2020哈三中高一期末数学试题及答案
2019-2020学年哈尔滨三中高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年哈尔滨三中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.以下对于几何体的描述，错误的是()A. 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球B. 一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形是圆锥C. 用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台D. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱2.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//，//，则//D. ，使成立3.已知一水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么原四边形的面积为()A. √2B. 2C. 2√2D. 44.等差数列中，，则的值是()A. 12B. 24C. 36D. 485.已知函数f(x)=2|cosx|sinx+sin2x，给出下列四个命题：①函数f(x)的图象关于直线x=π4对称；②函数f(x)在区间[−π4,π4]上单调递增；③函数f(x)的最小正周期为π；④函数f(x)的值域为[−2,2].其中真命题的个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6.已知命：∃x∈R，使tan x1中正确的是()A. ¬p：∃x∈R，使tanx≠1B. ¬p：∃x∉R，使tanx≠1C. ¬p ：∀x ∈R ，使tanx ≠1D. ¬p ：∀x ∉R ，使tanx ≠17.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为( )A. √3B. √6C. 2√3D. 2√68.设x >2，则y =x +1x−2取得最小值时，x 、y 的值是( )A. 4，3B. 3，4C. 3，3D. 4，49.圆台侧面展开图是一个内外半径分别为2和4的半圆环，则此圆台的全面积是( )A. 6πB. 10πC. 11πD. 14π10. 用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体．已知正六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为4，则平面AB 1D 1与平面BC 1D 间的距离为( )A. √3B. √63C. 4√33D. 2√311. 在△ABC 中，3CD⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ⋅μ=( )A. −34B. −316C. 34D. 31612. 在△ABC 中，BC =1，∠B =π3，△ABC 的面积S =√3，则sinC =( )A. √1313B. 35C. 45D. 2√3913二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图所示，在▱ABCD 中，已知AB =3，AD =2，∠BAD =120°.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 在三棱锥D −ABC 中，平面ABC ⊥平面ABD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，∠ACB =π6，若三棱锥D −ABC 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______ ． 15. 13、数列满足，，则____________。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一数学下学期第二模块考试期末考试数学试题含解析
黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高一数学下学期第二模块考试（期末考试）试题（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝，则z+＝（）A．2 B．2C．6i D．6i2．如图，若一个水平放置的图形用斜二测画法作出的直观图是直角梯形ABCD，其中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝1，CD＝2，则原平面图形的面积是（）A．B．C．D．33．以下调查中适合普查的是（）A．一个水库的所有鱼中卿鱼所占的比例B．一批种子的发芽率C．境外返哈人员的核酸检测结果D．全市中学生的平均身高4．已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥m，m∥α，则l∥αB．若1∥α，α∥β，则1∥βC．若l⊥m，m⊥α，l⊥β，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝l，A∈α，A∈m，m⊥l，则m⊥β5．已知15个不同数据的第25百分位数是9．则下列说法正确的是（）A．这15个数据中一定有4个数小于9B．把这15个数据从小到大排列后，9是第4个数据C．把这15个数据从小到大排列后，9是第4个数据和第5个数据的平均数D．把这15个数据从小到大排列后，9是第3个数据和第4个数据的平均数6．若一个圆锥的轴截面是斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的表面积为（）A．4πB．2（+1）πC．2（+2）πD．4（+1）π7．关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，有下列说法：①改变其中一个数据，平均数一定改变，中位数可能不变；②频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；③若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数；④样本中每个数据变为原来的2倍，则样本方差也变为原来的2倍．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．πD．28π9．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°且SA＝AB＝2BC＝2，E为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．10．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，∠BAD＝60°，∠BAA1＝∠DAA1＝45°，则AC1＝（）A．3B．5 C．2+D．3+11．用0，1，2，3，4，5，6构成无重复数字的三位偶数共有（）个A．75 B．90 C．105 D．12012．如图，在正方形ABCD中，已知AB＝4，将△ABD沿着BD向上翻折至△A'BD，记锐二面角A'﹣BD﹣C的平面角为α，A'B与平面ABCD所成的角为β，则下列结论不可能成立的是（）A．sinα＝sinβB．cosα＝cosβC．α＜2βD．α﹣β＞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知非零向量，满足||＝||，且（﹣）⊥（5+2），则与的夹角为．14．已知正四面体ABCD中，AB＝2，点E，F，G，H分别在AB，AD，CD，BC上，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，则四边形EFGH的面积的最大值为．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足a cos B+b cos A＝a，b＝2，B∈〖，〗，则•的取值范围是．16．现有4种颜色可供选用，给三棱柱的每个顶点涂色，同一条棱的顶点不同色，则共有种不同的涂色方法（用数字作答）．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．在中国共产党建党100周年华诞之际，哈三中积极响应党和国家的号召，为激发学生的爱国热情，举办了党史知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的历程．为了解学生此次知识竞赛成绩，现随机抽取了50名学生作为样本，将分数按照〖50，60），〖60，70），〖70，80），〖80，90），〖90，100〗分为5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．已知〖70，80）组的频数比〖80，90）组的频数多3．（1）求频率分布直方图中a和b的值；（2）估计这50名学生知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）学校给成绩在从高到低的前30%学生准备了奖品，试估计多少分以上的同学可以获奖？18．在△ABC中，|﹣|＝2，•＝6，∠C＝60°，D为BC中点．（1）求AD的长；（2）求AC的长．19．如图，已知AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD＝AB＝AC＝BC＝2，CE＝1．（1）在线段AB上是否存在点F，使得CF∥平面BDE？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由；（2）求二面角D﹣BE﹣C的余弦值．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，AA1＝AB＝2，AC＝BC＝，∠BAA1＝60°，点E为棱AB的中点，点F为棱A1C1上的动点．（1）求证：EF⊥BC；（2）当直线A1E与平面B1EF成角的正弦值为时，求三棱锥C1﹣B1EF的体积．21．现多个省份的高考以实行“3+1+2”模式，“3”指必考科目，语文、数学、外语是全国统考科目，不分文理；“1”是指学生需要从首选科目物理、历史中选择一门；“2”为再选科目，在政治、地理、化学、生物四个学科中再选择两门．在这种模式下，后期的专业报考就被划分为了“物理类”和“历史类”两大类．某校高三年级共有1500名学生，其中1000人选择了物理，500人选择了历史．在某次模拟考试中，为了了解学生的数学成绩，计划从1500名学生中随机抽取一个容量为30的样本．若采用比例分配的分层随机抽样，按照学生选择物理或历史将学生分为两层：样本中选择物理的学生数学成绩的平均数为124，方差为379；选择历史的学生数学成绩的平均数为110，方差为300．（1）后来发现在计算样本中选择物理的学生的数学成绩的平均数和方差时，甲同学的成绩有误，甲实得145分却记为125分，试计算数据更正后，样本中选择物理的学生数学成绩的平均数和方差；（2）在（1）的条件下，在成绩更正后，试用样本估计本次模拟考试中该校高三年级1500名学生数学成绩的平均数和方差．22．如图，已知点A，B，C在平面α的同侧，在三棱锥O﹣ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OA＝2，OB＝3，OC＝4，直线OA，OB与过点O的平面α所成的角都是30°．（1）在棱OC上是否存在一点M，使二面角M﹣AB﹣O为60°？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（2）若G为△ABC的重心，求点G到平面α的距离．▁▃▅▇█参 *考 *答 *案█▇▅▃▁一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝，则z+＝（）A．2 B．2C．6i D．6i〖分析〗根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．解：∵z＝＝，∴z+＝1+3i+1﹣3i＝2．故选：A．2．如图，若一个水平放置的图形用斜二测画法作出的直观图是直角梯形ABCD，其中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝1，CD＝2，则原平面图形的面积是（）A．B．C．D．3〖分析〗求出直观图是直角梯形ABCD的面积，利用公式S原＝2S直求出原图形面积．解：计算直观图是直角梯形ABCD的面积为：S直＝×（1+2）×1＝，则原平面图形的面积是：S原＝2S直＝2×＝3．故选：D．3．以下调查中适合普查的是（）A．一个水库的所有鱼中卿鱼所占的比例B．一批种子的发芽率C．境外返哈人员的核酸检测结果D．全市中学生的平均身高〖分析〗根据所调查的对象数目不多，调查时没有破坏性，且对调查的结果要求较高时，常用普查方式．解：对于A，一个水库中所有鱼中鲫鱼所占的比例，调查的对象数目多，不适合用普查；对于B，一批种子的发芽率，调查的对象数目多，且具有破坏性，不适合用普查；对于C，境外返哈人员的核酸检测结果，所调查的结果非常重要，必须用普查；对于D，全市中学生的平均身高，调查的对象数目多，要求精确度不是很高，可以适用抽样调查．故选：C．4．已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥m，m∥α，则l∥αB．若1∥α，α∥β，则1∥βC．若l⊥m，m⊥α，l⊥β，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝l，A∈α，A∈m，m⊥l，则m⊥β〖分析〗由空间中直线与直线平行、直线与平面平行判断线面关系分析A与B；由直线与直线、直线与平面垂直分析面面关系判断C；由平面与平面垂直的性质判断D．解：若l∥m，m∥α，则l∥α或l⊂α，故A错误；若1∥α，α∥β，则1∥β或l⊂β，故B错误；若l⊥m，m⊥α，则l⊂α或l∥α，又l⊥β，则α⊥β，故C正确；若α⊥β，α∩β＝l，A∈α，A∈m，m⊥l，则m⊥β错误，只有添加条件m⊂α，才有m⊥β．故选：C．5．已知15个不同数据的第25百分位数是9．则下列说法正确的是（）A．这15个数据中一定有4个数小于9B．把这15个数据从小到大排列后，9是第4个数据C．把这15个数据从小到大排列后，9是第4个数据和第5个数据的平均数D．把这15个数据从小到大排列后，9是第3个数据和第4个数据的平均数〖分析〗先求出15×25%＝3.75，然后由百分位数的定义分析即可．解：因为15×25%＝3.75，又15个不同数据的第25百分位数是9，所以把这15个数据从小到大排列后，9是第4个数据．故选：B．6．若一个圆锥的轴截面是斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的表面积为（）A．4πB．2（+1）πC．2（+2）πD．4（+1）π〖分析〗由题意求出圆锥的底面圆半径和侧棱长，再求圆锥的表面积．解：圆锥的轴截面是斜边长为4的等腰直角三角形，所以圆锥的底面半径为r＝2，侧棱长为l＝2，所以圆锥的表面积为S＝πrl+πr2＝π•2•2+π•22＝4π（+1）．故选：D．7．关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，有下列说法：①改变其中一个数据，平均数一定改变，中位数可能不变；②频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；③若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数；④样本中每个数据变为原来的2倍，则样本方差也变为原来的2倍．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：改变其中一个数据时，平均数肯定会发生变化，当改变的数据为最大值，且改变后的最大值比原始最大值大，则中位数不变，故①正确，根据频率分布直方图中位数的求法，故②正确，根据频率分布直方图可得，右边“拖尾”，则平均数变大，中位数变小，故平均数大于中位数，故③正确，样本中每个数据变为原来的2倍，则样本方差也变为原来的4倍，故④错误，故正确的个数为3个．故选：C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．πD．28π解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为正三棱柱，底面边长为2，高为4，底面三角形外接圆的半径为，则正三棱柱外接球的半径R满足＝．∴该几何体外接球的表面积为．故选：A．9．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝60°且SA＝AB＝2BC＝2，E为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．〖分析〗连接AC和BD，设AC与BD交于点O，则EO∥SC，所以异面直线SC与DE所成的角即直线EO与直线ED所成的夹角，求出EO，OD，DE，结合余弦定理可求出∠OED的余弦值，进而得到异面直线SC与DE所成的角的余弦值．解：如图所示，连接AC和BD，设AC与BD交于点O，则EO是△ASC的中位线，所以EO∥SC，于是异面直线SC与DE所成的角即直线EO与直线ED所成的夹角，即∠OED或其补角，在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AC⋅BC cos∠ABC＝3，故，所以，又SA⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，所以SA⊥AO，所以，因为BC2+AC2＝AB2，所以∠ACB＝90°，所以，因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥AD，所以，在△EOD中，由余弦定理可得．故选：B．10．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，∠BAD＝60°，∠BAA1＝∠DAA1＝45°，则AC1＝（）A．3B．5 C．2+D．3+〖分析〗利用＝（）2＝+++2+2+2计算即可．解：∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为AB＝2，AD＝1，AA1＝2，∠BAD＝60°，∠BAA1＝∠DAA1＝45°，∴＝（）2＝+++2+2+2＝4+1+8+2•2•1•cos60°+2•2•2•cos45°+2•1•2•os45°＝13+2+8+4＝27．∴AC1＝3．故选：A．11．用0，1，2，3，4，5，6构成无重复数字的三位偶数共有（）个A．75 B．90 C．105 D．120〖分析〗利用元素优先法，结合偶数的定义分别进行讨论求解即可．解：若个位数字是0，则有＝30个，若个位数字是2，则先排首位有＝5，然后连同0在内再选一个排在十位有5种，此时共有5×5＝25种，若个位数是4或6和个位数是2方法相同，则共有30+25×3＝105，故选：C．12．如图，在正方形ABCD中，已知AB＝4，将△ABD沿着BD向上翻折至△A'BD，记锐二面角A'﹣BD﹣C的平面角为α，A'B与平面ABCD所成的角为β，则下列结论不可能成立的是（）A．sinα＝sinβB．cosα＝cosβC．α＜2βD．α﹣β＞〖分析〗取BC的中点F，连接EF，连接AF与BE交于点O，过点A'作A'H⊥OF于点H，连接BF，由线面角和二面角的定义确定α和β，然后利用三角形的边角关系求出sinα和sinβ，比较即可判断选项A，将选项A的结论平方，结合二倍角公式和余弦函数的单调性，即可判断选项C，计算cosα和cosβ，即可判断选项B，判断，结合α＜2β，可得α﹣β＜，即可判断选项D．解：取BC的中点F，连接EF，连接AF与BE交于点O，由题意可得，四边形ABFE为正方形，则A'O⊥BE，OF⊥BE，所以锐二面角A'﹣BE﹣C的平面角为α＝∠A'OF，由翻折的性质可得，BE⊥平面AOF，过点A'作A'H⊥OF于点H，则BE⊥A'H，又BE∩OF＝O，BE，OF⊂平面BCDE，所以A'H⊥平面BCDE，连接BH，则A'B与平面BCDE所成的角为∠A'BH，令A'H＝h，在Rt△A'OH中，故，在Rt△A'BH中，，故sinα＝sinβ①，故选项A正确；将①平方可得，sin2α＝2sin2β，所以1﹣cos2α＝2（1﹣cos2β），即cos2α＝2cos2β﹣1＝cos2β，因为α和β都是锐角，则cos2α＜cosα，所以cos2β＜cosα，又0＜2β＜π，0＜α＜π，由余弦函数的单调性可知，α＜2β，故选项C正确；因为，若要使得，则需2OH＝BH，即当∠OBH＝时可以成立，故选项B可能成立；由于α，β都是锐角，且，则，所以，由选项C可知，α＜2β，则α﹣β＜2β﹣β＝β＜，故选项D错误．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知非零向量，满足||＝||，且（﹣）⊥（5+2），则与的夹角为0 ．〖分析〗根据题意，设||＝||＝t，与的夹角为θ，由向量垂直的判断方法可得（﹣）•（5+2）＝52﹣22﹣3•＝0，求出cosθ的值，分析可得答案．解：根据题意，设||＝||＝t，与的夹角为θ，若（﹣）⊥（5+2），则有（﹣）•（5+2）＝52﹣22﹣3•＝0，又由||＝||＝t，变形可得：•＝t2cosθ＝t2，必有cosθ＝1，与的夹角为0，故答案为：0．14．已知正四面体ABCD中，AB＝2，点E，F，G，H分别在AB，AD，CD，BC上，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，则四边形EFGH的面积的最大值为 1 ．〖分析〗由题意画出图形，证明四边形EFGH为矩形，再由平行线截线段成比例列式，结合基本不等式即可求得四边形EFGH的面积的最大值．解：如图，∵AC∥平面EFGH，AC⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFGH＝EH，∴AC∥EH，同理AC∥FG，则EH∥FG，∵BD∥平面EFGH，BD⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFGH＝EF，∴BD∥EF，同理BD∥GH，则EF∥GH．则四边形EFGH为平行四边形，又由正四面体的对称性可证得AC⊥BD，则EH⊥EF，即四边形EFGH为矩形，∵正四面体的棱长为2，则，，两式相加可得：1＝，即GH•GF≤1，当且仅当GH＝GF时等号成立．∴四边形EFGH的面积的最大值为1．故答案为：1．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足a cos B+b cos A＝a，b＝2，B∈〖，〗，则•的取值范围是〖0，2〗．〖分析〗由a cos B+b cos A＝a可得a＝c，设边AC的中点为O，可得1≤|BO|，则•＝（）•（）＝（）•（）＝﹣，即可求解．解：∵a cos B+b cos A＝a，∴a+b•＝a，整理可得a＝c，设边AC的中点为O，当B＝时，BO＝，当B＝时，BO＝1．∴1≤|BO|则•＝（）•（）＝（）•（）＝﹣＝|BO|2﹣＝|BO|2﹣1，∴则•的取值范围是：〖0，2〗．故答案为：：〖0，2〗．16．现有4种颜色可供选用，给三棱柱的每个顶点涂色，同一条棱的顶点不同色，则共有264 种不同的涂色方法（用数字作答）．〖分析〗利用分类讨论思想分别进行讨论即可．解：先给顶点A，B，C染色，有A＝24种方法，再给顶点D染色，①若它和点B染同﹣﹣种颜色，点E和点C染相同颜色，点F就有2种方法，若点E和点C染不同颜色，则点E有2种方法，点F也有1种方法，则D，E，F的染色方法一共有2+2×1＝4种方法；②若点D和点B染不同颜色，且与点C颜色不同，则点D有1种方法，点E与点C颜色不同，则点E有1种方法，则点F有1种方法，此时有1种方法；若最后E与C相同，则F有2种方法，则共有2种方法；点D与点C颜色相同，则点D有1种方法，则点E有2种方法，则点F有2种方法，共有2×2＝4种方法，所以点D和点B染不同，颜色共有1+2+4＝7种方法；所以点D，E，F的染色方法一共有4+7＝11种，所以共有24×11＝264种方法．故答案为：264．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．在中国共产党建党100周年华诞之际，哈三中积极响应党和国家的号召，为激发学生的爱国热情，举办了党史知识竞赛活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的历程．为了解学生此次知识竞赛成绩，现随机抽取了50名学生作为样本，将分数按照〖50，60），〖60，70），〖70，80），〖80，90），〖90，100〗分为5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．已知〖70，80）组的频数比〖80，90）组的频数多3．（1）求频率分布直方图中a和b的值；（2）估计这50名学生知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）学校给成绩在从高到低的前30%学生准备了奖品，试估计多少分以上的同学可以获奖？〖分析〗（1）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，以及频数与频率的关系，即可求解．（2）根据已知条件，结合平均数的公式，即可求解．（3）设x分以上的同学可以获奖，可得0.1+，即可求解．解：（1）由频率分布直方图的性质可得，（a+b）×10＝1﹣（0.018+0.01+0.006）×10，即a+b＝0.066 ①，∵〖70，80）组的频数比〖80，90）组的频数多3，∴（a﹣b）×10×50＝3，即a﹣b＝0.006 ②，联立①②解得a＝0.036，b＝0.03．（2）估计这50名学生知识竞赛成绩的平均数为55×0.06+65×0.18+75×0.36+85×0.3+95×0.1＝77．（3）设x分以上的同学可以获奖，则0.1+，解得x＝83.3，故83.3分以上的同学可以获奖．18．在△ABC中，|﹣|＝2，•＝6，∠C＝60°，D为BC中点．（1）求AD的长；（2）求AC的长．〖分析〗（1）根据条件，可得＝（+），两边平方后，求出||，即可得到AD的长度；（2）根据条件，直接在△ACD中利用余弦定理，求出AC的值．解：（1）△ABC中，|﹣|＝2，•＝6，D为BC中点；所以＝﹣2•+＝4，所以+＝4+2×6＝16；因为＝（+），所以＝×（+2•+）＝×（16+2×6）＝7，所以||＝，即AD＝；（2）△ACD中，∠C＝60°，DC＝BC＝1，AD＝，由余弦定理，得AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD•cos∠C，即7＝AC2+1﹣2AC×1×cos60°，解得AC＝3或AC＝﹣2（不合题意，舍去）；所以AC＝3．19．如图，已知AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD＝AB＝AC＝BC＝2，CE＝1．（1）在线段AB上是否存在点F，使得CF∥平面BDE？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由；（2）求二面角D﹣BE﹣C的余弦值．〖分析〗（1）取BD的中点M，连接ME，MF，利用中位线定理证明四边形MFCE为平行四边形，从而得到CF∥ME，由线面平行的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BDE和平面BEC的法向量，由向量的夹角公式求解即可．解：（1）线段AB上存在中点F，使得CF∥平面BDE．证明如下：取BD的中点M，连接ME，MF，因为M，F分别为BD，AB的中点，则MF∥AD且MF＝，因为AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，则CE∥AD，又CE＝1，AD＝2，则CE＝，所以MF∥CE且MF＝CE，故四边形MFCE为平行四边形，则CF∥ME，因为CF⊄平面BDE，ME⊂平面BDE，故CF∥平面BDE；（2）以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面BDE的法向量为，则，即，令z＝2，则x＝1，，所以，因为，设平面BEC的法向量为，则，即，令，则b＝﹣1，所以，则＝，所以二面角D﹣BE﹣C的余弦值为．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，AA1＝AB＝2，AC＝BC＝，∠BAA1＝60°，点E为棱AB的中点，点F为棱A1C1上的动点．（1）求证：EF⊥BC；（2）当直线A1E与平面B1EF成角的正弦值为时，求三棱锥C1﹣B1EF的体积．〖分析〗（1）证明A1F⊥AB．推出A1F⊥平面ABC，得到A1F⊥BC，证明BC⊥AC，然后证明BC⊥面A1EF，即可推出BC⊥EF．（2）以E为原点，EC，EB，EA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量及直线A1E与平面B1EF成角的正弦值为，确定F的位置，从而求出三棱锥C1﹣B1EF 的体积．解：（1）证明：因为AB＝AA1＝A1B，F为AB中点，所以A1F⊥AB．因为平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，A1F⊂平面AA1B1B，所以A1F⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，故A1F⊥BC，又因为BC2+AC2＝AB2，所以BC⊥AC，又∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1∴BC⊥A1C1，BC⊥A1E又A1C1∩A1E＝A1，∴BC⊥面A1EC1，又EF⊂面A1EC1，所以BC⊥EF，即EF⊥BC．（2）由（1）知△ACB为等腰直角三角形，又E为AB的中点，所以CE⊥AB，由（1）知A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AB，A1E⊥EC，所以以E为原点，EC，EB，EA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为A1E＝＝，AE＝1，所以E（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（1，0，0），A1（0，0，），B1（0，2，），所以＝（0，0，），＝（0，﹣2，﹣），设＝λ＝λ＝λ（1，1，0）＝（λ，λ，0），（0＜λ＜1）＝+＝（0，0，）+（λ，λ，0）＝（λ，λ，），设平面B1FE的法向量为＝（x，y，z），所以，即，取＝（，﹣，2）因为直线A1E与平面B1EF成角的正弦值为，所以cos＜，＞＝||＝＝，解得λ＝．则三棱锥C1﹣B1EF的体积V＝V＝•A1E＝＝＝．21．现多个省份的高考以实行“3+1+2”模式，“3”指必考科目，语文、数学、外语是全国统考科目，不分文理；“1”是指学生需要从首选科目物理、历史中选择一门；“2”为再选科目，在政治、地理、化学、生物四个学科中再选择两门．在这种模式下，后期的专业报考就被划分为了“物理类”和“历史类”两大类．某校高三年级共有1500名学生，其中1000人选择了物理，500人选择了历史．在某次模拟考试中，为了了解学生的数学成绩，计划从1500名学生中随机抽取一个容量为30的样本．若采用比例分配的分层随机抽样，按照学生选择物理或历史将学生分为两层：样本中选择物理的学生数学成绩的平均数为124，方差为379；选择历史的学生数学成绩的平均数为110，方差为300．（1）后来发现在计算样本中选择物理的学生的数学成绩的平均数和方差时，甲同学的成绩有误，甲实得145分却记为125分，试计算数据更正后，样本中选择物理的学生数学成绩的平均数和方差；（2）在（1）的条件下，在成绩更正后，试用样本估计本次模拟考试中该校高三年级1500名学生数学成绩的平均数和方差．〖分析〗（1）由分层抽样可得物理类学生有20人，历史类学生有10人，结合平均数，方差公式，计算即可得出答案．（2）结合（1）的计算结果，可得30人的平均数，方差．解：（1）因为从1500名学生中随机抽取一个容量为30的样本，所以由分层抽样可得物理类学生有×30＝20人，历史类学生有×30＝10人，由于样本中选择物理的学生数学成绩的平均数为124，则物理类学生分数总和为124×20＝2480分，去掉甲同学125分后物理类其他学生分数总和为2480﹣125＝2355分，换成甲实得145分后物理类30名学生分数总和为2355+145＝2500分，所以数据更正后物理类学生平均分为＝125分，因为更正前物理类方差为379，所以去掉甲同学这个数据后，其他19人的方差为＝，所以更正甲同学的成绩后，20人的方差为〖19×+（145﹣125）2〗＝398.95．（2）30人的总分为20×125+10×110＝3600，所以30人的平均分为＝120分，30人的方差为≈366．22．如图，已知点A，B，C在平面α的同侧，在三棱锥O﹣ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OA＝2，OB＝3，OC＝4，直线OA，OB与过点O的平面α所成的角都是30°．（1）在棱OC上是否存在一点M，使二面角M﹣AB﹣O为60°？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（2）若G为△ABC的重心，求点G到平面α的距离．〖分析〗（1）建立合适的空间直角坐标系，设M（0，0，m），m∈〖0，4〗，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面MAB的法向量，由向量的夹角公式列出关于m的关系，求解即可得到答案；（2）利用重心的坐标公式求出点G的坐标，然后由直线OA，OB与过点O的平面α所成的角都是30°，可得GO⊥平面α，再利用两点间距离公式求解即可．解：（1）因为OA、OB、OC两两垂直，则以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，又OA＝2，OB＝3，OC＝4，则A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4），因为点M在棱OC上，设M（0，0，m），m∈〖0，4〗，所以，设平面MAB的法向量为，则，即，令x＝3，则y＝2，z＝，所以，又平面ABO的一个法向量为，因为二面角M﹣AB﹣O为60°，则＝，解得，所以在棱OC上是存在一点M，且＝，使得二面角M﹣AB﹣O为60°；（2）因为G为△ABC的重心，则，即，因为直线OA，OB与过点O的平面α所成的角都是30°，设点A，B到平面α的距离分别为h，h'，则，故，则GO⊥平面α，所以点G到平面α的距离为＝．高中数学期末考试试题。
黑龙江省哈三中2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题
黑龙江省哈三中2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是（ ）A ．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线B ．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥C ．圆柱的上底面下底面互相平行D ．五棱锥只有五条棱2．如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．2b ab > B ．2ab a > C ．22a b >D ．a b <3．已知一个水平放置的平面四边形ABCD 的直观图是面积为2的正方形，则原四边形ABCD 的面积为（ ）A ．2B C ．D ．4．已知{}n a 是公差为2的等差数列，且2153a a a =+，则8a =（ ） A ．12B ．14C ．16D ．185．ABC 中，sin cos sin cos A A B B =，则ABC 为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） ①若//m α，//αβ，则//m β； ②若//αβ，m αγ=，n βγ=，则//m n ；③若n α⊥，m α⊂，则m n ⊥；④若直线m 用与平面α内的无数条直线垂直，则m α⊥．A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43B ．4C ．2D ．238．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．109．已知圆锥的轴截面为正三角形，且边长为2，则圆锥的表面积为（ ） A 3 B ．π C ．2π D ．3π10．在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，则点1A 到平面11AB D 的距离为（ ）A 3B 35C 310D 311．已知A ，B ，C 为直线l 上的不同三点，O 为l 外一点，存在实数(),0,0m n m n >>，使得OC =94mOA nOB +成立，则49m n+的最小值为（ ） A ．36B ．72C ．144D ．16912．锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若()2b a ac =+()3sin cos B A A -+范围为（ ）A ．623,+⎭B ．622⎫+⎪⎪⎝⎭C ．()1,2D ．621,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上． 13．已知a ，b 满足2a b ==，a ，b 的夹角为120︒，则a b ⋅=__________．14．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2PA AB AC ===则该三棱锥的外接球的表面积为__________．15．空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 所成角为30︒，设6AC =，8BD =，则过AB 的中点E 且平行于BD 、AC 的截面四边形的面积为__________．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,,2n n S a n N n ∈≥在2441x y x =-的图像上，11a =，数列{}n a 通项为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知0a >，0b >．（Ⅰ）求证：()2232a b b a b +≥+；（Ⅱ）若2a b ab +=，求ab 的最小值． 18．（本小题满分12分）在正方体1111ABCD A B C D -中，求证： （Ⅰ）求异面直线1AB 与1A D 所成角； （Ⅱ）平面11//B AD 平面1BC D ．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =，()*1532n n n a a n N +=+⋅∈．（Ⅰ）数列{}n b 通项2nn n b a =+，证明：{}n b 为等比数列；（Ⅱ）求{}n a 前n 项和n S ． 20．（本小题满分I2分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AA AB AD A B ===，1AB AD ⊥，111AB B C ⊥． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AA B B ； （Ⅱ）求直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，()()cos 2cos 2cos b A C c a B -=-．（Ⅰ）求ca的值； （Ⅱ）若1cos 4B =-，4b =，求ABC 的面积．22．（本小题满分12分）已知直角三角形的两直角边4AC =，3BC =，点P 是斜边AB 上一点，现沿CP 所在直线将CPB 折起，使得平面BCP ⊥平面ACP ；当AB 的长度最小时，求： （Ⅰ）四面体ABCP 的体积ABCP V ； （Ⅱ）二面角A BC P --的余弦值．参考答案一、选择题 1．C 2．C 3．D 4．C5．D6．B7．A8．C9．D10．A 11．C 12．A二、填空题 13．-214．12π15．616．()()()()1*114,24347n a n a n N n n n ⎧==⎪-⎨=∈≥⎪--⎩三、解答题17．证明：（Ⅰ）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+．（Ⅱ）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥∴1≥，∴1ab ≥．当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1．18．（Ⅰ）通过平移找到夹角，写出夹角60︒．（Ⅱ）故线面平行得判定定理证得1//AD 平面1BC D ，同理可证1//AB 平面1BC D ，由面面平行的判定定理证得11//B AD 平面1BC D ．19．（Ⅰ）()11252n n n n a a +++=+，15n n b b +=，15b =．{}n b 为首项为5公比为5的等比数列．（Ⅱ）52n nn a =-，11135244n n n S ++=⋅-+． 20．（Ⅰ）由线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面11AA B B ，由面面垂直的判定定理证得平面1A BC ⊥平面11AA B B ． （Ⅱ）设1A B 与1AB 交点为O ，证得()11AB AO A BC ⊥，说明OCA ∠即为所求，tan OCA ∠=21．（Ⅰ）2ca=． （Ⅱ）224161cos 224a a B a a +-==⋅， 2a =，4c =，1sin 2S ac B == 22．（Ⅰ）作BO CP ⊥交CP 于O ，连结AO ，设BCP a ∠=，则π2ACP a ∠=-， ∴sin 3sin BO BC a a ==，cos 3cos CO BC a a ==． ∵面BCP ⊥面ACP ，面BCP 面ACP CP =，BO ⊂面BCP ，BO CP ⊥，∴BO ⊥面ACP ． ∵AO ⊂面ACP ，∴BO AO ⊥，即AOB 为直角三角形， ∴222AB BO AO =+()()2223sin 3cos 424sin cos a a a a =++-2512sin 2a =-．∵π0,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴()20,πa ∈， ∴sin 21a =， 即π22a =，π4a =时，min 13AB =， ∴322BO =，3sin 5A =，4cos 5A =． ()3π272sin sin sin cos 4210CPA A A A ⎛⎫∠=-=+= ⎪⎝⎭． ∵4sin sin CPCPA A=∠， ∴1227CP =，112222442727ACPS =⨯⨯⨯=． ∴11243212233727B ACP ACPV S BO -=⋅⋅=⨯⨯=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3tan 14A =<，∴π0,2a A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴π2CPA ∠>． 过A 作AM CP ⊥交CP 延长线于M ， ∵面BCP ⊥面ACP ，面BCP 面ACP CM =，AM ∈面ACP ，AM CP ⊥，∴AM ⊥面BCP ．过M 作MQ BC ⊥交BC 于Q ，连结AQ ， ∵AM ⊥面BCP ，BC ⊂面BCP ，∴AM BC ⊥又MQ BC ⊥，AM ，MQ ⊂面AMQ ，AM MQ M =，∴BC ⊥面AMQ 又AQ ⊂面AMQ ， ∴BC AQ ⊥，∴AQM ∠为二面角A BC P --的平面角， 在Rt AQM 中，22AM =，22CM =， ∴2QM =，∴tan 2AM AQM QM∠==，3cos 3AQM ∠=．附：提高作文水平技巧：1．细观察。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市三中高一上数学期末调研试题含解析
【解析】先根据对数的运算得到 ，再用基本不等式求解即可.
【详解】由对数式 有意义可得 ，由对数的运算法则得 ，所以 ，结合 ，可得 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 .
故选： .
9、C
【解析】利用扇形弧长公式进行求解.
【详解】设扇形弧长为lcm，半径为rcm，则 ，即 且 ，解得： （cm），故此扇形的弧长为9cm.
是正方形，∴ ， ， ，
侧面积 侧
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查求正棱锥的侧面积．在正棱锥计算中，解题关键是掌握四个直角三角形：如解析中图中 ，正棱锥的几乎所有量在这四个直角三角形中都有反应
12、
【解析】设函数 ，再利用复合函数的单调性原理求解.
【详解】解：由题得函数的定义域为 .
设函数 ，
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
【详解】
.
故选:C.
【点睛】本题考查向量的加法、减法运算，向量的线性表示，向量的数量积运算，属于基础题.
6、D
【解析】依题意， ，根据基本不等式，有 .
7、D
【解析】直接利用二倍角公式，转化求解即可
【详解】解： ，则cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2
故选D
【点睛】本题考查二倍角的三角函数，考查计算能力
1．关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（）
黑龙江省哈尔滨市第三中学2023-2024学年数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析
15．幂函数 y f (x) 的图象经过点 (4, 1 ) ，则 f ( 1 ) =____.
2
4
16．函数
f
x
满足
f
x
x2 2x, x 2
2 f x 2, x
2
，则
f
3
值为_____.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
的 17．已知函数
19．设函数
f
x
a2x
t
ax
1
（
a
0且a
1)是定义域为
R
的奇函数
（Ⅰ）求 t 的值；
（Ⅱ）若函数
f
x 的图象过点 1，32
，是否存在正数
mm
1
，使函数
g(x)
logm
a2x
a 2 x
mf
(x)
在
1，log2 3 上的最大值为 0，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由
20．已知对数函数 f (x) (a2 2a 2) loga x .
C. (2, 3)
D. (3, 4)
9．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是（）
A.100=1 与 lg1=0
1
B. 27 3
1 3
与 log27
1 3
3
C.log39=2 与 32=9
D.log55=1 与 51=5
10．已知偶函数 f x 在0, 上单调递增，则对实数 a 、 b ，“ a b ”是“ f a f b ”的（
故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查空间点线面 位置关系，考查棱锥的体积，考查线面垂直的判定定理的应用，判断线面
黑龙江省哈尔滨市第三中学2024届高三上学期期末数学试题(解析版)
哈三中2023-2024学年度上学期高三学年期末考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}21log 1,12xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （ ）A. ()1,2- B. ()1,0- C. ()0,2 D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由()22log 1log 2020,2x x A <=⇒<<⇒=，由()011100,22x x B ⎛⎫⎛⎫<=⇒>⇒=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B = ()0,2，故选：C 2. 复数12iiz +=的虚部为（ ）A. 1- B. 2C. i- D. i【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法的运算法则化简为复数的代数形式，即可得到复数虚部.【详解】由()()2212i i 12i 2i i 2i i iz +-+===--=--，所以虚部为-1.故选：A3. 函数()232f x x x =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先求出定义域，再确定为偶函数，最后由特殊值法确定即可.【详解】定义域为0x ≠，()()()223322f x x x f x xx -=-+=+=-为偶函数，采用特殊值法代入，当x 趋近于零时，2x 趋近于零，23x 趋于正无穷；此时()232f x x x =+取值趋于正无穷；当x 趋近于正无穷时，2x 趋近于正无穷，23x 趋于零，此时()232f x x x=+取值趋于正无穷；所以只有B 图像符合；故选：B4. 若()(),1,2,,3a b a b a b m +=-==，则实数m =（ ）A. 6B. 6- C. 3D. 3-【答案】B 【解析】【分析】将a b a b +=- 两边平方，结合数量积的运算律求出a b ⋅ ，再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b +=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅=，即60+=m ，解得6m =-.故选：B.5. 已知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. []1,0-D. (]1,0-【答案】D 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，讨论a 是否为0，结合0a ≠时，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，故当0a =时，2210ax ax +-<，即为10-<，符合题意；当0a ≠时，需满足2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩，解得10a -<<，综合可得实数a 的取值范围是(]1,0-，故选：D6. 若椭圆221259x y +=和双曲线22197x y -=的共同焦点为12,,F F P 是两曲线的一个交点，则12PF F △的面积值为 （ ）A.B.C. D. 8【答案】A 【解析】【分析】设点(),P m n ，根据方程组求点P 的坐标和焦距，进而可得面积.【详解】对于椭圆221259x y +=可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则128F F =，设点(),P m n ，则22221259197m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得=n 所以12PF F △的面积值为182⨯=.故选：A.7. 等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则1015SS =（ ）A.37B.73C.12D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据51051510,,S S S S S --构成等比数列求解即可.【详解】因为{}n a 为等比数列，51013S S =，设510,3,0S k S k k ==>，所以51051510,,S S S S S --构成等比数列.所以15,2,3k k S k -构成等比数列，所以157S k =，所以10153377S k S k ==.故选：A8. 哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲乙等6名志愿者到,A B 两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同的安排方案总数为（ ）A. 14 B. 20 C. 28 D. 40【答案】C 【解析】【分析】先安排甲乙两人，再根据分组分配的方法安排其余4名志愿者.【详解】先安排甲乙两人，有22A 2=种方法；再安排其余4名志愿者有两类方法，共有122424C A C 14+=种方法，根据分步计数原理可得共有21428⨯=种方法.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，9. 下列说法正确的是（ ）A. 已知111,,,202420232023α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,∞+上递减，则α只能为1-B. 函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012C.函数y =与函数3y x =-是同一个函数D. 已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()22f x +的定义域为[]1,1-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，直接由幂函数的奇偶性、单调性即可验证；对于B ，由复合函数单调性以及复合对数函数的定义域即可验证；对于C ，定义域都是全体实数，且对应法则也一样，由此即可判断；对于D ，由抽象函数定义域的求法即可验证.【详解】对于A ，当1α=-时，幂函数()1f x x xα==奇函数，且在()0,∞+上递减，满足题意，当12023α=时，幂函数()1f x x x α==在()0,∞+上递增，不满足题意，当12023α=-时，幂函数()f x x α==()0,∞+上递减，满足题意，当2024α=-时，幂函数()20241f x x xα==为偶函数，在()0,∞+上递减，不满足题意，故A 错误；对于B ，12log y t =关于t 在定义域内单调递减，若函数()212log 20242023y x x =-+-关于x 在定义域内单调递减，则由复合函数单调性可知220242023x x t -+-=关于x 单调递增，而二次函数220242023x x t -+-=开口向下，对称轴为2012x =，所以22024202302012x x x ⎧-+->⎨<⎩，解得12012x <<，所以函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012，故B 正确；对于C ，()13333y x x ⎡⎤==-=-⎣⎦，故C 选项正确，对于D ，若函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则[][]1,1,211,3x x ∈-+∈-，所以函数()22f x +的定义域满足[]221,3x +∈-，解得[]1,1x ∈-，故D 正确.故选：BCD.10. 已知正数,a b ，2a b +=，且a b >，则下列说法正确的是（ ）为A.1b a> B. e e a b a b+>+ C.114a b+> D.1<【答案】AB 【解析】【分析】选项A ，将不等式1b a>等价转化为1ab <，由于和式为定值，判断积的取值范围即可；对于选项B ，需要研究函数e x y =的单调性，即可判断不等式；对于选项C ，1111()2a b a b a b ++=+⨯，应用基本不等式即可；对于选项D 平方，2a b =++，判断积的取值范围即可；【详解】对于选项A ，1b a>等价1ab <，2a b =+≥1≤，其中a b >1<，1ab <，不等式成立，选项A 正确；对于选项B ，因为e 1>，指数函数e x y =是增函数，且a b >，所以e e a b >所以e e a b a b +>+，选项B 正确；对于选项C ，1111()112222a b b a a b a b a b ++=+⨯=++≥+=，由于a b >，22b a a b ≠，等号取不到，112a b+>，选项C 不正确；对于选项D ，22()4a b a b +=++≤+=，由于a b >，等号取不到，所以24<2<，选项D 不正确；故选：AB.11. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的有（ ）A. 11//AC 平面1B CDB. 点1C 到平面1B CDC. 当P 在线段11C D 上运动时，三棱锥11A B PC -的体积不变D. 若Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF +的最小值【答案】BCD【解析】【分析】对于A 通过观察可得直线11A C 与平面有公共点1A 所以A 不正确；对于B 利用等体积法计算点到平面距离；对于C 观察到点P 到平面11A B C 的距离为定值，确定三棱锥11A B PC -的体积不变；对于D 利用线段1AC 关于平面11BCC B 的对称直线，将QE QF +转化，利用两点间线段距离最短求解.【详解】对于A ，因为平面1B CD 也就是平面11A B CD 与直线11A C 有公共点1A ，所以A 选项不正确. 对于B ，设点1C 到平面1B CD 的距离为h ，由1111C B CD D CC B V V --=得11111133B CD CC B S h S ⨯=⨯ ，由已知易得11,CD B C D ===则1B CD △是直角三角形，所以1B CD S =112C CD S =，解得h =.故B 选项正确对于C ，设点P 到平面11A B C 的距离为h ，易知点P 所在的直线11C D 与平面11A B C 平行，则点P 到平面11A B C 的距离为定值，因为11111113A B PC P A B C A B C V V S h --==⨯ ，其中11A B C S 也为定值，故C 选项正确.对于D ，如图1QE QF QE QF +=+，当1E Q F 、、共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中222111111cos 23C A C M AMAC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故D 正确.故选：BCD12. 已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2，()f x 的最小正周期为π，将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，则下列结论正确的是（ ）A. π6x =是()f x 图象的一条对称轴 B. ()π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. π2g x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 D. 方程()2lg 0g x x -=有3个实数解【答案】ACD 【解析】【分析】由()f x 最小正周期为π，求出ω，由最值点和最值，求出,a b ，得()f x 的解析式，判断AB 选项；由函数图象的变换，求()g x 的解析式，验证C 选项，数形结合验证D 选项．【详解】()()cos sin f x a x b x x ωωωϕ=+=-，其中tan b aϕ=，()f x 的最小正周期为πT =，则有2π2π2πT ω===，故()()2f x x ϕ=-，函数()f x 在π6x =处取得最大值2，则πππcos sin 26332f a b ⎧⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭=，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩()πcos22cos 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，B 选项错误；函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π6x =处取得最大值2，则π6x =是()f x 图象的一条对称轴，A 选项正确；将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得函数π2cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()2cos g x x =的图象，ππ2cos 2sin 22g x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数为奇函数，C 选项正确；在同一直角坐标系下作出函数()2cos g x x =和函数2lg y x =的图象，如图所示，的两个函数图象有3个交点，可知方程()2lg 0g x x -=有3个实数解，D 选项正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知α为第二象限角，2sin 3α=，则tan2α=_______．【答案】-【解析】【分析】根据同角三角函数的关系式，结合正切的二倍角公式即可求得.【详解】因为2sin 3α=，α为第二象限角，所以cos ===α则sin tan cos ===ααα22tan tan21tan ααα=-2⎛⨯==-故答案为：-14. 已知边长为2的等边三角形ABC 所在平面外一点,S D 是AB 边的中点，满足SD 垂直平面ABC，且SD =S ABC -外接球的体积为_______．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出球心坐标，根据外接球的性质，列出方程组，即可求出外接球的半径，从而求得三棱锥S ABC -外接球的体积.【详解】因为SD 垂直平面ABC ，ABC 为等边三角形，且D 是AB 边的中点，以D 为坐标原点，分别以,,DB DC DS 所在的直线为x 轴，y 轴，z轴，建系如图，设三棱锥S ABC -外接球的球心(),,O x y z ，半径为R ，因为2AB BC AC ===，则DC ===，又因为SD =(S ，()1,0,0B ，()1,0,0A -，()C ，则====OS OA OB OC R ，即RRR R ====，解得0x y z R =⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩所以三棱锥S ABC -外接球的体积3344R 33V ππ===.15. 直线l 与抛物线24x y =交于,A B 两点且3AB =，则AB 的中点到x 轴的最短距离为_______．【答案】916【解析】【分析】设出直线方程，利用弦长得到两个变量间的关系式，结合函数单调性可得答案.【详解】设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ；联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，12124,4x x k x x m +==-.AB ==因为3AB =3=，整理可得()229161m k k =-+.由()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离为()2212292112161y y k m k k +=+=++-+设21t k =+，则1t ≥，1291216y y t t +=+-，由对勾函数的单调性可得129216y y +≥，当且仅当0k =时，取到最小值916.故答案为：91616. 设()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，对任意的()12,0,x x ∈+∞满足()()1221120x f x x f x x x ->-且()315f =，则不等式()5f x x >的解集为_______．【答案】(,3)(0,3)-∞-⋃【解析】【分析】根据题意可设()(),0f x g x x x=≠，结合()f x 的奇偶性判断()g x 的奇偶性，再结合题设判断()g x 的单调情况，进而结合不等式()5f x x >，讨论x 的正负，结合()g x 的单调情况，分类求解，即可得答案.【详解】设()(),0f x g x x x=≠，而()f x 是定义在()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，即()()f x f x -=-，故()()()()f x f x g x g x xx---===--，即()(),0f x g x x x=≠为偶函数；对任意的()12,0,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()()()121212f x f xg x g x x x -=-()()211212x f x x f x x x -=，又对任意的()12,0,x x ∞∈+满足()()1221120x f x x f x x x ->-，当12x x <时，120x x -<，则()()12210x f x x f x -<，即()()21120x f x x f x ->，而120x x >，故()()()()1212120,f x f x g x g x x x ->∴>，则()g x 在()0,∞+上单调递减，又()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递增，()315f =，故()3(3)53f g ==，则(3)5g -=-，而不等式()5f x x >，即为不等式()50f x x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩或()50f x x x ⎧<⎪⎨⎪<⎩，即()5(3)0g x g x >=⎧⎨>⎩或()5(3)g x g x <=-⎧⎨<⎩，故03x <<或3x <-，即不等式()5f x x >的解集为(,3)(0,3)-∞-⋃，故答案为：(,3)(0,3)-∞-⋃【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断出其奇偶性和单.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c)sin b C C =-．（1）求角B ；（2）D 为AC 边上一点，DB BA ⊥，且4AD DC =，求cos C 的值．【答案】（1）2π3； （2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后由三角形内角和定理与和差公式化简整理即可求解；（2）BCD △和Rt ABD 分别根据正弦定理和三角函数定义列式，联立整理得2c a =，再由余弦定理求得b =，然后可解.在【小问1详解】)sinb C C=-，)sin sinA B C C=-，又()()sin sinπsin sin cos cos sinA B C B C B C B C⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，)cos sin sin sinB C B C B C C+=-，整理得)πsin sin2sin sin03C B B C B⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，因为()0,π,sin0C C∈>，所以πsin03B⎛⎫+=⎪⎝⎭，又()ππ4π0,π,,333B B⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3B+=，即2π3B=.【小问2详解】由（1）知B，因为DB BA⊥，所以π6CBD∠=，记BDCθ∠=，则πBDAθ∠=-，在BCD△中，由正弦定理得πsinsin6CD aθ=，得2sinaCDθ=，在Rt ABD中，有()sinπsinc cADθθ==-，因为4AD DC=，所以2sin sinc aθθ=，得2c a=，在ABC中，由余弦定理可得22222π422cos73b a a a a a=+-⨯=，即b=，所以cos C==18. 已知{}n a是公差不为零的等差数列，11a=，且125,,a a a成等比数列．（1）求数列{}n a的通项公式；.（2）若114(1)n n n n nb a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】（1）21n a n =- （2）101220242025T =【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-=-.【小问2详解】由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点为12,A A ，点G 是椭圆C 的上顶点，直线2A G 与圆2283x y +=相切，且椭圆C．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于A B 、两点，若点()0,M m ，且MA MB =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22184x y +=（2）[【解析】【分析】（1）先由离心率得出a =，再由直线2A G 与圆2283x y +=相切得到圆心(0,0)O 到直线2A G 的距离等于半径得出2222883a b a b +=，联立即得椭圆方程；（2）依题设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得出韦达定理，求出AB 的中点H 坐标，利用条件MA MB =判断MH 是直线AB 的中垂线，求出方程，将求m 的取值范围转化成求关于t 的函数的值域问题即得.【小问1详解】由c a =可得：a =①因2(,0),(0,)A a G b ，则2:1A Gx y l a b +=即：0bx ay ab +-=，又因直线2A G 与圆2283x y +==2222883a b a b +=②，联立①②，可解得：2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为：22184x y +=.【小问2详解】如图，因直线l 与x 轴不重合，椭圆焦点为(2,0)F ，故可设:2l x ty =+，由222184x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x整理得：22(2)440t y ty ++-=，易得：0∆>，不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，则有12212242,42t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩设AB 中点为00(,)H x y ，则：1202222y y t y t +==-+,1212022()442()222222x x t y y t t x t t ++==+=⋅-+=++，即：2242(,)22t H t t -++，因MA MB =，则MH 为直线AB 的中垂线.又因直线AB 的斜率为1t，故直线AB 的中垂线MH 的斜率为t -，于是2224:()22MH t l y t x t t +=--++，因()0,M m ，则有：222422222t t tm t t t =-=+++，①当0=t 时，0m =，此时直线:2l x =，点(0,0)M ，符合题意；②当0t ≠时，22m t t=+，若0t >，则2t t +≥可得m ∈，当且仅当t =时取等号；若0t <，则2t t +≤-,可得[m ∈，当且仅当t =.综上，实数m的取值范围为[.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//,4,2,60AB CD AB BC CD BP DP BCD ︒=====∠=，AD PD ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若线段PC 上存在点F ，满足CF FP λ= ，且平面BDF 与平面ADP实数λ的值．【答案】（1）证明见解析（2）2λ=【解析】【分析】（1）要证面面垂直，需证线面垂直，就是要证AD ⊥平面PBD ，再进一步判断面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用向量的方法求解.【小问1详解】如图：因为2CB CD ==，60BCD ∠=︒，所以BCD △为等边三角形，2BD =又//AB CD ，所以60ABD BDC ∠=∠=︒，又4AB =，所以22212··cos 60164242122AD AB BD AB BD =+-︒=+-⨯⨯⨯=.因为222AD BD AB +=，所以ABD △为直角三角形，AD BD ⊥.又AD PD ⊥，BD ，PD 为平面PBD 内的两条相交直线，所以AD ⊥平面PBD ，AD ⊂ABCD ，所以：平面PBD ⊥平面ABCD .【小问2详解】取BD 中点O ，AB 中点E ，因为PB PD =⇒PO BD ⊥，又平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又OE BD ⊥，故以O 为原点，建立如图空间直角坐标系，所以()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,3P ，)E，()1,0A -，()C .设(),,F x y z ，因为CF FPλ=⇒()(),,,3x y z x y z λ+=---⇒()3x xy y z z λλλ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩解得031x y z λλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，所以31F λλ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭.设平面ADP 的法向量为()111,,m x y z =，则m AD m DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0m AD m DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒()()()()111111,,0,,0,1,30x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒111030x y z =⎧⎨+=⎩，取()0,3,1m =- ；设平面BDF 的法向量为()222,,n x y z = ，则n BD n BF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒()()()222222,,0,2,003,,1,01x y z x y z λλ⎧⋅-=⎪⎛⎫⎨⋅-= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⇒222030y z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取),0,1n =.那么⋅=m n ()0,3,1-⋅),0,11=-，m =，n = .由m n m n ⋅=⋅⇒231λ+=⇒24λ=，又0λ>，所以2λ=.【点睛】关键点睛：根据CF FP λ=，和点C 、F 的坐标，求F 点坐标是本题的一个关键.21. 圆G经过点(()2,,4,0-，圆心在直线y x =上．（1）求圆G 的标准方程；（2）若圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，A 为直线:16l x =上的动点，直线,AM AN 与曲线圆G 的另一个交点分别为,E F ，求证直线EF 经过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）2216x y +=（2）证明见详解，直线EF 过定点()1,0【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；（2）设出直线AM 的方程和直线AN 的方程，分别与圆的方程联立写出E F 、的坐标，进而写出直线EF的方程，化简即可证明直线EF 经过定点，并求出定点的坐标.【小问1详解】因为圆心在直线y x =上，设圆心为(),,a a 又因为圆G经过点(()2,,4,0-则()(()222224a a a a -+-=++，解得0a =，所以圆心()0,0,4=，所以圆G 的标准方程为2216x y +=【小问2详解】由圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，不妨设()()4,0,4,0M N -，又A 为直线:16l x =上的动点，设()()16,0A t t ≠，则,,2012==AM AN t t k k 则AM 方程为()420t y x =+，AN 方程为()412ty x =-，设()()1122,,,E x y F x y ，联立方程()2242016t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22224008164000t x t x t +++-=，所以()212164004400t x t --=+，即()211224400160,400400t t xy t t --==++，即()2224400160,400400t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.联立方程()2241216t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22221448161440t x t x t +-+-=，所以()222161444144t x t -=+，即()22222414496,144144t t x y t t --==++，即()222414496,144144t t F t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.所以()()2222221609640014444004144400144EFt tt t k t t t t --++=----++232240=-t t，所以直线EF 的方程为()222241449632,144240144t t t y x t t t ⎛⎫-- ⎪-=- ⎪+-+⎝⎭化简得()2321,240ty x t =--所以直线EF 过定点()1,0.22. 已知函数()()()22e e e ,,e 12x x x xf xg xh x x -+===+．（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当0x >时，试比较()()(),,f x g x h x 的大小关系，并说明理由；（3）设n *∈N ，求证：1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--．【答案】（1）e e 44y x =+ （2）()()()f x g x h x <<；理由见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1（2）构造函数，利用导数确定函数的单调性，求出最值，即可判定结论；（3）构造函数，结合数列知识求和即可证明结论.【小问1详解】由()e1xf x x =+得，()()2e 1xx f x x '=+，所以()f x 在1x =处的切线的斜率()e 14k f ='=，切点e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以所求切线方程：()e e124y x -=-，即e e 44y x =+；【小问2详解】结论：()()()f x g x h x <<；理由如下：要证()()f x g x <，即证e e e 12x x x x -+<+，只需证()()2e 1e e x x xx -<++，为令()()()2e 1e e x x x x x ϕ-=-++，则()()()()()2e e e 1e -e ee x x x x x x x x x x ϕ---=-+-+=-'，当0x >时，1x e -<，e 1x >，故()0x ϕ'<，所以()()()2e 1e e xx x x x ϕ-=-++在0x >时单调递减，所以()()00x ϕϕ<=，即()()2e 1e e 0x x x x --++<，所以e e e 12x x xx -+<+，故()()f x g x <；要证()()g x h x <，即证22e ee 2x x x -+<，只需证22e e ln ln e 2x x x -+<，令()222e e e e 1ln ln e ln 222x x x x x v x x --++=-=-，则()e e e e x x x x v x x ---=-+'，令()e e e ex xx x w x x ---=-+，则()()241e e x x w x -=-+'，当0x >时，e e 2x x -+>，从而()2e 4x ->，故()()2410e e x x w x -=-'<+，所以()e e e ex xx x v x x ---=-+'在0x >时单调递减，所以()()00v x v ''<=，从而()2e e 1ln 22x x v x x -+=-在0x >时单调递减，所以()()00v x v <=，即22e e ln ln e 20x x x -+-<，即22e e ln ln e 2x x x -+<所以22e ee 2x x x -+<，故()()g x h x <，又因为()()f xg x <，所以()()()f x g xh x <<.【小问3详解】令()()()ln 101x u x x x x =-+>+，则()()()22110111x u x x x x -=-=<+++'所以()()ln 11x u x x x =-++在当0x >时单调递减，所以()()00u x u <=，所以()ln 11x x x <++，即()1ln 111x x <++，令1x n =，则有()11ln 1ln 1ln 1n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪+⎝⎭，即()1ln 1ln 1n n n <+-+，所以()()1ln 2ln 12n n n <+-++，()()1ln 3ln 23n n n <+-++，⋯()1ln 2ln 212n n n<--，所以111ln 2ln ln 2112n n n n n++<-=++ ，所以111111234212n n-+-+⋅⋅⋅+--11111111223421242n n ⎛⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪-⎝⎝⎭1111111112342122n n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以11111111112342121112n n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=+++-+++ ，因为1111ln 21112n n n n+++<+++ ，所以111111ln 2234212n n -+-+⋅⋅⋅+-<-；下面先证当0x >时，ln 1≤-x x ，令()()1ln 0p x x x x =-->，()111x p x x x'-=-=，令()0p x '>，则1x >，所以()1ln p x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10p x p ≥=，从而()1ln 0p x x x =--≥，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时，ln 1x x =-，所以当0x >时，()ln 1x x +<，令1x n =，则有11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()1ln 1ln n n n+-<，所以()()1ln 2ln 11n n n +-+<+，()()1ln 3ln 22n n n +-+<+，⋯()()1ln 2ln 2121n n n --<-，所以()1111ln 2ln 1221n n n n n n -<++++++- ，即111ln 2121n n n ++++>+- ，因为1111123421n -+-+⋅⋅⋅+-111111112234212422n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭111111112342121n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以111111111234211221n n n n n -+-+⋅⋅⋅+=++++-++- ，因为1111ln 21221n n n n ++++>++- ，所以11111ln 223421n -+-+⋅⋅⋅+>-，综上所述，1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）先证明线面垂直，再利用面面垂直的判定定理，即可得答案；
（2）作出线面角的平面角，再求正弦值，即可得答案；
【详解】
（1） 四边形 为菱形， ，
又 ， ， ，
， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ；
（2）设 交 于点 ，连结 ，
8．函数 的最小值是（）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解析】将 变形为 ，然后根据基本不等式求解出 的最小值即可.
【详解】
因为 ，
所以 ，
取等号时 ，即 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用配凑法以及基本不等式求解最小值，利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件，属于基础题目.
9．已知圆锥的轴截面为正三角形，且边长为2，则圆锥的表面积为（）
4．已知 是公差为2的等差数列，且 ，则 （）
A．12B．14C．16D．18
【答案】C
【解析】根据题意，结合等差数列项之间的关系，建立等量关系式，求得 的值，进而求得结果.
【详解】
是公差为 的等差数列， ，
，即 ，
，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列通项公式基本量的计算，属于基础题目.
①若 ， ，则 ；
②若 ， ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；
④若直线m用与平面 内的无数条直线垂直，则 .
A．①②B．②③C．①③D．②④
【答案】B
【解析】对各个命题逐个分析，结合面面平行的性质，线面平行的判定，以及线面垂直的判定和性质，得到结果.
【详解】
黑龙江省哈三中高一上学期期末考试试题(数学)
黑龙江省哈三中高一上学期期末考试试题（数学）考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分. 考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I 卷（选择题,共60分）、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的） 6,扇形圆心角为2 rad ，则扇形的面积为3 C . 6cos (―213 27(2k ,2k) (k Z ) B . (2k ,2k )(k Z )4 24 4 (2k - ,2k 3 )(k Z ) D . (2k — ,2k -)(k Z )2444已知函数m 2 5m4 Z )）上单调递减，则 y x(m ）为偶函数且在区间（0,2或3B .3C.2D . 1已知函数y sin 2x 3sin x 1 (x[6,］）,则函数的值域为[1,1]B . [1,1]-2）的定义域为函数A . 7. A . & C . A .1. A . 已知一个扇形弧长为 22. 已知函数ysin(x 3），则函数的最小正周期为3.已知ABC 中，a45。
,4.化简sin(）cos （2 ）所得结果为A . sinsinC . coscos5.已知COs3si n .3. 2，则sinsincos 2 .cos sin3cos7 27log 3(2sin x6.1C . [ 1 2, 4]441 sin cos 9.2. 4sin sinA . -B. 2 C .3D . 1210. 设 a tan1 , b tan2 , c tan3, d tan4 ,则a, b,c,d 大小关系为 A . d a c b B . a d bc C .ad c b D . dab11.12已知sin(-) 一，且— (0，-)，则 sin三、解答题(本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17. (本大题10分) 已知：函数f(x) 3sin(2x) (( ,0))的一条对称轴方程为 x 7 ,122求函数y f (x)的解析式；41,5]12. 17 2 26B - 7262 *C .17—2 267 2 26已知2,2]，tan,tan是关于方程2011x 2012 0的两根,3B.—4 C . 一或4第口卷(非选择题,共90 分)(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上 )13 .函数y的值域为sin x 214. ABC中，若 a 5, b 3, 15 .已知(, ), cos — a ,2 216. 若函数 f(x)2x (2m 1)x1 sinm 在区间［1,1］内有零点，贝U m 的取值范围是二、填空题18. (本大题12分)求实数a的取值范围使不等式sinx cosx 4sin x cosx 1 a 0恒成立•19. (本大题12分)、，1 已知函数g(x) sin( x —), f (x) 2cosx g(x)—6 2(1)求函数f (x)的最小正周期及其对称中心坐标；(2) 当x [0,]时，求函数f (x)的值域；2(3) 由y si nx可以按照如下变换得到函数y f(x),(1) (2)y sinx y sin(x ) y sin(2x )，写出(1) (2)的过程.6 620. (本大题12分)1 在 ABC 中，sin(C A) 1 , sin B 3(1)求si nA 的值；(2)设AC 2 3，求 ABC 的面积.(3)是否存在实数 m 使得不等式f(, m 2 2m 3) m 的取值范围.22. (本大题12分)21. (本大题12分) 已知函数f (x) Asin( x 大值和一个最小值，且当 x2(1) 求函数解析式； (2) 求函数的单调递增区)(A 0, 0,0时，函数取到最大值2，—)在(0,5 )内只取到一个最 当x 4时，函数取到最小值f(, m 2 4)成立，若存在，求出已知函数f i (x) lg|xP 1 |, f 2(x) lg(| X P 21 2) ( x R , 口，p ?为常数) 函数f (x)定义为对每个给定的实数 x ( x p ), f (x)(1)当P i 2时，求证：y f i (x)图象关于x 2对称;(2)求f(x) f i (x)对所有实数x ( x p )均成立的条件(用 P i 、P 2表示)；(3)设a, b 是两个实数，满足a b ，且p i ， p 2 (a,b)，若f (a) f (b)求证：函数f(x)在区间［a,b ］上单调增区间的长度之和为(区间［m, n ］、(m, n)或(m, n ］的长度均定义为n m )高一数学答案f l (x) f i (x) f 2(x) f 2(X )f 2(X ) f l (x)一、 选择题1 12 DCBCB BAABC BB二、 填空题22(1)当 P 1 2时f 1 (x) g|x 2,H2 x) lg 2 x 2 lg x, f 1 (2 x) Ig 2 x 2| lg x仏(2x) f 2(2 x),所以对称轴为x 2 即 ig|x pj ig |x P 2 ，由对数的单调性可知xP1P 2 2均成立 xP1Ix P2I2,又x P 1x P 2的最大值为|p 1P 213 [ 2,3]14. 715.. 1 a 216. m 2或 m 1 -32三、解答题17. 〔 1) /(x) — 3sin.(2x(2)图略20. ( 1) sin A(2) S ABC21 .(1)f (X)12sin(— x 3(2) 单调增区间为［6k (3)FT = 7Tr 6)2 ,6k中心±标(挈-害卫)(A(3)① 当 |p i P 2I 2时，由(2)可知 f(x) f i (x) lg|xP i由(1)可知函数f(x) f i (x)关于xP i 对称，由f(a) f(b)，可知P iig(x P i )(x P i ) ig(P i x)(x P i )②当丘-屮』＞ 2时.不妨设“ ＜Zi ＜Pi 即羽一們"当工＜昼时！二迈血一兀)cl 或刃一兀)c 成tr).=当x> p t 时，_AM=lg(x-d ft) = l£(x -j 1 +ft-ft) A /J IQ ， 所以此时/W = /2(x)当円CX S 空时，图義V = fl®与尸三贞交点橫坐标垢盘三卫1：乃十」・由(1 '＞可知!故由y f i (x)与y f 2(x)单调性可知，增区间长度之和为(X 。