购买了Femlab 2.0 软件，她对有限元建模具有卓越的图形用户界面和扩充功能，我们用她来处理电动流和微通道流的混合。
我于2002 年六月首次提供了基于Femlab 2.2 的加强模块，随着一系列的深入技术交流，她最终发展为有限元方法的过程建模和仿真。
自从我们开发了更为有效的模块以及新模块实例，这个模块已经运行过八次，每一模块都引入了新的功能，并且我的研究团队已学会如何使用。
随着2005 年Comsol Multiphysics 3.2 的引进，Femlab 根本的改革牢牢地集中在多物理场模型建立的准确定位。
图形用户界面的操作界面以及给人的感觉已经改变了，所以很多对Femlab 一步一步的描述不再和现代软件版面设计相匹配。
处理例子的最好方法也不再是最初我用Femlab 的方法。
我们的许多模型是对Matlab代码生成的混合GUI 应用，随后是基本Matlab 程序设计步骤。
Comsol Multiphysics 的GUI 中新的内建工具和许多新特征一起给出了足够的功能，那些对Matlab 程序设计不是特别需要的。
等离子体物理讲义12_碰撞算子BBGKY理论
等离子体的性质依赖于等离子体中大量粒子的同时相互作用。 为简化对等离子体现象的研究，依据作用方式可将相互作用分成两类。 等离子体的平均电场和平均磁场把等离子体中大量粒子之间弱长程 相互作用包括进去。两个带电粒子之间强的短程的两体相互作用可以 用两体碰撞算符表示。
研究等离子体在小于两体碰撞的时间标度内的性质揭示出各式 各样的集体性质，正是这些性质将等离子体状态与其它物质状态区别 开来。然而，需要注意到这个事实，如果在较长的时间标度内研究等 离子体，碰撞最终会迫使等离子体与周围介质达到热力学平衡态。
5
1d
d
1
2d
d
2
和动量矩守恒
d d
其中常数 ， 分别为（碰撞前）初始动能和初始动量矩
1d
d
2d
d
解出
1d 2d 2
d2
d
2
.根据动量矩守恒
d
得到 d 2
积分 d
2 其中 由条件
d d 确定，即
d d
0
d 1
6
1 因此偏转角
2
对于 Coulomb 位势而言
＝0
d 2
1
其中
/
/
因此
/4
2 arcsin
；
位置 ， ，相对位移是
。碰撞后，粒子的速度分别为
， ，相对速度为
。粒子的运动方程为
3
其中
d
，d
d
d
。引入质心坐标系和相对位移
则 得到质心运动速度 和 折合质量为
d 0
d
d
常矢量
d
d d
结果表明，二粒子碰撞在质心系中相当于一个质心保持匀速直线运动，
相对运动相当一个质量为 的粒子受在力心固定的向心力
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基于Fokker-Planck方程的等离子体模拟ALI SHAJII，DANIEL SMITHMKS Instruments, 90 Industrial Way, Wilmington, MA, USA, 01887 对于各个计算组织，等离子体的模拟一直是个极大的挑战，有很多不同近似程度的模拟计算方法。
包括完整的动力学计算方法，流体近似方法和关于漂移扩散方程的方法。
近几年来，有人用Fokker-Planck方程处理等离子体中的电子，同时把离子当作流体进行耦合计算，获得了很好的计算结果。
本章我们将介绍基于通用Fokker-Planck方程的计算求解过程，并通过一个具体实例得到电容放电过程的电子密度分布。
希望通过该简单模型使读者对等离子放电建模过程有个初步的了解。
1．引言各种工业等离子体应用“过程”中都存在一个关键步骤[2][3]。
历史上曾采用各种不同方法对等离子体进行简化建模，分别对应于不同层面问题所需准确性[3][5][7]。
这些层面包括：●完整的动力学模型（多组分Boltzmann方程）[4]；●使用Monte-Carlo方法的颗粒模拟[3]；●Fokker-Planck近似[1][7]；●多尺度流动模型（也被称作漂移扩散模型）[3]。
出于种种原因，使得等离子体的建模和模拟非常困难。
首先，最直接的使用多流体方程的模型不能反应相关的等离子体物理过程。
其次，“水动力学”系数完全取决于研究的特定问题，不能作为纯气体或液体的常数简单测量。
最重要的一点是，完整的动力学模型包括Boltzmann方程，计算求解非常困难。
对于完整动力学模型和流动模型之间的需求空白，通常采用Fokker-Planck (FP)近似或者Monte Carlo (MC)颗粒模拟。
这两种方法可以在所需计算复杂度和捕获等离子体重要物理细节之间找到一个很好的平衡。
本章的主要目的是展现用COMSOL Multiphysics求解FP方程的功能。
为了对该问题给出一个整体认识，我们把侧重点集中在一个简单的例子上。
特别是在第二节我们通过一个简单的例子对FP 方程给出一个直观描述，将它用于布朗运动的颗粒模拟。
本章最主要的贡献在于介绍了如何在外部电场情况下对电子动力学过程进行建模。
最后，在第四节中对如何使用COMSOL Multiphysics 实现该模型给出了详细的讨论。
2．一维FP 和Langevin 方程对FP 方程直接求导可以得到Langevin 方程[1]。
考虑浸没在流体中的“布朗”颗粒，如果颗粒足够小，会同时受到两种力。
一是颗粒和流体介质间的粘性力，它会降低平均颗粒速度。
二是颗粒与流体“分子”间随机碰撞的力。
该布朗颗粒的运动控制方程如下[1]：()t υγυ=-+Γ (1)其中γ是阻尼系数，随机项()t Γ表示颗粒与背景流体的连续碰撞。
对于这个简单的例子，通常我们假设粘性力线性依赖于颗粒速度。
同时，根据随机近似，Langevin 力必须满足以下方程[1]：()0()(')(')t t t q t t δΓ=ΓΓ=-其中2/q kT m γ= [1]，表示整体平均，T 是流体温度，k 是Boltzmann 常数，m 是布朗颗粒的质量。
同时注意到力Γ可以很容易的通过MATLAB 函数randn （见第四节）实现。
给定适当的颗粒数和初始条件后，使用MC 方法可以很容易的求解方程(1)。
为了对颗粒在时间t 时的速度进行精确静态测量，颗粒数通常需要超过一百万。
最简单的初始条件为0(0)t υυ==。
总之，Langevin 方程描述了背景流体介质中布朗颗粒的运动。
当然，如果没有随机力，颗粒的路径为0t e γυυ-=。
但是由于Γ的存在，方程(1)对于很多颗粒算出的解通常是条分布曲线，分布的宽度由q 决定[1]。
FP 方程为MC 方法提供了另一种思路。
包含随机力的Langevin 方程可以等价与以下偏微分方程：2w q w w w v t v v v γ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭(2)初始条件和边界条件为：0(0)()()0w t v v w v δ==-→±∞=(3)其中w 是颗粒在速度空间中的分布概率，也就是颗粒出现的概率，在无限大系统中，速度通常表示为wdv 。
初始条件(3)如图1所示。
求解该偏微分方程等价于对无限个颗粒进行Monte-Carlo 模拟，以获得t >0时的概率分布函数。
图2给出了两种方法的比较。
MC 方法针对初始条件为00υ=的情况，求解了20000个常微分方程。
这还不是强非线性阻尼力和三维空间情况下的颗粒运动，即使如此，对于这个简单的例子，求解偏微分方程的时间和常微分方程一样。
当颗粒痕迹的常微分方程是非线性时，或者需要从FEA模拟中查询外部力的值时，MC方法的计算时间就会变得非常大。
图1 初始条件w图2 各时间步长下Fokker-Planck 和Monte Carlo 方法的对比作为例子，我们考虑修改后的Langevin 方程：3()t υγυ=-+Γ(4)和相应的FP 方程[1]：121D w w w D w D t v v vv γ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ (5)其中31D v γ=-，2/2D q =。
这种情况下的分布函数如图3所示。
即使计算一百万个颗粒，常微分方程的分布函数也存在很大的数值噪声，而FP 结果就很平滑。
这里出现的静态噪声是有限颗粒MC 方法模拟的经典问题（也就是说数据的后处理是很精细、很关键的步骤）。
图3 各时间步长下基于非线性Langevin方程的Fokker-Planck和Monte Carlo方法的对比下面，根据本节介绍的背景知识，我们来看一个基于FP方程的更为复杂的例子。
3．外加场中的电子动力学现在我们考虑电子流在电容两极板间外加电场作用下的动力学过程。
一个极板保持常电压，另一个极板接地。
假设电子流从接地极板侧以一定速度引入，并在阳极侧积累。
并且两极板间的整个区域充满了温度为T的静止流体。
图4给出了该几何结构。
图4 模拟域示意图模型主要假设为：● 忽略由于电子和背景介质碰撞所产生的离子； ● 电子间的相互作用可以忽略； ● 在一维情况下求解该问题。
为了精确求解物理空间（y ）和速度空间（v y ）的电子分布，需要求解FP 方程。
在本例中我们还要计算电子密度、电子流和电容两极板间的静电场。
在通常情况下，FP 方程比静电场问题多需要一个空间维数，所以我们需要同时求解一个一维静电场和二维FP 方程。
电子分布的控制方程为：22yy y y y y F kT ww w w v w v m v y mv v γγ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-=--++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ (6)对于该电场ρε∇⋅=E (7)用标量形式电势和电子密度表示为22()e en y V y ε∂=∂ (8)其中()e y n y wdv ∞-∞=⎰(9)并且()y VF y ey∂=∂ (10)注意这里的n e 和F y 都是y 的函数。
边界条件和初始条件为：()()00,y y w y v v v δ==-(11) (),0y w y v =±∞=(12) ()00V y == (13) ()10.3V y ==(14)其中m 是电子质量，k 是Boltzmann 常数，T 是背景流体温度，e 是电子电荷，0ε是自由空间介电常数，γ是阻尼系数。
同时，无限大系统中，在速度v y 和位置y 处找到一个电子的概率为wdvdy 。
方程(6)和(8)是两个耦合的不同空间维数的偏微分方程。
由于COMSOL Multiphysics 允许不同空间维数的任意数量几何形状进行耦合，所以我们现在同时求解这两个方程。
通过投影耦合变量方法将电子密度引入静电场问题中，通过导出耦合变量的方法将颗粒上的力引入FP 问题中。
概括起来讲，电子流以速度v 0进入“电容放电”区域，同时受到三种力：Γ，v γ-和V ∇。
这些力导致电子速度和密度分布沿y 方向变化，所以与之前简单线性分布例子相比，当修改极板电势V 时，不存在这种情况。
图5给出了函数w 的解。
注意到初始时刻，当电子进入计算域时速度降低。
这种非线性、非单调曲线是由如图6所示的阴极电子屏蔽所导致的。
查看域中间位置附近的最大电子密度。
图8表明电容的电子电势在最大n e 处有最小值。
图5 概率分布图6 电子密度图7 平均速度图8 平行极板间电子电势随位置的分布最后，给出电子流量：y y wv dv ∞-∞Φ=⎰由于质量守恒，流量在y 方向应该保持为常数。
图7沿y 方向的电子流量表明该过程中质量守恒。
在下一节中我们将详细给出在COMSOL 中如何实现该模型。
但是在开始之前应该注意到，虽然以上模型不是对等离子体的完整模拟，但是通过模拟它可以给出了很多重要的特性，即，一个更完整的模型仍然应该包括FP 方程，但是现在必须耦合离子动力学过程。
同时，在很多情况下，FP 方程都需要在二维空间中求解。
FP 方程的速度依赖性采用相同的处理方法[7]。
4．COMSOL Multiphysics 的实现该模型用到COMSOL Multiphysics 的一些高级功能。
这些问题包括：● 速度空间的拓扑域是无限的，而物理空间只有厘米量级。
这会导致几何结构具有极高的横纵比；● 两个偏微分方程的空间维数不同；● 必须对所有的y 在速度空间中进行一系列线性积分，然后把得到的值用于静电场问题；● 同样的，静电场问题产生的力必须施加到Fokker-Planck 域物理和速度空间的每一个点；● 两个物理场之间存在强耦合，即：电子密度是外部施加力的强函数，且外部施加力是电子密度的强函数。
以上每一点都会带来潜在的问题，但是COMSOL Multiphysics 可以通过一些方法来克服这些困难。
第一点通过调节偏微分方程(6)和(8)的尺度来克服。
这使得几何结构具有较低的横纵比，从而提高网格质量。
尺度调节后的偏微分方程为：22T y y y C y y v w w dV w wv w v v v y dy v v α⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-=--++ ⎪ ⎪∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭(15) 2y V wdv β∞-∞∇=-⎰(16)其中T v =C v d γ=T eV mv dαγ=2000ed n V βε=m 是电子质量，k 是Boltzmann 常数，T 是背景流体温度，e 是电子电荷，0ε是自由空间介电常数，d是平行极板间的距离，V0是下极板电压，γ是阻尼常数，n0是y＝0处的电子密度。
我们通过模型导航栏建立两个几何结构，几何结构1为二维结构，独立变量y，v y和z，偏微分方程通用形式的因变量为w。
然后再增加一个几何结构2，使用独立变量x，y和z，偏微分方程通用形式的因变量为V。