电磁感应现象中的动力学和能量问题
电磁感应现象中的动力学与能量问题
动能的变化
重力做功
重力势能的变化
除重力之外的其他力做功
机械能的变化
安培力做功
电能的变化
二、电磁感应中的能量问题
如图1所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝
缘斜面上，两导轨间距为L, M、P两点间接有阻值为R的电阻。一根质
量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处
动能定理：mgh—W安 = 1 mv2
2
能量守恒：mgh =
1 mv2 2
+Q
电磁感应中的动力学和能量问题
分析求解电磁感应现象中能量问题的一般思路： (1)分析回路，分清电源和外电路． (2)分析清楚有哪些力做功，明确有哪些形式的能量发生了转化．如： ①有摩擦力做功，必有内能产生； ②有重力做功，重力势能必然发生变化； ③克服安培力做功，必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力 做多少功，就产生多少电能； ④如果是安培力做正功，就是电能转化为其他形式的能． (3)列有关能量的关系式．
F 安＝BIL＝B2RL2v
下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的 根据牛顿第二定律，
摩擦．
(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图 中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；
ma＝mgsin θ－F b杆的速度大小为v时，
求此时ab杆中的电流及其加速度的大小； (3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值
A．如果B增大， Vm 将变大
B．如果α变大， Vm 将变大
C．如果R变大，Vm 将变大
D．如果m变大，Vm 将变大
当堂训练
2、如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质 量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒 与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平 面垂直，棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内，力F做 的功与安培力做的功的代数和等于( A )
电磁感应中的动力学和能量问题
专题9・4电磁感应中的动力学和能量问题一、电磁感应与力和运动1．安培力的大小EB2l2v由感应电动势E=Blv、感应电流/=万和安培力公式F=BIl得F=~R~.2．安培力的方向判断(1)对导体切割磁感线运动，先用右手定则确定感应电流的方向，再用左手定则确定安培力的方向．(2)根据安培力阻碍导体和磁场的相对运动判断．3．电磁感应中的力和运动电磁感应与力学问题的综合，涉及两大研究对象：电学对象与力学对象．联系两大研究对象的桥梁是磁场对感应电流的安培力，其大小与方向的变化，直接导致两大研究对象的状态改变．二、电磁感应与能量守恒1．能量转化导体切割磁感线或磁通量发生变化，在回路中产生感应电流，这个过程中机械能或其他形式的能转化为电能，具有感应电流的导体在磁场中受安培力作用或通过电阻发热，又可使电能转化为机械能或内能．因此，电磁感应过程中总是伴随着能量的转化．2．电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功的形式实现的，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式能的过程，外力克服安培力做功，则是其他形式的能转化为电能的过程．高频考点一电磁感应与力和运动1．受力分析与运动分析对电磁感应现象中的力学问题，除了要作好受力情况和运动情况的动态分析外，还需要注意导体受到的安培力随运动速度变化的特点，速度变化，弹力及相应的摩擦力也随之而变，导致物体的运动状态发生变化．2．应用牛顿运动定律和运动学规律解答电磁感应问题的基本思路(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向．(2)求回路中的电流．(3)分析研究导体的受力情况(包含安培力，用左手定则确定其方向)．(4)根据牛顿第二定律和运动学规律或平衡条件列方程求解．例1、如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L,长为3么导轨平面与水平面的夹角为6,在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层.匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向与导轨平面垂直•质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端．导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为人，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g.求：(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数“；(2)导体棒匀速运动的速度大小V；(3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热0.【变式探究】如图，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，由不同高度静止释放，用t2分别表示线框ab边和cd边刚进入磁场的时刻.线框下落过程形状不变，ab边始终保持与磁场水平边界线OO'平行，线框平面与磁场方向垂直.设OO'下方磁场区域足够大，不计空B.B= 12mR L叮Ft C.v=^0-°D.v=2F-0m【举一反三】(多选)如图甲所示，MN左侧有一垂直纸面向里的匀强磁场，现将一边长为L、质量为加、电阻为R的正方形金属线框置于该磁场中，使线框平面与磁场方向垂直，且bc 边与磁场边界MN重合.当t=0时，对线框施加一水平拉力F,使线框由静止开始向右做匀加速直线运动；当t=t0时，线框的ad边与磁场边界MN重合.图乙为拉力F随时间t变高频考点二电磁感应与能量守恒1.电磁感应中的几个功能关系(1)导体克服安培力做的功等于产生的电能W安=£电安电(2)若电路为纯电阻电路，则电磁感应中产生的电能又完全转化为电路的焦耳热Q=E电电(3)导体克服安培力做的功等于消耗的机械能W安=左机械能；(4)综合起来可以看出“电路的焦耳热”等于“电磁感应中产生的电能”等于“机械能的减小”，即Q=E*=E机械能这里还要特别明确“能量转化的层次性”，即E机械能f E电-Q,其中电机械能．机械能电第一次转化是通过克服安培力做功W、来实现，第二次转化是通过感应电流流经电阻转化为安焦耳热来实现．2．用能量方法解决电磁感应问题的一般步骤(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定电动势的大小和方向．(2)画出等效电路，求出回路中电阻消耗电功率的表达式．(3)分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械功率的改变与回路中电功率的改变所满足的关系式．例2、半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面内，一长为r、质量为m 且化的图线.由以上条件可知，磁场的磁感应强度B的大小及t0时刻线框的速率v为()质量分布均匀的直导体棒AB置于圆导轨上面.BA的延长线通过圆导轨中心O,装置的俯视图如图所示.整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖直向下.在内圆导轨的C点和外圆导轨的D点之间接有一阻值为R的电阻(图中未画出).直导体棒在水XXXxxxX XX XXX平外力作用下以角速度①绕o 逆时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触.设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为〃，导体棒和导轨的电阻均可忽略.重力加速度大小为g ，求：(1) 通过电阻R 的感应电流的方向和大小;(2) 外力的功率．1【变式探究】(多选)如图所示，固定在同一水平面上的两平行金属导轨AB 、CD ，两端接有阻值相同的两个定值电阻.质量为m 的导体棒垂直放在导轨上，轻弹簧左端固定，右端连接导体棒，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中.当导体棒静止在00位置时，弹簧处于原 长状态.此时给导体棒一个水平向右的初速度v 0，它能向右运动的最远距离为d ，且能再次经过00位置.已知导体棒所受的摩擦力大小恒为/,导体棒向右运动过程中左侧电阻产生B .弹簧的弹性势能最大为2mv &—20—fdC •导体棒再次回到00'位置时的动能等于1mv 0—40—2fdD .导体棒再次回到00'位置时的动能大于2mv g —40—2fd 的热量为0,不计导轨和导体棒的电阻.贝％)【举一反三】如图甲所示，在虚线mn的上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，mn的下方存在竖直向下的匀强磁场，mn上下两侧磁场的磁感应强度大小相等.将两根足够长的直导轨平行放置在磁场中，且贯穿虚线的上下两侧.取两根等长的金属棒a、b,两端分别套上金属环，然后将两金属棒套在长直导轨上，其中a棒置于虚线上侧，b棒置于虚线下侧.从t=0时刻开始在a棒上加一竖直向上的外力F，使a棒由静止开始向上做匀加速直线运动,外力随时间的变化规律如图乙所示，同时b棒在t=0时刻由静止释放.已知两导轨的间距为L=1.5m，a、b棒的质量分别为m y=1kg、m2=0.27kg，两金属棒的总电阻为R=1.8Q,忽略导轨的电阻，b棒与导轨的动摩擦因数为“=0.75，不计a棒与导轨之间的摩擦，取g甲乙(1)求虚线上下两侧的磁感应强度大小以及a棒匀加速运动的加速度大小；(2)如果在0〜2s的时间内外力F对a棒做功为40J,则该过程中整个电路产生的焦耳热为多少？(3)经过多长时间b棒的速度最大?高频考点三、微元法在电磁学中的应用微元法是将研究对象无限细分，从中抽取出微小单元进行研究，找出被研究对象变化规律，由于这些微元遵循的规律相同，再将这些微元进行必要的数学运算(累计求和)，从而顺利解决问题.用该方法可以将一些复杂的物理过程，用我们熟悉的规律加以解决，是物理学中常用的思想方法之一.例3、如图所示，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为0,间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨平面向下.在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触.已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为“，重力加速度大小为g.忽略所有电阻.让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系．护鮎—真题练习泮一1.【2016・全国卷I】如图1-,两固定的绝缘斜面倾角均为0,上沿相连.两细金属棒刃(仅标出a端)和c〃(仅标出c端)长度均为L,质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca,并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平.右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B,方向垂直于斜面向上，已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为人，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为“，重力加速度大小为g,已知金属棒ab匀速下滑.求：()(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小(2)金属棒运动速度的大小.图1-2.【2016・全国卷II】如图1-所示，水平面(纸面)内间距为/的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上.t=0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动.t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动.杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为〃•重力加速度大小为g.求:(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；(2)电阻的阻值.图1-3.【2016•浙江卷】小明设计的电磁健身器的简化装置如图1-10所示，两根平行金属导轨相距l=0.50m，倾角0=53°，导轨上端串接一个R=0.05Q的电阻.在导轨间长d=0.56m的区域内，存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度B=2.0T.质量m=4.0kg的金属棒CD 水平置于导轨上，用绝缘绳索通过定滑轮与拉杆GH相连.CD棒的初始位置与磁场区域的下边界相距5=0.24m.—位健身者用恒力F=80N拉动GH杆,CD棒由静止开始运动，上升过程中CD棒始终保持与导轨垂直.当CD棒到达磁场上边界时健身者松手，触发恢复装置使CD棒回到初始位置(重力加速度g取10m/s2，sin53°=0.8，不计其他电阻、摩擦力以及拉杆和绳索的质量)•求:(1)CD棒进入磁场时速度v的大小；(2)CD棒进入磁场时所受的安培力F A的大小；(3)在拉升CD棒的过程中，健身者所做的功W和电阻产生的焦耳热Q.4.【2016•全国卷III】如图1-所示，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内，其左端接一阻值为R的电阻；一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上；在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小B1随时间t的变化关系为B=kt,式中k为常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界(虚线)与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为B0，方向也垂直于纸面向里.某时刻，金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在t0时刻恰好以速度v0越过劇，此后向右做匀速运动.金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计.求：(1)在t=0到t=t0时间间隔内，流过电阻的电荷量的绝对值；(2)在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小.图1-5.(2013・天津理综・3)如图2所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abed，ab边长大于be边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场,线框上产生的热量为Q],通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次be边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2,通过线框导体横截面的电荷量为q2,贝％)A.0>Q2,q pC.Q1=Q2,qfB.Q1>Q2，q1>q2D.Q1=Q2,q>qi图2。
电磁感应中的动力学和能量问题
法拉第电磁感应定律1.法拉第电磁感应定律电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，即tk E ∆∆Φ=，在国际单位制中k =1，所以有tE ∆∆Φ=。
对于n 匝线圈有tnE∆∆Φ=。
（平均值）将均匀电阻丝做成的边长为l 的正方形线圈abcd 从匀强磁场中向右匀速拉出过程，仅ab 边上有感应电动势E =Blv ，ab 边相当于电源，另3边相当于外电路。
ab 边两端的电压为3Blv /4，另3边每边两端的电压均为Blv /4。
在导线切割磁感线产生感应电动势的情况下，由法拉第电磁感应定律可推导出感应电动势大小的表达式是：E=BLv sin α（α是B 与v 之间的夹角）。
（瞬时值）【例题分析】例1. 如图所示，长L 1宽L 2的矩形线圈电阻为R ，处于磁感应强度为B 的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。
求：将线圈以向右的速度v 匀速拉出磁场的过程中，⑴拉力的大小F ；⑵拉力的功率P ；⑶拉力做的功W ；⑷线圈中产生的电热Q ；⑸通过线圈某一截面的电荷量q 。
解：这是一道基本练习题，要注意计算中所用的边长是L 1还是L 2 ，还应该思考一下这些物理量与速度v 之间有什么关系。
⑴v Rv L B F BIL F RE I v BL E ∝=∴===22222,,,⑵22222v Rv L B Fv P ∝==⑶v RvL L B FL W ∝==12221⑷v W Q ∝=⑸Rt RE t I q ∆Φ==⋅=与v 无关特别要注意电热Q 和电荷q 的区别，其中Rq∆Φ=与速度无关！例2．固定于水平面上的金属框cdef,处在竖直向下的匀强磁场中,金属棒ab 搁在框架上,可无摩擦滑动.此时abed 构成一个边长l 的正方形,棒电阻r ,其余电阻不计,开始时磁感应强度为B .（1）若以t =0时起,磁感应强度均匀增加,每秒增加量k ,同时保持棒静止,求棒中I 感. （2）在上述情况中,棒始终保持静止,当t =t 1时需加垂直于棒水平外力? （3）若从t =0时起,磁感应强度逐渐减小,当棒以恒定速度v 向右匀速运动,可使棒中不产生I 感,则磁感应强度怎样随时间变化?vd解析:(1)E =tl B ∆⋅∆2=kl 2I =rE =rkl 2逆时针方向(2)F 外=BIl =（B+kt ）rkl 2·l 向右(3)无I 感，故ΔΦ=0 B 0l 2=Bl (l+v t ) 所以B =vtl l B +0【电磁感应综合问题分析】（1）受力分析：导体受力运动产生感应电动势→感应电流→导体受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→…动态变化过程结束时，加速度为零，导体达到稳定状态.（2）运动分析：一般在动态变化过程中，导体做加速度不断减小的变加速运动，动态变化过程结束后，导体做匀速运动.（3）能量分析；在动态变化过程中，其他形式的能转化为导体的动能和回路的电能；动态变化过程结束后，导体的动能不变，其他形式的能转化为回路的电能.【例题分析】例1、如图所示，水平放置的平行金属导轨左边接有电阻R ，轨道所在处有竖直向下的匀强磁场.金属棒ab 横跨导轨，它在外力作用下向右匀速运动，当速度由v 变成2v 时，（除R 外其余电阻不计，导轨光滑）那么（）A ．原来作用在ab 上的外力应装置加到4倍B ．感应电动势将增中为原来的2倍C ．感应电流的功率将增为原来的4倍D ．外力的功率将曾为原来的2倍【解析】棒匀速运动，外力安F F =，当速度由v 变成2v 时，由Rv L B F 22=安知，安F 安变原来的2倍，外力变为原来的2倍，选项A 错误.电动势E =BLv ，变为原来的2倍，选项B 正确.感应电流的功率：Rv L B v F P 222=∙=安，变为原来的4倍，选项C 正确.外力的功率等于感应电流的功率，也变为原来的4倍.选项D 错误.答案：BC例2、如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l ，导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路.两根导体棒的质量皆为m ，电阻皆为R ，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B ，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行.开始时，棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度v 0（见图）.若两导体棒在运动中始终不接触，求：在运动中产生的焦耳热最多是多少？【解析】从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv mv 20= 根据能量守恒，整个过程中产生的总热量 2022041)2(2121mv vm mv Q =-=例3、放在绝缘水平面上的两条平行导轨MN 和PQ 之间宽度为L ，置于磁感强度为B 的匀强磁场中，B 的方向垂直于导轨平面.导轨左端接有阻值为R 的电阻.其它部分电阻不计，导轨右端接有一电容为C 的电容器，长为2L 的金属棒放在导轨上与导轨垂直且接触良好，其a 端放在导轨PQ 上.现将金属棒以a 端为轴以角速度ω沿导轨平面顺时针转过90°角，如下图所示.求这个过程中的通过电阻R 的总电量是多少？（设导轨长度比2L 长得多）【解析】导体棒在转动θ=60°的过程中因切割磁感线产生感应电动势，一部分与电阻R 组成闭合回路，另一部分与电容器组成电路而给电容器充电.在该过程中棒中平均感应电动势t ∆∆Φ=ε，则平均电流强度tRI ∆∆Φ=，通过电阻R 的电量RBL RS B Rt I q 2321=∆=∆Φ=∆∙=.电容器放电是从金属棒脱离MN 开始，放电电压取金属棒在ac 位置时的瞬时值ωωε222)2(21BL L B ==因此电容器放电时带电量C BL C q ωε222==，放电时全部通过电阻R ，故整个过程中通过R 的总电量C BL RBL q q q ω2221223+=+=【例4】如图所示，倾角037=θ、电阻不计、间距L=0.3m 、长度足够的平行导轨处，加有磁感应强度为B ＝1T ，方向垂直于导轨平面（图中未画出）的匀强磁场，导轨两端各接一个阻值Ω=20R 电阻。
电磁感应中的动力学与能量问题
1．会分析电磁感应现象中受力和运动情况，掌握 电磁感应现象与力学的综合应用问题的处理方法． 2．掌握电磁感应现象中能量转化关系，会计算与 能量相关的问题．
一、感应电流在磁场中所受的安培力
Blv 1．安培力的大小：由感应电动势 E＝ Blv 和安培力公式 F＝ BIl 得 F＝ . R 2．安培力的方向判断 (1)右手定则和左手定则相结合，先用右手定则确定感应电流方向，再用左手定则判断 感应电流所受安培力方向． (2)用楞次定律判断，感应电流所受安培力的方向一定和导体切割磁感线运动的方向相 反． 3．分析导体受力情况时，应为包含安培力在内的全面受力分析． 4．根据平衡条件或牛顿第二定律列方程． 二、电磁感应中的能量转化与守恒 1．能量转化的实质：电磁感应现象的能量转化实质是其他形式能和电能之间的转化． 2．能量的转化：感应电流在磁场中受安培力，外力克服安培力做功，将其他形式的能 转化为电能，电流做功再将电能转化为内能(或其他形式的能)． 3．热量的计算：电流做功产生的热量用焦耳定律计算，公式为 Q＝I2 Rt.
答： 当金属棒匀速下滑时速度最大， 设最大速度为 vm， 产生的感应电动势为 E＝BLvm① R RL 电路总电阻 R 总 ＝R＋R1 ＋ 2 ＝6R② R2 ＋RL E 金属棒中的电流 I＝ ③ R总 BLvm 由①②③式得 I＝ ④ 6R
②问：试写出金属棒所受安培力的表达式，建立安培力与重力之间的关系式，并求解．
答案：(1)见规范解答． B2 L2 acos 2α (2)F＝m(a－gsin α)＋ · t R＋r
解答这类有立体图的问题，要在垂直于导体平面内对导体进行受力分析．还要注意右手定 则与左手定则的准确应用．
针对训练 ：2、4
电磁感应中的能量问题
电磁感应中的动力学问题和能量问题
E=Bdv =1 V
①
电路中的电流I = E =1 A
②
Rr
所以电阻R两端的电压U=IR=0.6 V
③
(2)根据Q=I 2Rt∝R
在棒下滑的整个过程中金属棒中产生的热量
Q2 RrQ10.4J
④
设棒到达底端时的速度为v m,根据能的转化和守恒
定律,得
mgLsin = 12mvm2Q1Q2
⑤
解得v m=4 m/s
的是(导轨足够长,棒PQ有电阻)
()
A.在PQ右侧垂直于导轨再放上一根同样的金属棒
B.在PQ右侧垂直于导轨再放上一根质量和电阻均
比棒PQ大的金属棒
C.将导轨的a、c两端用导线连接起来
D.将导轨的a、c两端和b、d两端分别用导线连接
起来
解析 在PQ棒右侧放金属棒时,回路中会有感应电 流,使金属棒加速,PQ棒减速,当获得共同速度时, 回路中感应电流为零,两棒都将匀速运动,A、B项 错误;当一端或两端用导线连接时,PQ的动能将转 化为内能而最终静止,C、D两选项正确. 答案 CD
W安﹤0
热点聚焦
热点一 对导体的受力分析及运动分析 从运动和力的关系着手,运用牛顿第二定律.根本方 法是:受力分析→运动分析(确定运动过程和最终的 稳定状态)→由牛顿第二定律列方程求解. 运动的动态构造:
这样周而复始的循环,循环完毕时加速度等于零,导 体到达平衡状态.在分析过程中要抓住a=0时速度v达 到最大这一关键.
⑥
(3)棒到底端时回路中产生的感应电流 ImBRdvm r 2A
根据牛顿第二定律有mg sin
解得a=3 m/s2 答案 (2)4 m/s (3)3m/s2
-BI md=ma
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电磁感应中的动力学和能量问题
电磁感应中的动力学和能量问题一、电磁感应中的动力学问题1．所用知识及规律(3)牛顿第二定律及功能关系2．导体的两种运动状态(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态．(2)导体的非平衡状态——加速度不为零．3．两大研究对象及其关系电磁感应中导体棒既可看作电学对象(因为它相当于电源)，又可看作力学对象(因为感应电流产生安培力)，而感应电流I和导体棒的速度v则是联系这两大对象的纽带例1：如图所示，光滑斜面的倾角α＝30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab 边的边长l1＝1 m，bc边的边长l2＝0.6 m，线框的质量m＝1 kg，电阻R＝0.1 Ω，线框通过细线与重物相连，重物质量M＝2 kg，斜面上ef(ef∥gh)的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T，如果线框从静止开始运动，进入磁场的最初一段时间做匀速运动，ef和gh的距离s＝11.4 m，(取g＝10 m/s2)，求：(1)线框进入磁场前重物的加速度；(2)线框进入磁场时匀速运动的速度v；(3)ab边由静止开始到运动到gh处所用的时间t；(4)ab边运动到gh处的速度大小及在线框由静止开始运动到gh处的整个过程中产生的焦耳热．反思总结分析电磁感应中动力学问题的基本思路（顺序）：即学即练1：如图所示，两光滑平行导轨水平放置在匀强磁场中，磁场垂直导轨所在平面，金属棒ab可沿导轨自由滑动，导轨一端连接一个定值电阻R，金属棒和导轨电阻不计．现将金属棒沿导轨由静止向右拉，若保持拉力F恒定，经时间t1后速度为v，加速度为a1，最终以速度2v做匀速运动；若保持拉力的功率P恒定，棒由静止经时间t2后速度为v，加速度为a2，最终也以速度2v做匀速运动，则( )．A．t2＝t1 B．t1>t2C．a2＝2a1 D．a2＝5a1即学即练2：如图甲所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ＝30°角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在空间存有匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B＝0.5 T．质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r.现从静止释放杆ab，测得其在下滑过程中的最大速度为vm.改变电阻箱的阻值R，得到vm与R的关系如图乙所示．已知轨道间距为L ＝2 m，重力加速度g取10 m/s2，轨道充足长且电阻不计．(1)当R＝0时，求杆ab匀速下滑过程中产生的感应电动势E的大小及杆中电流的方向；(2)求杆ab的质量m和阻值r；(3)当R＝4 Ω时，求回路瞬时电功率每增加1 W的过程中合外力对杆做的功W.二、电磁感应中的能量问题1．电磁感应中的能量转化2．求解焦耳热Q 的三种方法例2、如图所示，充足长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 竖直放置，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M 与P 间连接阻值为R ＝0.40 Ω的电阻，质量为m ＝0.01 kg 、电阻为r ＝0.30 Ω的金属棒ab 紧贴在导轨上．现使金属棒ab 由静止开始下滑，其下滑距离与时间的关系如下表所示，导轨电阻不计，重力加速度g 取10 m/s2.试求：(1)当t ＝0.7 s 时，重力对金属棒ab 做功的功率；(2)金属棒ab 在开始运动的0.7 s 内，电阻R 上产生的焦耳热；(3)从开始运动到t ＝0.4 s 的时间内，通过金属棒ab 的电荷量．即时训练3：如图，充足长的U 型光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN 与PQ 平行且间距为L ，导轨平面与磁感应强度为B 的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒ab 由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab 棒接入电路的电阻为R ，当流过ab 棒某一横截面的电量为q 时，棒的速度大小为v ，则金属棒ab 在这一过程中 ( )．A ．运动的平均速度大小为12v B ．下滑的位移大小为qR BLC ．产生的焦耳热为qBLvD ．受到的最大安培力大小为B 2L 2v Rsin θ即时训练4：某兴趣小组设计了一种发电装置，如图所示．在磁极和圆柱状铁芯之间形成的两磁场区域的圆心角α均为49π，磁场均沿半径方向．匝数为N 的矩形线圈abcd 的边长ab ＝cd ＝l 、bc ＝ad ＝2l .线圈以角速度ω绕中心轴匀速转动，bc 边和ad 边同时进入磁场．在磁场中，两条边所经过处的磁感应强时间t (s) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 下滑距离s (m) 0 0.1 0.3 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5度大小均为B，方向始终与两边的运动方向垂直．线圈的总电阻为r，外接电阻为R.求：(1)线圈切割磁感线时，感应电动势的大小Em；(2)线圈切割磁感线时，bc边所受安培力的大小F；(3)外接电阻上电流的有效值I.。
电磁感应中的动力学问题和能量问题
自主探究：一、电磁感应中的动力学问题1．电磁感应与动力学、运动学结合的动态分析，分析方法是：导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电导线受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……周而复始地循环，直至达到稳定状态．2．分析动力学问题的步骤(1)用和、确定感应电动势的大小和方向．(2)应用求出电路中感应电流的大小．(3)分析研究导体受力情况，特别要注意安培力方向的确定．有无摩擦力(4)列出动力学方程或平衡方程求解．3．两种状态处理(1)导体处于平衡态：静止或匀速直线运动状态．处理方法：根据平衡条件，列式分析．(2)导体处于非平衡态——加速度不为零．处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．典例讲解：例题1：如图所示，两平行光滑金属导轨倾斜放置且固定，两导轨间距为L，与水平面间的夹角为 ，导轨下端有垂直于轨道的挡板，上端连接一个阻值R=2r的电阻，整个装置处在磁感应强度为B、方向垂直导轨向上的匀强磁场中．两根相同的金属棒ab、cd放在导轨下端，其中棒ab 靠在挡板上，棒cd在沿导轨平面向上的拉力作用下，由静止开始沿导轨向上做加速度a的匀加速运动．已知每根金属棒质量为m、电阻为r，导轨电阻不计，棒与导轨始终接触良好．求：(1)经多长时间棒ab对挡板的压力变为零；(2)棒ab对挡板压力为零时，电阻R的电功率；(3)棒ab运动前，拉力F随时间t的变化关系．合作探究变式:1、如图所示，两条平行的金属导轨相距L＝1 m，金属导轨的倾斜部分与水平方向的夹角为37°，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，电阻为1 Ω的半圆形金属环MN和电阻为2 Ω的“V”形金属框架PQ 的质量均为m ＝0.1 kg ，端点连线MN 、PQ 均与导轨垂直且接触良好，MN ＝L ＝PQ ，半圆环置于水平导轨上，与水平导轨间的动摩擦因数μ＝0.5，“V”形金属框架置于光滑的倾斜导轨上与倾斜导轨在同一平面内．t ＝0时让半圆金属环在水平外力F 1的作用下由静止开始以a ＝1 m/s 2的加速度向右做匀加速直线运动，此过程中“V”形金属框架在平行于斜面方向的力F 2作用下保持静止状态．t ＝4 s 时，F 2＝0，不计导轨的电阻，水平导轨足够长，半圆环始终在水平导轨上运动．sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g ＝10 m/s 2.(1)求磁感应强度B 的大小； (2)试推导F 2与时间t 的关系；(3)求0～4 s 时间内通过MN 的电荷量； (4)求t ＝6 s 时F 1的大小．自主探究：二、电磁感应中的能量问题1．电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程． 其他形式的能如：机械能――→安培力做负功电能――→电流做功其他形式的能如：内能 2．电能求解的思路主要有三种(1)利用克服安培力做功求解(2)利用能量守恒求解(3)利用电路特征求解典例讲解例2、如图所示，一根质量为m 的金属棒MN 水平放置在两根竖直的光滑平行金属导轨上，并始终与导轨保持良好接触，导轨间距为L ，导轨下端接一阻值为R 的电阻，其余电阻不计．在空间内有垂直于导轨平面的磁场，磁感应强度大小只随竖直方向y 变化，变化规律B=ky ，k 为大于零的常数．质量为M=4m 的物体静止在倾角θ=30°的光滑斜面上，并通过轻质光滑定滑轮和绝缘细绳与金属棒相连接．当金属棒沿y 轴方向从y=0位置由静止开始向上运动h 时，加速度恰好为0．不计空气阻力，斜面和磁场区域足够大，重力加速度为g ．求：（1）金属棒上升h 时的速度；（2）金属棒上升h 的过程中，电阻R 上产生的热量；（3）金属棒上升h 的过程中，通过金属棒横截面的电量．合作探究：变式2、如图，两根相距l ＝0.4m 、电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R ＝0.15Ω的电阻相连。
电磁感应中的动力学问题和能量
电磁感应中的动力学问题和能量1.在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路相当于电源，与其他导体构成闭合电路.因此，电磁感应问题往往与电路联系在一起.2.解决电路问题的基本步骤（1）确定电源：首先明确产生电磁感应的电路就是等效电源；其次利用E=nΔΦ/Δt 或E=BLv 求感应电动势的大小；再利用右手定则或楞次定律判断感应电流的方向（2）正确分析电路的结构，画等效电路图（3）利用闭合电路欧姆定律、串并联电路的性质、电功率等公式求解.例1：如图所示，长L 1宽L 2的矩形线圈电阻为R ，处于磁感应强度为B 的匀强磁场边缘，线圈与磁感线垂直。
求：将线圈以向右的速度v 匀速拉出磁场的过程中，⑴拉力的大小F ； ⑵拉力的功率P ； ⑶拉力做的功W ； ⑷线圈中产生的电热Q ；⑸通过线圈某一截面的电荷量q 。
解： ⑴v R v L B F BIL F R E I v BL E ∝=∴===22222,,, ⑵22222v R v L B Fv P ∝== ⑶v Rv L L B FL W ∝==12221 ⑷v W Q ∝=⑸ Rt R E t I q ∆Φ==⋅=与v 无关。
特别注意电热Q 和电荷q 的区别 这是一道基本练习题，要注意计算中所用的边长是L 1还是L 2 ，还应该思考一下这些物理量与速度v 之间有什么关系。
新课 电磁感应中的动力学问题1.通过导体的感应电流在 磁场 中将受到安培力作用，电磁感应往往和力学问题结合在一起.解决这类问题需要综合应用电磁感应规律（法拉第电磁感应定律、 欧姆定律 ）及力学中的有关规律（ 牛顿运动定律 、动量守恒定律、动能定理等）2.解决电磁感应中的力学问题的方法（1）用法拉第电磁感应定律和楞次定律（包括右手定则）确定感应电动势的大小和方向（2）用闭合电路欧姆定律确定感应电流的大小和方向（3）分析受力情况和运动情况（2种状态：平衡和非平衡状态）（4）根据平衡条件或牛顿第二定律方程求解。
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电磁感应现象中的动力学和能量问题(二)适用作业(卷Ⅰ)1.在光滑水平面上，有一个粗细均匀的边长为L的单匝正方形闭合线框abcd，在水平外力的作用下，从静止开始沿垂直磁场边界方向做匀加速直线运动，穿过匀强磁场，如图甲所示，测得线框中产生的感应电流i的大小和运动时间t的变化关系如图乙所示()A．线框受到的水平外力一定是恒定的B．线框边长与磁场宽度的比值为3∶8C．出磁场的时间是进入磁场时的一半D．出磁场的过程中外力做的功与进入磁场的过程中外力做的功相等2．[多选]如图甲所示，水平放置的平行金属导轨连接一个平行板电容器C和电阻R，导体棒MN放在导轨上且接触良好，整个装置放于垂直导轨平面的磁场中，磁感应强度B的变化情况如图乙所示(图示磁感应强度方向为正)，MN始终保持静止，则0～t2时间内()A．电容器C的电荷量大小始终不变B．电容器C的a板先带正电后带负电C．MN所受安培力的大小始终不变D．MN所受安培力的方向先向右后向左3．[多选]如图所示，边长为L、电阻不计的n匝正方形金属线框位于竖直平面内，连接的小灯泡的额定功率、额定电压分别为P、U，线框及小灯泡的总质量为m，在线框的下方有一匀强磁场区域，区域宽度为l，磁感应强度方向与线框平面垂直，其上、下边界与线框底边均水平。
线框从图示位置开始静止下落，穿越磁场的过程中，小灯泡始终正常发光。
则()A．有界磁场宽度l<L B．磁场的磁感应强度应为mgUnPLD．线框穿越磁场的过程中，灯泡产生的焦耳热为mgL C．线框匀速穿越磁场，速度恒为Pmg4.如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m的金属杆(电阻忽略不计)从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度v m，则()A．如果B增大，v m将变大B．如果α增大，v m将变大C．如果R变小，v m将变大D．如果m变小，v m将变大5.[多选]如图所示，空间存在着与圆台母线垂直向外的磁场，各处的磁感应强度大小均为B，圆台母线与竖直方向的夹角为θ，一个质量为m、半径为r的匀质金属环位于圆台底部。
当给环通以恒定的电流I，圆环由静止向上运动，经过时间t后撤去该恒定电流并保持圆环闭合，圆环全程上升的最大高度为H。
已知重力加速度为g，不计空气阻力，磁场的范围足够大。
在圆环向上运动的过程中，下列说法正确的是()A．圆环先做加速运动后做减速运动B．在时间t内安培力对圆环做功为mgHC ．圆环运动的最大速度为2πBIrt cos θm －gtD ．圆环先有扩张后有收缩的趋势6.[多选]在如图所示的倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小均为B 的匀强磁场区域，区域Ⅰ的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下，磁场宽度HP 及PN 均为L ，一个质量为m 、电阻为R 、边长也为L 的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，t 1时刻ab 边刚越过GH 进入磁场Ⅰ区域，此时导线框恰好以速度v 1做匀速直线运动；t 2时刻ab 边下滑到JP 与MN 的中间位置，此时导线框又恰好以速度v 2做匀速直线运动。
重力加速度为g ，下列说法中正确的是()A ．当ab 边刚越过JP 时，导线框的加速度大小为a ＝g sin θB ．导线框两次匀速直线运动的速度v 1∶v 2＝4∶1C ．从t 1到t 2的过程中，导线框克服安培力做功的大小等于重力势能的减少D ．从t 1到t 2的过程中，有3mgL sin θ2＋m v 12－v 222机械能转化为电能7．[多选]如图甲所示，竖直向上的匀强磁场的磁感应强度B 0＝0.5T ，并且以ΔB Δt＝0.1T/s 的变化率均匀增大，图像如图乙所示，水平放置的导轨不计电阻，不计摩擦阻力，宽度L ＝0.5m ，在导轨上放着一金属棒MN ，电阻R 0＝0.1Ω，并且水平细线通过定滑轮悬吊着质量M ＝0.2kg 的重物。
导轨上的定值电阻R ＝0.4Ω，与P 、Q 端点相连组成回路。
又知PN 长d ＝0.8m 。
在重物被拉起的过程中，下列说法中正确的是(g 取10N/kg)()A ．电流的方向由P 到QB ．电流的大小为0.1AC ．从磁感应强度为B 0开始计时，经过495s 的时间，金属棒MN 恰能将重物拉起D ．电阻R 上产生的热量约为16J8.[多选]如图所示，abcd 为一矩形金属线框，其中ab ＝cd ＝L ，ab 边接有定值电阻R ，cd 边的质量为m ，其他部分的电阻和质量均不计，整个装置用两根绝缘轻弹簧悬挂起来。
线框下方处在磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于纸面向里。
初始时刻，使两弹簧处于自然长度，且给线框一竖直向下的初速度v 0，当cd 边第一次运动至最下端的过程中，R 产生的电热为Q ，此过程及以后的运动过程中ab 边未进入磁场、cd 边始终未离开磁场，已知重力加速度大小为g ，下列说法中正确的是()A ．初始时刻cd 边所受安培力的大小为B 2L 2v 0R －mg B ．线框中产生的最大感应电流可能为BLv 0RC ．在cd 边第一次到达最下端的时刻，两根弹簧具有的弹性势能总量大于12mv 02－Q D ．在cd 边反复运动过程中，R 中产生的电热最多为12mv 029.CD 、EF 是两条水平放置的阻值可忽略的平行金属导轨，导轨间距为L ，在水平导轨的左侧存在磁感应强度方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，磁场区域的长度为d ，如图所示。
导轨的右端接有一电阻R ，左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接。
将一阻值也为R 的导体棒从弯曲轨道上h 高处由静止释放，导体棒最终恰好停在磁场的右边界处。
已知导体棒与水平导轨接触良好，且动摩擦因数为μ，则下列说法中正确的是()A ．电阻R 的最大电流为Bd 2ghR B ．流过电阻R 的电荷量为BdL2RmghC．整个电路中产生的焦耳热为mgh D．电阻R中产生的焦耳热为1210.[多选]如图所示，一U形金属导轨竖直倒置，相距为L，磁感应强度的大小为B的匀强磁场与导轨平面垂直。
一阻值为R、长度为L、质量为m的导体棒在距磁场上边界h处静止释放。
导体棒进入磁场后速度减小，最终速度稳定时离磁场上边缘的距离为H。
导体棒从静止开始运动到速度刚稳定的整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻。
下列说法正确的是()A．整个运动过程中回路的最大电流为BL2ghRB．整个运动过程中导体棒产生的焦耳热为mg(H＋h)－m3g2R22B4L4C．整个运动过程中导体棒克服安培力所做的功为mgHD．整个运动过程中回路电流的功率为R11.两根足够长的平行导轨处在与水平方向成θ＝37°的斜面上，导轨电阻不计，间距为L＝0.3m，在斜面加有磁感应强度为B＝1T方向垂直于导轨平面的匀强磁场，导轨两端各接一个阻值为R0＝2Ω的电阻，一质量为m＝1kg，电阻为r＝2Ω的金属棒横跨在平行轨道间。
棒与轨道间动摩擦因数为0.5，金属棒以平行于轨道向上的初速度为v0＝10m/s上滑直至上升到最高点过程中，通过上端电阻电量为Δq＝0.1C，求：(1)上升过程中棒发生的位移；(2)上端电阻R0产生的焦耳热。
12.如图甲所示，在水平面上固定宽为L＝1m、足够长的光滑平行金属导轨，左端接有R＝0.5Ω的定值电阻，在垂直导轨且距导轨左端d＝2.5m处有阻值r＝0.5Ω、质量m＝2kg的光滑导体棒，导轨其余部分电阻不计。
磁场垂直于导轨所在平面，磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示。
第1s内导体棒在拉力F作用下始终处于静止状态。
1s后，拉力F保持与第1s末相同，导体棒从静止直至刚好达到最大速度过程中，拉力F做功为W＝11.25J。
求：(1)第1s末感应电流的大小；(2)第1s末拉力的大小及方向；(3)1s后导体棒从静止直至刚好达到最大速度过程中，电阻R上产生的焦耳热。
(三)适用作业(卷Ⅱ)1．(上海高考)如图，光滑平行金属导轨间距为L，与水平面夹角为θ，两导轨上端用阻值为R的电阻相连；该装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面。
质量为m的金属杆ab以沿导轨平面向上的初速度v0从导轨底端开始运动，然后又返回到出发位置。
在运动过程中，ab与导轨垂直且接触良好，不计ab和导轨的电阻及空气阻力。
(1)求ab开始运动时的加速度a；(2)分析并说明ab在整个运动过程中速度、加速度的变化情况；(3)分析并比较ab上滑时间和下滑时间的长短。
2.(天津高考)电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。
电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C。
两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l，电阻不计。
炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。
首先开关S接1，使电容器完全充电。
然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场(图中未画出)，MN开始向右加速运动。
当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。
问：(1)磁场的方向；(2)MN刚开始运动时加速度a的大小；(3)MN离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q是多少。
3．如图甲所示，弯折成90°角的两根足够长金属导轨平行放置，形成左右两导轨平面，左导轨平面与水平面成53°角，右导轨平面与水平面成37°角，两导轨相距L＝0.2m，电阻不计。
质量均为m＝0.1kg，电阻均为R＝0.1Ω的金属杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，金属杆与导轨间的动摩擦因数均为μ＝0.5，整个装置处于磁感应强度大小为B＝1.0T，方向平行于左导轨平面且垂直右导轨平面向上的匀强磁场中。
t＝0时刻开始，ab杆以初速度v1沿右导轨平面下滑。
t＝1s时刻开始，对ab杆施加一垂直ab杆且平行右导轨平面向下的力F，使ab开始做匀加速直线运动。
cd杆运动的vt图像如图乙所示(其中第1s、第3s内图线为直线)。
若两杆下滑过程均保持与导轨垂直且接触良好，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
求：(1)在第1s内cd杆受到的安培力的大小；(2)ab杆的初速度v1；(3)若第2s内力F所做的功为9J，求第2s内cd杆所产生的焦耳热。
4．如图甲所示，两根完全相同的光滑平行导轨固定，每根导轨均由两段与水平面成θ＝30°的长直导轨和一段圆弧导轨平滑连接而成，导轨两端均连接电阻，阻值R1＝R2＝2Ω，导轨间距L＝0.6m。