高中数学 3.4 基本不等式(第1课时)练习
湘教版高中数学必修四基本不等式及其应用第课时(1)
第2课时 基本不等式的应用题.1．利用基本不等式求函数或代数式的最值 预习交流1利用基本不等式求最值的关键是什么？ 2．利用基本不等式解决实际应用问题 预习交流2应用基本不等式求解实际应用问题的一般步骤是什么？ 3．利用基本不等式解决恒成立问题 预习交流3“不等式恒成立求参数取值范围”问题的常见解法是什么？预习交流1：提示：基本不等式通常用来求最值问题：一般用a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22求“定和求积，积最大”问题．一定要注意适用的范围和条件：“一正，二定，三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．预习交流2：提示：(1)理解题意，设出变量；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内求出函数的最大值或最小值； (4)还原为实际问题，写出正确答案．预习交流3：提示：常见解法有以下两种：(1)直接将参数从不等式中分离出来变成k ≥f (x )(或k ≤f (x ))，从而转化成f (x )求最值． (2)如果参数不能分离，而x 可以分离，如g (x )≥f (k )(或g (x )≤f (k ))，则f (k )恒大于g (x )的最大值或恒小于g (x )的最小值，然后解关于参数k 的不等式．其中关键是f (x )或g (x )的最值的求解，这时经常采用基本不等式求最值．一、利用基本不等式求函数的最值求解下列问题：(1)求f (x )＝x ＋42x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12的最小值；(2)求f (x )＝13x (1－4x )⎝⎛⎭⎪⎫0<x <14的最大值． 思路分析：将x ＋42x －1变形为x ＋2x －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋2x －12＋12，然后利用基本不等式a ＋b ≥2ab 变形求解；将13x (1－4x )变形为f (x )＝112[4x ·(1－4x )]，然后根据ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22求得4x ·(1－4x )的最大值，从而得到原函数的最大值．设x ＞0，则函数y ＝x －1＋22x ＋1的最小值等于__________． 1．在利用均值不等式求函数或代数式的最值时，有时不一定恰好能用上均值不等式，因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理，通过凑项的办法(一般是凑和或者积为定值)构造出均值不等式的形式再进行求解．2．凑项的技巧通常有：添项、拆项、统一变量、“1”的代替、恒等式的巧用等，通过这些凑项方法，获得定值，从而可利用基本不等式求出最值．二、利用基本不等式求代数式的最值已知正数a ，b 满足1a ＋1b＝3.(1)求a ＋b 的取值范围；(2)求ab 的取值范围．思路分析：一种思路是根据1a ＋1b＝3，用a 表示b ，然后代入要求最值的式子中，消去b ，再通过变形，利用基本不等式求得最值；另一种思路是先将1a ＋1b＝3变形为a ＋b ＝3ab ，再运用基本不等式，将a ＋b 与ab 进行转化，根据需要求得a ＋b 或ab 的取值范围．1．设x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝1，则1x ＋1y的最小值为__________．2．设x ，y ∈R ＋且1x ＋9y＝1，则x ＋y 的最小值为__________．1．均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．2．含有多个变量的条件最值问题，一般方法是采取减少变量的个数，将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决；如果条件等式中，含有两个变量的和与积的形式，还可以直接利用均值不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．三、基本不等式在实际问题中的应用某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．思路分析：总运费与购买的次数有关，每次购买x 吨，所以购买次数为400x，从而可建立总费用与x 的函数关系，利用基本不等式求出函数的最小值，同时可求出取得最小值时x 的值．建造一个容积为18 m 3，深为2 m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造价为200元和150元，那么池的最低造价为__________元．1．解实际应用题要注意以下几点：①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；③在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量取值范围)内求．2．有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面的求条件最值的方法求最值．四、不等式恒成立问题设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )．A ．0B ．4C ．－4D ．－2思路分析：将参数k 与变量a ，b 进行分离，即把参数k 放到不等式的一边，不等式的另一边是关于变量a ，b 的代数式，然后只需求出关于变量a ，b 的代数式的最值，即可得到参数k 的取值范围，从而得出k 的最小值．当x ＞－1时不等式x ＋1x ＋1＞a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 1．不等式恒成立问题往往与函数或代数式的最值有关，通过函数或代数式的最值，即可得到恒成立时参数的取值范围．一般地有以下几种情况：(1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥[f (x )]max ； (2)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞[f (x )]max ； (3)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤[f (x )]min ； (4)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜[f (x )]min .2．如果欲求范围的参数与其他变量混合在一起，可以首先进行参数分离，即把欲求取值范围的参数分离到不等式的一边，然后只需考察不等式另一边的函数或代数式的最值或取值范围即可．1．(2012浙江高考，文9)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )． A ．245 B ．285C ．5D ．62．设x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )． A ．40 B ．10 C ．4 D ．23．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．( )．A ．3B ．8C ．5D ．64．若x ＞0，则y ＝xx 2＋2的最大值为__________．5．若x ，y ∈R ，且满足(x 2＋y 2＋2)(x 2＋y 2－1)－18≤0，(1)求x 2＋y 2的取值范围； (2)求证：xy ≤2.答案：活动与探究1：解：(1)由于f (x )＝x ＋42x －1＝x ＋2x －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋2x －12＋12，又x ＞12，所以由基本不等式可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋2x －12＋12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12·2x －12＋12＝22＋12， 当且仅当x －12＝2x －12，即x ＝12＋2时，函数取得最小值22＋12.(2)由于0＜x ＜14，所以f (x )＝13x (1－4x )＝112[4x ·(1－4x )]≤112⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1－4x 22＝148， 当且仅当4x ＝1－4x ，即x ＝18时函数取得最大值148.迁移与应用：12 解析：y ＝x －1＋22x ＋1＝x －1＋1x ＋12＝x ＋12＋1x ＋12－32≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－32＝12，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立，所以函数的最小值等于12.活动与探究2：解：(解法一)由1a ＋1b ＝3得a ＋b ＝3ab ，所以b ＝a3a －1，并且由于a ＞0，b ＞0，可得a ＞13.(1)a ＋b ＝a ＋a 3a －1＝a ＋133a －1＋13＝a －13＋133a －1＋23≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133a －1＋23＝43，当且仅当a －13＝133a －1，即a ＝23时等号成立，所以a ＋b 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. (2)ab ＝a ·a3a －1＝a 2－13a ＋13a －19＋193a －1＝13a ＋19＋193a －1＝13a －19＋193a －1＋29≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －19·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫193a －1＋29＝49，当且仅当13a －19＝193a －1，即a ＝23时取等号，所以ab 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫49，＋∞. (解法二)由1a ＋1b ＝3得a ＋b ＝3ab .①由于ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即4(a ＋b )≤3(a ＋b )2，所以a ＋b ≥43，即a ＋b 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. ②由于a ＋b ≥2ab ，所以3ab ≥2ab ，即9(ab )2≥4ab ，所以ab ≥49，即ab 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫49，＋∞. 迁移与应用：1．3＋2 2 解析：因为x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝3＋2y x ＋xy≥3＋22y x ·x y ＝3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝2y 时，1x ＋1y取得最小值3＋2 2.2．16 解析：因为x ，y ∈R ＋且1x ＋9y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y≥10＋2y x ·9x y ＝16，当且仅当y x ＝9xy，即y ＝3x 时，x ＋y 的最小值为16. 活动与探究3：20 解析：该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，故一年的总运费与总存储费用之和为⎝⎛⎭⎪⎫400x ·4＋4x 万元．而400x ·4＋4x ≥2400x ·4·4x ＝160，当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．迁移与应用：5 400 解析：设水池底的长为x m ，宽为y m ，则有2xy ＝18，解得xy ＝9. 这时水池的造价为p ＝200xy ＋150×2(2x ＋2y )，即p ＝1 800＋600(x ＋y )，于是p ≥1 800＋600×2xy ＝1 800＋600×29＝5 400，当且仅当x ＝y ＝3时等号成立， 故池的最低造价为5 400元．活动与探究4：C 解析：因为a ＞0，b ＞0，所以不等式可化为k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab＝a 2＋2ab ＋b 2ab ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，即－(a ＋b )2ab的最大值为－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值是－4.迁移与应用：a ＜1 解析：令f (x )＝x ＋1x ＋1，由于x ＞－1， 则f (x )＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2(x ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1－1＝1，即函数f (x )的最小值是1，因此要使不等式x ＋1x ＋1＞a 恒成立，应有a ＜1. 当堂检测1．C 解析：∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．2．D 解析：因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝40，所以40≥24xy ，即xy ≤100，所以lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2，故lg x ＋lg y 的最大值是2.3．C 解析：依题意设y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，而当x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，于是k 1＝20，k 2＝45，因此y 1＝20x ，y 2＝45x ，∴y 1＋y 2＝20x ＋4x5≥216＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，∴仓库应建在离车站5千米处．4．24 解析：由于y ＝x x 2＋2＝1x ＋2x ，而x ＞0，所以x ＋2x ≥22，于是1x ＋2x≤122＝24，故y ＝xx 2＋2的最大值为24. 5．(1)解：由(x 2＋y 2)2＋(x 2＋y 2)－20≤0有(x 2＋y 2＋5)·(x 2＋y 2－4)≤0，因为(x 2＋y 2＋5)＞0，所以有0≤x 2＋y 2≤4.(2)证明：由(1)知x 2＋y 2≤4，由基本不等式得xy ≤x 2＋y 22≤42＝2，所以xy ≤2.。
2020秋高中数学第三章不等式3.4基本不等式第1课时基本不等式达标检测含解析
基本不等式A 级 基础巩固一、选择题1．(多选)下列求最值的运算中，运算方法错误的有( ) A ．当x <0时，x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1－x ≤－2· （－x ）·1－x＝－2，故x <0时的最大值是－2B ．当x >1时，x ＋2x －1≥2 x ·2x －1，当且仅当x ＝2x －1取等号，解得x ＝－1或2，又由x >1，所以取x ＝2，故x >1时的最小值为2＋22－1＝4C ．由于x 2＋9x 2＋4＝x 2＋4＋9x 2＋4－4≥2 （x 2＋4）·9x 2＋4－4＝2，故x 2＋9x 2＋4的最小值是2D ．当x ，y >0，且x ＋4y ＝2时，由于2＝x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，所以xy ≤12，又1x ＋1y≥21x ·1y ＝2xy ≥212＝4，故当x ，y >0，且x ＋4y ＝2时，1x ＋1y 的最小值为4 解析：对于A 项，根据基本不等式，可判定是正确的； 对于B 项，当x >1时，x －1＋2x －1＋1≥2 （x －1）·2x －1＋1＝22＋1，当且仅当x －1＝2x －1取等号，即x ＝2＋1时，最小值为22＋1，所以B 项不正确； 对于C 项，由于x 2＋9x 2＋4＝x 2＋4＋9x 2＋4－4≥2 （x 2＋4）·9x 2＋4－4＝2， 当且仅当x 2＋4＝9x 2＋4，即x 2＋4＝3时，此时不成立，所以C 项不正确； 对于D 项，两次基本不等式的等号成立条件不相同，第一次是x ＝4y ，第二次是x ＝y ，所以不正确．答案：BCD2．若a ≥0，b ≥0且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)≥(a 2＋b 2)＋2ab ， 即2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4， 所以a 2＋b 2≥2. 答案：C3．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2＞bc B.a ＋d2＜bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bc解析：因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d ＞0且不相等，所以b ＋c ＞2bc ，故a ＋d2＞bc .答案：A4．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab | D ．a 2＋b 2＞2|ab |解析：因为a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，所以a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)． 答案：A5．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( ) A.2ab a ＋b <a ＋b2<ab B.a ＋b2≥2aba ＋b≥ab C.a ＋b2>ab >2aba ＋bD.ab <2ab a ＋b <a ＋b2解析：a >b >0，a ＋b2>ab ，2ab a ＋b <2ab2ab＝ab . 从而a ＋b2>ab >2aba ＋b. 答案：C 二、填空题6．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ____log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a 2＋a －2>0，所以a >1或a <－2(舍)， 所以y ＝log a x 是增函数， 又t ＋12≥t ，所以log at ＋12≥log a t ＝12log a t . 答案：≤7．设a >0，b >0，给出下列不等式：①a 2＋1>a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4；③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9>6a .其中恒成立的是________(填序号)． 答案：①②③8．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，试判断12、a 、b 、2ab 、a 2＋b 2的大小顺序：_________________________________________________.解析：因为0＜a ＜b ，a ＋b ＝1， 所以a ＜12＜b ， ①2ab ＜a 2＋b 2， ② 下面寻找②中数值在①中的位置． 因为a 2＋b 2＞2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，a 2＋b 2＝a ·a ＋b 2＜a ·b ＋b 2＝(1－b )b ＋b 2＝b ，所以12＜a 2＋b 2＜b .又2ab ＜2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，2ab ＞2×12a ＝a ，所以a ＜2ab ＜12.所以a ＜2ab ＜12＜a 2＋b 2＜b .答案：a ＜2ab ＜12＜a 2＋b 2＜b三、解答题9．已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小．解：对a 2＋b 2，b 2＋c 2，c 2＋a 2分别利用不等式2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，即可比较出二者的大小．因为a 2＋b 2≥2ab ， 所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， 当且仅当a ＝b 时，等号成立． 又因为a ，b 都是非负实数， 所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )，当且仅当b ＝c 时，等号成立，c 2＋a 2≥22(c ＋a )，当且仅当a ＝c 时，等号成立．所以a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]＝2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )． 10．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，则abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c.证明：因为 a ，b ，c 都是正实数，且abc ＝1， 所以1a ＋1b ≥21ab＝2c ，1b ＋1c ≥21bc＝2a ， 1a ＋1c≥21ac＝2b ，以上三个不等式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )， 因为a ，b ，c 为不全相等实数， 所以a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c.B 级 能力提升1．(多选)设a ，b ∈R ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2＋b 2≥2abB ．a ＋1a≥2C ．b 2＋1≥2bD ．|b a |＋|a b|≥2解析：当a ，b ∈R 时，a 2＋b 2≥2ab 成立，故A 项正确；当a >0时，a ＋1a≥2，等号成立的条件是a ＝1，当a <0时，a ＋1a≤－2，等号成立的条件是a ＝－1，故B 项不正确；当b ∈R时，b 2＋1－2b ＝(b －1)2≥0，所以b 2＋1≥2b ，故C 项正确；⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a >0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b >0，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＝2，等号成立的条件是当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ，即a 2＝b 2，故D 项正确． 答案：ACD2．有下列不等式：①a 2＋1>2a ；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2；③a ＋b ab≥2；④x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的是________(填序号)．解析：因为a 2－2a ＋1＝(a －1)2≥0，所以a 2＋1≥2a ，故①不正确．对于②，当x >0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取“＝”)；当x <0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝－x －1x ≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，所以②正确．对于③，若a ＝b ＝－1，则a ＋bab＝－2<2，故③不正确．对于④，x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－1≥1(当且仅当x ＝0时取“＝”)，故④正确． 答案：②④3．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c .故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，a2 b ＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.即。
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式：ab≤a+b2课时作业(含解析)新人教A版必修5-新人
课时作业24 基本不等式：ab ≤a ＋b 2时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式中正确的是( D )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2D ．x 2＋3x 2≥2 3 解析：a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确． 2．若lg x ＋lg y ＝2，则1x ＋1y的最小值为( D ) A ．10 B.110C ．5 D.15解析：∵lg x ＋lg y ＝2，∴xy ＝100.且x >0，y >0.1x ＋1y ≥21xy ＝15. 3．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( C ) A ．最大值为0 B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0.∴x ＋1x －2＝－[(－x )＋1(－x )]－2≤－2·(－x )·1(－x )－2＝－4，等号成立的条件是－x ＝1－x ，即x ＝－1.4．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m 、n 的大小关系是( A ) A ．m >n B ．m <nC ．m ＝nD ．不确定解析：∵a >2，∴a －2>0，又∵m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4， 当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时取等号． ∴m ≥4.∵b ≠0，∴b 2>0，∵2－b 2<2，∴22－b 2<4，即n <4，∴m >n .5．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处 解析：设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x(k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立． 6．已知x >1，y >1且xy ＝16，则log 2x ·log 2y ( D )A ．有最大值2B ．等于4C ．有最小值3D ．有最大值4解析：因为x >1，y >1，所以log 2x >0，log 2y >0.所以log 2x ·log 2y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋log 2y 22＝⎣⎡⎦⎤log 2(xy )22＝4，当且仅当x ＝y ＝4时取等号．故选D.二、填空题7．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是215；(2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是2254. 解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1522＝2254， 即xy 的最大值是2254. 当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值． 8．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞. 解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2. 当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 9．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2，对满足条件的a ，b 恒成立的是①③④.(填序号) 解析：因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，所以①正确；因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，故②不正确；a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，所以③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，所以④正确．三、解答题10．(1)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值． (2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值． (3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值； 解：(1)∵0<x <12，∴1－2x >0. y ＝14·2x ·(1－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22 ＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，y 最大值＝116. (2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3 ≤－243－x ·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1.(3)法一：∵x ，y ∈R ＋，∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)， y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 法二：∵x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝x ＋y 4x ＋3(x ＋y )4y＝1＋⎝⎛⎭⎫y 4x ＋3x 4y ≥1＋2y 4x ·3x 4y＝1＋32. 当且仅当y 4x ＝3x 4y， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．∴1x ＋3y 的最小值为1＋32. 11．设a ，b ，c ∈R ＋.求证：(1)ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc ；(2)(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋c ≥4. 证明：(1)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋c 2a ＋ca 2＝(a 2b ＋bc 2)＋(b 2c ＋ca 2)＋(c 2a ＋ab 2)≥2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＝6abc ＝右边，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝[a ＋(b ＋c )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋c≥2a (b ＋c )·21a (b ＋c )＝4＝右边， 当且仅当a ＝b ＋c 时，等号成立．——能力提升类——12．若f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 均为正数，P ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则( A ) A ．P ≤G ≤H B ．P ≤H ≤GC ．G ≤H ≤PD ．H ≤G ≤P解析：因为a ，b 均为正数，所以a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2＝2ab a ＋b，当且仅当a ＝b 时等号成立．又因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，所以P ≤G ≤H . 13．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( C ) A ．8 B ．7C ．6D ．5解析：由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.14．设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2. 解析：令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝a ＋1＋b ＋3＋2(a ＋1)(b ＋3)＝9＋2(a ＋1)(b ＋3)≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝72，b ＝32.∴t max ＝18＝3 2. 15．如图，如在公园建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙，(1)求x 的取值X 围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米， 则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x. 令y ＝x ＋2×144x≤44(x >0)， 解得8≤x ≤36，则x 的取值X 围是[8,36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥24 2. 当且仅当x ＝288x，即x ≈17.0时，等号成立， 则y 最小值＝242≈34.0，即最少需要34.0米铁丝网．。
2022年高中数学第三章不等式4基本不等式第1课时练习含解析人教版必修
第1课时一、选择题1．函数f(x)＝的最大值为( ) A. B．C. D．1[答案] B[解析] 令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴f(x)＝＝.当t＝0时，f(x)＝0；当t>0时，f(x)＝＝.∵t＋≥2，∴0<≤.∴f(x)的最大值为.2．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( ) A．ab≤ B．ab≥C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3[答案] C[解析] ∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴b＝2－a(0≤a≤2)，∴ab＝a(2－a)＝－a2＋2a＝－(a－1)2＋1.∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A、B错误；a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2.∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C.3．设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是( ) A. B．a2＋b2C．2ab D．a[答案] B[解析] 解法一：∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜，又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，∵1＝a＋b＞2，∴ab＜，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－＝，即a2＋b2＞.故选B.解法二：特值检验法：取a＝，b＝，则2ab＝，a2＋b2＝，∵＞＞＞，∴a2＋b2最大．4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( ) A．8 B．4C．1 D．[答案] B[解析] 根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥4.当a＝b＝时“＝”成立．故选B.5．设a、b∈R＋，若a＋b＝2，则＋的最小值等于( )A．1 B．3C．2 D．4[答案] C[解析] ＋＝(a＋b)＝1＋≥2，等号在a＝b＝1时成立．6．已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是( )A．0 B．1C．2 D．4[答案] D[解析] 由等差、等比数列的性质得＝＝＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x＝y时取等号，∴所求最小值为4.二、填空题7．若0<x<1，则x(1－x)的最大值为________．[答案] [解析] ∵0<x<1，∴1－x>0，∴x(1－x)≤[]2＝，等号在x＝1－x，即x＝时成立，∴所求最大值为.8．已知t>0，则函数y＝的最小值是________．[答案] －2[解析] ∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立．三、解答题9．已知x>0，y>0.(1)若2x＋5y＝20，求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)若lg x＋lg y＝2，求5x＋2y的最小值．[解析] (1)∵x>0，y>0，由基本不等式，得2x＋5y≥2＝2·.又∵2x＋5y＝20，∴20≥2·，∴≤，∴xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．由，解得.∴当x＝5，y＝2时，xy有最大值10.这样u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u max＝1.(2)由已知，得x·y＝100，5x＋2y≥2＝2＝20.∴当且仅当5x＝2y＝，即当x＝2，y＝5时，等号成立．所以5x＋2y的最小值为20.10．求函数y＝的最小值，其中a>0.[解析] 当0<a≤1时，y＝＋≥2，当且仅当x＝±时，y min＝2.当a>1时，令＝t(t≥)，则有y＝f(t)＝t＋.设t2>t1≥>1，则f(t2)－f(t1)＝>0，∴f(t)在[，＋∞)上是增函数．∴y min＝f()＝，此时x＝0.综上，当0<a≤1，x＝±时，y min＝2；当a>1，x＝0时，y min＝.一、选择题1．设a、b∈R，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是( )A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2C.＋> D．＋≥2[答案] D[解析] a＝b时，A不成立；a、b<0时，B、C都不成立，故选D.2．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的一个是( ) A．a2＋b2 B．2C．2ab D．a＋b[答案] D[解析] 解法一：∵0<a<1,0<b<1，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.解法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．3．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( ) A．x＝ B．x≤C．x＞ D．x≥[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.∴1＋x＝≤＝1＋，∴x≤，等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．∴选B.4．(2013·山西忻州一中高二期中)a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x、y为正数)，若a⊥b，则xy的最大值是( )A. B．－C．1 D．－1[答案] A[解析] 由已知得4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.∴xy＝x(2－2x)＝≤×()2＝，等号成立时2x＝2－2x，即x＝，y＝1，∴xy的最大值为.二、填空题5．已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．[答案] 6[解析] ＋≥2，∴2≤2，∴xy≥6.6．已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值是________．[答案] 1[解析] ∵x＜，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3＝3－≤3－2＝1，等号在5－4x＝，即x＝1时成立．三、解答题7．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长．[解析] 设一条直角边长为x cm，(0<x<10)，则另一条直角边长为(10－x)cm，面积s＝x(10－x)≤[]2＝(cm2)等号在x＝10－x即x＝5时成立，∴面积最大时斜边长L＝＝＝5(cm)．8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析] 设总费用为y元(y＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k，则y＝×400＋k(2 000x)，依条件，当x＝400时，y＝43 600，可得k＝5%，故有y＝＋100x≥2＝24 000(元)．当且仅当＝100x，即x＝120时取等号．所以只需每批购入120台，可使资金够用．。
新教材高中数学第一章预备知识3不等式 基本不等式第1课时基本不等式素养作业北师大版必修第一册
第一章 §3 3.2 第1课时A 组·素养自测一、选择题1．下列不等式中正确的是( D ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3[解析] a ＜0,则a ＋4a≥4不成立,故A 错；a ＝1,b ＝1,a 2＋b 2＜4ab ,故B 错；a ＝4,b ＝16,则ab ＜a ＋b2,故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．不等式(x －2y )＋1x －2y≥2成立的条件为( B ) A ．x ≥2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号 B ．x ＞2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号 C ．x ≤2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号 D ．x ＜2y ,当且仅当x －2y ＝1时取等号[解析] 因为不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x －2y ＞0,即x ＞2y ,且等号成立时(x －2y )2＝1,即x －2y ＝1,故选B ．3．已知正数a ,b 满足ab ＝10,则a ＋b 的最小值是( D ) A ．10 B ．25 C ．5D ．210[解析] a ＋b ≥2ab ＝210,等号在a ＝b ＝10时成立,故选D ． 4．已知0＜x ＜1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( B ) A ．13 B ．12C ．34D ．23[解析] 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(3－3x )22＝13×94＝34,当且仅当3x ＝3－3x ,即x ＝12时取等号．5．设0＜a ＜b ,且a ＋b ＝1,在下列四个数中最大的是( B )A ．12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 2[解析] ∵ab ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,∴ab ＜14,∴2ab ＜12．∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0,a ＋b ＝1,∴a 2＋b 22＞12,∴a 2＋b 2＞12． ∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )＞0,∴b ＞a 2＋b 2,∴b 最大． 6．已知a ＞0,b ＞0,A ＝a ＋b2,B ＝ab ,C ＝2aba ＋b,则A ,B ,C 的大小关系为( D ) A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[解析] 由基本不等式可知,A ≥B ,2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ,所以B ≥C ,当a ＝b 时等号成立．故选D ．二、填空题 7．若a ＜1,则a ＋1a －1与－1的大小关系是__a ＋1a －1≤－1__． [解析] 因为a ＜1,即a －1＜0, 所以－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2(1－a )·11－a ＝2(当且仅当1－a ＝11－a,即a ＝0时取等号)．即a ＋1a －1≤－1．8．设x ＞0,则x 2＋x ＋3x ＋1的最小值为．[解析] 由x ＞0,可得x ＋1＞1．令t ＝x ＋1(t ＞1),则x ＝t －1,则x 2＋x ＋3x ＋1＝(t －1)2＋t －1＋3t ＝t ＋3t－1≥2t ·3t－1＝23－1,当且仅当t ＝3,即x ＝3－1时,等号成立．三、解答题9．当x 取什么值时,x 2＋1x2取得最小值？最小值是多少？[解析] x 2＋1x2≥2x 2·1x 2＝2,当且仅当x 2＝1x2,即x ＝±1时等号成立．∴x ＝1或－1时,x 2＋1x2取得最小值,最小值为2．10．已知x ,y 都是正数,且x ≠y ,求证：(1)x y ＋y x＞2； (2)2xyx ＋y＜xy ． [证明] (1)∵x ＞0,y ＞0,∴x y ＞0,y x＞0, ∴x y ＋y x ≥2x y ·y x ＝2,∴x y ＋yx ≥2． 由于当且仅当x y ＝y x,即x ＝y 时取“＝”,但x ≠y ,因此不能取“＝”． ∴x y ＋y x＞2．(2)∵x ＞0,y ＞0,x ≠y ,∴x ＋y ＞2xy ,∴2xy x ＋y ＜1,∴2xy ·xyx ＋y ＜xy ,∴2xyx ＋y＜xy ． B 组·素养提升一、选择题1．若正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy ,当3x ＋4y 取得最小值时,x ＋2y 的值为( B ) A ．245B ．2C ．285D ．5[解析] ∵x ＋3y ＝5xy ,x ＞0,y ＞0,∴15y ＋35x ＝1,∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2·3x 5y ·12y5x＝5, 当且仅当3x 5y ＝12y5x,即x ＝2y ＝1时取等号,∴当3x ＋4y 取得最小值时,x ＝2y ＝1,∴x ＋2y 的值为2,故选B ． 2．若正数x ,y 满足x 2＋3xy －1＝0,则x ＋y 的最小值是( B ) A ．23 B ．223C ．33D ．233[解析] 由x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ．因为x ＞0,所以x ＋y ＝2x 3＋13x≥22x 3·13x＝229＝223(当且仅当2x 3＝13x ,即x ＝22时,等号成立)．故x ＋y 的最小值为223．3．(多选题)设a ,b ∈R ,且a ≠b ,a ＋b ＝2,则必有( ABC ) A ．ab ＜1 B ．1＜a 2＋b 22C ．ab ＜a 2＋b 22D ．a 2＋b 22＜ab[解析] ∵ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,a ≠b ,∴ab ＜1,又∵a 2＋b 22＞a ＋b2,a ＋b ＝2,∴a 2＋b 22＞1,∴ab ＜1＜a 2＋b 22．4．(多选题)下列结论正确的是( AD ) A ．当x ＞0时,x ＋1x≥2B ．当x ＞2时,x ＋1x的最小值是2C ．当x ＜54时,y ＝4x －2＋14x －5的最小值为5D ．当x ＞0,y ＞0时,x y ＋y x≥2[解析] 在A 中,当x ＞0时,x ＞0,x ＋1x≥2,当且仅当x ＝1时取等号,结论成立；在B 中,当x ＞2时,x ＋1x≥2x ·1x＝2,当且仅当x ＝1时取等号,但x ＞2取不到1,因此x ＋1x 的最小值不是2,结论错误；在C 中,因为x ＜54,所以5－4x ＞0,则y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2×(5－4x )·15－4x ＋3＝1,当且仅当5－4x ＝15－4x,即x ＝1时取等号,结论错误；显然D 正确,故选AD ．二、填空题5．当x ＞0时,若2x ＋ax(a ＞0)在x ＝3时取得最小值,则a ＝__18__．[解析] ∵a ＞0,且2x ＋a x≥22x ·a x ＝22a ,当且仅当2x ＝a x ,即x ＝2a 2时,2x ＋a x取得最小值,∴2a2＝3,解得a ＝18．6．已知3a ＋2b ＝1,a ＞0,b ＞0,则2a ＋1b的最小值为．[解析] ∵3a ＋2b ＝1,∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (3a ＋2b )＝8＋4b a ＋3ab≥8＋212＝8＋43,当且仅当a ＝3－36,b ＝3－14时取到最小值．三、解答题7．设a ,b ,c 均为正数,且a ＋b ＋c ＝1．证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1．[解析] 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ,b 2＋c 2≥2bc ,c 2＋a 2≥2ca , 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ． 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1,即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1,所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1,即ab ＋bc ＋ca ≤13．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ,b 2c ＋c ≥2b ,c 2a＋a ≥2c ,故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号), 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c ． 又a ＋b ＋c ＝1,所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1．8．已知实数a ,b 满足a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝2,且a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥m 恒成立,求实数m 的最大值．[解析] ∵a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝2, 令a ＋1＝p ,b ＋1＝q ,则p ＞1,q ＞1, ∴a ＝p －1,b ＝q －1,p ＋q ＝4, ∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1＝(p －1)2p＋(q －1)2q＝p ＋q －4＋1p ＋1q ＝4pq≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋q 22＝1,∴m ≤1,所以实数m 的最大值为1．。
高中数学专题-基本不等式
高中数学专题-基本不等式（第1课时）32**学习目标**1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.**要点精讲** 1．基本不等式：2a bab +³ (0,0a b >>)，即：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立．注：上述不等式对a ≥0,b ≥０时仍成立。
2．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．a ≥0,b ≥0 3．基本不等式的变形公式： （1）20,0a a ≥≥（a R ∈）； （2）2222(,)a b abab a b R +吵?；（3）22(,)2a b ab a b R +Ｎ； （4）2(,)a b ab a b R ++澄；（5）2()(,)2a b ab a b R ++Ｎ。
4．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若 a i ≥0(i=1,2,…,n), 则1212nn n a a a a a a n++鬃?鬃祝(n>1,n ÎN)；**范例分析**例1．（1）如图,已知在正方形ABCD 中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边的长为a 、b,则正方形ABCD 的面积为S 1=________,4个直角三角形面积的和为S 2=________,则S 1_______S 2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a 、b 的式子表示),并且当a______b 时,直角三角形变为________时,S 1=S 2. （2）已知0,0a b >>，求证：2a bab +³ ，你能解释2a b ab +≤（,a b R +∈）的几何意义吗？例2. 利用基本不等式证明下列不等式：(1) 已知a>0,求证 a+12a ³； (2) 已知a>3,求证 a+473a ³-；例3. (1). 已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (1111)(1)(1)8x y z--->(2). 已知0,0x y ≥≥，求证：()()21124x y x y +++≥。
3.4基本不等式(第一课时)
1 当且仅当x 3 ,即x 4时，函数有最大值， x3 最大值为5。
巩固练习
1. 已 知x 1,则x 1 3 此 时x _____ 的 最小 __ 值 为____, . 2 x 1
解：设两直角边分别为a、 b ，则
S 1 ab 50 即 2
ab 100
a b 2 ab 20 当且仅当 a b 10 时等号成立，
a b有最小值 20.
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值
例题讲解
例1. （1）已知直角三角形的面积等于 50，两条直角边各位多少时，两条直角 边的和最小，最小值是多少？ （2）用20cm长的铁丝折成一个面 积最大的矩形，应当怎么折？
a 2ab b 0源自一般地，对于任意实数 a , b ，我们有
a b 2ab
2 2
当且仅当
a b 时等号成立
二、新课讲解
1.思考:如果当 a 0, b 0 用 a , b 去替换 2 2 a b 2a b 中的 a , b ,能得到什么结论?
a b 2ab
3.4基本不等式: （第一课时）
ab ab 2
一、复习回顾
1. a __0 2 2. (a b) __0 2 2 2 a 2ab b . 3. (a b) __________
2
问题1： 上式1、2中什么时候等号成立？ 问题2：通过2与3可以得到什么结论？ 2 2
1 ( 2)若x 3,函 数y x ,当x为 何 值 时 ， x3 函 数 有 最 值 ， 并 求 其值 最。
2021-2022学年人教版高中数学必修五教材用书：第三章 不等式 3.4 基本不等式
3.4基本不等式：ab ≤a ＋b2基本不等式[提出问题]问题1：若a ，b ∈R ，则代数式a 2＋b 2与2ab 有何大小关系？ 提示：∵(a 2＋b 2)－2ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2＋b 2≥2ab .问题2：上述结论中，等号何时成立？ 提示：当且仅当a ＝b 时成立．问题3：若以a ，b 分别代替问题1中的a ，b ，可得出什么结论？ 提示：a ＋b ≥2ab .问题4：问题3的结论中，等何时成立？ 提示：当且仅当a ＝b 时成立． [导入新知] 1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．[化解疑难]1．基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b2，即只能有ab ＜a ＋b2.2．从数列的角度看，a ，b 的算术平均数是a ，b 的等差中项，几何平均数是a ，b 的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a 与b 的正的等比中项不大于它们的等差中项．利用基本不等式证明不等式[例1] 已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.证明：由基本不等式可得a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2， 从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. [类题通法]1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必需有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而收到放缩的效果．2．留意多次运用基本不等式时等号能否取到． [活学活用]设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明：∵a >0，b >0，∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 利用基本不等式求最值[例2] (1)已知m ，n (2)已知x ＞3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值； (3)设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值．[解] (1)∵m ，n ＞0且m ＋n ＝16， ∴由基本不等式可得mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64，当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取得最大值64. (2)∵x ＞3， ∴x －3＞0，4x －3＞0，于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3≥2x －3·4x －3＋3＝7，当且仅当x －3＝4x －3即x ＝5时，f (x )取得最小值7. (3)法一：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x＝2xy，即y ＝2x 时，等号成立，解得x ＝1－22，y ＝2－1，∴当x ＝1－22，y ＝2－1时，1x ＋1y 有最小值3＋2 2.法二：1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·1＝⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1y(2x ＋y )＝3＋2x y ＋yx≥3＋2y x ·2xy＝3＋22， 以下同法一． [类题通法]1．利用基本不等式求最值，必需依据“一正，二定，三相等”的原则． (1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件：a >0，b >0.(2)二定：化不等式的一边为定值．(3)三相等：必需存在取等号的条件，即等号成立． 以上三点缺一不行．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．[活学活用](1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值；(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值； (3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取得最小值20. (2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32， 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取得最大值32.(3)∵1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x＋9＝y x＋9xy＋10.又∵x ＞0，y ＞0，∴y x＋9xy＋10≥2 y x ·9xy＋10＝16， 当且仅当y x ＝9xy， 即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.利用基本不等式解应用题[例3] 如图所示，利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[解] (1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ， 则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18， 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy . 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． (2)设每间虎笼第为x m ，宽为y m. 法一：由条件知S ＝xy ＝24， 设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . ∵2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小． 法二：由xy ＝24，得x ＝24y.∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×216y·y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立．此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．[类题通法]在应用基本不等式解决实际问题时，应留意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)依据实际背景写出答案． [活学活用]某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，估计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从其次年开头每年比上一年所需费用要增加16 万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式． (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ 解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x )＝200＋12x (x ＋1)·16.∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x x ＋1·16＝16(－2x 2＋23x －50)． (2)年平均利润为y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x . 又x ∈N *， ∴x ＋25x≥2x ·25x＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．7.基本不等式应用中的易误点[典例] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5[解析] ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1. ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋2 2ab ·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立. 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.[答案] C [易错防范]1．解答本题易两次利用基本不等式，如： ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，∴ab ≤a ＋b24＝1.又y ＝1a ＋4b ≥24ab ＝41ab，又ab ≤1， ∴y ≥411＝4. 但它们成立的条件不同，一个是a ＝b ，另一个是b ＝4a ，这明显是不能同时成立的，故不正确． 2．使用基本不等式求最值，其失误的真正缘由是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不行．3．在运用重要不等式时，还要特殊留意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．[成功破障](福建高考)下列不等式肯定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1＞1(x ∈R)解析：选C 取x ＝12，则lg(x 2＋14)＝lg x ，故排解A ；取x ＝3π2，则sin x ＝－1，故排解B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排解D.[随堂即时演练]1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x＋1－x－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞a ＋b2＞ab B ．a ＞a ＋b2＞ab ＞bC ．a ＞a ＋b2＞b ＞ab D ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b2＞ab ＞ b ·b ＝b ，因此只有B 项正确．3．若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y 时等号成立．答案：1164．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y ≥210xy＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y 最小值＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号． 又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立． 答案：25．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c . 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ac b ≥2 abc 2ab＝2c ， ac b ＋ab c≥2 a 2bc bc ＝2a ，bc a ＋abc≥2 b 2acac＝2b . 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立．∴bc a ＋ac b ＋abc＞a ＋b ＋c . [课时达标检测] 一、选择题1．下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：选D a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错； a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：选B 由x (3－3x )＝3·x (1－x )≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．3．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6D ．8解析：选B ∵a ，b 是实数， ∴2a＞0,2b＞0，于是2a ＋2b ≥22a ·2b ＝2 2a ＋b＝2 23＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取得最小值4 2.4．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋x ＋1＋y 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时， (1＋x )·(1＋y )取最大值25，故选B.5．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1解析：选D f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1＋1x －1，又∵－4<x <1，∴x －1<0. ∴－(x －1)>0. ∴f (x )＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x －1＋1－x －1≤－1. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时，等号成立． 二、填空题6．已知x ，y 都是正数．(1)假如xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)假如x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．解析：(1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值． (2)xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝2254，即xy 的最大值是2254.当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值．答案：(1)215 (2)22547．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由于x >0，所以x ＋1x≥2. 当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 8．设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式： ①a 2＋1＞a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9＞6a .其中恒成立的是________(填序号)．解析：由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立； 由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，故(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不能恒成立． 答案：①②③ 三、解答题9．求下列函数的最小值．(1)设x ，y 都是正数，且1x ＋2y＝3，求2x ＋y 的最小值；(2)设x >－1，求y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值．解：(1)2x ＋y ＝32x ＋y3＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y ) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋4 ≥13(24＋4)＝83. 当且仅当y x ＝4x y时等号成立，即y 2＝4x 2. ∴y ＝2x .又∵1x ＋2y ＝3，得x ＝23，y ＝43.∴当x ＝23，y ＝43时，2x ＋y 取得最小值为83.(2)∵x >－1，∴x ＋1>0. 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1， 于是有y ＝t ＋4t ＋1t＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1取得最小值为9.10．(1)已知0＜x ＜12，求y ＝12x (1－2x )的最大值；(2)已知x >0，求y ＝2－x －4x的最大值；(3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)∵0＜x ＜12，∴1－2x ＞0.y ＝14·2x ·(1－2x )≤14·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ， 即x ＝14时，y 最大值＝116.(2)∵x >0，∴y ＝2－x －4x＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≤2－4＝－2，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，y 的最大值为－2.(3)法一：∵x ，y ∈R ＋， ∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取等号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 法二：∵x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝x ＋y 4x＋3x ＋y4y＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 4x ＋3x 4y ≥1＋2y 4x ·3x 4y ＝1＋32. 当且仅当y 4x ＝3x4y，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取等号． ∴1x ＋3y 的最小值为1＋32.11.如右图，某公园方案建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙，求：(1)x 的取值范围；(2)最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米，则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x.令y ＝x ＋2×144x≤44(x ＞0)，解得8≤x ≤36，则x 的取值范围是[8,36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥24 2.当且仅当x ＝288x，即x ≈17.0时，等号成立， 则y 最小值＝242≈34.0， 即最少需要约34.0米铁丝网． 12．(1)已知x <－2，求函数y ＝2x ＋1x ＋2的最大值； (2)求y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值；(3)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求a ＋b 的取值范围． 解：(1)∵x <－2，∴x ＋2<0，－(x ＋2)>0. ∴y ＝2(x ＋2)＋1x ＋2－4 ＝－[－2(x ＋2)＋－1x ＋2]－4≤ －2－2x ＋2·－1x ＋2－4＝－22－4. 当且仅当－2(x ＋2)＝－1x ＋2(x <－2)，即x ＝－2－22时，y 取最大值－22－4. (2)令t ＝x 2＋4，则y ＝f (t )＝t ＋1t，由f (t )＝t ＋1t(t ≥2)的单调性，知y ＝t ＋1t在[2，＋∞)上是增函数，∴t ＝2时，f (t )min ＝2＋12＝52，即当x 2＋4＝2，也就是x ＝0时，y min ＝52.(3)∵a ＋b ＋3＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0.∴(a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0.又a >0，b >0， ∴a ＋b ≥6.即a ＋b 的取值范围为[6，＋∞]．。
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【成才之路】2015版高中数学 3.4 基本不等式（第1课时）练习一、选择题1．函数f(x)＝xx ＋1的最大值为 ( )A.25 B ．12 C.22 D ．1[答案] B[解析] 令t ＝x (t≥0)，则x ＝t2，∴f(x)＝x x ＋1＝tt2＋1.当t ＝0时，f(x)＝0；当t>0时，f(x)＝1t2＋1t ＝1t ＋1t. ∵t ＋1t ≥2，∴0<1t ＋1t≤12. ∴f(x)的最大值为12.2．若a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则 ( ) A ．ab≤12 B ．ab≥12C ．a2＋b2≥2D ．a2＋b2≤3[答案] C[解析] ∵a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，∴b ＝2－a(0≤a≤2)，∴ab ＝a(2－a)＝－a2＋2a ＝－(a －1)2＋1.∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A 、B 错误；a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a ＋4＝2(a －1)2＋2.∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C.3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．a2＋b2C ．2abD ．a[答案] B[解析] 解法一：∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜12，又∵a2＋b2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ，∵1＝a ＋b ＞2ab ， ∴ab ＜14， ∴a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12，即a2＋b2＞12.故选B.解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a2＋b2＝59，∵59＞12＞49＞13，∴a2＋b2最大．4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为 ( )A ．8B ．4C ．1D ．14[答案] B[解析] 根据题意得3a·3b ＝3，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4.当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B.5．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于 ( )A ．1B ．3C ．2D ．4[答案] C[解析] 1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b) ＝1＋12⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立． 6．已知x>0，y>0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则a ＋b 2cd 的最小值是( ) A ．0B ．1C ．2D ．4 [答案]D [解析] 由等差、等比数列的性质得a ＋b 2cd＝x ＋y 2xy ＝x y ＋y x ＋2≥2y x ·x y ＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4. 二、填空题7．若0<x<1，则x(1－x)的最大值为________．[答案] 14 [解析] ∵0<x<1，∴1－x>0，∴x(1－x)≤[x ＋1－x 2]2＝14，等号在x ＝1－x ，即x ＝12时成立，∴所求最大值为14.8．已知t>0，则函数y ＝t2－4t ＋1t的最小值是________． [答案] －2[解析] ∵t>0，∴y ＝t2－4t ＋14＝t ＋1t －4≥2t·1t －4＝－2，当且仅当t ＝1t ，即t ＝1时，等号成立．三、解答题9．已知x>0，y>0.(1)若2x ＋5y ＝20，求u ＝lgx ＋lgy 的最大值；(2)若lgx ＋lgy ＝2，求5x ＋2y 的最小值．[解析] (1)∵x>0，y>0，由基本不等式，得2x ＋5y≥22x·5y ＝210·xy.又∵2x ＋5y ＝20，∴20≥210·xy ，∴xy ≤10，∴xy≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝5y 2x ＋5y ＝20， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2. ∴当x ＝5，y ＝2时，xy 有最大值10.这样u ＝lgx ＋lgy ＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，umax ＝1.(2)由已知，得x·y ＝100，5x ＋2y≥210xy ＝2103＝2010.∴当且仅当5x ＝2y ＝103，即当x ＝210，y ＝510时，等号成立． 所以5x ＋2y 的最小值为2010.10．求函数y ＝x2＋a ＋1x2＋a的最小值，其中a>0. [解析] 当0<a≤1时，x2＋a 当且仅当x ＝±1－a 时，ymin ＝2. 当a>1时，令x2＋a ＝t(t≥a)， 则有y ＝f(t)＝t ＋1t .设t2>t1≥a>1，则f(t2)－f(t1)＝t2－t1t1t2－1t1t2>0， ∴f(t)在[a ，＋∞)上是增函数．∴ymin ＝f(a)＝a ＋1a，此时x ＝0. 综上，当0<a≤1，x ＝±1－a 时，ymin ＝2；当a>1，x ＝0时，ymin ＝a ＋1a.一、选择题1．设a 、b ∈R ，且ab>0.则下列不等式中，恒成立的是 ( )A ．a2＋b2>2abB ．a ＋b≥2abC.1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b ≥2 [答案] D[解析] a ＝b 时，A 不成立；a 、b<0时，B 、C 都不成立，故选D.2．若0<a<1,0<b<1，且a≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a2＋b2中最大的一个是( ) A ．a2＋b2 B ．2abC ．2abD ．a ＋b[答案] D[解析] 解法一：∵0<a<1,0<b<1，∴a2＋b2>2ab ，a ＋b>2ab ，a>a2，b>b2，∴a ＋b>a2＋b2，故选D.解法二：取a ＝12，b ＝13，则a2＋b2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．3．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则 ( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x≤a ＋b 2C ．x ＞a ＋b 2D ．x≥a ＋b 2[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a ＞0，b ＞0.∴1＋x ＝1＋a 1＋b ≤1＋a ＋1＋b 222等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．∴选B.4．(2013·山西忻州一中高二期中)a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y)(x 、y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是 ( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1[答案] A[解析] 由已知得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.∴xy ＝x(2－2x)＝2x 2－2x 2≤12×(2x ＋2－2x 2)2＝12，等号成立时2x ＝2－2x ，即x ＝12，y ＝1，∴xy 的最大值为12.二、填空题5．已知2x ＋3y ＝2(x>0，y>0)，则xy 的最小值是________．[答案] 6[解析] 2x ＋3y ≥26xy ，∴26xy ≤2，∴xy≥6.6．已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是________． [答案] 1[解析] ∵x ＜54，∴4x －5＜0，y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3＝3－⎣⎡⎦⎤5－4x ＋15－4x≤3－2＝1，等号在5－4x ＝15－4x，即x ＝1时成立． 三、解答题7．已知直角三角形两条直角边的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长．[解析] 设一条直角边长为x cm ，(0<x<10)，则另一条直角边长为(10－x)cm ，面积s ＝12x(10－x)≤12[x ＋10－x 2]2＝252(cm2)等号在x ＝10－x 即x ＝5时成立，∴面积最大时斜边长L ＝x2＋10－x 2＝52＋52＝52(cm)．8．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x 台(x 是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．[解析] 设总费用为y 元(y ＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k ，则y ＝3 600x ×400＋k(2000x)，依条件，当x ＝400时，y ＝43 600，可得k ＝5%，故有y ＝1 440 000x＋100x ≥2 1 440 000x·100x ＝24 000(元)． 当且仅当1 440 000x＝100x ，即x ＝120时取等号． 所以只需每批购入120台，可使资金够用．。