二次函数与相似三角形综合题
类型五 二次函数与三角形全等、相似(位似)有关的问题(解析版)
类型五二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题【典例1】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+6；（2）S△PBC＝﹣3m2+9m（0＜m＜3）；（3）M（1，8），N（0，17 2）或M（74，558），N（0，838）或M（94，398），N（0，38）或M（3，0），N（0，﹣32）【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），进而可得出PF的长度，利用三角形的面积公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函数的性质即可求出△PBC面积的最大值；（3）分两种不同情况，当点M位于点C上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出点M，点N的坐标即可．【详解】（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+6， 得：609360a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：24a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2+4x+6．（2）过点P 作PF ∥y 轴，交BC 于点F ，如图1所示．当x ＝0时，y ＝﹣2x 2+4x+6＝6， ∴点C 的坐标为（0，6）． 设直线BC 的解析式为y ＝kx+c ，将B （3，0）、C （0，6）代入y ＝kx+c ，得：306k c c +=⎧⎨=⎩，解得：26k c =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣2x+6．设点P 的坐标为（m ，﹣2m 2+4m+6），则点F 的坐标为（m ，﹣2m+6）， ∴PF ＝﹣2m 2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m 2+6m ， ∴223273931224PBCSPF OB m m m ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭=， ∴当32m =时，△PBC 面积取最大值，最大值为274． ∵点P （m ，n ）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， ∴0＜m ＜3．（3）存在点M 、点N 使得∠CMN ＝90°，且△CMN 与△OBC 相似．如图2，∠CMN ＝90°，当点M 位于点C 上方，过点M 作MD ⊥y 轴于点D ，∵∠CDM ＝∠CMN ＝90°，∠DCM ＝∠NCM ， ∴△MCD ∽△NCM ，若△CMN 与△OBC 相似，则△MCD 与△NCM 相似， 设M （a ，﹣2a 2+4a+6），C （0，6）， ∴DC ＝﹣2a 2+4a ，DM ＝a ，当3162DM OB CD OC === 时，△COB ∽△CDM ∽△CMN ， ∴21242a a a =-+ ，解得，a ＝1， ∴M （1，8），此时1122ND DM ==， ∴N （0，172），当12CD OB DM OC ==时，△COB ∽△MDC ∽△NMC ， ∴22412a a a +=﹣ ，解得74a =， ∴M （74，558），此时N （0，838）． 如图3，当点M 位于点C 的下方，过点M 作ME ⊥y 轴于点E ， 设M （a ，﹣2a 2+4a+6），C （0，6）， ∴EC ＝2a 2﹣4a ，EM ＝a ，同理可得：21224a a a -=或2242a a a-=，△CMN 与△OBC 相似，解得94a =或a ＝3， ∴M （94，398）或M （3，0），此时N 点坐标为，N （0，38）或N （0，﹣32）．综合以上得，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），，N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32），使得∠CMN ＝90°，且△CMN 与△OBC 相似．【典例2】如图，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．直线122y x =-经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的一动点，过点P 且垂直于x 轴的直线与直线BC 及x 轴分别交于点D 、M ．PN BC ⊥，垂足为N ．设(),0M m ．①点P 在抛物线上运动，若P 、D 、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m 的值；②当点P 在直线BC 下方的抛物线上运动时，是否存在一点P ，使PNC △与AOC △相似．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =--；（2）-2，12-，1；（3）存在，（3，-2） 【解析】 【分析】 （1）根据直线122y x =-经过B 、C 两点求出B 、C 两点的坐标，将B 、C 坐标代入抛物线212y x bx c =++可得答案； （2）①由题意得P （m ，213222m m --），D （m ，122m -）；根据P 、D 、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点列式计算即可求得m 的值；②先证明CBO AOC △∽△，得出ACO=ABC ∠∠，再根据PNC △与AOC △相似得出ACO=PCN ∠∠，则ABC=PCN ∠∠，可得出AB//PC ，求出点P 的纵坐标，代入抛物线213222y x x =--，即可求得点P 的横坐标． 【详解】解：（1）由直线122y x =-经过B 、C 两点得B （4，0），C （0，-2） 将B 、C 坐标代入抛物线得2840c b c =-⎧⎨++=⎩，解得322b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =--； （2）①∵PN BC ⊥，垂足为N ． (),0M m ∴P （m ，213222m m --），D （m ，122m -）， 分以下几种情况：M 是PD 的中点时，MD=PM ，即0-（122m -）=213222m m -- 解得12m =-，24m =（舍去）；P 是MD 的中点时，MD=2MP ，即122m -=2（213222m m --） 解得112m =-，24m =（舍去）；D 是MP 的中点时，2MD=MP ，即213222m m --=2（122m -） 解得11m =，24m =（舍去）； ∴符合条件的m 的值有-2，12-，1；②∵抛物线的解析式为：213222y x x =--， ∴A （-1，0），B （4，0），C （0，-2） ∴AO=1，CO=2，BO=4， ∴AO CO=CO BO，又AOC=COB ∠∠=90°， ∴AOC COB △∽△， ∴ACO=ABC ∠∠， ∵PNC △与AOC △相似 ∴ACO=PCN ∠∠， ∴ABC=PCN ∠∠， ∴ AB//PC ，∴点P 的纵坐标是-2，代入抛物线213222y x x =--，得 2322122x x --=- 解得：10x =（舍去），23x =， ∴点P 的坐标为：（3，-2） 【典例3】如图，抛物线215:324L y x x =--与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求PD BD +的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）如图2，将抛物线215:324L y x x =--向右平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M ，N 两点，若点A 是线段MN 的中点，求抛物线L '的解析式．【答案】（1）直线AB 的解析式为334y x =-，抛物线顶点坐标为5121,432⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）当134x =时，PD BD +的最大值为16932； 1357,432P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）21133242y x x =-+． 【解析】 【分析】（1）先根据函数关系式求出A 、B 两点的坐标，设直线AB 的解析式为y kx b =+，利用待定系数法求出AB 的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；（2）过点D 作DE y ⊥轴于E ，则//DE OA ．求得AB=5，设点P 的坐标为2155,34244x x x x ⎛⎫⎛⎫--<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则点D 的坐标为3,34x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，ED=x ，证明BDE BAO ∽，由相似三角形的性质求出54BD x =，用含x 的式子表示PD ，配方求得最大值，即可求得点P 的坐标；（3）设平移后抛物线L '的解析式21121()232y x m =--，将L ′的解析式和直线AB 联立，得到关于x 的方程，设()()1122,,,M x y N x y ，则12,x x 是方程2232520416x m x m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭的两根，得到12324x x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，点A 为MN 的中点，128x x +=，可求得m 的值，即可求得L ′的函数解析式．【详解】（1）在215324y x x =--中， 令0y =，则2153024x x --=，解得123,42x x =-=，∴(4,0)A ．令0x =，则3y =-，∴()0,3B -．设直线AB 的解析式为y kx b =+，则403k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AB 的解析式为334y x =-． 2215151213242432y x x x ⎛⎫=--=--⎪⎝⎭， ∴抛物线顶点坐标为5121,432⎛⎫-⎪⎝⎭（2）如图，过点D 作DE y ⊥轴于E ，则//DE OA ． ∵4,3OA OB ==，∴5AB ===， 设点P 的坐标为2155,34244x x x x ⎛⎫⎛⎫--<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则点D 的坐标为3,34x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴ED x =． ∵//DE OA ，∴BDE BAO ∽，∴BD EDBA OA =， ∴54BD x=， ∴54BD x =．而2231513324242PD x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭， ∴22215113113169224242432PD BD x x x x x x ⎛⎫+=-++=-+=--+⎪⎝⎭， ∵102-<，544x <<，由二次函数的性质可知：当134x =时，PD BD +的最大值为16932．2235313513573344444432x x ⎛⎫--=⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴1357,432P ⎛⎫-⎪⎝⎭．（3）设平移后抛物线L '的解析式21121()232y x m =--，联立23341121()232y x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，∴2311213()4232x x m -=--， 整理，得：2232520416x m x m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,M x y N x y ，则12,x x 是方程2232520416x m x m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭的两根， ∴12324x x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．而A 为MN 的中点，∴128x x +=， ∴3284m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：134m =． ∴抛物线L '的解析式2211312111332432242y x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭．【典例4】在平面直角坐标系中，已知抛物线()24460y ax ax a a =++->与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．（1）当6a =时，直接写出点A ，B ，C ，D 的坐标：A ______，B ______，C ______，D ______；（2）如图1，直线DC 交x 轴于点E ，若4tan 3AED =∠，求a 的值和CE 的长； （3）如图2，在（2）的条件下，若点N 为OC 的中点，动点P 在第三象限的抛物线上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，交AN 于点F ；过点F 作FH DE ⊥，垂足为H ．设点P 的横坐标为t ，记f FP FH =+．①用含t 的代数式表示f ；②设()50t m m -<≤<，求f 的最大值．【答案】（1）()3,0-，()1,0-，()0,18，()2,6--；（2）23；256；（3）①228433f t t =--+；②263．【解析】 【分析】（1）求出0y =时，x 的值可得点A 、B 的坐标，求出0x =时，y 的值可得点C 的坐标，将二次函数的解析式化为顶点式即可得点D 的坐标；（2）先求出顶点D 的坐标，从而可得DK 、OK 的长，再利用正切三角函数可得EK 、OE 、OC 的长，从而可得出点C 的坐标，然后将点C 的坐标代入二次函数的解析式可得a 的值，利用勾股定理可求出CE 的长；（3）①如图，先利用待定系数法求出直线AN 的解析式，从而可得点F 的坐标，由此可得出PF 的长，再利用待定系数法求出直线CE 的解析式，从而可得点J 的坐标，由此可得出FJ 的长，然后根据相似三角形的判定与性质可得FH FJOE CE=，从而可得FH 的长，最后根据f 的定义即可得；②先将f 的表达式化为顶点式，从而得出其增减性，再利用二次函数的性质即可得． 【详解】（1）当6a =时，262418y x x =++当0y =时，2624180x x ++=，解得1x =-或3x =-则点A 的坐标为(3,0)A -，点B 的坐标为(1,0)B - 当0x =时，18y = 则点C 的坐标为(0,18)C将262418y x x =++化成顶点式为26()62y x =+- 则点D 的坐标为(2,6)D --故答案为：()3,0-，()1,0-，()0,18，()2,6--； （2）如图，作DK x ⊥轴于点K将2446y ax ax a =++-化成顶点式为2(2)6y a x =+-则顶点D 的坐标为(2,6)D -- ∴6DK =，2OK = 在Rt DKE 中，tan DK AED EK ∠=，即643EK = 解得92EK =95222K OE EK O =--=∴= 在Rt COE △中，tan OC AED OE=∠，即4532OC =解得103OC =10(0,)3C ∴-，2222105()()32256CE OC OE =+=+= 将点10(0,)3C -代入2446y ax ax a =++-得：10463a -=- 解得23a =；（3）①如图，作FP 与ED 的延长线交于点J由（2）可知，23a =，100,3C ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴22810333y x x =+- 当0y =时，228100333x x +-=，解得5x =-或1x = ∴()5,0A -，()10B , N 为OC 的中点∴50,3N ⎛⎫- ⎪⎝⎭设直线AN 的解析式为11y k x b =+将点()5,0A -，50,3N ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得：1115053k b b -+=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得111353k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则直线AN 的解析式为1533y x =-- ∵22810,333P t t t ⎛⎫+-⎪⎝⎭∴15,33F t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴2215281025()33333333PF t t t t t =---+-=--+ 由（2）知，25OE =∴5,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，100,3C ⎛⎫- ⎪⎝⎭设直线CE 的解析式为22y k x b =+将点5,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，100,3C ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得：222502103k b b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2243103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则直线CE 的解析式为41033y x =-∴410,33J t t ⎛⎫-⎪⎝⎭∴1541055()333333FJ t t t =----=-+ ∵FH DE ⊥，//JF y 轴∴90FHJ EOC ∠=∠=︒，FJH ECO ∠=∠ ∴FJH ECO ~∴FH FJOE CE=，即553226535t FH -+= 解得1FH t =-+∴()2253133f PF FH t t t =+=--++-+ 即228433f t t =--+； ②将228433f t t =--+化成顶点式为()2226333t f =-++由二次函数的性质可知，当3t <-时，f 随t 的增大而增大；当3t ≥-时，f 随t 的增大而减小()50t m m -<≤<50m ∴-<<因此，分以下两种情况： 当53m -<<-时在5t m -<≤内，f 随t 的增大而增大 则当t m =时，f 取得最大值，最大值为()2226333m -++ 又当53m -<<-时，()20233m -+< ()2226263333m -++<∴ 当30m -≤<时在53t -<<-内，f 随t 的增大而增大；在3t m -≤≤内，f 随t 的增大而减小则当3t =-时，f 取得最大值，最大值为263综上，f 的最大值为263．【典例5】如图①，直线l 经过点（4，0）且平行于y 轴，二次函数y ＝ax 2﹣2ax +c （a 、c 是常数，a ＜0）的图象经过点M (﹣1，1)，交直线l 于点N ，图象的顶点为D ，它的对称轴与x 轴交于点C ，直线DM 、DN 分别与x 轴相交于A 、B 两点．（1）当a ＝﹣1时，求点N 的坐标及ACBC的值； （2）随着a 的变化，ACBC的值是否发生变化？请说明理由； （3）如图②，E 是x 轴上位于点B 右侧的点，BC ＝2BE ，DE 交抛物线于点F ．若FB ＝FE ，求此时的二次函数表达式．【答案】（1）N (4，﹣4)，AC BC ＝32；（2）不变，理由见解析；（3）y ＝﹣7568x 2+7534x +29368或y ＝﹣568x 2+534x +8368．【解析】 【分析】（1）证明△DME ∽△DAC ，△DCB ∽△DFN ，则ME DE AC DC =，BC DC FN DF=，求出AC ＝52，BC＝53，即可求解；（2）点D(1，1﹣4a)，N(4，1+5a)，则ME＝2，DE＝﹣4a，由（1）的结论得：AC＝142aa--，BC＝143aa--，即可求解；（3）利用△FHE∽△DCE，求出F(53﹣512a，16﹣23a)，即可求解．【详解】解：（1）分别过点M、N作ME⊥CD于点E，NF⊥DC于点F，∵ME∥FN∥x轴，∴△DME∽△DAC，△DCB∽△DFN，∴ME DEAC DC=，BC DCFN DF=，∵a＝﹣1，则y＝﹣x2+2x+c，将M(﹣1，1)代入上式并解得：c＝4，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4，则点D(1，5)，N(4，﹣4)，则ME＝2，DE＝4，DC＝5，FN＝3，DF＝9，∴245,539BCAC==，解得：AC＝52，BC＝53，∴ACBC＝32；（2）不变，理由：∵y＝ax2﹣2ax+c过点M(﹣1，1)，则a+2a+c＝1，解得：c＝1﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+(1﹣3a)，∴点D(1，1﹣4a)，N(4，1+5a)，∴ME＝2，DE＝﹣4a，由（1）的结论得：AC＝142aa--，BC＝143aa--，∴ACBC＝32；（3）过点F作FH⊥x轴于点H，则FH∥l，则△FHE∽△DCE，∵FB＝FE，FH⊥BE，∴BH＝HE，∵BC＝2BE，则CE＝6HE，∵CD＝1﹣4a，∴FH＝146a -，∵BC＝41 3aa-，∴CH＝54×413aa-＝20512aa-，∴F(53﹣512a，16﹣23a)，将点F的坐标代入y＝ax2﹣2ax+(1﹣3a)＝a(x+1)(x﹣3)+1得：16﹣23a ＝a (53﹣512a +1)(53﹣512a ﹣3)+1，解得：a ＝﹣7568或﹣568，故y ＝﹣7568x 2+7534x +29368或y ＝﹣568x 2+534x +8368．【典例6】若一次函数33y x =--的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，点B 的坐标为()3,0，二次函数2y ax bx c =++的图象过A ，B ，C 三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C 作//CD x 轴交抛物线于点D ，点E 在抛物线上（y 轴左侧），若BC 恰好平分DBE ∠．求直线BE 的表达式；（3）如图（2），若点P 在抛物线上（点P 在y 轴右侧），连接AP 交BC 于点F ，连接BP ，BFPBAFSmS=．①当12m =时，求点P 的坐标； ②求m 的最大值．【答案】（1）223y x x =--；（2）113y x =-；（3）①点(2,3)P -或(1,4)-P ；②916m =最大值 【解析】 【分析】（1）先求的点A 、C 的坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）设BE 交OC 于点M ．由(3,0),(0,3)B C -可得OB OC =，45OBC OCB ︒∠=∠=．再由//CD AB ，根据平行线的性质可得45BCD ︒∠=，所以OCB BCD ∠=∠．已知BC 平分DBE ∠，根据角平分线的定义可得EBC DBC ∠=∠．利用AAS 证得MBC DBC ≌．由全等三角形的性质可得CM CD =． 由此即可求得点M 的坐标为（0，-1）．再由(3,0)B ，即可求得直线BE 解析式为113y x =-； （3）①由12BFPBAF SS =可得12PF AF =．过点P 作//PN AB 交BC 于点N ，则ABF PNF ∽．根据相似三角形的性质可得2AB NP =．由此即可求得2NP =．设()2,23P t t t --，可得2233N t t x --=-．所以22N x t t =-．由此即可得()22PN t t t =--=2，解得122,1t t ==．即可求得点(2,3)P -或(1,4)-P ；②由①得4PN m =．即()22213442169t t t m t --⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭．再根据二次函数的性质即可得916m =最大值． 【详解】（1）解：令330x --=，得1x =-．令0x =时，3y =-． ∴(1,0),(0,3)A C --． ∵抛物线过点(0,3)C -， ∴3c =-．则23y ax bx =+-，将(1,0),(3,0)A B -代入得03,093 3.a b a b =--⎧⎨=+-⎩解得1,2.a b =⎧⎨=-⎩∴二次函数表达式为223y x x =--．（2）解：设BE 交OC 于点M ．∵(3,0),(0,3)B C -，∴OB OC =，45OBC OCB ︒∠=∠=．∵//CD AB ，∴45BCD ︒∠=．∴OCB BCD ∠=∠．∵BC 平分DBE ∠，∴EBC DBC ∠=∠．又∵BC BC =，∴MBC DBC ≌．∴CM CD =．由条件得：(2,3)D -．∴2CD CM ==．∴321OM =--．∴(0,1)M -．∵(3,0)B ，∴直线BE 解析式为113y x =-．（3）①12BFP BAF S S =，∴12PF AF =． 过点P 作//PN AB 交BC 于点N ，则ABF PNF ∽． ∴2AB NP =．∵4AB =，∴2NP =．∵直线BC 的表达式为3y x =-，设()2,23P t t t --，∴2233N t t x --=-．∴22N x t t =-．∴()22PN t t t =--，则()222t t t --=，解得122,1t t ==． ∴点(2,3)P -或(1,4)-P ．②由①得：4PN m =． ∴()()222222331391344442442916t t t t t t t m t t ----⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫====⨯--+=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ∴m 有最大值，916m =最大值．。
二次函数与相似三角形综合1
二次函数与相似三角形综合1、P （－3，m ）和Q （1，m ）是二次函数y ＝2x 2＋bx ＋1图象上的两点．（1）求b 的值；（2）将二次函数y ＝2x 2＋bx ＋1的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．2、如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P ，三角板两直角中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ． （1）判断△EAP 与△PDC 一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P ，是△EAP 周长等于△PDC 周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由．3、如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E ， AB ＝15 cm ，BC ＝9 cm ，（1）点E 是AB 的中点吗？为什么？ （2）若P 是射线DE 上的动点．设DP ＝x cm （0x >），四边形BCDP 的面积为y cm 2．①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时四边形BCDP 的面积．EPDCBA4、如图，点A 在x 正半轴上，点B 在y 正半轴上，OB ：OA=2，抛物线22y x mx =++的顶点为D ，且经过A 、B 两点．（1）求抛物线解析式；（2）将OAB Δ绕点A 旋转90˚后，点B 落在点C 处，将上述抛物线沿y 轴上下平移后过C 点，写出点C 坐标及平移后的抛物线解析式；（3）设（2）中平移后抛物线交y 轴于1B ，顶点为1D ，点P 在平移后的图像上，且112PBB PDD S S =ΔΔ，求点P 坐标．5、如图，二次函数x x y 31322—=的图像经过△AOC 的三个顶点，其中A(-1，m),B(n,n). (1)求A 、B 的坐标；(2)在坐标平面上找点C ，使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形①这样的点C 有几个？②能否将抛物线x x y 31322—=平移后经过A 、C 两点，若能求出平移后经过A 、C 两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由。
圆、相似三角形、二次函数经典综合题
中考数学《圆》综合复习【1】已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，EF ∥BC 且交AC 延长线于F ，连结CE.求证：(1)∠BAE=∠CEF ；(2)CE 2=BD ·EF.【2】如图，△ABC 内接于圆，D 为BA 延长线上一点，AE 平分∠BAC 的外角，交BC 延长线于E ，交圆于F.若AB=8，AC=5，EF=14.求AE 、AF 的长.【3】如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上的任意一点（不与点A 、B 重合），连接 CO 并延长CO 交于⊙O 于点D ，连接AD ． (1)弦长AB 等于 ▲ （结果保留根号）； (2)当∠D ＝20°时，求∠BOD 的度数；(3)当AC 的长度为多少时，以A 、C 、D 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．【4】如图，在ABC △中90ACB ∠=，D 是AB 的中点，以DC 为直径的O 交ABC △的三边，交点分别是G F E ，，点．GECD ，的交点为M ，且ME = :2:5MD CO =．（1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O 的直径CD 的长．B CF E A D O .A B D C EF 第9题图【5】如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。
(1)求证：CD 为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度. 【6】【7】如图，已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ，AO 1是⊙O 2的切线，⊙O 1交O 1O 2于点B ，连结AB 并延长交⊙O 2于点C ，连结O 2C. （1）求证：O 2C ⊥O 1O 2； （2）证明：AB ·BC=2O 2B ·BO 1；（3）如果AB ·BC=12，O 2C=4，求AO 1的长.O 1O 2A B【8】如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为 直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上一动点，连 结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB=AB ，过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF （1）当∠AOB =30°时，求弧AB 的长度； （2）当DE =8时，求线段EF 的长；（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此 时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【9】 如图（18），在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根． （1）求m 、n 的值；（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11CM CN+第24题图图（3）l '【10】如图l0．在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10．以AB为直径的⊙O’与y轴正半轴交于点C．连接BC，AC。
中考数学压轴题：二次函数综合、相似三角形存在性问题
中考数学压轴题：二次函数综合、相似三角形存在性问题1．如图，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若C1C2=65，求m的值．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+√3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．3．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．（1）求该抛物线的解析式；（2）判断△BCM的形状，并说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；（3）点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP 的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）D是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBD与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P 运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；9．如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点A （3，1），点C （0，4），顶点为点M ，过点A 作AB ∥x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标；（2）点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与△BCD 相似，请直接写出所有点P 的坐标．10．如图，抛物线y ＝ax 2+bx 经过两点A （﹣1，1），B （2，2）．过点B 作BC ∥x 轴，交抛物线于点C ，交y 轴于点D ．（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C 的坐标；（2）若抛物线上存在点M ，使得△BCM 的面积为72，求出点M 的坐标； （3）连接OA 、OB 、OC 、AC ，在坐标平面内，求使得△AOC 与△OBN 相似（边OA 与边OB 对应）的点N 的坐标．11．如图1，抛物线y＝ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；（2）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．。
最新九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题(相似三角形问题)
2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）1．已知，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()1,0-，且OB OC =．(1)求二次函数的解析式；(2)当04x ≤≤时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线234y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接,AC BC ．(1)求ABC 的面积；(2)如图2，点P 为直线上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ∥交直线BC 于点D ，过点P 作直线PE x ∥轴交直线BC 于点E ，求PD PE +的最大值及此时P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将原抛物线234y x x =-++沿射线AC 方向平移M 是新抛物线与原抛物线的交点，N 是平面内任意一点，若以P 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N 的坐标．3．已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1030A B ，、，两点，且与y 轴的公共点为点C ，设该抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D 的坐标；(2)若点P 为抛物线上一点，且满足PB PC =，求点P 的横坐标；(3)连接CD BC ，，点E 为线段BC 上一点，过点E 作EF CD ⊥交CD 于点F ，若12=DF CF ，求点E 的坐标．4．如图1，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，直线4y x =-+经过B 、C 两点，4OB OA =．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作PD x ⊥轴交BC 于点D ，垂足为N ，连接PC 交x 轴于点E ，设点P 的横坐标为t ，PCD 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)在（2）的条件下，如图3，过点P 作PF PC ⊥交y 轴于点F ，PF PE =．点G 在抛物线上，连接PG ，45CPG ∠=︒，连接BG ，求直线BG 的解析式．5．如图1，已知二次函数2y ax bx c =++的图象的顶点为()0,1D ，且经过点()2,2A ．(1)求二次函数的解析式；(2)过点A 的直线与二次函数图象的另一交点为B ，与y 轴交于点C ，若BDC 的面积是ADC △的两倍，求直线AB 的解析式；(3)如图2，已知(),0E m ，是x 轴上一动点（E ，O 不重合），过E 的两条直线1l ，2l 与二次函数均只有一个交点，且直线1l ，2l 与y 轴分别交于点M 、N ．对于任意的点E ，在y 轴上（点M 、N 上方）是否存在一点()0,F t ，使N FEM F E △∽△恒成立．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y 2b c x ++与x 轴交于点A 、B ，点A 、B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C 、D ，BC．(1)求b、c的值；(2)求直线BD的直线解析式；(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．7．如图1，抛物线与坐标轴分别交于A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．(1)求抛物线解析式；(2)抛物线上是否存在点P，使得△CBP＝△ACO，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；(3)如图2，Q是△ABC内任意一点，求DQ EQ QFAD BE CF++的值．8．如图所示，平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x+2k）（x﹣k）图象与x轴交于A、B两点，抛物线对称轴为直线x＝﹣2；(1)求k 的值；(2)点C 为抛物线上一点，连接BC 、AC ，作CD △x 轴于D ，当△BCA ＝90°时，设CD 长度为d ，求d 与a 的函数关系式；(3)抛物线顶点为S ，作S T 垂直AB 于T ，点Q 为第一象限抛物线上一点，连接AQ 交S T 于点P ，过B 作x 轴的垂线交AQ 延长线于点E ，连接OE 交BQ 于点G ，过O 作OE 的垂线交AQ 于点F ，若OF ＝OG ，tan△ABQ ＝2时，连接S Q ，求证：S Q ＝S P ．9．已知抛物线23y x bx =-++的图象与x 轴相交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，图象的对称轴为直线=1x -．连接AC ，有一动点D 在线段AC 上运动，过点D 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ，交x 轴于点F ．设点D 的横坐标为m ．(1)求AB 的长度；(2)连接AE CE 、，当ACE △的面积最大时，求点D 的坐标； (3)当m 为何值时，ADF △与CDE 相似．10．如图，抛物线28y ax bx =++与x 轴交于()2,0A -和点()8,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ，BC ，BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，设四边形PBOC 和AOC 的面积分别为PBOC S 四边形和AOCS，记AOC PBOC S S S =-△四边形，求S 最大值点P 的坐标及S 的最大值；(3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线24y ax bx =+-经过点()1,0C -，点()4,0B ，交y 轴于点A ，点H 是该抛物线上第四象限内的一个动点，HE △x 轴于点E ，交线段AB 于点D ，HQ △y 轴，交y 轴于点Q ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)若四边形HQOE 是正方形，求该正方形的面积．(3)连接OD 、AC ，抛物线上是否存在点H ，使得以点O 、A 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点为()10A -，，顶点为B ．点()5C m ，在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E ．(1)求抛物线的表达式及点E 的坐标； (2)连接AB ，求△B 的余切值；(3)点G 为线段AC 上一点，过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M （位于点E 右侧），当△CGM 与△ABE 相似时，求点M 的坐标．13．如图所示，抛物线2=23y x x --与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点M 为抛物线的顶点．(1)求点C 及顶点M 的坐标．(2)若点N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN 、CN ，求BCN △面积的最大值． (3)直线CM 交x 轴于点E ，若点P 是线段EM 上的一个动点，是否存在以点P 、E 、O 为顶点的三角形与ABC 相似．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．15．综合与探究如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B ，C 的坐标分别为(2，0)，(0，3)，点D 与点C 关于x 轴对称，P 是直线AC 上方抛物线上一动点，连接PD 、交AC 于点Q ．(1)求抛物线的函数表达式及点A 的坐标； (2)在点P 运动的过程中，求PQ ：DQ 的最大值；(3)在y 轴上是不存在点M ，使45AMB ∠=︒？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得△CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．17．如图（1），直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B （3，0）、点C （0，3），经过B 、C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．(1)求该抛物线的解析式与点P 的坐标；(2)当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值； (3)连接AC ，点N 在x 轴上，点M 在对称轴上，△是否存在使以B 、P 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由；△是否存在点M ，N ，使以C 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． （图（2）、图（3）供画图探究）18．如图，已知抛物线213222y x x =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．(1)则点A 的坐标为_________，点B 的坐标为_________，点C 的坐标为_________；(2)设点11(,)P x y ，22(,)Q x y （其中12x x >）都在抛物线213222y x x =-++上，若121x x =+，请证明：12y y >；(3)已知点M 是线段BC 上的动点，点N 是线段BC 上方抛物线上的动点，若90CNM ∠=︒，且CMN 与OBC △相似，试求此时点N 的坐标．参考答案：1．(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5，最小值为4-(3)存在，(0,9)P -或9(0,)5P -2．(1)10；(2)最大值为4，()2,6P ； (3)N 点坐标为113,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或345,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或53,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．3．(1)243y x x =-+，()21-，(2)⎝⎭或⎝⎭(3)207,99⎛⎫ ⎪⎝⎭4．(1)254y x x =-+ (2)32122S t t =-+ (3)416y x =-5．(1)2114y x =+ (2)312y x =-或132y x =-+ (3)存在，=2t6．(1)132b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)y=+(3)Q 1（，0）、Q 2（0）、Q 3，0）、Q 4（，0） 7．(1)223y x x =-++(2)存在，1217(,),(1,4)24P P - (3)DQ EQ QF AD BE CF ++的值为18．(1)k ＝4 (2)1d a=-9．(1)4(2)（32-，32-） (3)当2m =-或1m =-时ADF △与CDE 相似10．(1)21382y x x =-++ (2)()4,12P ，最大值为56(3)存在，()3,8，(3,5，()3,1111．(1)234y x x =--(2)6+(3)存在，点H 的坐标为1684,525⎛⎫- ⎪⎝⎭或521,24⎛⎫- ⎪⎝⎭12．(1)21322y x x =--；E （2，0） (2)3(3)M 点的坐标为（5，0）或（7，0）13．(1)C 点坐标为（0，-3），顶点M 的坐标为（1，-4）；(2)278(3)P 点的坐标为39(,)44--或（-1，-2）．14．(1)抛物线L 1：2=23y x x --，抛物线L 2：223y x x =-++； (2)435(,)39M 或(4,5)M -．15．(1)211322y x x =--+，A (-3，0)； (2)316； (3)存在，M (0，6)或(0，-6)16．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）17．(1)243y x x =-+，顶点坐标为P （2，－1） (2)33,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)△存在，()10,0N 或27,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭；△存在，点M 的坐标为（2，2）；（2，－4）；（2，4）18．(1)（-1，0），（4，0），(0，2)；(3)点N 的坐标为（32，258）或（3，2）．。
二次函数与相似三角形综合题
二次函数与相似三角形二次函数与相似三角形例1 如图1，已知抛物线x x 41y 2+-=的顶点为A ，且经过原，与x 轴交于点O 、B 。
（1）若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；点的坐标；（2）连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
点的坐标；若不存在，说明理由。
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. . 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、三角函数、三角函数、对称、对称、旋转等知识来推导边的大小。
识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
度，之后利用相似来列方程求解。
解:⑴如图1,当OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CD ∥＝OB, 由1)2x (4102+--=得4x ,0x 21==, ∴B(4,0),OB ＝4. ∴D 点的横坐标为6 将x ＝6代入1)2x (41y 2+--=,得y ＝－3, ∴D(6,－3); 例1题图题图 图1 OAByxOAByx图2 COABDyx图1 13E A'OAB Py x图2 （2）先根据A 、C 的坐标，用待定系数法求出直线AC 的解析式，进而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P 、点M 的坐标，即可得到PM 的长；（3）由于∠PFC 和∠AEM 都是直角，F 和E 对应，则若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m 的代数式表示出AE 、EM 、CF 、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM 的形状．解答：解：（1）∵抛物线y=ax 2﹣2ax+c （a≠0）经过点A （3，0），点C （0，4）， ∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+x+4； （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ， ∵A（3，0），点C （0，4）， ∴，解得，∴直线AC 的解析式为y=﹣43x+4．∵点M 的横坐标为m ，点M 在AC 上，∴M 点的坐标为（m ，﹣43m+4）， ∵点P 的横坐标为m ，点P 在抛物线y=﹣x 2+x+4上，∴点P 的坐标为（m ，﹣ m 2+m+4）， ∴PM=PE﹣ME=（﹣m 2+m+4）﹣（﹣43m+4）=﹣m 2+73m ，即PM=﹣m 2+73m （0＜m ＜3）； （3）在（2）的条件下，连结PC ，在CD 上方的抛物线部分存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m ，EM=﹣m+4，CF=m ，PF=﹣m 2+m+4﹣4=﹣m 2+m ． 若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF ：AE=FC ：EM ，即（﹣m 2+m ）：（3﹣m ）=m ：（﹣ m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF 中，∵∠CMF+∠MCF=90°， ∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°， ∴△PCM 为直角三角形；②若△CFP∽△AEM，则CF ：AE=PF ：EM ，即m ：（3﹣m ）=（﹣m 2+m ）：（﹣m+4）， ∵m≠0且m≠3，yxEQP C B OA ∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF． ∴CP=CM，∴△PCM 为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形．点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解． 练习1、已知抛物线225333y x x =-+经过53(33)02P E æöç÷ç÷èø，，，及原点(00)O ，． （1）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．点的坐标；若不存在，说明理由．（2）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？之间存在怎样的关系？为什么？（1）存在．）存在．设Q 点的坐标为()m n ，，则225333n m m =-+， 要使,BQ PB OCP PBQ CP OC =△∽△，则有3333n m --=，即2253333333m m m +--=解之得，12232m m ==，．当123m =时，2n =，即为Q 点，所以得(232)Q ，要使,BQ PB OCP QBP OC CP =△∽△，则有3333n m --=，即2253333333m m m +--=解之得，12333m m ==，，当3m =时，即为P 点，点， 当133m =时，3n =-，所以得(333)Q -，． 故存在两个Q 点使得OCP △与PBQ △相似．相似．Q 点的坐标为(232)(333)-，，，．（2）在Rt OCP △中，因为3tan 3CP COP OC Ð==．所以30COP Ð=． 当Q 点的坐标为(232)，时，30BPQ COP Ð=Ð=． 所以90OPQ OCP B QAO Ð=Ð=Ð=Ð=．因此，OPC PQB OPQ OAQ ，，，△△△△都是直角三角形．都是直角三角形．又在Rt OAQ △中，因为3tan 3QA QOA AO Ð==．所以30QOA Ð=． 即有30POQ QOA QPB COP Ð=Ð=Ð=Ð=． 所以OPC PQB OQP OQA △∽△∽△∽△， 又因为QP OP QA OA ，⊥⊥30POQ AOQ Ð=Ð=，所以OQA OQP △≌△．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）若直线:(0)l y kx k =¹与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，， （2）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO Ð与ACO Ð的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．的取值范围．（1）假设存在直线:(0)l y kx k =¹与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似．相似．在223y x x =-++中，令0y =，则由2230x x -++=，解得1213x x =-=，(10)(30)A B \-，，，． 令0x =，得3y =．(03)C \，． 设过点O 的直线l 交BC 于点D ，过点D 作DE x ⊥轴于点E ．yCl xB A 1x = 练习3图yx B E A OC D1x =l点B的坐标为(30)，，点C的坐标为(03)，，点A的坐标为(10)-，．4345.AB OB OC OBC\===Ð=，，223332BC\=+=．要使BOD BAC△∽△或BDO BAC△∽△，已有B BÐ=Ð，则只需BD BOBC BA=，①或.BO BDBC BA=②成立．成立．若是①，则有3329244BO BCBDBA´===．而45OBC BE DEÐ=\=，．\在Rt BDE△中，由勾股定理，得222229224BE DE BE BDæö+===ç÷ç÷èø．解得解得94BE DE==（负值舍去）．93344OE OB BE\=-=-=．\点D的坐标为3944æöç÷èø，．将点D的坐标代入(0)y kx k=¹中，求得3k=．\满足条件的直线l的函数表达式为3y x=．［或求出直线AC的函数表达式为33y x=+，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为3y x=．此时易知BOD BAC△∽△，再求出直线BC的函数表达式为3y x=-+．联立33y x y x==-+，求得点D的坐标为3944æöç÷èø，．］若是②，则有342232BO BABDBC´===．而45OBC BE DEÐ=\=，．\在Rt BDE △中，由勾股定理，得222222(22)BE DE BE BD +===．解得解得2BE DE ==（负值舍去）．321OE OB BE \=-=-=．\点D 的坐标为(12)，． 将点D 的坐标代入(0)y kx k =¹中，求得2k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为2y x =．\存在直线:3l y x =或2y x =与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似，且点D 的坐标分别为3944æöç÷èø，或(12)，．（2）设过点(03)(10)C E ，，，的直线3(0)y kx k =+¹与该二次函数的图象交于点P ． 将点(10)E ，的坐标代入3y kx =+中，求得3k =-． \此直线的函数表达式为33y x =-+．设点P 的坐标为(33)x x -+，，并代入223y x x =-++，得250x x -=． 解得1250x x ==，（不合题意，舍去）．512x y \==-，．\点P 的坐标为(512)-，．此时，锐角PCO ACO Ð=Ð．又二次函数的对称轴为1x =，\点C 关于对称轴对称的点C ¢的坐标为(23)，． \当5px>时，锐角PCO ACO Ð<Ð；当5p x =时，锐角PCO ACO Ð=Ð； 当25p x <<时，锐角PCO ACO Ð>Ð．OxBEA O C1x =PC ¢ ·3.如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ． 在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ^x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与D PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．否则，请说明理由． 解：解： 假设存在假设存在A (1,0)-B (1,0)C (0,1)- ∵ÐPAB=ÐBAC =45 ∴P A ^AC ∵MG ^x 轴于点G ， ∴ÐMGA=ÐPAC =90 在Rt △AOC 中，OA=OC=1 ∴AC=2 在Rt △PAE 中，AE=PE=3 ∴AP= 32 设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <-(ⅰ) 当D AMG ∽D PCA 时，有AG PA =MG CA∵AG=1m --，MG=21m -即211322m m ---=解得11m =-（舍去）（舍去） 223m =（舍去）（舍去）(ⅱ) 当D MAG ∽D PCA 时有AG CA =MGPA即 211232m m ---=解得：1m =-（舍去）（舍去） 22m =- ∴M (2,3)-② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当D AMG ∽D PCA 时有AG PA =MGCA∵AG=1m +，MG=21m -G M 图3 C B y P A oxG M 图2 C B y P A ox图1 C P B y A ox∴211322m m +-=解得11m =-（舍去）（舍去） 243m =∴M 47(,)39(ⅱ) 当D MAG ∽D PCA 时有AG CA =MGPA即211232m m +-=解得：11m =-（舍去）（舍去） 24m = ∴M (4,15)∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与D PCA 相似相似M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15)4.4.（2013•曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系（2013•曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A 、B 两点，过A 、B 两点的抛物线y=﹣x 2﹣3x+4．．点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD⊥x 轴于点C ，交抛物线于点E ．（1）当DE=4时，求四边形CAEB 的面积．的面积． （2）连接BE BE，，是否存在点D ，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求此点D 坐标；若不存在，说明理由．说明理由．考点： 二次函数综合题． 分析： （1）首先求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点C 坐标为（m ，0）（m ＜0），根据已知条件求出点E 坐标为（m ，8+m ）；由于点E 在抛物线上，则可以列出方程求出m 的值．在计算四边形CAEB 面积时，利用S 四边形CAEB =S △A CE +S 梯形OCEB ﹣S △BCO ，可以简化计算；（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．解答：解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，解得：b=﹣3，c=4，∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣3x+4．（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m．∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，∴点E坐标为（m，8+m）．∵点E在抛物线y=﹣x 2﹣3x+4上，∴8+m=﹣m2﹣3m+4，解得m=﹣2．∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6，S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12．（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，则D（m，4+m）．∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似∴△DBE必为等腰直角三角形．i）若∠BED=90°，则BE=DE，∵BE=OC=﹣m，∴DE=BE=﹣m，∴CE=4+m﹣m=4，∴E（m，4）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3，∴D（﹣3，1）；ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣m，在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m，∴C E=4+m﹣2m=4﹣m，∴E（m，4﹣m）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2，∴D（﹣2，2）．综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点．5.5.（2013•绍兴压轴题）抛物线（2013•绍兴压轴题）抛物线y=y=（（x ﹣3）（x+1x+1））与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 为顶点．为顶点．（1）求点B 及点D 的坐标．的坐标．（2）连结BD BD，，CD CD，抛物线的对称轴与，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．①若线段BD 上一点P ，使∠DCP=∠BDE，求点P 的坐标．的坐标．②若抛物线上一点M ，作MN⊥CD，交直线CD 于点N ，使∠CMN=∠BDE，求点M 的坐标．的坐标．考点： 二次函数综合题．3718684分析： （1）解方程（x ﹣3）（x+1）=0，求出x=3或﹣1，根据抛物线y=（x ﹣3）（x+1）与x轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），确定点B 的坐标为（3，0）；将y=（x ﹣3）（x+1）配方，写成顶点式为y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，即可确定顶点D 的坐标；（2）①根据抛物线y=（x ﹣3）（x+1），得到点C 、点E 的坐标．连接BC ，过点C 作CH⊥DE 于H ，由勾股定理得出CD=，CB=3，证明△BCD 为直角三角形．分别延长PC 、DC ，与x 轴相交于点Q ，R ．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC，则==，得出Q 的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直线CQ 的解析式为y=﹣x ﹣3，直线BD 的解析式为y=2x ﹣6，解方程组，即可求出点P 的坐标；②分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M 在对称轴右侧时．若点N 在射线CD 上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN=2CN．设CN=a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，所以点M不存在．解答：解：（1）∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），∴当y=0时，（x﹣3）（x+1）=0，解得x=3或﹣1，∴点B的坐标为（3，0）．∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；（2）①如右图．∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C，∴C点坐标为（0，﹣3）．∵对称轴为直线x=1，∴点E的坐标为（1，0）．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），∴CH=DH=1，∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，∴CD=，CB=3，△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，∴∠CDB=∠QCO，∴△BCD∽△QOC，∴==，∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）．∴直线CQ的解析式为y=﹣x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6．由方程组，解得．∴点P的坐标为（，﹣）；②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，∴△MCN∽△DBE，∴==，∴MN=2CN．设CN=a，则MN=2a．∵∠CDE=∠DCF=45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF=CN=a，CF=a，∴MF=MN+NF=3a，∴MG=FG=a，∴CG=FG﹣FC=a，∴M（a，﹣3+a）．代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=，∴M（，﹣）；若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，∴△MCN∽△DBE，∴==，∴MN=2CN．设CN=a，则MN=2a．∵∠CDE=45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF=CN=a，CF=a，∴MF=MN﹣NF=a，∴MG=FG=a，点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．（2）中第②问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键．6.6.（2013•恩施州压轴题）如图所示，直线（2013•恩施州压轴题）如图所示，直线l ：y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线y=y=x x 2﹣4x+3过点B 、C 和D （3，0）． （1）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．的坐标． （2）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6=6？若存在，求出点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．由．考点： 二次函数综合题．分析： （1）由待定系数法求出直线BD 和抛物线的解析式；（2）首先确定△MCD 为等腰直角三角形，因为△BND 与△MCD 相似，所以△BND 也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N 有3个；（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD 面积的表达式，然后根据S △PBD =6的已知条件，列出一元二次方程求解．解答： （1）抛物线的解析式为：y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．直线BD ：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M ，令x=2，得y=1，∴M（2，1）．设对称轴与x 轴交点为点F ，则CF=FD=MN=1，∴△MCD 为等腰直角三角形．∵以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，∴△BND 为等腰直角三角形．如答图1所示：（I ）若BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点O ，∴N 1（0，0）；（II ）若BD 为直角边，B 为直角顶点，则点N 在x 轴负半轴上，∵OB=OD=ON 2=3，∴N 2（﹣3，0）；（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，∵OB=OD=ON3=3，∴N3（0，﹣3）．∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．（2）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n=6，化简得：m+n=7 ①，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，解得：m1=4，m2=﹣1，∴n1=3，n2=8，∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m=6，化简得：m+n=﹣1 ②，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m 2﹣4m+3，代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．故此时点P不存在．综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．。
初三中考数学专题复习：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案
中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图①，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式．(2)当点P 不与点A 、B 重合时，作直线AP ，交直线BC 于点Q ，若①ABQ 的面积是①BPQ 面积的4倍，求点P 的横坐标．(3)如图①，当点P 在第一象限时，连接AP ，交线段BC 于点M ，以AM 为斜边向①ABM 外作等腰直角三角形AMN ，连接BN ，①ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出①ABN 的面积；如果变化，请说明理由．2．如图，二次函数2314y x bx =++的图像经过点()8,3A ，交x 轴于点B ，C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点D ．(1)填空：b = ______；(2)点P 是第一象限内抛物线上一点，直线PO 交直线CD 于点Q ，过点P 作x 轴的垂线交直线CD 于点T ，若PQ QT =，求点P 的坐标；(3)在x 轴的正半轴上找一点E ，过点E 作AE 的垂线EF 交y 轴于F ，若AEF 与EFO △相似，求OE 的长．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得①CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．4．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线4y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点C ，抛物线21y x kx k =++-的图象经过点A 和点C ，与x 轴的另一个交点是点B ．(1)求出此抛物线的解析式； (2)求出点B 的坐标；(3)若在y 轴的负半轴上存在点D ．能使得以A ，C ，D 为顶点的三角形与①ABC 相似，请求出点D 的坐标．6．如图1，已知抛物线23y ax bx =++经过点()1,5D ，且交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知点()1,0A -，(),P m n 是抛物线在第一象限内的一个动点，PQ BC ⊥于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当PQ =m 的值；(3)是否存在点P ，使BPQ 与BOC 相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与①ABC 相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的函数关系式；(2)连结DA，求sin A的值；(3)若点H线段BC上，BOC与BFH△相似，请直接写出点H的坐标．9．如图，抛物线y＝1-2x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝720S △ABC 时，求点P 的坐标； (3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与①OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点C ，设抛物线的顶点为D ．(1)求该抛物线的表达式与顶点D 的坐标； (2)试判断BCD △的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0）与x 轴交于点A ，B ．与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ．已知ABC 的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于P ，Q 两点．过P ，Q 向x 轴作垂线，垂足分别为G ，H ．若四边形PGHQ 为正方形，求正方形的边长；(3)抛物线上是否存在一点N ，使得①BCN ＝①CAB ﹣①CBA ，若存在，请求出满足条件N 点的横坐标，若不存在请说明理由．12．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于点A （－1，0），B （2，0），与y 轴相交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 在此抛物线上，且在y 轴的右侧．①M 与y 轴相切，过点M 作MD ①y 轴，垂足为点D ．以C ，D ，M 为顶点的三角形与①AOC 相似，求点M 的坐标及①M 的半径长．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()0y ax bx c ac =++≠与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段OA OB OC 、、的长满足2OC OA OB =⋅，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线22(0)y ax bx a =++≠为“黄金”抛物线，其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB =(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ． ①求PD 的最大值；①连接PC ，当PCD 与ACO △相似时，求点P 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B 两点，其中1,0A ，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B 作x 轴垂线，在该垂线上取点P ，使得①PBC 与①ABC 相似，请求出点P 坐标；(3)如图2，在线段OB 上取一点M ，连接CM ，请求出12CM BM +最小值．15．如图，抛物线y ＝ax 2+k （a ＞0，k ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且PC ＝14OC ．过点P 作DE ①AB ，分别交抛物线于D ，E 两点（点E 在点D 的右侧），连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（用含a ，k 的式子表示） (2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若①ODC ＝90°，k ＝﹣4，求a 的值．16．如图，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC ，已知B (﹣1，0)，且抛物线经过点D (2，﹣2)．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 是抛物线上第四象限内的一点，且2ABES=，求点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一点，以P ，A ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标．17．如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上的动点（不与点A ，B ，C 重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在第一象限时，设①ACP 的面积为S 1，①ABP 的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求点P 的坐标； (3)过点O 作直线l ①BC ，点Q 是直线l 上的动点，当BQ ①PQ ，且①BPQ ＝①CAB 时，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且EF①x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与①ABD相似，求出此时点E的坐标；(3)若点P为坐标平面内一动点，满足tan①APB＝3，请直接写出①P AB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当S△PCD：S△ODC的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N．使①CMN＝90°，且①CMN与①BOC 相似，若存在，请求出点M、点N的坐标．20．如图，抛物线y＝x2＋bx＋12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．(1)请直接写出b＝，A点的坐标是，B点的坐标是；(2)如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；(3)如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P 点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得①P AC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．答案1．(1)y ＝﹣x 2+2x +3．(2)P 352或 (3)①ABN 的面积不变，为4．2．(1)2-(2)5⎛ ⎝⎭或5⎛ ⎝⎭(3)4或493．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）4．(1)抛物线L 1：223y x x =--，抛物线L 2：2y x 2x 3=-++；(2)435(,)39M 或(4,5)M -．5．(1)254y x x =++(2)点B 的坐标为（－1，0）(3)点D 的坐标是（0，－203） 6．(1)215322y x x =-++ (2)1或5(3)存在；P （53，529）7．(1)抛物线表达式为：213222y x x =--+；(2)AP +2PC 的最小值是4；(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似．8．(1)y =-x 2+2x +3(3)点H 的坐标为(1，2)或(2，1)9．(1)21382y x x =++ (2)P 1（1，10.5），P 2（7，4.5）(3)存在，（3，8）或(3,5或（3，11）30．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，（﹣1，4）；(2)直角三角形，理由见解析；(3)存在，（0，0）或（0，﹣13）或（－9，0）11．(1)y ＝﹣13x 2+23x +1(2)﹣6﹣(3)存在，5或11712．(1)22y x x =-++； (2)M 的坐标为（12，94），（32， 54 ），（3，-4），①M 的半径长为12或32或313．(1)213222y x x =--+(2)①PD ①P 坐标为(3,2)-或325()28，-14．(1)243y x x =-+(2)P 点坐标为()3,9或()3,215．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(、、(0，k ) (2)DE ＝12AB(3)a ＝1316．(1)224233y x x =--(2)E ，-1)(3)P 点的坐标(0，2)或(02)或(0，﹣2或(0，54)17．(1)213222y x x =-++ (2)点P 的坐标为（103，139）(3)点P 的坐标为（32，﹣2）或（32，﹣2）或（173，﹣509）18．(1)y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）(2)（5，8）或（73，89-）(3)①P AB ，此时P ）19．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6 (2)点P 的坐标为（32，152） (3)存在，M 、N 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣32）或（94，398）、（0，38）或（1，8）、（0，172）或（74，558）、（0，838）20．(1)﹣8，（2，0），（6，0）(2)3秒或212秒 (3)C 点坐标为（143，﹣329），P 点的坐标为（103，﹣4）或（﹣103，﹣4）或（11027，﹣4）。
二次函数与相似三角形问题(含答案完美打印版)
综合题讲解函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图 1 ，已知抛物线的顶点为A（ 2 ，1 ），且经过原点O，与 x 轴的另一个交点为 B 。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为y 1 x2x）．．．4⑵若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以O、C 、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；⑶连接 OA 、 AB ，如图 2 ，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△ OBP 与△ OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。
y yA AO B O Bx x图1例1题图图2．．．．．．．分析 :1 .当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C 、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特．．殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
例题 2 ：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （ a ＞ 0）交 x 轴于 A 、B 两点，交y 轴于点 C，抛物线的对称轴交x 轴于点 E，点 B 的坐标为（ -1 ，0 ）．（ 1）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；（ 2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P ，你能判断四边形ABCP 是什么四边形？并证明你的结论；（ 3）连接 CA 与抛物线的对称轴交于点 D ，当∠ APD= ∠ACP 时，求抛物线的解析式．练习 1 、已知抛物线y2bx c，，5 3，及原点 O(0，0) ．ax经过 P( 33) E02（ 1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为2253y x x ）．．．33（ 2）过P点作平行于x 轴的直线PC交 y 轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点 Q 作直线 QA 平行于y轴交x轴于A点，交直线PC 于B点，直线 QA 与直线 PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得△OPC 与△ PQB 相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（ 3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ ，矩形 OABC 内的四个三角形y△ OPC，△ PQB，△OQP，△ OQA 之间存在怎样的关系？为什么？C PBQO EA x练习 2 、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处。
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二次函数与相似三角形综合题
黄陂区实验中学邓静
教学目标：
1、会求二次函数解析式；
2、根据条件寻找或构造相似三角形，在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度，从而得出点的坐标。
教学重点：
1、求二次函数解析式；
2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。
教学难点：
根据条件构造相似三角形解决问题。
情感与态度：
1、培养学生积极参与教学学习活动的兴趣，增强数学学习的好奇心和求知欲。
2、使学生感受在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心。
3、培养学生科学探索的精神。
O
教学过程： 一、复习巩固
如图，抛物线y=ax 2+bx －2与x 轴交于点A （－1，0），B （m ，0）两点，与y 轴交于C 点，且∠ACB=90°，求抛物线的解析式. 分析：OC 2=OA·OB ∴4=1×m，m=4 ∴B（4，0）
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x －4)
代入C 点（0，－2）
∴抛物线解析式为213222
y x x =--.
二、新授
例题、如图，直线y=－x+3与x 轴、y 轴分别相交于B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴另一交点为A ，顶点为P ，且对称轴是直线x=2，
（1）求抛物线解析式；
（2）连结AC ，请问在x 轴上是否存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ACB 相似，若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，说明理由.
（3）D 点为第四象限的抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴，交CB 于E ，垂足于H ，过D 作DF ⊥CB ，垂足为F ，交x 轴于G ，试问是否存在这样的点D ，使得△DEF 的周长恰好被x 轴平分若能，请求出D 点坐标；若不能，请说明理由.
[解] （1）直线3y x =-+与x 轴相交于点B ，
∴当0y =时，3x =，
∴点B 的坐标为(30)，．
又抛物线过x 轴上的A B ，两点，且对称轴为， 根据抛物线的对称性，
∴点A 的坐标为(10)，．
3y x =-+过点C ，易知(03)C ，，
3c ∴=．
又抛物线2y ax bx c =++过点(1
0)(30)A B ，，，， ∴(1)(3)y a x x =--，经过C 点(0,3)
A
B C
P
O x
y
2x =
243y x x ∴=-+．
（2）连结PB ，由2243(2)1y x x x =-+=--，得(21)P -，，
设抛物线的对称轴交x 轴于点M ，在Rt PBM △中，1PM MB ==，
45PBM PB ∴==，∠
由点(30)(03)B C ，，，易得3OB OC ==，在等腰直角三角形OBC 中，
45ABC =∠，
由勾股定理，得
BC =
假设在x 轴上存在点Q ，使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似． ①当
BQ PB
BC AB
=
，45PBQ ABC ==∠∠时，PBQ ABC △∽△．
=，3BQ ∴=， 又3BO =，∴点Q 与点O 重合，1Q ∴的坐标是(00)，． ②当
QB PB AB BC
=，45QBP ABC ==∠∠时，QBP ABC △∽△．
即
2QB =
，23QB ∴=． 27
3333
OB OQ OB QB =∴=-=-
=，，
2Q ∴的坐标是703⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
180********PBx BAC PBx BAC =-=<∴≠，，∠∠∠∠． ∴点Q 不可能在B 点右侧的x 轴上．
综上所述，在x 轴上存在两点127
(00)03
Q Q ⎛⎫
⎪⎝⎭，，
，，能使得以点P B Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似．
（3）设D （a ，a 2－4a+3），则E （a ，－a+3）
△DFE ∽△BOC
∴DE ：BC=L △DEF ：L △BOC
232632
DFE ∆+
∴L △DEF 21)×(－a 2+3a)
∴DH+DG=12
DFE L ∆= 21)DH = 221)(43)a a -+- = 12
21)×(－a 2+3a) ∴243a a -+-=21
(3)2
a a -+ ∴a 1=2，a 2=3(舍)
∴D （2，－1）
2
1
P
x
应用变式：
1、在此抛物线上是否存在P 点使得∠1+∠2=45°，若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.
分析：
（1）延长CP 与x 轴交于E 点，∠1+∠2=45°=∠ABC=∠E+∠2
∴∠1=∠E ， 又∵∠COA 公共 ∴△OCA ∽△OEC
∴OC 2=OA ·OE OC 2=9=1×OE ∴OE=9 ∴E （9，0）
x
∴ 直线解析式133
y x =-+ 联立直线与抛物线 ∴ P 的坐标为（
113，169
） （2）P 点与A 点重合，P （1，0）， ∴ 综上所述，P 的坐标为（
1116
,39
），（1，0）.
2、在上题抛物线中，P 为抛物线上一点，PE ⊥BC 于E ，且CE=3PE ，求P 点坐标.
分析：连AC 、PC ，证△PEC ∽△OAC ，∠OCA=∠PCE ，∴∠PCA=45°. 延长CP 交x 轴于N ，△ACB ∽△ANC ，
AC 2=AB ·AN ，∴N （6，0），1:32
CN y x =-+，联立抛物线，得P （75,24
）.
三、小结
点的坐标是综合题的立足点（求解析式），又是综合题的制高点（求
满足条件的点的坐标或存在性探求），求点的坐标一般历经下面两个关键步骤：
（1）定位
（2）计算
四、作业练习
1、如图，抛物线22
=--交轴于A、B两点（A点在B点左侧），
y x x x
交y轴于C（0,－2），过A、C画直线，点M在y轴右侧的抛物线上，从M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H，且ΔCHM∽ΔAOC,求M点坐标.。