宁夏中宁一中2015届高三上学期第二次月考试卷 数学(理科)
银川一中高三第二次月考数学(理科)试卷答案
银川一中2016届高三第二次月考数学(理科)试卷答案13 λ=2 14 左，615. m<32且m ≠-2316. 43<<-a17．解：,23)2(sin )2cos2(,23||222=-++∴=B A B A ………2分 即,232sin 2cos222=-++B A B A 即232)cos(11)cos(=--+++B A B A ，……6分 ,sin sin 3cos cos ,0)cos(21)cos(B A B A B A B A =∴=--+∴ …………8分.31cos cos sin sin tan tan ==⋅∴B A B A B A …………10分 18解：（1）∵122=-n n n a S a ，∴当n ≥2时，1)()(2211=-----n n n n n S S S S S ，整理得，1212=--n n S S （n ≥2），（2分）又121=S ， （3分） ∴数列}{2n S 为首项和公差都是1的等差数列． （4分）（2）由（1）n S n =2，又0>n S ，∴n S n = （5分）∴n ≥2时，11--=-=-n n S S a n n n ，又111==S a 适合此式 ∴数列}{n a 的通项公式为1--=n n a n （7分）（Ⅱ）∵121121)12)(12(21424+--=+-=-=n n n n S b n n （8分） ∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n 1211215131311+--++-+-=n n =1221211+=+-n n n （10分） ∴32≥n T ，依题意有)3(61322m m ->，解得41<<-m ，故所求最大正整数m 的值为3 （12分）19542)(5,4,2)3)(2)(1()3.......(..........1240)2(,2)()2....(..........3)1........(..........0212323)1)(23()1()1)(1()1(:))1(,1()(23)()(23223+-+==-==-=+-∴=-'-==∴⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=-++=++-++=+++--'=-=++='+++=x x x x f c b a b a f x x f y c b a b a c b a b a x b a c b a y x f f y f P x f y b ax x x f c bx ax x x f -------------5分（2）]1,2[)(-=在区间x f y 上单调递增 又02)1(,23)(2=+++='b a b ax x x f 知由b bx x x f +-='∴23)(依题意]1,2[03,0)(]1,2[)(2-≥+-≥'-'在即上恒有在b bx x x f x f 上恒成立 ①在603)1()(,16≥∴>+-='='≥=b b b f x f bx 小时 ②在0212)2()(,26≥++=-'='-≤=b b f x f bx 小时 ∈∴b③在.6001212)(,1622≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时小综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：b ≥0………………………………（12分）20．解：（I ）由已知得 111,2,2n n a a a n +==+ 2213313,11,4424a a a =--=--=-又11,n n n b a a +=--1211,n n n b a a +++=--11112111(1)111222.1112n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a +++++++++++-----∴====------{}n b ∴是以34-为首项，以12为公比的等比数列.（II ）由（I ）知，13131(),4222n n n b -=-⨯=-⨯1311,22n n n a a +∴--=-⨯21311,22a a ∴--=-⨯322311,22a a --=-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅11311,22n n n a a --∴--=-⨯将以上各式相加得：1213111(1)(),2222n n a a n -∴---=-++⋅⋅⋅+11111(1)31313221(1)(1) 2.12222212n n n n a a n n n ---∴=+--⨯=+---=+--32.2n n a n ∴=+-（III ）解法一：存在2λ=，使数列{}nnS T nλ+是等差数列. 12121113()(12)2222n n n S a a a n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-11(1)(1)22321212n n n n -+=⨯+--2213333(1) 3.2222n n n n n n --=-+=-++ 12131(1)313342(1).1222212n n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+- 数列{}nn S T n λ+是等差数列的充要条件是,(n nS T An B A nλ+=+、B 是常数) 即2,n n S T An Bn λ+=+又2133333()2222n n n n n n S T λλ+-+=-+++-+2313(1)(1)222n n n λ-=+-- ∴当且仅当102λ-=，即2λ=时，数列{}nn S T nλ+为等差数列. 解法二：存在2λ=，使数列{}n nS T nλ+是等差数列. 由（I ）、（II ）知，22n n a b n +=-(1)222n n n S T n +∴+=- (1)222n n n n n n n T T S T n nλλ+--++=322n n T n λ--=+ 又12131(1)313342(1)1222212n n n n T b b b +--=++⋅⋅⋅+==--=-+- 13233()222n n n S T n n n λλ++--=+-+ ∴当且仅当2λ=时，数列{}nnS T n λ+是等差数列 21解：（Ⅰ）因为8()2f x x x'=-,所以切线的斜率(1)6k f '==-…………………2分又(1)1f =,故所求切线方程为16(1)y x -=--,即67y x =-+…………………4分（Ⅱ）因为2(2)(2)()x x f x x+-'=,又x>0,所以当x>2时,()0f x '>；当0<x<2时,()0f x '<．即()f x 在(2,)+∞上递增,在（0,2）上递减………………………………5分又2()(7)49g x x =--+,所以()g x 在(,7)-∞上递增,在(7,)+∞上递减……………6分 欲()f x 与()g x 在区间(),1a a +上均为增函数,则217a a ≥⎧⎨+≤⎩,解得26a ≤≤…………8分（Ⅲ） 原方程等价于228ln 14x x x m --=,令2()28ln 14h x x x x =--,则原方程即为()h x m =．因为当0>x 时原方程有唯一解,所以函数()y h x =与y m =的图象在y 轴右侧有唯一的交点……………10分又, 82(4)(21)()414x x h x x x x-+'=--=且x>0,所以当x>4时,()0h x '>； 当0<x<4时, ()0h x '<．即()h x 在(4,)+∞上递增,在（0,4）上递减．故h （x ）在x=4处取得最小值从而当0>x 时原方程有唯一解的充要条件是(4)16ln 224m h ==--……………12分 22．解：（1）D D ABC CPD ∠=∠∠=∠, ， DPC ∆∴～DBA ∆，BDPDAB PC =∴又BDPDAC PC AC AB =∴=,（5分）（2）,,CAP CAP APC ACD ∠=∠∠=∠ APC ∆∴～ACD ∆ADACAC AP =∴， 92=⋅=∴AD AP AC （10分）23.解(Ⅰ) 由题意知，直线l 的直角坐标方程为：2x-y-6=0，………………2分 ∵曲线2C的直角坐标方程为：22()12y+=，∴曲线2C的参数方程为：()2sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数.………………5分(Ⅱ) 设点P的坐标,2sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为：d ==，………………7分 ∴当sin(600－θ)=-1时，点P(-)1,23，此时max d ==…………10分 24.解：（I ）||4|22||2||2|a b a b a b a b a =-++≥-++ 对于任意非零实数a 和b 恒成立，当且仅当0)2)(2(≥-+b a b a 时取等号，|||2||2|a b a b a -++∴的最小值等于4。
高三数学月考试题及答案-宁夏银川市普通高中2015届高三四月教学质量检测(理)
2015年宁夏银川市高考模拟（理科）（4月份）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合{5，6}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁U M）∪（∁U N）D．（∁U M）∩（∁U N）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】由题意可得5∈∁U M，且5∈∁U N；6∈∁U M，且6∈∁U N，从而得出结论．【解析】解：∵5∉M，5∉N，故5∈∁U M，且5∈∁U N．同理可得，6∈∁U M，且6∈∁U N，∴{5，6}=（∁U M）∩（∁U N），故选：D．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，求集合的补集，两个集合的交集的定义，属于基础题．2．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足=i，则z的模是（）A．1 B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再代入模的公式得答案．【解析】解：由=i，得（1+i）z=i，∴，∴．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）在△ABC中，已知∠ACB=90°，CA=3，CB=4，点E是边AB的中点，则•=（）A．2 B．C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据已知条件便可得到，，，带入进行数量积的运算即可得到答案．【解析】解：如图，E是AB中点；∴，；∴=．故选：B．【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及数量积的运算．4．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出A的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A，i的值，当i=11时，不满足条件i≤10，退出循环，输出A的值为．【解析】解：模拟执行程序框图，可得A=1，i=1A=，i=2满足条件i≤10，A=，i=3满足条件i≤10，A=，i=4满足条件i≤10，A=，i=5满足条件i≤10，A=，i=6满足条件i≤10，A=，i=7满足条件i≤10，A=，i=8满足条件i≤10，A=，i=9满足条件i≤10，A=，i=10满足条件i≤10，A=，i=11不满足条件i≤10，退出循环，输出A的值为，故选：C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（5分）（2009•山东）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．【解析】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．6．（5分）有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．34种B．48种C．96种D．144种【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】先排甲有两种方法，再把乙丙两人捆绑在一起，看做一个复合元素，和剩下的3人全排即可．【解析】解：先排甲有两种方法，再把乙丙两人捆绑在一起，看做一个复合元素，和剩下的3人全排，故有=96种，故选：C．【点评】本题考查了分步计数原理，相邻问题用捆绑，属于基础题．7．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥的表面积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；作图题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图作直观图，从而结合三视图中的数据求各面的面积即可．【解析】解：由三视图可知，其直观图如右图，S△ABC==1，S△ABE=×2×2=2，S△ACD=×1×=，可知AD⊥DE，AD==，DE=，S△ADE=××=，S梯形BCDE=×（1+2）×1=；故其表面积为S=1+2+++=；故选A．【点评】本题考查了三视图的识图与计算，属于基础题．8．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域是α，不等式组所表示的平面区域为α，在区域α内随机取一点P，则点P落在区域β内的概率是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出相应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解析】解：由题意画出图形如图，则平面区域是α是边长为8的三角形ODE，面积为×8×8=32，从区域α中随机取一点P（x，y），P为区域β内的点的面积为═24，∴由几何概型的概率公式可得从区域α中随机取一点P（x，y），则P为区域β内的点的概率是．故选：D．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据二元一次不等式组作出对应的平面区域是解决本题的关键，是中档题．9．（5分）点M（1，1）到抛物线y=ax2的准线的距离为2，则a=（）A．或B．C．D．4或﹣12【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的准线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．【解析】解：抛物线y=ax2化为：x2=y，它的准线方程为：y=﹣，点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，可得|1+|=2，解得a=或﹣．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．10．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）的部分图象如右图所示，则y=f（x）的图象可由y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用图象的最低点确定A的值，利用周期确定ω，再根据图象过点（，0），确定φ的值，即可求函数f（x）的解析式，f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]，由此可得结论．【解析】解：由函数图象可得：T=4（）=π，故=2，又（，0）在函数图象上，既有：0=sin（2×+ϕ），可解得：ϕ=k，k∈Z，因为，|ϕ|＜，所以可得：ϕ=．故：f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]．则y=f（x）的图象可由y=sin2x的图象向左平移个单位得到．故选：D．【点评】本题考查三角函数解析式的确定，考查图象的变换，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．（5分）对于任意实数a，b，定义min{a，b}=，定义在R上的偶函数f （x）满足f （x+4）=f（x），且当0≤x≤2时，f （x）=min{2x﹣1，2﹣x}，若方程f （x）﹣mx=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）B．[﹣1，）∪C．{﹣1，1}∪（﹣ln2，）∪（，ln2）D．（，）∪（，）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先由题意求出f（x），然后令g（x）=mx，转化为图象交点的问题解决．【解析】解：由题意得，又因为f（x）是偶函数且周期是4，可得整个函数的图象，令g（x）=mx，本题转化为两个交点的问题，由图象可知有三部分组成，排除B，D易得当过（3，1），（﹣3，1）点时恰有三个交点，此时m=±，故选A．【点评】本题考查的是函数的性质的综合应用，利用数形结合快速得解．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分12．（5分）已知双曲线=1（a，b＞0）的一条渐近线方程为2x+3y=0，则双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线=1（a，b＞0）的一条渐近线方程为2x+3y=0，知a=3k，b=2k，c=k，由此能求出双曲线的离心率．【解析】解：因为双曲线=1（a，b＞0）的一条渐近线方程为2x+3y=0，∴a=3k，b=2k，∴c=k，∴此双曲线的离心率e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．13．（5分）由函数y=x2的图象与直线y=2x围成的图形的面积是．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】联立解曲线y=x2及直线y=2x，得它们的交点是O（0，0）和A（2，2），由此可得两个图象围成的面积等于函数y=2x﹣x2在[0，2]上的积分值，根据定积分计算公式加以计算，即可得到所求面积．【解析】解：由曲线y=x2与直线y=2x，解得交点为O（0，0）和A（2，2）因此，曲线y=x2及直线y=2x所围成的封闭图形的面积是S=（2x﹣x2）dx=（x2﹣x3）=．故答案为：．【点评】本题给出曲线y=x2及直线y=2x，求它们围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题．14．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+2﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），则a1+a2+a3+…+a51= 676．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】依题意，可求得a1=a3=a5=…=a51=1，{a2n}是以2为首项，2为公差的等差数列，从而可求得a1+a2+a3+…+a51的值．【解析】解：∵数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+2﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），∴a3﹣a1=0，a5﹣a3=0，…a51﹣a49=0，∴a1=a3=a5=…=a51=1；由a4﹣a2=2，得a4=2+a2=4，同理可得a6=6，a8=8，…，a50=50；∴a1+a2+a3+…+a51=（a1+a3+a5+…+a51）+（a2+a4+…+a50）=26+=676．故答案为：676．【点评】本题考查数列的求和，着重考查等差数列的判定与求和，突出考查分组求和，属于中档题．15．（5分）直线y=x+m与圆x2+y2=16交于不同的两点M，N，其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是（﹣4，﹣2]∪[2，4）．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】直线与圆．【分析】设MN的中点为A，则2=+，利用，可得||≥2，利用点到直线的距离公式，可得||，从而求出实数m的取值范围．【解析】解：设MN的中点为A，则OA⊥MN，并且2=+，∵，∴||≤2||，∴≤12，∴≤3，∴16﹣≤3，∴||≥2，∴O到直线MN的距离≥2…①，||=＜4…②，由①②解得：﹣4＜m＜﹣2或2＜m＜4，故答案为：（﹣4，﹣2]∪[2，4）．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离问题，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本题包括六道小题共计70分）16．（12分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=c﹣4、b=c﹣2．又因，，可得，恒等变形得c2﹣9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sinθ，．△ABC的周长f （θ）=|AC|+|BC|+|AB|=．再由，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．【解析】解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c﹣4、b=c﹣2．又∵，，∴，∴，恒等变形得c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．…（6分）（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|===，…（10分）又∵，∴，∴当，即时，f（θ）取得最大值．…（12分）【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17．（12分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，∠ACB=，点D是线段BC 的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）当三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积最大时，求直线A1D与平面AB1D所成角θ的正弦值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）设A1B∩AB1=O，连接OD，利用三角形的中位线定理可得：A1C∥OD，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）当三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积最大时，体积最大，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：当AC=BC，三角形ABC为正三角形时取最大值，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线A1D与平面AB1D所成角θ的正弦值．【解析】（1）证明：如图，设A1B∩AB1=O，连接OD，则OD为三角形A1BC的中位线，∴A1C∥OD，OD⊆平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D；（2）解：当三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积最大时，体积最大，∵2AC•BC﹣AC•BC=AC•BC，∴当AC=BC，三角形ABC为正三角形时面积取最大值，以D为原点建立如图所示坐标系，则D（0，0，0），A（，0，0），B1（0，﹣1，2），，∴=（，0，0），=（0，﹣1，2），，设平面AB1D的法向量为，由，得，取z=1，得y=2．∴，则直线A1D与平面AB1D所成角θ的正弦值为sinθ=||=||=．【点评】本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，训练了利用空间向量求线面角，属于中档题．18．（12分）某手机销售商对某市市民进行手机品牌认可度的调查，在已购买某品牌手机的500名市民中，随机抽样100名，按年龄进行统计的频率分布表和频率分布直方图如下：（1）频率分布表中①②应填什么数？补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；（2）在抽出的这100市民中，按分层抽样抽取20人参加宣传活动，从20人中随机选取2人各赠送一部手机，设这两名市民中年龄低于30岁的人数为X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【专题】综合题；概率与统计．【分析】（1）利用频率分布表和频率分布直方图能求出频率分布表中的①②位置应填什么数，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图能统计出这500名志愿者得平均年龄．（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解析】解：（1）由题意知频率分布表中的①位置应填数字为：100﹣5﹣20﹣30﹣10=35，②位置应填数字为：=0.30．补全频率分布直方图，如右图所示．平均年龄估值为：（45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1）=33.5（岁）．（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．（12分）已知直线l：y=x+1，圆O：，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：的短轴长相等，椭圆的离心率e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（0，）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆相交的性质．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）由题设可知b=1，利用，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）先猜测T的坐标，再进行验证．若直线l的斜率存在，设其方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得．【解析】解：（Ⅰ）则由题设可知b=1，（2分）又e=，∴=，∴a2=2 （3分）所以椭圆C的方程是+y2=1．…（4分）（Ⅱ）若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1①若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是②…（6分）由①②解得．由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）．…（7分）事实上点T（0，1）就是所求的点．证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x2+y2=1，过点T（0，1）；当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得（18k2+9）x2﹣12kx﹣16=0（8分）设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=∵=（x1，y1﹣1），=（x2，y2﹣1）∴=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=（k2+1）x1x2﹣（x1+x2）+=∴，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．…（11分）综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．…（12分）【点评】本小题主要考查椭圆的标准方程、向量的坐标运算、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．20．（12分）设f（x）=x1nx+ax2，a为常数．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2且x l＜x2①求证：＜a＜0②求证：f （x2）＞f （x1）＞．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式计算即可得到a=1；（2）①由题意可得f′（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且0＜x1＜x2，设g（x）=lnx+1+2ax，求出导数，对a讨论，分a≥0，a＜0，求出单调区间和极值，令极大值大于0，即可得到a 的范围；②由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有f（x2）＞f（x1），求出x1∈（0，1），设h（x）=（xlnx﹣x），0＜x＜1，求出导数，判断单调性，运用单调性，即可得到所求范围．【解析】解：（1）f（x）=x1nx+ax2的导数为f′（x）=lnx+1+2ax，在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切点为（1，a），在x=1处的切线过点A（0，﹣2），则k=1+2a=a+2，解得a=1；（2）证明：①由题意可得f′（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且0＜x1＜x2，设g（x）=lnx+1+2ax，g′（x）=+2a，x＞0．当a≥0，则g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，不合题意；当a＜0时，g′（x）＞0解得x＜﹣，g′（x）＜0解得x＞﹣，即有g（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减．即有g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得﹣＜a＜0；②由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有f（x2）＞f（x1），f′（1）=g（1）=1+2a＞0，则x1∈（0，1），由①可得ax1=，即有f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1﹣x1），设h（x）=（xlnx﹣x），0＜x＜1，h′（x）=lnx＜0在（0，1）恒成立，故h（x）在（0，1）递减，故h（x）＞h（1）=﹣，由此可得f（x1）＞﹣，综上可得，f （x2）＞f （x1）＞．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查函数的单调性的运用：求参数的范围和证明不等式，运用构造函数和分类讨论的思想方法及不等式恒成立思想是解题的关键．选做题请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．选修4-1：几何证明选讲21．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知四边形ABCD内接于ΘO，且AB是的ΘO直径，过点D的ΘO的切线与BA的延长线交于点M．（1）若MD=6，MB=12，求AB的长；（2）若AM=AD，求∠DCB的大小．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．【专题】计算题．【分析】（1）利用MD为⊙O的切线，由切割线定理以及已知条件，求出AB即可．（2）推出∠AMD=∠ADM，连接DB，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，通过AB是⊙O 的直径，四边形ABCD是圆内接四边形，对角和180°，求出∠DCB即可．【解析】选修4﹣1：几何证明选讲解：（1）因为MD为⊙O的切线，由切割线定理知，MD2=MA•MB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB，…（2分），所以MA=3，AB=12﹣3=9．…（5分）（2）因为AM=AD，所以∠AMD=∠ADM，连接DB，又MD为⊙O的切线，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，（7分）又因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB为直角，即∠BAD=90°﹣∠ABD．又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD，于是90°﹣∠ABD=2∠ABD，所以∠ABD=30°，所以∠BAD=60°．…（8分）又四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BAD+∠DCB=180°，所以∠DCB=120°…（10分）【点评】本题考查圆的内接多边形，切割线定理的应用，基本知识的考查．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=1时，曲线C1上的点为A，当t=﹣1时，曲线C1上的点为B．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（1）求A、B的极坐标；（2）设M是曲线C2上的动点，求|MA|2+|MB|2的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）当t=1时，代入参数方程可得即A，利用，即可得出点A的极坐标，同理可得及其点B的极坐标．（2）由ρ=，化为4ρ2+5（ρsinθ）2=36，利用即可化为直角坐标方程，设曲线C2上的动点M（3cosα，2sinα），可得|MA|2+|MB|2=10cos2α+16，再利用余弦函数的单调性即可得出．【解析】解：（1）当t=1时，代入参数方程可得即A，∴=2，，∴，∴点A的极坐标为．当t=﹣1时，同理可得，点B的极坐标为．（2）由ρ=，化为ρ2（4+5sin2θ）=36，∴4ρ2+5（ρsinθ）2=36，化为4（x2+y2）+5y2=36，化为，设曲线C2上的动点M（3cosα，2sinα），则|MA|2+|MB|2=+=18cos2α+8sin2α+8=10cos2α+16≤26，当cosα=±1时，取得最大值26．∴|MA|2+|MB|2的最大值是26．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数基本关系式、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【专题】计算题；证明题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2），即可得证；（Ⅱ）不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则由（Ⅰ）可知，|x﹣1|+|x+1|≥3，运用绝对值的定义，即可解出不等式．【解析】（Ⅰ）证明：由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2），即有（a+b+c）2≤3，即有|a+b+c|≤；（Ⅱ）解：不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则由（Ⅰ）可知，|x﹣1|+|x+1|≥3，由x≥1得，2x≥3，解得，x≥；由x≤﹣1，﹣2x≥3解得，x≤﹣，由﹣1＜x＜1得，2≥3，不成立．综上，可得x≥或x≤﹣．则实数x的取值范围是（﹣]∪[）．【点评】本题考查柯西不等式的运用，考查不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，属于中档题．。
宁夏银川第一中学2015届高三上学期第二次月考数学(理)
第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合{}2|20A x x x =--≥，{}22|<≤-=x x B ，则=B A （ ） A.[]2,1- B.[]2,1-- C.[]1,1- D.[]2,1 【答案】B.考点：集合的交集.2.已知复数z 满足25)43(=+z i ，则=z （ ）A. i 43-B. i 43+C. i 43--D. i 43+- 【答案】A.考点：复数的计算.3.下列命题中的假命题是（ ）A ．021>∈∀-x R x ， B ．0)x ∀∈+∞（， ，122xx >C ．0x R ∃∈，当0x x >时，恒有41.1x x < D ．R ∈∃α，使函数αx y =的图像关于y 轴对称 【答案】A. 【解析】试题分析：A ：根据指数函数的性质，可知A 正确； B ：当01x <<时，有2(1,2)x∈，12(0,1)x ∈，显然122xx >成立，当1x ≥时，令12()2xf x x =-，∴1'()2ln 22ln 202xf x =⋅≥⋅->，∴()f x 在[1,)+∞上单调递增，∴()(1)10f x f ≥=>，综上，不等式122xx >对于任意(0,)x ∈+∞恒成立，B 正确；C ：∵1.1xy =为底数大于1的指数函数，4y x =为幂函数，∴当x →+∞时，41.1x x -→+∞，∴不存在满足条件的0x ，C 错误；D ：取2α=，可知函数2y x x α==的图象关于y 轴对称，D 正确.考点：函数的性质.4.已知向量(3)a k =，，(14)b =，，(21)c =，，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ） A. 29-B. 0C. 3D. 215【答案】C.考点：平面向量的数量积.5.在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A. )41,0( B. )21,41( C. )43,21( D. )1,43( 【答案】B.考点：函数的零点. 6.若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈24ππθ，， 8732sin =θ，则θsin =（ ） A. 53 B. 54 C. 47D. 43 【答案】D. 【解析】试题分析：∵sin 2θ=，42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴22πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴1c o s 218θ==-，∴21cos 29sin 216θθ-==，∴3sin 4θ=.考点：三角恒等变形.7.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[]02，-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若在区间(2,6]- 内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( ) A. (1,2) B. (2，＋∞) C. (1, 34) D. (34,2)【答案】D.考点：1.根的存在性；2.数形结合的数学思想. 8.已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β=（ ） A ．31 B ．322 C ．13013011 D ．91 【答案】B.考点：平面向量的数量积.9.函数)220)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=，x x f 的部分图象如图所示，则ϕω，的值分别是（ ） A. 32π-， B. 62π-， C. 321π-， D. 621π，【答案】A.考点：函数sin()y A x ωϕ=+的图象和性质.10.函数2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩ ，若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ）. A ．[]2,1- B ．[]0,1- C. []2,1 D ．[]2,0 【答案】D. 【解析】考点：分段函数的值域.11.若202παβπ<<<<-，1cos()43πα+=，cos()42πβ-=则c o s ()2βα+=（ ） A ．33 B ．33- C ．935 D ．96-【答案】C.考点：三角恒等变形. 12.已知函数)0(21)(2<-+=x e x x f x 与)ln()(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A. )1(ee ，- B. )1(e e，-C. )(e ，-∞D. )1(e ，-∞【答案】C. 【解析】考点：函数的性质与应用.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷对应的横线上． 13.11(2)1x dx x +=+⎰________. 【答案】ln 21+. 【解析】 试题分析：121001(2)[ln(1)]ln 211x dx x x x +=++=++⎰. 考点：定积分的计算. 14.已知点)11(--，P 在曲线ax xy +=上，则曲线在点P 处的切线方程为_____________. 【答案】210x y -+=.考点：导数的运用.15.如图在平行四边形ABCD 中，已知58==AD AB ，，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则⋅的值是 .C【答案】22.考点：平面向量的数量积.16.已知函数x x x f sin cos )(⋅=，给出下列五个说法： ①41)121921(=πf . ②若)()(21x f x f -=，则21x x -=. ③)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-36ππ，上单调递增. ④将函数)(x f 的图象向右平移43π个单位可得到x y 2cos 21=的图象. ⑤)(x f 的图象关于点(,0)4π-成中心对称．其中正确说法的序号是. 【答案】①④.考点：三角函数的图象与性质.三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分） 如图，在ABC △中，83==∠AB B ，π，点D 在BC 边上，且2=CD ，71cos =∠ADC . （1）求BAD ∠sin ； （2）求AC BD ，的长.【答案】（1）sin 314BAD ∠=；（2）3BD =，7AC =.考点：1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形. 18.（本题满分12分） 已知函数x m x m x x f )6()3(2131)(23+++-=，x R ∈．（其中m 为常数） （1）当4m =时，求函数的极值点和极值；（2）若函数()y f x =在区间(0,)+∞上有两个极值点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）函数的极大值点是2x =，极大值是263；函数的极小值点是5x =，极小值是256；（2）3m >.考点：1.导数的运用；2.一元二次方程根的分布. 19.（本题满分12分） 已知函数)4sin()4sin(2)32cos()(πππ+-+-=x x x x f（1）求函数)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数)(x f 在区间]212[ππ，-上的值域. 【答案】（1）最小正周期T π=，对称轴为：()3x k k Z ππ=+∈；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-123， . 【解析】试题分析：（1）首先对()f x 的表达式进行化简，利用两角和与差的正余弦公式，结合辅助角公式，即可将其化为形如sin()y A x ωϕ=+的形式，从而可知周期与对称轴方程；（2）根据题意可知当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈212ππ，x ，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65362πππ，x ，结合正弦函数sin y x =在536ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的单调性可知，当263x ππ-=-，12x π=-时，min ()()122f x f π=-=-，当262x ππ-=，3x π=时，max ()()13f x f π==，从而可知值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-123， . 试题解析：（1）∵1()cos(2)2sin()sin()cos 223442f x x x x x x πππ=-+-+= 221(sin cos )(sin cos )cos 22sin cos 2x x x x x x x x +-+=+- 1cos 22cos 2sin(2)26x x x x π=-=-， ∴周期T π=，函数图像的对称轴为：()3x k k Z ππ=+∈；….........6分（2）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈212ππ，x ，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65362πππ，x ，再令262x ππ-=，得3x π=，∵函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-312ππ，上单调递增，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，上单调递减， ∴当3π=x 时，取最大值1，又∵21)2(23)12(=<-=-ππf f ，即当12π-=x 时)(x f 所取最小值23-， ∴函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-123， . 考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的图象和性质. 20.（本题满分12分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,,c b a 且1cos 2a C cb -=. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆的周长的取值范围.【答案】（1）23A π=；（2）(2,1]3+.1sin )1sin())l a b c B C B A B =++=+=+++11(sin )1)223B B B π=+=+，∵23A π=，∴(0,)3B π∈，∴sin()3B π+∈，故ABC ∆的周长的取值范围为1]. ……12分 考点：1.三角恒等变形；2.正弦定理. 21.（本题满分12分）已知函数2()(33)xf x x x e =-+⋅定义域为[2,](2)t t ->-，设(2),()f m f t n -==.（1）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[2,]t -上为单调函数； （2）求证：m n >；（3）求证：对于任意的2t >-，总存在0(2,)x t ∈-，满足20()2(1)3x f x t e '=-，并确定这样的0x 的个数.【答案】（1）20t -<≤；（2）详见解析；（3）详见解析.考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.根的存在性与根的个数判断.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．如图，EP 交圆于C E 、两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点，且PD PG =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若BD AC =，求证：ED AB =.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.考点：1.圆周角定理；2.垂径定理.23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程． 在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为cos (0sin x a a b y b φφφ=⎧>>⎨=⎩，为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线αθ=:l 与12,C C 各有一个交点.当0=α时，这两个交点间的距离为2，当2πα=时，这两个交点重合.（1）分别说明21C C ，是什么曲线，并求出a 与b 的值； （2）设当4πα=时，l 与21C C ，的交点分别为11B A ，，当4πα-=时，l 与21C C ，的交点为22B A ，，求四边形1221B B A A 的面积.【答案】（1）1C 为圆，2C 为椭圆，3a =，1b =；（2）四边形1221A A B B 的面积为25考点：1.参数方程化为普通方程；2.圆与圆锥曲线的综合. 24.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=， （1）当1=a 时，求不等式1)(>x f 的解集；（2）若x R ∀∈，)()1(x f x f ≤-，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1k =；（2）]66,66[-∈a .考点：1.奇函数的性质；2.分段函数；3.恒成立问题.。
宁夏回族自治区 数学高三上学期理数第二次月考试卷B卷
宁夏回族自治区数学高三上学期理数第二次月考试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内z对应的点的坐标是（）A . （2，4）B . （2，－4）C . （4，－2）D . （4，2）2. （1分）下列结论中成立的（）A .B .C .D .3. （1分） (2018高一上·旅顺口期中) 函数的图象大致为（）A .B .C .D .4. （1分） (2016高一下·大庆期中) 已知向量| |=4，为单位向量，当他们之间的夹角为时，在方向上的投影与在方向上的投影分别为（）A . 2 ，B . 2，C . ，2D . 2，25. （1分）已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是（）A .B .C . 2D .6. （1分）(2017·泉州模拟) 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，AC=2，BD=2 ，∠ACD=60°，则AD=（）A . 2B .C .D .7. （1分）如果右边程序框图的输出结果是10，那么在判断框中①表示的“条件”应该是（）A . i≥3B . i≥4C . i≥5D . i≥68. （1分）甲、乙两人参加一次射击游戏，规则规定，每射击一次，命中目标得2分，未命中目标得0分．已知甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率是．假设甲、乙两人射击是相互独立的，则p的值为（）A .B .C .D .9. （1分）(2016·新课标Ⅱ卷理) 平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1 ，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A .B .C .D .10. （1分）(2018·银川模拟) 已知函数的图象与直线交于两点，若的最小值为，则函数的一条对称轴是（）A .B .C .D .11. （1分） (2016高一下·太康开学考) 下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A . f（x）=B . f（x）=x2+1C . f（x）=x3D . f（x）=2﹣x12. （1分）(2018·郑州模拟) 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，左、右焦点分别是，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率的平方为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·湖南模拟) 过上一点作曲线的切线，则切线方程为________.14. （1分）(2019·新乡模拟) 设，满足约束条件，则的最大值为________.15. （1分） (2019高一下·大庆月考) 的值为________.16. （1分） (2017高三上·漳州期末) 半径为R的球放在房屋的墙角处，球与围成墙角的三个互相垂直的面都相切，若球心到墙角的距离是，则球的表面积是________ ．三、解答题 (共7题；共15分)17. （2分）已知数列{an}的前n项和，求an ．18. （3分） (2016高二下·南城期末) 近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，网购成了大众购物的一个重要组成部分，可人们在开心购物的同时，假冒伪劣产品也在各大购物网站频频出现，为了让顾客能够在网上买到货真价实的好东西，各大购物平台也推出了对商品和服务的评价体系，现从某购物网站的评价系统中选出100次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为30次．（1）列出关于商品和服务评价的2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这100次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（K2= ，其中n=a+b+c+d）19. （2分） (2016高二下·丹阳期中) 如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB．（1）求AD1与面BB1D1D所成角的正弦值；（2）点E在侧棱AA1上，若二面角E﹣BD﹣C1的余弦值为，求的值．20. （2分）已知，．（1）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数的图象在点处的切线方程；（3）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．21. （2分）已知函数地f（x）=alnx-x+1（a=R）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a<0时，对任意的x1，x2=（0，1]，（x1<x2），都有（x1）-（x2）<4（），求实数a的取值范围.22. （2分）(2019·贵州模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的方程为，曲线：（为参数，），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线： .（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线有公共点，且直线与曲线的交点恰好在曲线与轴围成的区域（不含边界）内，求的取值范围.23. （2分）(2019·南通模拟) 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设的导函数为，若有两个不相同的零点．① 求实数的取值范围；② 证明：．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共15分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
2015年宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2015年宁夏银川一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{0，1}，若A⊆B，则由a的取值构成的集合为（）A．{1}B．{0}C．{0，1}D．∅2．（5分）复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（）A．（1，2）B．（2，﹣i）C．（2，1）D．（1，﹣2）3．（5分）在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）等差数列{a n}中，已知a1＝﹣12，S13＝0，使得a n＞0的最小正整数n为（）A．10B．9C．8D．75．（5分）定义在区间[a，b]（b＞a）上的函数的值域是，则b﹣a的最大值M和最小值m分别是（）A．B．C．D．6．（5分）已知（1+2x）8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）下列命题中正确命题的个数是（）（1）cosα≠0是的充分必要条件；（2）若a＞0，b＞0，且，则ab≥4；（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；（4）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则．A．4B．3C．2D．18．（5分）下面四个图象中，有一个是函数f（x）＝x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R）的导函数y＝f'（x）的图象，则f（﹣1）等于（）A．B．﹣C．D．﹣或9．（5分）若f（x）＝2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）＝f（﹣t），且f（）＝﹣1则实数m的值等于（）A．±1B．﹣3或1C．±3D．﹣1或310．（5分）设函数，则对于任意的实数a和b，a+b＜0是f（a）+f（b）＜0的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，SA⊥面ABC，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．64π12．（5分）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若＝λ+μ（λ，μ∈R），λ•μ＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）如图所示的程序是计算函数f（x）函数值的程序，若输出的y值为4，则输入的x值是．14．（5分）从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为kg；若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正、负队长，则这两人体重不在同一组内的概率为．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y2＝4x上，满足•＝﹣4，F 是抛物线的焦点，则S△OF A•S△OFB＝．16．（5分）已知：M＝{a|函数y＝2sin ax在[]上是增函数}，N＝{b|方程3﹣|x﹣1|﹣b+1＝0有实数解}，设D＝M∩N，且定义在R上的奇函数在D内没有最小值，则m的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．（1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？18．（12分）已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA＝AD＝DC＝BC＝a，E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F为B1D的中点．（1）求四棱锥B1﹣AECD的体积；（2）证明：B1E∥面ACF；（3）求面ADB1与面ECB1所成锐二面角的余弦值．19．（12分）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表：（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．20．（12分）设直线l：y＝k（x+1）与椭圆x2+3y2＝a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）已知结论：若函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在区间（m，n）内导数都存在，且m＞﹣a，则存在x0∈（m，n），使得．试用这个结论证明：若﹣a＜x1＜x2，设函数，则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＜g（x）；（Ⅲ）若e t+n≥1+n对任意的正整数n都成立（其中e为自然对数的底），求实数t的最小值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1；几何证明选讲．22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB＝4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE＝1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．选修4-4：坐标系与参数方程．23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）＝4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．选修4-5；不等式选讲．24．函数f（x）＝．（Ⅰ）若a＝5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设B＝{x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁R A）时，求证：＜|1+|．2015年宁夏银川一中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{0，1}，若A⊆B，则由a的取值构成的集合为（）A．{1}B．{0}C．{0，1}D．∅【解答】解：当a＝0时，集合A＝{x|ax＝1}＝∅，满足A⊆B；当a≠0时，集合A＝{x|ax＝1}＝{}，由A⊆B，B＝{0，1}得：＝0，或＝1，＝0无解，解＝1得：a＝1，综上由a的取值构成的集合为{0，1}故选：C．2．（5分）复数的共轭复数是a+bi（a，b∈R），i是虛数单位，则点（a，b）为（）A．（1，2）B．（2，﹣i）C．（2，1）D．（1，﹣2）【解答】解：因为，其共轭复数为2+i，即a+bi＝2+i，所以a＝2，b＝1．所以点（a，b）为（2，1）．故选：C．3．（5分）在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1＝1，而阴影部分的面积为＝＝，∴正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为＝，故选：B．4．（5分）等差数列{a n}中，已知a1＝﹣12，S13＝0，使得a n＞0的最小正整数n为（）A．10B．9C．8D．7【解答】解：∵等差数列f（x）中，已知a1＝﹣12，S13＝0，∴＝0，∴a13＝12．由等差数列的性质可得2a7＝a1+a13＝0，故a7＝0．再由题意可得，此等差数列为递增的等差数列，故使得a n＞0的最小正整数n为8，故选：C．5．（5分）定义在区间[a，b]（b＞a）上的函数的值域是，则b﹣a的最大值M和最小值m分别是（）A．B．C．D．【解答】解：＝sin（），∵x∈[a，b]（b＞a），∴，由函数f（x）在上的值域为，不妨设，则b﹣∈[]，∴b﹣a的最大值M＝；最小值m＝．故选：D．6．（5分）已知（1+2x）8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得a＝＝70，再根据，即，求得r＝5或6，此时，b＝7×28，∴＝，故选：A．7．（5分）下列命题中正确命题的个数是（）（1）cosα≠0是的充分必要条件；（2）若a＞0，b＞0，且，则ab≥4；（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；（4）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则．A．4B．3C．2D．1【解答】解：（1）cosα≠0的充分必要条件是，故（1）不正确；（2）若a＞0，b＞0，且，则，∴ab≥8≥4，故（2）正确；（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则平均数加上常数，样本的方差不变，故（3）正确；（4）由图象的对称性可得，若P（ξ＞1）＝p，则P（ξ＜﹣1）＝p，∴P（﹣1＜ξ＜1）＝1﹣2p，∴，故（4）正确，综上知，正确命题为（2）（3）（4）故选：B．8．（5分）下面四个图象中，有一个是函数f（x）＝x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R）的导函数y＝f'（x）的图象，则f（﹣1）等于（）A．B．﹣C．D．﹣或【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）＝x2+2ax+（a2﹣1）＝（x+a）2﹣1，则f′（x）的图象开口向上，排除（2）（4），若是（1）则，对称轴关于y轴对称，则2a＝0，即a＝0，f（x）＝x3﹣x+1，∴f（﹣1）＝﹣+1+1＝，若对应的图象应为（3），则函数过原点，a2﹣1＝0，解得a＝1，或a＝﹣1且对称轴x＝﹣a＞0，即a＜0，∴a＝﹣1∴f（x）＝x3﹣x2+1，∴f（﹣1）＝﹣﹣1+1＝﹣，故选：D．9．（5分）若f（x）＝2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）＝f（﹣t），且f（）＝﹣1则实数m的值等于（）A．±1B．﹣3或1C．±3D．﹣1或3【解答】解：因为f（x）＝2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）＝f（﹣t），所以函数的对称轴是x＝，就是函数取得最值，又f（）＝﹣1，所以﹣1＝±2+m，所以m＝1或﹣3．故选：B．10．（5分）设函数，则对于任意的实数a和b，a+b＜0是f（a）+f（b）＜0的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：显然，函数在R上是递增函数，而且是奇函数，于是，由a+b＜0，得a＜﹣b，有f（a）＜f（﹣b）＝﹣f（b），即f（a）+f（b）＜0．反过来，也成立．故选：C．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，SA⊥面ABC，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．64π【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，∴BC＝＝，∴∠ABC＝90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r＝＝1，∴球O的半径R＝＝2，∴球O的表面积S＝4πR2＝16π．故选C．．12．（5分）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若＝λ+μ（λ，μ∈R），λ•μ＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的渐近线为：y＝±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），∵，∴（c，）＝（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），∴λ+μ＝1，λ﹣μ＝，解得λ＝，μ＝，又由λμ＝得＝，解得＝，∴e＝＝故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）如图所示的程序是计算函数f（x）函数值的程序，若输出的y值为4，则输入的x值是﹣4，0，4．【解答】解：由题意知该程序的作用是计算分段函数y＝的函数值当x＜0时，若y＝4，则（x+2）2＝4，得x＝﹣4；当x＞0时，若y＝4，则（x﹣2）2＝4，得x＝4；当x＝0，y＝4，正好输出4．故满足条件的x为﹣4，0，4．故答案为：﹣4，0，4．14．（5分）从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为64.5kg；若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正、负队长，则这两人体重不在同一组内的概率为．【解答】解：体重的平均值为45×0.05+55×0.35+65×0.3+75×0.2+85×0.1＝2.25+19.29+19.5+15+8.5＝64.5．在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中抽取的人数之比为0.3：0.2：0.1＝3：2：1，故这三组内的男生中抽取的人数分别为12×＝6，12×＝4，12×＝2，所有的选法有＝66种，这两人体重不在同一组内的选法有6×4+6×2+4×2＝44种，故这两人体重不在同一组内的概率为＝．故答案为：64.5；．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y2＝4x上，满足•＝﹣4，F 是抛物线的焦点，则S△OF A•S△OFB＝2．【解答】解：设l过A、B的方程为：x＝ty+b代入抛物线y2＝4x，消去x得y2﹣4ty﹣4b＝0设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4b，∴•＝（ty1+b）（ty2+b）+y1y2＝t2y1y2+bt（y1+y2）+b2+y1y2＝﹣4bt2+4bt2+b2﹣4b＝b2﹣4b令b2﹣4b＝﹣4，∴b2﹣4b+4＝0∴b＝2．∴直线l过定点（2，0）．当x＝2时，y＝，此时|y1y2|取得最小值8，∴S△OF A•S△OFB＝|y1y2|＝＝2．故答案为：2．16．（5分）已知：M＝{a|函数y＝2sin ax在[]上是增函数}，N＝{b|方程3﹣|x﹣1|﹣b+1＝0有实数解}，设D＝M∩N，且定义在R上的奇函数在D内没有最小值，则m的取值范围是m＞．【解答】解：∵M＝{a|函数y＝2sin ax在[]上是增函数，可得且a＞0，即，解得a，故M＝{a|a}∵N＝{b|方程3﹣|x﹣1|﹣b+1＝0有实数解}，所以可得N＝{b|1＜b≤2}∴D＝M∩N＝（1，]∵是定义在R上的奇函数∴f（0）＝0可得n＝0∴f（x）＝，又在D内没有最小值∴f（x）＝＝，定义在R上的奇函数在D内没有最小值，所以分母恒为正，即m必须为正数，若m＞0，令h（x）＝，则在D内没有最小值可转化为h（x）在D内没有最大值，下对h（x）在D内的最大值进行研究：由于h′（x）＝1﹣，令h′（x）＞0，可解得x＞，令h′（x）＜0，可解得x＜，由此知，函数h（x）在（0，）是减函数，在（，+∞）上是增函数，当≥时，即m≥时，函数h（x）在D上是减函数，不存在最大值，符合题意当≤1时，即m≤1时，函数h（x）在D上是增函数，存在最大值h（），不符合题意当1＜＜时，即1＜m＜时，函数h（x）在（1，）是减函数，在（，）上是增函数，必有h（1）＞h（）成立，才能满足函数h（x）在D上没有最大值，即有1+m ＞+，解得m＞，符合题意综上讨论知，m的取值范围是m＞，故答案为m＞三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．（1）求船的航行速度是每小时多少千米？（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？【解答】解：（1）在Rt△P AB中，∠APB＝60°，P A＝1，∴AB＝．在Rt△P AC中，∠APC＝30°，∴AC＝．在△ACB中，∠CAB＝30°+60°＝90°，∴BC＝＝＝．则船的航行速度为÷＝2（千米/时）．（2）在△ACD、中，∠DAC＝90°﹣60°＝30°，sin∠DCA＝sin（180°﹣∠ACB）＝sin∠ACB＝＝＝，sin∠CDA＝sin（∠ACB﹣30°）＝sin∠ACB•cos30°﹣cos∠ACB•sin30°＝•﹣＝．由正弦定理得＝．∴AD＝＝＝．故此时船距岛A有千米．18．（12分）已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA＝AD＝DC＝BC＝a，E是BC的中点，将△BAE沿AE翻折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F为B1D的中点．（1）求四棱锥B1﹣AECD的体积；（2）证明：B1E∥面ACF；（3）求面ADB1与面ECB1所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）解：取AE的中点M，连接B1M，因为，E是BC的中点，所以△ABE为等边三角形，所以，又因为面B1AE⊥面AECD，所以B1M⊥面AECD，…（2分）所以…（4分）（Ⅱ）证明：连接ED交AC于O，连接OF，因为AECD为菱形，OE＝OD，又F为B1D的中点，所以FO∥B1E，因为FO⊂面ACF所以B1E∥面ACF…（7分）（Ⅲ）解：连接MD，分别以ME，MD，MB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．则…（9分）设面ECB1的法向量，则，令x'＝1，则设面ADB1的法向量为，则，令x＝1，则…（11分）则，所以二面角的余弦值为…（12分）19．（12分）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表：（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．【解答】解：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为，芯片乙为合格品的概率约为．…（3分）（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15.；；；．所以，随机变量X的分布列为：．…（8分）（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件．依题意，得50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．所以n＝4，或n＝5．设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，则．…（12分）20．（12分）设直线l：y＝k（x+1）与椭圆x2+3y2＝a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故y＝k（x+1）可化为将代入x2+3y2＝a2，消去x，得①（1分）由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得△＝（2分）化简整理即得．（☆）（4分）（Ⅱ）A（x1，y1），B（x2，y2），由①，得②（5分）因为，由，得y1＝﹣2y2③（6分）由②③联立，解得y2＝④（7分）△OAB的面积＝上式取等号的条件是3k2＝1，即（9分）当时，由④解得；当时，由④解得．将及这两组值分别代入①，均可解出a2＝5（11分）经验证，a2＝5，满足（☆）式．所以，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程是x2+3y2＝5（12分）注：若未验证（说明）满足（☆）式，扣（1分）．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）已知结论：若函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在区间（m，n）内导数都存在，且m＞﹣a，则存在x0∈（m，n），使得．试用这个结论证明：若﹣a＜x1＜x2，设函数，则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＜g（x）；（Ⅲ）若e t+n≥1+n对任意的正整数n都成立（其中e为自然对数的底），求实数t的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣a，+∞），函数的f（x）的导数f′（x）＝1﹣＝，由f′（x）＝0得，x＝1﹣a＞﹣a，即由f′（x）＞0得x＞1﹣a，由f′（x）＜0得﹣a＜x＜1﹣a，即当x＝1﹣a时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（1﹣a）＝1﹣a＝0，解得a＝1；（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝f（x）﹣（x﹣x1）﹣f（x1）；则h′（x）＝f′（x）﹣，∵f（x）在x∈（x1，x2），上存在导数，∴存在x0∈（x1，x2），使得f′（x0）＝，∵f′（x）＝，∴h′（x）＝f′（x）﹣f′（x0）＝﹣＝，当x∈（x1，x0），h′（x）＜0，∴h（x）为单调减函数，∴h（x）＜h（x1）＝0，当x∈（x0，x2），h′（x）＞0，∴h（x）为单调增函数，∴h（x）＜h（x2）＝0，故对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＜g（x）；（Ⅲ）由e t+n≥1+n两边取对数得t+n≥ln（1+n），故t≥﹣n+ln（1+n），由（Ⅰ）知，f（x）＝x﹣ln（x+1）在[﹣1，+∞）上单调递增，故﹣x+ln（1+x）在[﹣1，+∞）上单调递减，∵n是正整数，∴当n＝1时，﹣n+ln（1+n）的最大值为﹣1+ln2，∴若t≥﹣n+ln（1+n）恒成立，则t的最小值为﹣1+ln2．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1；几何证明选讲．22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB＝4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE＝1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠OCA，（2分）因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA＝∠CAD，∠OAC＝∠CAD，所以AC平分∠BAD．（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC＝CE，（6分）连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B＝∠CED，所以cos B＝cos∠CED，（8分）所以，所以BC＝2．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程．23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）＝4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．【解答】解：（1）把C1：（θ为参数），消去参数化为普通方程为x2+y2＝1，故曲线C1：的极坐标方程为ρ＝1．再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为+＝1，即+＝1．故曲线C2的极参数方程为（θ为参数）．（2）直线l：ρ（cosθ+sinθ）＝4，即x+y﹣4＝0，设点P（cosθ，2sinθ），则点P到直线的距离为d＝＝，故当sin（θ+）＝1时，d取得最小值，此时，θ＝2kπ+，k∈z，点P（1，），故曲线C2上有一点P（1，）满足到直线l的距离的最小值为﹣．选修4-5；不等式选讲．24．函数f（x）＝．（Ⅰ）若a＝5，求函数f（x）的定义域A；（Ⅱ）设B＝{x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁R A）时，求证：＜|1+|．【解答】解：（Ⅰ）a＝5时，函数f（x）＝，∴|x+1|+|x+2|﹣5≥0；即|x+1|+|x+2|≥5，当x≥﹣1时，x+1+x+2≥5，∴x≥1；当﹣1＞x＞﹣2时，﹣x﹣1+x+2≥5，∴x∈∅；当x≤﹣2时，﹣x﹣1﹣x﹣2≥5，∴x≤﹣4；综上，f（x）的定义域是A＝{x|x≤﹣4或x≥1}．（Ⅱ）∵A＝{x|x≤﹣4或x≥1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝（﹣4，1），∴B∩∁R A＝（﹣1，1）；又∵，而；当a，b∈（﹣1，1）时，（b2﹣4）（4﹣a2）＜0；∴4（a+b）2＜（4+ab）2，即．。
宁夏回族自治区银川一中高三数学第二次月考试题 理(含
银川一中2015届高三年级第二次月考数 学 试 卷（理）【试卷综评】突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1．已知集合{}02|2≥--=x x x A ，{}22|<≤-=x x B ，则=B A I （ ）A ．[]2,1-B ．[]1,2-- C. []1,1- D ．[]2,1【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】B 解析：由A 中不等式变形得：（x+1）（x ﹣2）≥0， 解得：x≤﹣1或x≥2，即A=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∵B=[﹣2，2）， ∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：B ．【思路点拨】求出A 中不等式的解集确定出A ，再由B ，求出A 与B 的交集即可． 【题文】2．已知复数z 满足25)43(=+z i ，则=z （ ）A. i 43-B. i 43+C. i 43--D. i 43+- 【知识点】复数相等的充要条件．L4【答案解析】 A 解析：∵复数z 满足（3+4i ）z=25，则z====3﹣4i ，故选：A ．【思路点拨】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得z 的值．【题文】3．下列命题中的假命题是（ ）A ．021>∈∀-x R x ， B ．212),0x x x>∞+∈∀ ， （C ．4001.1,x x x R x x <>∈∃时，恒有 当D ．R ∈∃α，使函数 αx y =的图像关于y 轴对称【知识点】命题的真假判断与应用. A2【答案解析】C 解析：由指数函数的定义域和值域可知，∀x ∈R ，21﹣x ＞0，选项A 为真命题；当0＜x ＜1时，2x ＞1，，有．当x=1时，．当x ＞1时，．∴∀x ∈（0，+∞），2x ＞，命题B 为真命题；∵y=1.1x 为底数大于1的指数函数，y=x4为幂函数，∴∃x0∈R ，当x ＞x0时，恒有1.1x ＞x4，选项C 为假命题；当α为偶数时，函数y=xα是偶函数，其图象关于y 轴对称，选项D 为真命题． 故选：C ．【思路点拨】由指数函数的定义域和值域判断A ；对x 分类讨论判断B ；由指数函数爆炸性判断C ；举例说明D 正确．【题文】4．已知向量)12()41()3(，，，，，===c b k a ，且c b a ⊥-)32(，则实数k =（ ） A. 29-B. 0C. 3D. 215【知识点】平面向量数量积的运算．菁优F3 【答案解析】C 解析：=（2k ﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=2（2k ﹣3）﹣6=0，解得k=3．故选：C ． 【思路点拨】（2﹣3）⊥，可得（2﹣3）•=0，解出即可．【题文】5．在下列区间中，函数34)(-+=x e x f x 的零点所在的区间为（ ） A.)41,0( B. )21,41( C. )43,21( D. )1,43( 【知识点】函数零点的判定定理．菁优B9【答案解析】B 解析：∵f （0）=e0﹣3=﹣2＜0 f （1）=e1+4﹣3＞0 ∴根所在的区间x0∈（0，1）排除A 选项 又∵∴根所在的区间x0∈（0，），排除D 选项 最后计算出，，得出选项B 符合；故选B ．【思路点拨】分别计算出f （0）、f （1）、f （）、f （）的值，判断它们的正负，再结合函数零点存在性定理，可以得出答案．【题文】6．若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈24ππθ，，8732sin =θ，则θsin =（ ）A. 53B. 54C. 47D. 43【知识点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．C2 C6 【答案解析】D 解析：因为，，所以cos2θ=﹣=﹣，所以1﹣2sin2θ=﹣，所以sin2θ=，，所以sinθ=．故选D ．【思路点拨】结合角的范围，通过平方关系求出二倍角的余弦函数值，通过二倍角公式求解即可．【题文】7．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[]02，-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若在区间]62(，- 内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (2，＋∞)C. (1, 34)D. (34,2)【知识点】函数的零点与方程根的关系. 权所有B9【答案解析】D 解析：∵f（x ）是定义在R 上的偶函数， ∴f（x ）的图象关于y 轴对称， ∵对x∈R，都有f （x ﹣2）=f （x+2）， ∴f（x ）是周期函数，且周期为4； ∵当x∈[﹣2，0]时，f （x ）=（）x ﹣1， ∴其在区间（﹣2，6]内的图象如右图，∴在区间（﹣2，6]内关于x 的方程f （x ）﹣loga （x+2）=0（a ＞1）恰有3个不同的实根可转化为，函数f （x ）的图象与y=loga （x+2）的图象有且只有三个不同的交点， 则loga （2+2）＜3，且loga （6+2）＞3 解得，a∈（，2）．故选D ．【思路点拨】作出在区间（﹣2，6]内函数f （x ）的图象，将方程的根的个数化为函数图象交点的个数．【题文】8．已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且31cos =α，向量2123e e a -=与213e e b -=的夹角为β，则βcos =（ ）A ．31B ．322C ．13013011D ．91【知识点】平面向量数量积的运算．F3 【答案解析】B 解析：向量，，∵===3． ===．=+﹣9=9+2﹣9×=8．∴cosβ===．故选：B ．【思路点拨】利用数量积的运算性质即可得出．【题文】9．函数)220)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=，x x f 的部分图象如图所示，则ϕω，的值分别是（ ）A.32π-， B.62π-， C. 321π-， D. 621π，【知识点】y=Asin （ωx+φ）中参数的物理意义．C4 【答案解析】A 解析：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T 满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f （x ）=2sin （2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣，故选：A【思路点拨】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x 值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．【题文】10．函数⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=.0,1,0,)()(2x a x x x a x x f ，若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ）.A ．[]2,1-B ．[]0,1- C. []2,1 D ．[]2,0 【知识点】分段函数的应用．B1【答案解析】D 解析：当a ＜0时，显然f （0）不是f （x ）的最小值，当a≥0时，f （0）=a2，由题意得：a2≤x++a ，解不等式：a2﹣a ﹣2≤0，得﹣1≤a≤2， ∴0≤a≤2，故选：D ．【思路点拨】当a ＜0时，显然f （0）不是f （x ）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a ﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．【题文】11．若202παβπ<<<<-，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=，则cos()2βα+=（ ）A ．33B ．33-C ．935D ．96-【知识点】两角和与差的余弦函数．C5 【答案解析】C 解析：∵若﹣＜β＜0＜α＜，cos （+α）=，cos （﹣）=，∴sin（+α）=，sin （﹣）=， ∴cos （α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos （+α）cos （﹣）+sin （+α）sin （﹣）=）=；故选C ．【思路点拨】观察已知角与所求角之间的关系得到α+=（+α）﹣（﹣），只要再求出另一个三角函数值，利用两角差的余弦公式解答．CABD P 【题文】12．已知函数)0(21)(2<-+=x e x x f x 与)ln()(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A. )1(e e ，-B. )1(e e ，-C. )(e ，-∞D.)1(e ，-∞ 【知识点】函数的图象．B9【答案解析】C 解析：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+ex0﹣=（﹣x0）2+ln （﹣x0+a ）， 即ex0﹣﹣ln （﹣x0+a ）=0有负根，∵当x 趋近于负无穷大时，ex0﹣﹣ln （﹣x0+a ）也趋近于负无穷大， 且函数h （x ）=ex ﹣﹣ln （﹣x+a ）为增函数，∴h（0）=﹣lna ＞0， ∴lna＜ln，∴0＜a ＜，∴a 的取值范围是（0，），故选：B【思路点拨】由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+ex0﹣=（﹣x0）2+ln （﹣x0+a ），结合函数h （x ）=ex ﹣﹣ln （﹣x+a ）图象和性质，可得h （0）=﹣lna ＞0，进而得到答案． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.【题文】13.dx x )21x 1(1++⎰ =_______________________.【知识点】定积分．B13【答案解析】2ln 1+ 解析：（+2x ）dx=[ln （x+1）+x2]=1+ln2；故答案为：1+ln2．【思路点拨】找出被积函数的原函数，然后代入上下限计算．【题文】14. 已知点)11(--，P 在曲线a x xy +=上，则曲线在点P 处的切线方程为_____________.【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优B12【答案解析】12+=x y 解析：由于点P （﹣1，﹣1）在曲线y=上，则﹣1=，得a=2，即有y=，导数y′==，则曲线在点P 处的切线斜率为k==2．即有曲线在点P 处的切线方程为：y+1=2（x+1）， 即y=2x+1．故答案为：y=2x+1．【思路点拨】将点P 代入曲线方程，求出a ，再求函数的导数，求出切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程．【题文】15. 如图在平行四边形ABCD 中，已知58==AD AB ，，23=⋅=BP AP PD CP ， ，则AD AB ⋅的值是 ___.【知识点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．F3 【答案解析】22 解析：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5， ∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．【思路点拨】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．【题文】16. 已知函数x x x f sin cos )(⋅=，给出下列五个说法：①41)121921(=πf . ②若)()(21x f x f -=，则21x x -=.③)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-36ππ，上单调递增.④将函数)(x f 的图象向右平移43π个单位可得到xy 2cos 21=的图象.DCBA⑤)(x f 的图象关于点)04(，π-成中心对称．其中正确说法的序号是 .【知识点】命题的真假判断与应用；正弦函数的对称性；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【答案解析】①④ 解析：f （x ）=cosx•sinx=，为奇函数．①f（）=f （）=，正确； ②由f （x1）=﹣f （x2）=f （﹣x2），知x1=﹣x2+2kπ或x1=π﹣x2+2kπ，k∈Z；所以②错误． ③令，得，由复合函数性质知f （x ）在每一个闭区间上单调递增，但[﹣，]⊄，故函数f （x ）在[﹣，]上不是单调函数；所以③错误．④将函数f （x ）的图象向右平移个单位可得到，所以④错误；⑤函数的对称中心的横坐标满足2x0=kπ，解得，即对称中心坐标为，则点（﹣，0）不是其对称中心．所以⑤错误．故答案为①．【思路点拨】利用三角公式和三角函数的图象和性质分别进行判断即可． 三、解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【题文】17. （本题满分12分）如图，在ABC △中，83==∠AB B ，π，点D 在BC 边上，且2=CD ，71cos =∠ADC .（1）求BAD ∠sin ； （2）求AC BD ，的长. 【知识点】余弦定理的应用．C8【答案解析】（1）3314（2）3,7解析：（1）解：（1）在△ABC 中，因为当734cos =∠ADC ，所以1433)sin(sin =∠-∠=∠B ADC BAD ……….5分（2）在△ABD 中，由正弦定理得：3sin sin =∠∠⋅=ADB BADAB BD在△ABC 中，由余弦定理得：49cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC所以7=AC ……….12分 【思路点拨】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论． 【题文】18. （本题满分12分）已知函数x m x m x x f )6()3(2131)(23+++-=，x∈R．（其中m 为常数）（1）当m=4时，求函数的极值点和极值；（2）若函数)(x f y =在区间（0，+∞）上有两个极值点，求实数m 的取值范围. 【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．B12【答案解析】（1）函数的极大值点是2=x ，极大值是326；函数的极小值点是5=x ，极小值是625.（2） m ＞3.解析：函数的定义域为R（1）当m ＝4时，f （x ）＝ x3－x2＋10x ，)('x f ＝x2－7x ＋10，令0)('>x f ， 解得5>x 或2<x ．令0)('<x f ， 解得52<<x , 列表所以函数的极大值点是2=x ，极大值是326；函数的极小值点是5=x ，极小值是625.……….6分 （2）)('x f ＝x2－（m ＋3）x ＋m ＋6,要使函数)(x f y =在（0，＋∞）有两个极值点,则⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+-+=∆06030)6(4)3(2m m m m ，解得m ＞3. ……….12分【思路点拨】（1）根据到导数和函数的极值的关系即可求出．（2）y=f （x ）在区间（0，+∞）上有两个极值点，等价于f′（x ）=0在（0，+∞）有两个正根，问题得以解决． 【题文】19．（本题满分12分）已知函数)4sin()4sin(2)32cos()(πππ+-+-=x x x x f （1）求函数)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数)(x f 在区间]212[ππ，-上的值域.【知识点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．C3【答案解析】（1）π=T ；对称轴为：)(3Z k k x ∈+=ππ（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-123， 解析：（1）)62sin(2cos 2sin 232cos 21cos sin 2sin 232cos 21)cos )(sin cos (sin 2sin 232cos 21)4sin()4sin(2)32cos()(22ππππ-=-+=-++=+-++=+-+-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 所以，周期π=T函数图像的对称轴为：)(3Z k k x ∈+=ππ ……….6分（2）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈212ππ，x ，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-65362πππ，x . 因为函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-312ππ，上单调递增，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，上单调递减， 所以，当3π=x 时，取最大值1.又21)2(23)12(=<-=-ππf f ，即当12π-=x 时)(x f 所取最小值23-.所以函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-123， ……….12分 【思路点拨】（1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f （x ）展开再整理，可将函数化简为y=Asin （wx+ρ）的形式，根据T=可求出最小正周期，令，求出x 的值即可得到对称轴方程．（2）先根据x 的范围求出2x ﹣的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f （x ）在区间上的值域．【题文】20. （本题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且1cos 2a C c b-=.(1)求角A 的大小;(2)若1a =,求ABC ∆的周长的取值范围. 【知识点】正弦定理的应用．【答案解析】（1）23A p =（2）231]解析：(1)由1cos 2a C c b -=得1sin cos sin sin 2A C C B-=又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+11sin cos sin ,sin 0,cos 22C A C C A ∴=-≠∴=-Q又0A π<<Q 23A π∴=……….4分(2)由正弦定理得:B A B a b sin 32sin sin ==,C c sin 32=)())1sin sin 1sin sin 33l a b c B C B A B =++=++=+++21321(sin cos )1sin()22333B B B π=++=++ 22,(0,),(,)33333A B B πππππ=∴∈∴+∈Q , 3sin()(,1]32B π∴+∈故ABC ∆的周长的取值范围为23(2,1]3+ ……….12分【思路点拨】（1）根据正弦定理化简题中等式，得sinAcosC ﹣sinC=sinB ．由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ，代入前面的等式解出cosA=﹣，结合A∈（0，π）可得角A 的大小；（2）根据A=且a=1利用正弦定理，算出b=sinB 且c=sinC ，结合C=﹣B 代入△ABC 的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到△ABC 的周长关于角B 的三角函数表达式，再根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得△ABC 的周长的取值范围． 【题文】21.（本题满分12分）已知函数.)(,)2(),2](,2[)33()(2n t f m f t t e x x x f x==-->-⋅+-=设定义域为 （1）试确定t 的取值范围，使得函数],2[)(t x f -在上为单调函数； （2）求证：m n >；（3）求证：对于任意的200)1(32)(),,2(,20-='-∈->t e x f t x t x 满足总存在，并确定这样的x 的个数.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．B12 【答案解析】（1）20t -<?（2）见解析（3）见解析解析：（1）因为xx x e x x e x e x x x f ⋅-=⋅-+⋅+-=')1()32()33()(2 ……1分()010;()001,f x x x f x x ''>⇒><<⇒<<由或由 ()(,0),(1,),(0,1)3f x -∞+∞L L L L 所以在上递增在上递减分()[2,],204f x t t --<≤L L L L L 欲在上为单调函数则分（2）证：因为1)(,)1,0(,),1(),0,()(=+∞-∞x x f x f 在所以上递减在上递增在处取得极小值e213(2),()[2,](2)f e f x f e -=<-+∞-又所以在上的最小值为从而当时2->t ，)()2(t f f <-，即n m <------------------------5分（3）证：因为2020200200)1(32,)1(32)(,)(00-=--='-='t x x t e x f x x e x f x x 即为所以，222222()(1),()(1)033g x x x t g x x x t =---=---=令从而问题转化为证明方程在),2-t （上有解，并讨论解的个数。
宁夏银川一中高三数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)
宁夏银川一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，1] D．[1，2]2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i3．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，21﹣x＞0B．∀x∈（0，+∞），2x＞C．∃x0∈R，当x＞x0时，恒有1.1x＜x4D．∃α∈R，使函数 y=xα的图象关于y轴对称4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．5．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）6．（5分）若，，则sinθ=（）A．B．C．D．7．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a ＞1）恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）8．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量与的夹角为β，则cosβ=（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．10．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]11．（5分）若﹣＜β＜0＜α＜，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（0，）C．（﹣，）D．（﹣，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（+2x）dx=．14．（5分）已知点P（﹣1，﹣1）在曲线y=上，则曲线在点P处的切线方程为．15．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是．16．（5分）已知函数f（x）=cosx•sinx，给出下列五个说法：①f（）=；②若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④将函数f（x）的图象向右平移个单位可得到y=cos2x的图象；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣（m+3）x2+（m+6）x，x∈R．（其中m为常数）（1）当m=4时，求函数的极值点和极值；（2）若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△A BC的周长的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：n＞m；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1；几何证明选讲．22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．选修4-4；坐标系与参数方程．23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．选修4-5；不等式选讲．24．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=，（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），求实数a的取值范围．宁夏银川一中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，1] D．[1，2]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，再由B，求出A与B的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1或x≥2，即A=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．解答：解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，21﹣x＞0B．∀x∈（0，+∞），2x＞C．∃x0∈R，当x＞x0时，恒有1.1x＜x4D．∃α∈R，使函数 y=xα的图象关于y轴对称考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：由指数函数的定义域和值域判断A；对x分类讨论判断B；由指数函数爆炸性判断C；举例说明D正确．解答：解：由指数函数的定义域和值域可知，∀x∈R，21﹣x＞0，选项A为真命题；当0＜x＜1时，2x＞1，，有．当x=1时，．当x＞1时，．∴∀x∈（0，+∞），2x＞，命题B为真命题；∵y=1.1x为底数大于1的指数函数，y=x4为幂函数，∴∃x0∈R，当x＞x0时，恒有1.1x＞x4，选项C为假命题；当α为偶数时，函数y=xα是偶函数，其图象关于y轴对称，选项D为真命题．故选：C．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了学生对教材基础知识的掌握程度，是基础题．4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（2﹣3）⊥，可得（2﹣3）•=0，解出即可．解答：解：=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=2（2k﹣3）﹣6=0，解得k=3．故选：C．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．5．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：分别计算出f（0）、f（1）、f（）、f（）的值，判断它们的正负，再结合函数零点存在性定理，可以得出答案．解答：解：∵f（0）=e0﹣3=﹣2＜0 f（1）=e1+4﹣3＞0∴根所在的区间x0∈（0，1）排除A选项又∵∴根所在的区间x0∈（0，），排除D选项最后计算出，，得出选项C符合；故选C．点评：e=2.71828…是一个无理数，本题计算中要用到等的值，对计算有一定的要求．6．（5分）若，，则sinθ=（）A．B．C．D．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：结合角的范围，通过平方关系求出二倍角的余弦函数值，通过二倍角公式求解即可．解答：解：因为，，所以cos2θ=﹣=﹣，所以1﹣2sin2θ=﹣，所以sin2θ=，，所以sinθ=．故选D．点评：本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系，注意角的范围，考查计算能力．7．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a ＞1）恰有3个不同的实根，则a的取值范围是（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，）D．（，2）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：作出在区间（﹣2，6]内函数f（x）的图象，将方程的根的个数化为函数图象交点的个数．解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，∵对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），∴f（x）是周期函数，且周期为4；∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，∴其在区间（﹣2，6]内的图象如右图，∴在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根可转化为，函数f（x）的图象与y=log a（x+2）的图象有且只有三个不同的交点，则log a（2+2）＜3，且log a（6+2）＞3解得，a∈（，2）．故选D．点评：本题通过分析可得函数f（x）的性质，并由这些性质根据图象变换作出其图象，将方程问题化为图象交点问题，属于中档题．8．（5分）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量与的夹角为β，则cosβ=（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积的运算性质即可得出．解答：解：向量，，∵===3．===．=+﹣9=9+2﹣9×=8．∴cosβ===．故选：B．点评：本题考查了数量积的运算性质、向量的夹角公式，属于基础题．9．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．解答：解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，∴函数的周期T满足=﹣=，由此可得T==π，解得ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）又∵当x=时取得最大值2，∴2sin（2•+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）∵，∴取k=0，得φ=﹣故选：A．点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．10．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．解答：解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．点评：本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．11．（5分）若﹣＜β＜0＜α＜，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：观察已知角与所求角之间的关系得到α+=（+α）﹣（﹣），只要再求出另一个三角函数值，利用两角差的余弦公式解答．解答：解：∵若﹣＜β＜0＜α＜，cos（+α）=，cos（﹣）=，∴sin（+α）=，sin（﹣）=，∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=）=；故选C．点评：本题考查了三角函数求值中角的等价变换以及两角和与差的三角函数公式的运用，本题关键是发现α+=（+α）﹣（﹣）．12．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（0，）C．（﹣，）D．（﹣，）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．解答：解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴0＜a＜，∴a的取值范围是（0，），故选：B．点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（+2x）dx=1+ln2．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：找出被积函数的原函数，然后代入上下限计算．解答：解：（+2x）dx=[ln（x+1）+x2]=1+ln2；故答案为：1+ln2．点评：本题考查了定积分的运算，熟练找出被积函数的原函数是求定积分的关键．14．（5分）已知点P（﹣1，﹣1）在曲线y=上，则曲线在点P处的切线方程为y=2x+1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：将点P代入曲线方程，求出a，再求函数的导数，求出切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程．解答：解：由于点P（﹣1，﹣1）在曲线y=上，则﹣1=，得a=2，即有y=，导数y′==，则曲线在点P处的切线斜率为k==2．即有曲线在点P处的切线方程为：y+1=2（x+1），即y=2x+1．故答案为：y=2x+1．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的形式，以及运算能力，属于基础题．15．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是22．考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．解答：解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．16．（5分）已知函数f（x）=cosx•sinx，给出下列五个说法：①f（）=；②若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④将函数f（x）的图象向右平移个单位可得到y=cos2x的图象；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是①④．考点：命题的真假判断与应用；正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角公式和三角函数的图象和性质分别进行判断即可．解答：解：f（x）=cosx•sinx=，为奇函数．①∵f（x）的周期是π，∴f（）=f（160π+）=f（）=，正确；②由f（x1）=﹣f（x2）=f（﹣x2），知x1=﹣x2+2kπ或x1=π﹣x2+2kπ，k∈Z；所以②错误．③令，得，由复合函数性质知f（x）在每一个闭区间上单调递增，但[﹣，]⊄，故函数f（x）在[﹣，]上不是单调函数；所以③错误．④将函数f（x）的图象向右平移个单位可得到，所以④正确；⑤函数的对称中心的横坐标满足2x0=kπ，解得，即对称中心坐标为，则点（﹣，0）不是其对称中心．所以⑤错误．故答案为①④．点评：本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，利用三角函数的图象和性质是解决三角函数题目的关键．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣（m+3）x2+（m+6）x，x∈R．（其中m为常数）（1）当m=4时，求函数的极值点和极值；（2）若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据到导数和函数的极值的关系即可求出．（2）y=f（x）在区间（0，+∞）上有两个极值点，等价于f′（x）=0在（0，+∞）有两个正根，问题得以解决．解答：解：函数的定义域为R（1）当m=4时，f（x）=x3﹣x2+10x，∴f′（x）=x2﹣7x+10，令f′（x）＞0，解得x＞5或x＜2．令令f′（x）＜0，解得2＜x ＜5列表x （﹣∞，2） 2 （2，5） 5 （5，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗↘↗所以函数的极大值点是x=2，极大值是；函数的极小值点是x=5，极小值是．（2）f′（x）=x2﹣（m+3）x+m+6，要使函数y=f（x）在（0，+∞）有两个极值点，则，解得m＞3．故实数m的取值范围为（3，+∞）点评：本题主要考查了导数和函数的极值的关系，以及函数的零点和方程的关系，属于基础题．19．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）展开再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，根据T=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到对称轴方程．（2）先根据x的范围求出2x﹣的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域．解答：解：（1）∵=sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）===∴周期T=由∴函数图象的对称轴方程为（2）∵，∴，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又∵，当时，f（x）取最小值，所以函数f（x）在区间上的值域为．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质﹣﹣最小正周期、对称性、和单调性．考查对基础知识的掌握情况．20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．考点：正弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）根据正弦定理化简题中等式，得sinAcosC﹣sinC=sinB．由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，代入前面的等式解出cosA=﹣，结合A∈（0，π）可得角A的大小；（2）根据A=且a=1利用正弦定理，算出b=sinB且c=sinC，结合C=﹣B代入△ABC的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到△ABC的周长关于角B的三角函数表达式，再根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得△ABC的周长的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵acosC﹣=b，∴根据正弦定理，得sinAcosC﹣sinC=sinB．又∵△ABC中，sinB=sin（π﹣B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC﹣sinC=sinAcosC+cosAsinC，化简得﹣sinC=cosAsinC，结合sinC＞0可得cosA=﹣∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵A=，a=1，∴根据正弦定理，可得b===sinB，同理可得c=sinC，因此，△ABC的周长l=a+b+c=1+sinB+sinC=1+[sinB+sin（﹣B）]=1+[sinB+（cosB﹣sinB）]=1+（sinB+cosB）=1+sin（B+）．∵B∈（0，），得B+∈（，）∴sin（B+）∈（，1]，可得l=a+b+c=1+sin（B+）∈（2，1+]即△ABC的周长的取值范围为（2，1+]．点评：本题已知三角形的边角关系式，求角A的大小，并在边a=1的情况下求三角形的周长的取值范围．着重考查了正弦定理、三角函数的图象与性质、三角恒等变换和函数的值域与最值等知识，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：n＞m；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：压轴题．分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（Ⅱ）运用函数的极小值进行证明，（Ⅲ）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定．解答：（Ⅰ）解：因为f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x，由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∵函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，∴﹣2＜t≤0，（Ⅱ）证：因为函数f（x）在（﹣∞，0）∪（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得极小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2），从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，（Ⅲ）证：因为，∴，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x﹣，从而问题转化为证明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并讨论解的个数，因为g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1；几何证明选讲．22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．考点：圆周角定理；与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；（Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．解答：证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，∵∠PGD=∠EGA，∴∠DBA=∠EGA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BDA，∴∠NDA=∠PFA，∵AF⊥EP，∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°，∴AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC，则∵AB为圆的直径，∴∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB=∠CBA，∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，∴DC∥AB，∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∴∠DCE为直角，∴ED为圆的直径，∵AB为圆的直径，∴AB=ED．点评：本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题．选修4-4；坐标系与参数方程．23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．考点：参数方程化成普通方程；圆与圆锥曲线的综合．专题：压轴题．分析：（I）有曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），消去参数的C1是圆，C2是椭圆，并利用．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合，求出a及b．（II）利用C1，C2的普通方程，当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=﹣时，l与C1，C2的交点为A2，B2，利用面积公式求出面积．解答：解：（Ⅰ）C1是圆，C2是椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1）（0，b），因为这两点重合所以b=1．（Ⅱ）C1，C2的普通方程为x2+y2=1和．当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为．当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为．点评：此题重点考查了消参数，化出曲线的一般方程，及方程的求解思想，还考查了利用条件的其交点的坐标，利用坐标准确表示出线段长度进而求其面积．选修4-5；不等式选讲．24．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=，（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），求实数a的取值范围．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，求出函数的表达式，根据函数的奇偶性即可求出求不等式f（x）＞1的解集；（2）作出函数f（x）的图象，根据条件若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），利用数形结合即可求实数a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，，又函数f（x）为奇函数，故根据图象，不等式f（x）＞1的解集为：（4，+∞）．（2）当x≥0时，f（x）=，由f（x）是奇函数，∴作出f（x）的图象，∵∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），∴f（x﹣1）的图象恒在f（x）图象的下方，即将f（x）的图象往右平移一个单位后恒在f（x）的下方，∴﹣3a2+1≥3a2，解得a2，即，点评：本题主要考查分段函数的应用，利用数形结合以及函数奇偶性的对称性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
宁夏银川第一中学2015届高三上学期第二次月考数学(理)试题 含解析
第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1。
已知集合{}2|20A x xx =--≥，{}22|<≤-=x x B ，则=B A （）A 。
[]2,1- B.[]2,1-- C.[]1,1- D.[]2,1 【答案】B 。
考点：集合的交集。
2。
已知复数z 满足25)43(=+z i ，则=z （ ） A.i 43-B 。
i 43+C 。
i 43--D 。
i 43+-【答案】A.考点：复数的计算。
3。
下列命题中的假命题是( )A ．021>∈∀-xR x ， B ．0)x ∀∈+∞（， ，122xx >C ．0xR ∃∈，当0x x >时，恒有41.1x x <D ．R ∈∃α，使函数αx y =的图像关于y 轴对称【答案】A 。
【解析】试题分析:A ：根据指数函数的性质,可知A 正确； B ：当01x <<时，有2(1,2)x∈，12(0,1)x ∈，显然122xx>成立,当1x ≥时，令12()2xf x x=-,∴11'()2ln 22ln 2022x f x x=⋅-≥⋅->，∴()f x 在[1,)+∞上单调递增，∴()(1)10f x f ≥=>,综上,不等式122xx>对于任意(0,)x ∈+∞恒成立，B 正确；C ：∵ 1.1xy =为底数大于1的指数函数,4y x =为幂函数,∴当x →+∞时，41.1x x -→+∞，∴不存在满足条件的0x ,C错误；D:取2α=，可知函数2y x x α==的图象关于y 轴对称，D 正确.考点：函数的性质。
4。
已知向量(3)a k =，，(14)b =，，(21)c =，，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ) A 。
29- B 。
0 C 。
3 D 。
215【答案】C.考点：平面向量的数量积。
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俯视图正视图侧视图中宁一中2015届高三第二次月考试卷理科数学考试时间；150分钟 分值；120分第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1. 设集合2{|2},{|340},S x x T x x x =>-=+-≤则()R S T ð＝( )A ．(－2，1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)2．复数311i z i-=+（i 为虚数单位）的模是（ ） B. C.5 D.83．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则||a ＋b ＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．104．设,αβ为两个不同平面，m 、 n 为两条不同的直线，且,,βα⊂⊂n m 有两个命题：P ：若m ∥n ,则α∥β；q ：若m ⊥β, 则α⊥β. 那么（ ） A ．“p ⌝或q ”是假命题 B ．“p ⌝且q ”是真命题 C ．“p 或q ⌝”是真命题 D ．“p⌝且q ”是真命题 5．如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形， 俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为（） A ．2+3π+．2+2π+C ．8+5π+ D ．6+3π+6. 设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝1log (1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )A ．是增函数且f (x )<0B ．是增函数且f (x )>0C ．是减函数且f (x )<0D ．是减函数且f (x )>07. 函数22x y x =-的图象大致是（ ）8、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 112,1+==n n a S a ,则n S =（ ）（A ）12-n （B ）1)23(-n （C ）1)32(-n （D ）121-n9. (设11333124log ,log ,log ,233a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ）. （A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a <<10. 在ABC ∆，内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠=（ ）（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）56π 11. 函数()2sin()(0)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<，的部分图像如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）．（A ） 2，3-π （B ） 2，6-π (C) 4，6-π（D ）4，3π12. 在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．。
13.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．14. 若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，，则2z x y =+的最小值为_________．15. 如图，在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AC AD ⊥,23,322sin ==∠AB BAC , 3=AD , 则BD 的长为16．已知函数11,1(x)4ln ,1x x f x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是三. 解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17、（本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=．（1）求sin sin CA的值； （2）若1cos 4B =，△ABC 的周长为5，求b 的长．18、 （本小题满分12分） 已知函数()ln (f x x a x a =-∈R).（1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的极值.19、 （本小题满分12分）已知等差数列}{n a 满足：357726a a a =+=，．{}n a 的前n 项和为.n S（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令112-=n n a b *()n ∈N ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20.（ 本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD .（Ⅰ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （Ⅱ）求二面角Q BP C --的余弦值.21. （本小题满分12分） 设函数2()(1)x f x x e ax =--． （Ⅰ）若a =12，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D 。
（Ⅰ）证明：DB=DC ； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。
（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=。
（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.中宁一中2015届高三第二次月考试卷理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13 1800 14 -6．16 11[,)4a e∈三. 解答题(本大题共6小题，共70分，17、解：（1）由正弦定理，设,sin sin sin a b ck A B C=== 则22sin sin 2sin sin sin sin c a k C k A C Ab k B B ---==． 所以cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=，即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-，化简可得sin()2sin()A B B C +=+．又πA B C ++=，所以sin 2sin C A =．因此sin 2.sin CA= （2）由sin 2sin CA=，得2c a =．由余弦定理及1cos 4B =，得22222222cos 14444.b ac ac Ba a a a =+-=+-⨯= 所以2.b a =又5,a bc ++=所以1a =．因此2b =．18、解：函数()f x 的定义域为（0，+∞），'()f x =1.ax- （I ）当a =2时，()f x =x-2ln x ，()f x '=1-2x（x ＞0）， 因而(1)f =1，()f x '=-1， 所以曲线y=()f x 在点A (1，(1)f )处的切线方程为1(1)+20y x x y -=---=，即. （II ）由()f x '=1,a x a x x x--=＞0知： ①当a ≤0时，'()f x ＞0，函数()f x 为（0，+∞）上的增函数，函数()f x 无极值. ②当a ＞0时，由'()f x =0，解得x a =.又当x ∈(0, a )时，'()f x ＜0；当x ∈(a , +∞)时，'()f x ＞0，从而函数()f x 在x =a 处取得极小值，且极小值为()f a =ln a a -，无极大值. 综上，当a ≤0时，函数()f x 无极值；当a ＞0时，函数()f x 在x =a 处取得极小值ln a a -，无极大值. 19、解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 由于357726a a a =+=，，所以112721026a d a d +=+=，，解得132a d ==，． 由于11()(1)2n n n n a a a a n d S +=+-=， 所以21(2)n n a n S n n =+=+，． （Ⅱ）因为21n a n =+， 所以214(1)n a n n -=+， 因此1111().4(1)41n b n n n n ==-++故12n n T b b b =+++111111(1)42231n n =-+-++-+11(1)41n =-+4(1)nn =+，所以数列{}n b 的前n 项和.4(1)n nT n =+20. 解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -.（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===-所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅=即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC .故PQ ⊥平面DCQ . 又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ . （II ）依题意有B （1，0，1），(1,0),(12,1).C B B P ==--设(,,)x y z =n 是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,CB x x y z BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩即n n因此可取(0,1,2).=--n 设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.BP PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m可取(1,1,1).=m所以cos ,<>=m n 故二面角Q BP C --的余弦值为 21、解：（Ⅰ）12a =时，21()(1)2x f x x e x =--， ()1(1)(1)x x xf x e xe x e x '=-+-=-+． 当()1x ∈-∞-，时()f x '>0；当()10x ∈-，时，()0f x '<；当()0x ∈+∞，时，()0f x '>．故()f x 在()1-∞-，，()0+∞，单调增加，在（1-，0）单调减少．（Ⅱ）()(1)xf x x e ax =--．令()1xg x e ax =--，则()xg x e a '=-．若1a ≤，则当()0x ∈+∞，时，()g x '>0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当x ≥0时()g x ≥0，即()f x ≥0．若a >1，则当()0ln x a ∈，时，()g x '<0，()g x 为减函数，而(0)0g =，从而当()0ln x a ∈，时()g x ＜0，即()f x ＜0． 综合得a 的取值范围为(]1-∞，请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。