因式分解练习01教师版含答案及解析
专题01 因式分解 易错题之选择题(30题)-2020-2021学年八年级数学下册(北师大版)解析版
专题01 因式分解 易错题之选择题（30题）Part1 与 因式分解 有关的易错题1．（2020·雅安市八年级月考）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）A ．12a 2b = 3a ⋅ 4abB ．2x 2+2x ＝2x 2（1+1x ）C ．（x+2）（x ﹣2）＝x 2﹣4D ．4x 2 + 4x +1 =（2x +1）2【答案】D【提示】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．【详解】解：A 、是一个单项式转化为乘积的形式，不是因式分解，故A 不符合；B 、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B 不符合；C 、是整式的乘法，故C 不符合；D 、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D 符合；故选：D ．【名师点拨】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式．2．（2020·四川省自贡市八年级月考）下列四个等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．()am bm c m a b c ++=++B ．()211(1)x x x -=+-C ．221(1)x x x x +=+ D ．()2221441x x x +=++【答案】B【提示】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．【详解】解：A 、()am bm c m a b c ++=++，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；B 、()211(1)x x x -=+-，把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；C 、()21x x x x +=+，故错误，此选项不符合题意；D 、()2221441x x x +=++，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选：B ．【名师点拨】本题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．3．（2020·河南周口市·八年级期末）把多项式2x ax b ++分解因式，得(1)(3)x x +-，则+a b 的值是（ ） A ．1B ．-1C ．5D ．-5【答案】D【提示】利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a 与b 的值，即可求出a +b 的值．【详解】根据题意得：x 2+ax+b=(x+1)(x−3)=x 2−2x−3，可得a=−2，b=−3，则a+b=−5，故选D.【名师点拨】本题考查因式分解，解决本题的关键是要理解两个多项式相等的条件，两个多项式分别经过合并同类项后,如果他们的对应项系数都相等,那么称这两个多项式相等.4．（2020·安徽淮南市·八年级期末）若2(32)()2x x p mx nx ++=+-，则下列结论正确的是（ ） A ．6m =B ．1n =C ．2p =-D ．3mnp =【答案】B【提示】 直接利用多项式乘法运算法则得出p 的值，进而得出n 的值．【详解】解：∵2(32)()2x x p mx nx ++=+-，∵（3x+2）（x+p ）=3x 2+（3p+2）x+2p=mx 2-nx -2，∵m=3，p=-1，3p+2=-n ，∵n=1，故选B.【名师点拨】此题考查了因式分解的意义；关键是根据因式分解的意义求出p 的值，是一道基础题．5．（2020·湖北黄石市·八年级期末）下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（ ）A ．（a ﹣b ）3﹣b （b ﹣a ）2＝（b ﹣a ）2（a ﹣2b ）B ．（x+2）（x+3）＝x 2+5x+6C ．4a 2﹣9b 2＝（4a ﹣9b ）（4a+9b ）D ．m 2﹣n 2+2＝（m+n ）（m ﹣n ）+2【答案】A【提示】 直接利用因式分解的定义进而提示得出答案．【详解】A 、（a ﹣b ）3﹣b （b ﹣a ）2＝﹣（b ﹣a ）3﹣b （b ﹣a ）2＝（b ﹣a ）2（a ﹣2b ），是因式分解，故此选项正确；B 、（x+2）（x+3）＝x 2+5x+6，是整式的乘法运算，故此选项错误；C 、4a 2﹣9b 2＝（2a ﹣3b ）（2a+3b ），故此选项错误；D 、m 2﹣n 2+2＝（m+n ）（m ﹣n ）+2，不符合因式分解的定义，故此选项错误．故选A ．【名师点拨】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的定义是解题关键．6．（2020·四川省射洪县八年级月考）下列因式分解中，正确的个数为（ ）①x 3+2xy+x=x （x 2+2y ）；②x 2+4x+4=（x+2）2；③﹣x 2+y 2=（x+y ）（x ﹣y ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 【答案】C【详解】试题提示：接根据提取公因式法以及公式法分别分解因式作出判断：∵x 3+2xy+x=x （x 2+2y+1），故原题错误；②x 2+4x+4=（x+2）2，故原题正确；③﹣x 2+y 2=（x+y ）（y ﹣x ），故原题错误．故正确的有1个．故选C ．7．（2020·河北唐山市·八年级期末）下列因式分解中：①()3222x xy x x x y ++=+；②22()()x y x y x y -+=+-；③2244(2)x x x ++=+；④221(1)x x x ++=+；正确的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】C【提示】根据因式分解的方法逐个判断即可．【详解】解：①()32221x xy x x x y ++=++，故①错误；②22()()x y x y x y -+=-+-，故②错误；③2244(2)x x x ++=+，正确，④221(1)x x x ++≠+，故④错误，所以正确的只有③，故答案为：C ．【名师点拨】本题考查了判断因式分解是否正确，掌握因式分解的方法是解题的关键．8．（2020·河北唐山市·八年级月考）一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（ ）A ．2222()x xy y x y -+=-B ．22()x y xy xy x y -=-C ．22()()x y x y x y -=+-D ．32(1)x x x x -=- 【答案】D【提示】利用完全平方公式和平方差公式可对A 、C 两项进行判断；利用提公因式法可对B 进行判断，利用提公因式法和平方差公式可对D 项进行判断.【详解】因为x 2-2xy+y 2=(x -y)2，所以选项A 分解正确；因为x 2y -xy 2=xy(x -y)，所以选项B 分解正确；因为x 2-y 2=(x -y)(x+y)，所以选项C 分解正确；因为x 3-x=x(x 2-1)=x(x+1)(x -1)，所以选项D 分解不彻底.故选:D.【名师点拨】本题是一道关于因式分解的题目，关键是掌握因式分解的常用方法；9．（2020·山东泰安市·东平县八年级月考）如果多项式x 2﹣mx ＋6分解因式的结果是（x ﹣3）（x ＋n ），那么m ，n 的值分别是（ ）A ．m ＝﹣2，n ＝5B ．m ＝2，n ＝5C ．m ＝5，n ＝﹣2D ．m ＝﹣5，n ＝2【答案】C【提示】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m 与n 的值即可．【详解】x 2－mx ＋6＝（x －3）（x ＋n ）＝x 2＋（n －3）x －3n ，可得－m ＝n －3，－3n ＝6，解得：m ＝5，n ＝－2．故选：C ．【名师点拨】此题考查了因式分解与多项式乘法的关系，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解本题的关键．10．（2020·重庆市八年级月考）已知25x x m -+有一个因式为2x -，则另一个因式为（ ）A ．3x +B ． 6 x ﹣C ． 3 x ﹣D ．6x +【答案】C【提示】所求的式子25x x m -+的二次项系数是1，因式（x−2）的一次项系数是1，则另一个因式的一次项系数一定是1，然后根据25x x m -+中一次项系数为－5，列方程求出另一个因式．【详解】解：设另一个因式为（x ＋a ），则x 2−5x ＋m ＝（x−2）（x ＋a ），即x 2−5x ＋m ＝x 2＋（a−2）x−2a ，∵a−2＝−5，解得：a ＝−3，∵另一个因式为（x−3）．故选：C ．【名师点拨】本题主要考查因式分解的实际运用，根据二次项系数假设出另一个因式是解本题的关键． Part2 与 提公因式法 有关的易错题11．（2020·四川泸州市·八年级月考）多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ ）A ．1x -B ．1x +C ．21x -D ．()21x - 【答案】A【详解】试题提示：把多项式分别进行因式分解，多项式2mx m -=m （x+1）（x -1），多项式221x x -+=()21x -，因此可以求得它们的公因式为（x -1）．故选A考点：因式分解12．（2020·山东临沂市·八年级期末）将3-a b ab 进行因式分解，正确的是( )A ．()2a a b b -B ．()21ab a -C ．()()11ab a a +-D ．()21ab a - 【答案】C【提示】多项式3-a b ab 有公因式ab ，首先用提公因式法提公因式ab ，提公因式后，得到多项式()21x -，再利用平方差公式进行分解．【详解】 ()()()32111a b ab ab a ab a a -=-=+-，故选C ．【名师点拨】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；13．（2020·广西防城港市·八年级月考）下列分解因式正确的是( )A ．-ma -m=-m(a -1)B ．a 2-1=(a -1)2C ．a 2-6a+9=(a -3)2D ．a 2+3a+9=(a+3)2【答案】C【提示】利用提取公因式或者公式法即可求出答案．【详解】A.原式=−m (a +1)，故A 错误；B.原式=(a +1)(a −1)，故B 错误；C.原式=(a −3)2，故C 正确；D.该多项式不能因式分解，故D 错误，故选:C【名师点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底.14．（2020·毕节市八年级月考）多项式8x m y n -1－12x 3m y n 的公因式是（ ）A ．x m y nB ．x m y n -1C ．4x m y nD ．4x m y n -1【答案】D【详解】由题意可得，这个多项式的公因式为4x m y n -1，注意数字的最大公约数也是公因式，容易出错，故选D15．（2020·辽宁大连市·八年级期末）如图，边长为a ，b 的矩形的周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为（ ）A ．60B ．16C ．30D ．11【答案】C【提示】 先把所给式子提公因式进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，再代入求值即可．【详解】∵矩形的周长为10，∵a+b=5，∵矩形的面积为6，∵ab=6，∵a 2b+ab 2=ab （a+b ）=30．故选：C ．【名师点拨】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．16．（2020·渝中区八年级期末）若mn 2=-，3m n +=，则代数式22m n mn +的值是（ ）．A ．-6B ．-5C ．1D ．6【答案】A【提示】由提公因式进行化简，然后把mn 2=-，3m n +=代入计算，即可得到答案．解：∵mn 2=-，3m n +=，∵22()236m n mn mn m n +=+=-⨯=-；故选：A ．【名师点拨】本题考查了提公因式法，以及求代数式的值，解题的关键是正确的把代数式进行化简．17．（2020·河北邢台市·八年级期末）将多项式222a a --因式分解提取公因式后，另一个因式是（ ） A ．a B ．1a + C ．1a - D ．1a -+【答案】B【提示】直径提取公因式即可.【详解】()22221a a a a --=-+故选：B【名师点拨】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．18．（2020·河南南阳市期末）如果多项式221155abc ab a bc -+-的一个因式是15ab -，那么另一个因式是（） A ．5c b ac -+ B ．5c b ab +- C ．15c b ab -+ D ．15c b ab +-【答案】A【提示】 多项式先提取公因式15ab -，提取公因式后剩下的因式即为所求．【详解】 解：22111(5)555abc ab a bc ab c b ac -+-=--+，故另一个因式为(5)c b ac -+，故选：A ．【名师点拨】此题考查了因式分解-提取因式法，找出多项式的公因式是解本题的关键．也是解本题的难点，要注意符号．19．（2020·大冶市八年级月考）（﹣2）2019+（﹣2）2020等于（ ）A ．﹣22019B ．﹣22020C ．22019D ．﹣2【提示】直接提取公因式（−2）2019，进而计算得出答案．【详解】（−2）2019＋（−2）2020＝（−2）2019×（1−2）＝22019．故选：C ．【名师点拨】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．20．（2020·平山县八年级期末）若2220x y -=，且5x y +=-，则x y -的值是 （ ）A ．﹣4B ．4C ．5D ．以上都不对【答案】A【提示】 对原式进行因式分解，代入值即可．【详解】x 2-y 2=（x+y ）（x -y ）=-5（x -y ）=20，解得，x -y=-4．故选A ．【名师点拨】考查了应用平方差公式因式分解，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．Part3 与 公式法 有关的易错题21．（2020·德州市八年级月考）已知a ，b ，c 是三角形的三边，那么代数式a 2-2ab +b 2-c 2的值（ ） A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．不能确定【答案】C【详解】a 2-2ab+b 2-c 2=（a -b ）2-c 2=（a+c -b ）[a -（b+c ）]．∵a ，b ，c 是三角形的三边．∵a+c -b ＞0，a -（b+c ）＜0．∵a 2-2ab+b 2-c 2＜0．故选C ．22．（2020·北京海淀区八年级月考）若3a b +=，则226a b b -+的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【详解】∵a+b=3， ∵a 2-b 2+6b=(a+b)(a -b)+6b=3(a -b)+6b=3a -3b+6b=3a+3b=3(a+b)=9，故选C.23．（2020·陕西西安市八年级月考）多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（ ） A ．x +2y +1B ．x +2y ﹣1C ．x ﹣2y +1D ．x ﹣2y ﹣1 【答案】C【提示】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2＝（x 2﹣4xy +4y 2）+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x ﹣2y +1）．故选：C ．【名师点拨】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x -2y ），将其当成整体提出，进而得到答案.24．（2020·山东济宁市·八年级期末）下列各式中，计算结果是2718x x +-的是（ ）A ．(1)(18)x x -+B ．(2)(9)x x ++C ．(3)(6)x x -+D ．(2)(9)x x -+ 【答案】D【解析】试题提示:利用十字相乘法进行计算即可.原式=（x －2）（x ＋9）故选D.考点：十字相乘法因式分解.25．（2020·辽宁沈阳市·八年级期末）下列各选项中因式分解正确的是（ ）A ．()2211x x -=-B ．()32222a a a a a -+=-C ．()22422y y y y -+=-+D ．()2221m n mn n n m -+=-【答案】D【提示】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．【详解】解：A.()()2111x x x -=+-，故此选项错误；B.()23221a a a a a -+=-，故此选项错误；C.()22422y y y y -+=--，故此选项错误；D.()2221m n mn n n m -+=-，正确．故选D ．【名师点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．26．（2020·枣庄市八年级月考）把代数式2x 2﹣18分解因式，结果正确的是（ ）A ．2（x 2﹣9）B ．2（x ﹣3）2C ．2（x +3）（x ﹣3）D ．2（x +9）（x ﹣9）【答案】C【解析】试题提示：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：2x 2﹣18=2（x 2﹣9）=2（x+3）（x ﹣3）．故选C ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．27．（2020·广东揭阳市·八年级期末）若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ）A ．-2B ．2C ．-50D ．50【答案】A【解析】试题提示：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可．当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2．考点：因式分解的应用．28．（2020·张掖市八年级月考）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A ．x 2+x+1B ．x 2+2x ﹣1C ．x 2﹣1D ．x 2﹣6x+9【解析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项解析判断后利用排除法求解：A 、x 2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；B 、x 2+2x ﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；C 、x 2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；D 、x 2﹣6x+9=（x ﹣3）2，故选项正确．故选D ．29．（2020·雅安市八年级月考）若k 为任意整数，且993﹣99能被k 整除，则k 不可能是（ ）A ．50B ．100C ．98D ．97【答案】D【提示】对题目中的式子分解因式即可解答本题．【详解】∵993-99=99×（992-1）=99×（99+1）×（99-1）=99×100×98，∵k 可能是99、100、98或50，故选D ．【名师点拨】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．30．（2020·南通市八年级月考）如图，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，x ，y 表示四个相同长方形的两边长（x y >）.则①x y n -=；②224m n xy -=；③22x y mn -=；④22222m n x y -+=，中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】A【提示】 根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项．①x−y 等于小正方形的边长，即x−y=n ，正确；②∵xy 为小长方形的面积， ∵224m n xy -=， 故本项正确；③()()22x y x y x y mn -=+-=，故本项正确；④()222222222242m n m nx y x y xy m -++=+-=-⨯=故本项错误.则正确的有3个①②③.故选A.【名师点拨】此题考查因式分解的应用，整式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.。
因式分解经典测试题含解析
因式分解经典测试题含解析一、选择题1．多项式22ab bc a c -+-分解因式的结果是（ ）A ．()()a c a b c -++B ．()()a c a b c -+-C ．()()a c a b c ++-D ．()()a c a b c +-+【答案】A【解析】【分析】根据提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答.【详解】解：22))))))=((((((+)+(ab bc a c b a c a c a c a c b a c a c a b c -+--++-=-+=-+； 故选：A.【点睛】本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.2．下列多项式不能使用平方差公式的分解因式是( )A ．22m n --B ．2216x y -+C ．22b a -D ．22449a n -【答案】A【解析】【分析】原式各项利用平方差公式的结构特征即可做出判断．【详解】下列多项式不能运用平方差公式分解因式的是22m n --．故选A ．【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．3．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．2x （x +3）＝2x 2+6xB ．24xy 2＝3x •8y 2C ．x 2+2xy +y 2+1＝（x +y ）2+1D ．x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】A 、不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、不是因式分解，故本选项不符合题意；C 、不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、是因式分解，故本选项符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．4．设a ，b ，c 是ABC V 的三条边，且332222a b a b ab ac bc -=-+-，则这个三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为整理成多项式的乘积等于0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状.【详解】解：∵a 3-b 3=a 2b-ab 2+ac 2-bc 2，∴a 3-b 3-a 2b+ab 2-ac 2+bc 2=0，（a 3-a 2b ）+（ab 2-b 3）-（ac 2-bc 2）=0，a 2（a-b ）+b 2（a-b ）-c 2（a-b ）=0，（a-b ）（a 2+b 2-c 2）=0，所以a-b=0或a 2+b 2-c 2=0．所以a=b 或a 2+b 2=c 2．故选：D.【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键.5．已知12,23x y xy -==，则43342x y x y -的值为( )A ．23B ．2C ．83D ．163【答案】C【解析】【分析】利用因式分解以及积的乘方的逆用将43342x y x y -变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进行计算即可．【详解】 ∵12,23x y xy -==，∴43342x y x y -=x 3y 3(2x-y)=(xy)3(2x-y)=23×13=83， 故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．6．下列各式中不能用平方差公式进行计算的是( )A ．(m －n )(m ＋n )B ．(－x －y )(－x －y )C ．(x 4－y 4)(x 4＋y 4)D ．(a 3－b 3)(b 3＋a 3)【答案】B【解析】A.(m －n)(m ＋n)，能用平方差公式计算；B.(－x －y)(－x －y)，不能用平方差公式计算；C.(x 4－y 4)(x 4＋y 4)，能用平方差公式计算；D. (a 3－b 3)(b 3＋a 3)，能用平方差公式计算.故选B.7．下列各式分解因式正确的是（ ）A ．22()()()(1)a b a b a b a b +-+=++-B ．236(36)x xy x x x y --=-C ．223311(4)44a b ab ab a b -=- D ．256(1)(6)x x x x --=+- 【答案】D【解析】【分析】 利用提公因式法、十字相乘法法分别进行分解即可．【详解】A. 22()()()(1)+-+≠++-a b a b a b a b ，故此选项因式分解错误，不符合题意；B. 23-6-(3-6-1)=x xy x x x y ，故此选项因式分解错误，不符合题意；C. 223211(4)44-=-a b ab ab a b ，故此选项因式分解错误，不符合题意； D. 256(1)(6)x x x x --=+-，故此选项因式分解正确，符合题意．故选：D【点睛】本题考查了提公因式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用其他方法进行分解．8．若()()21553x kx x x --=-+，则k 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．8D ．-8【答案】B【解析】【分析】 利用十字相乘法化简()()253215x x x x -+=--，即可求出k 的值．【详解】∵()()253215x x x x -+=--∴2k -=-解得2k =故答案为：B ．【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握十字相乘法是解题的关键．9．下列运算结果正确的是( )A ．321x x -=B ．32x x x ÷=C ．326x x x ⋅=D ．222()x y x y +=+【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、公式法分解因式逐项进行计算即可得.【详解】A 、3x ﹣2x ＝x ，故A 选项错误；B 、x 3÷x 2＝x ，正确；C 、x 3•x 2＝x 5，故C 选项错误；D 、x 2+2xy+y 2＝(x+y)2，故D 选项错误，故选B.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除、公式法分解因式，熟练掌握相关的运算法则以及完全平方公式的结构特征是解题的关键.10．下列分解因式，正确的是（ ）A ．()()2x 1x 1x 1+-=+B ．()()29y 3y y 3-+=+-C ．()2x 2x l x x 21++=++D ．()()22x 4y x 4y x 4y -=+- 【答案】B【解析】【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答．【详解】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；B. 是分解因式；C. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；D. x 2−4y 2=(x+2y)(x−2y)，解答错误.故选B.【点睛】本题考查的知识点是因式分解定义和十字相乘法分解因式，解题关键是注意：（1）因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式．（2）因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止．11．下列因式分解结果正确的是( )．A ．10a 3+5a 2=5a(2a 2+a)B ．4x 2-9=(4x+3)(4x-3)C ．a 2-2a-1=(a-1)2D ．x 2-5x-6=(x-6)(x+1)【答案】D【解析】【分析】A 可以利用提公因式法分解因式(必须分解到不能再分解为止)，可对A 作出判断；而B 符合平方差公式的结构特点，因此可对B 作出判断；C 不符合完全平方公式的结构特点，因此不能分解，而D 可以利用十字相乘法分解因式，综上所述，即可得出答案.【详解】A 、原式=5a 2(2a+1)，故A 不符合题意；B 、原式=(2x+3)(2x-3)，故B 不符合题意；C 、a 2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C 不符合题意；D 、原式=(x-6)(x+1)，故D 符合题意；故答案为D【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法和十字相乘法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．12．已知a b >，a c >，若2M a ac =-，N ab bc =-，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M N <B ．M N =C ．M N >D ．不能确定【答案】C【解析】【分析】 计算M-N 的值，与0比较即可得答案．【详解】∵2M a ac =-，N ab bc =-，∴M-N=a(a-c)-b(a-c)=(a-b)(a-c)，∵a b >，a c >，∴a-b ＞0，a-c ＞0，∴(a-b)(a-c)＞0，∴M ＞N ，故选：C ．【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握运算法则并灵活运用“作差法”比较两式大小是解题关键．13．下面的多项式中，能因式分解的是（ ）A ．2m n +B ．221m m -+C ．2m n -D ．21m m -+ 【答案】B【解析】【分析】完全平方公式的考察，()2222a b a ab b -=-+【详解】A 、C 、D 都无法进行因式分解B 中，()2222212111m m m m m -+=-⋅⋅+=-，可进行因式分解故选：B【点睛】本题考查了公式法因式分解，常见的乘法公式有：平方差公式：()()22a b a b a b -=+- 完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+14．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式1a +的是（ ）A ．21a -B ．221a a ++C ．2a a +D ．22a a +-【答案】D【解析】【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．【详解】解：21(1)(1)a a a -=+-Q ，()2221=1a a a +++2(1)a a a a +=+，22(2)(1)a a a a +-=+-， ∴结果中不含有因式1a +的是选项D ；故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．15．下列因式分解正确的是( )A ．()2211x x +=+B ．()22211x x x +-=- C ．()()22x 22x 1x 1=-+- D ．()2212x x x x -+=-+ 【答案】C【解析】【分析】依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论．【详解】解：D 选项中，多项式x 2-x+2在实数范围内不能因式分解；选项B ，A 中的等式不成立；选项C 中，2x 2-2=2（x 2-1）=2（x+1）（x-1），正确．故选C ．【点睛】本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法．16．把多项式3(x －y)－2(y －x)2分解因式结果正确的是（ ）A ．()()322x y x y ---B ．()()322x y x y --+C ．()()322x y x y -+-D ．()()322y x x y -+-【答案】B【解析】【分析】提取公因式x y -，即可进行因式分解．【详解】 ()()232x y y x --- ()()322x y x y =--+故答案为：B ．【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握因式分解的方法是解题的关键．17．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．()()2224x x x +-=-B ．2222()a ab b a b -+=-C ．()11am bm m a b +-=+-D ．()21(1)1111x x x x ⎛⎫--=--- ⎪-⎝⎭【答案】B【解析】【分析】 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．【详解】A ．属于整式的乘法运算，不合题意；B ．符合因式分解的定义，符合题意；C ．右边不是乘积的形式，不合题意；D ．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，即将多项式写成几个因式的乘积的形式，掌握定义是解题的关键．18．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．2(3)(2)6x x x x +-=+-B ．24(2)(2)x x x -=+-C ．2323824a b a b =⋅D ．1()1ax ay a x y --=-- 【答案】B【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A ．是整式乘法，故A 错误；B ．是因式分解，故B 正确；C ．左边不是多项式，不是因式分解，故C 错误；D ．右边不是整式积的形式，故D 错误．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．19．下列因式分解正确的是（ ）A ．()22121x x x x ++=++B ．()222x y x y -=-C ．()1xy x x y -=-D ．()22211x x x +-=- 【答案】C【解析】【分析】根据平方差公式，提公因式法分解因式，完全平方公式，对各选项逐一分析判断即可得答案．【详解】A.x 2+2x+1=(x+1)2，故该选项不属于因式分解，不符合题意，B.x 2-y 2=(x+y)(x-y)，故该选项因式分解错误，不符合题意，C.xy-x=x(y-1)，故该选项正确，符合题意，D.x 2+2x-1不能因式分解，故该选项因式分解错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查因式分解，因式分解首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后再利用公式法或十字相乘法进行分解，要分解到不能再分解为止．20．下列各式从左到右因式分解正确的是（ ）A ．()26223x y x y +=--B ．()22121x x x x +=+--C ．()2242x x =--D ．()()311 x x x x x =+-- 【答案】D【解析】【分析】因式分解，常用的方法有：（1）提取公因式；（2）利用乘法公式进行因式分解【详解】A 中，需要提取公因式：()26223+1x y x y +=--，A 错误；B 中，利用乘法公式：()2221x x x +=--1，B 错误；C 中，利用乘法公式：2()4()22x x x =-+-，C 错误；D 中，先提取公因式，再利用乘法公式：()()311x x x x x -=+-，正确 故选：D【点睛】在进行因式分解的过程中，若能够提取公因式，往往第一步是进行提取公因式，在观察剩下部分是否还可进行因式分解.。
初中数学因式分解专题训练及答案解析1
七年级下数学因式分解专题训练一．选择题（共13小题）1．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+6x+9=（x+3）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+y2=（x+y）22．把x2+3x+c分解因式得：x2+3x+c=（x+1）（x+2），则c的值为（）A．2B．3C．﹣2D．﹣33．一次课堂练习，王莉同学做了如下4道分解因式题，你认为王莉做得不够完整的一题是（）A．x3﹣x=x（x2﹣1）B．x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2C．x2y﹣xy2=xy（x﹣y）D．x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x5．下列多项式能分解因式的是（）A．x2﹣y B．x2+1C．x2+xy+y2D．x2﹣4x+4 6．下列分解因式正确的是（）A．3x2﹣6x=x（3x﹣6）B．﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a）C．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）D．4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）27．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）A．x2﹣xy B．x2+xy C．x2﹣y2D．x2+y2 8．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）9．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+y2=（x+y）（x+y）C．x2﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z）D．x2﹣3x﹣10=（x+2）（x﹣5）10．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形11．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）=．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）==．给出下列关于F（n）的说法：（1）F（2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．412．（﹣8）2006+（﹣8）2005能被下列数整除的是（）A．3B．5C．7D．913．如果x2+x﹣1=0，则代数式x3+2x2﹣7的值为（）A．6B．8C．﹣6D．﹣8二．填空题（共12小题）14．若x2+4x+4=（x+2）（x+n），则n= _________ ．15．多项式ax2﹣4a及多项式x2﹣4x+4的公因式是_________ ．16．因式分解：ax2y+axy2= _________ ．17．计算：9xy•（﹣x2y）= _________ ；分解因式：2x（a﹣2）+3y（2﹣a）= _________ ．18．若|m﹣4|+（﹣5）2=0，将mx2﹣ny2分解因式为_________ ．19．因式分解：（2x+1）2﹣x2= _________ ．20．分解因式：a3﹣ab2= _________ ．21．分解因式：a3﹣10a2+25a= _________ ．22．因式分解：9x2﹣y2﹣4y﹣4= _________ ．23．在实数范围内分解因式：x2+x﹣1= _________ ．24．已知P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2，当x≠0时，3P﹣2Q=7恒成立，则y的值为_________ ．25．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x﹣y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3﹣xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是：_________ （写出一个即可）．三．解答题（共5小题）26．化简：（a﹣b）（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）2+2b（a2+b2）27．因式分解：x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）．28．在实数范围内分解因式：．29．计算：1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2000﹣[（1﹣a）2001﹣3]30．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k所民办学校所得到的奖金为a k元（1≤k≤n），试用k、n和b表示a k（不必证明）；（3）比较a k和a k+1的大小（k=1，2，…，n﹣1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．七年级下数学因式分解专题训练参考答案及试题解析一．选择题（共13小题）1．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+6x+9=（x+3）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+y2=（x+y）2考点：因式分解的意义．分析：根据公式特点判断，然后利用排除法求解．解答：解：A、是平方差公式，正确；B、是完全平方公式，正确；C、是提公因式法，正确；D、两平方项同号，因而不能分解，错误；故选D．点评：本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆及理解，需熟练掌握．2．把x2+3x+c分解因式得：x2+3x+c=（x+1）（x+2），则c的值为（）A．2B．3C．﹣2D．﹣3考点：因式分解的意义．分析：根据因式分解及整式的乘法互为逆运算，把（x+1）（x+2）利用乘法公式展开即可求解．解答：解：∵（x+1）（x+2）=x2+2x+x+2=x2+3x+2，∴c=2．故选A．点评：本题主要考查了因式分解及整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．3．一次课堂练习，王莉同学做了如下4道分解因式题，你认为王莉做得不够完整的一题是（）A．x3﹣x=x（x2﹣1）B．x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2C．x2y﹣xy2=xy（x﹣y）D．x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）考因式分解的意义．点：分析：要找出“做得不够完整的一题”，实质是选出分解因式不正确的一题，只有选项A：x3﹣x=x（x2﹣1）没有分解完．解答：解：A、分解不彻底还可以继续分解：x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），B、C、D正确．故选A．点评：因式分解要彻底，直至分解到不能再分解为止．4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x 考点：因式分解的意义．分析：根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．解答：解：A、是多项式乘法，错误；B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，错误；C、提公因式法，正确；D、右边不是积的形式，错误；故选C．点评：这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．5．下列多项式能分解因式的是（）A．x2﹣y B．x2+1C．x2+xy+y2D．x2﹣4x+4考点：因式分解的意义．分析：根据多项式特点结合公式特征判断．解答：解：A、不能提公因式也不能运用公式，故本选项错误；B、同号不能运用平方差公式，故本选项错误；C、不符合完全平方公式，应该是x2+2xy+y2，故本选项错误；D、符合完全平方公式，正确；故选D．点评：本题主要考查了公式法分解因式的公式结构特点的记忆，熟记公式是解题的关键．6．下列分解因式正确的是（）A．3x2﹣6x=x（3x﹣6）B．﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a）C．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）D．4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．专题：计算题．分析：根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、3x2﹣6x=3x（x﹣2），故本选项错误；B、﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a），故本选项正确；C、4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y），故本选项错误；D、4x2﹣2xy+y2不能分解因式，故本选项错误．故选B．点评：本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．7．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）A．x2﹣xy B．x2+xy C．x2﹣y2D．x2+y2考点：因式分解-运用公式法．分析：能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两个平方项，符号相反；能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两个平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍．解答：解：A、x2﹣xy只能提公因式分解因式，故选项错误；B、x2+xy只能提公因式分解因式，故选项错误；C、x2﹣y2能用平方差公式进行因式分解，故选项正确；D、x2+y2不能继续分解因式，故选项错误．故选C．点评：本题考查用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的特点需识记．8．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）考点：提公因式法及公式法的综合运用．分析：先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．解答：解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．故选A．点评：本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．9．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+y2=（x+y）（x+y）C．x2﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z）D．x2﹣3x﹣10=（x+2）（x﹣5）考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解的意义；因式分解-分组分解法．分析：根据公式法分解因式特点判断，然后利用排除法求解．解答：解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），是平方差公式，正确；B、x2+y2，两平方项同号，不能运用平方差公式，错误；C、x2﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z），是分组分解法，正确；D、x2﹣3x﹣10=（x+2）（x﹣5），是十字相乘法，正确．故选B．点评：本题考查了公式法、分组分解法、十字相乘法分解因式，熟练掌握分解因式各种方法的特点对分解因式十分重要．10．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形考点：因式分解的应用．专题：因式分解．分析：把所给的等式a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．解答：解：∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2=0，（a3﹣a2b）+（ab2﹣b3）﹣（ac2﹣bc2）=0，a2（a﹣b）+b2（a﹣b）﹣c2（a﹣b）=0，（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0．所以a=b或a2+b2=c2．故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．故选C．点评：本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键．11．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）=．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）==．给出下列关于F（n）的说法：（1）F （2）=；（2）F（24）=；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：因式分解的应用．专题：新定义．分析：把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否及所给结果相同．解答：解：∵2=1×2，∴F（2）=是正确的；∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，∴F（24）==，故（2）是错误的；∵27=1×27=3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，∴F（27）=，故（3）是错误的；∵n是一个完全平方数，∴n能分解成两个相等的数，则F（n）=1，故（4）是正确的．∴正确的有（1），（4）．故选B．点评：本题考查题目信息获取能力，解决本题的关键是理解此题的定义：所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，F（n）=（p≤q）．12．（﹣8）2006+（﹣8）2005能被下列数整除的是（）A．3B．5C．7D．9考点：因式分解的应用．分析：根据乘方的性质，提取公因式（﹣8）2005，整理即可得到是7的倍数，所以能被7整除．解答：解：（﹣8）2006+（﹣8）2005，=（﹣8）（﹣8）2005+（﹣8）2005，=（﹣8+1）（﹣8）2005，=﹣7×（﹣8）2005=7×82005．所以能被7整除．故选C．点评：本题考查提公因式法分解因式，关键在于提取公因式，然后再对所剩的因数进行计算．13．如果x2+x﹣1=0，则代数式x3+2x2﹣7的值为（）A．6B．8C．﹣6D．﹣8考点：因式分解的应用．专题：整体思想．分析：由x2+x﹣1=0得x2+x=1，然后把它的值整体代入所求代数式，求值即可．解答：解：由x2+x﹣1=0得x2+x=1，∴x3+2x2﹣7=x3+x2+x2﹣7，=x（x2+x）+x2﹣7，=x+x2﹣7，=1﹣7，=﹣6．故选C．点评：本题考查提公因式法分解因式，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x2+x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．二．填空题（共12小题）14．若x2+4x+4=（x+2）（x+n），则n= 2 ．考点：因式分解的意义．专题：计算题．分析：根据因式分解及整式的乘法是互逆运算，把等式右边展开后根据对应项系数相等列式求解即可．解答：解：∵（x+2）（x+n）=x2+（n+2）x+2n，∴n+2=4，2n=4，解得n=2．点评：本题主要利用因式分解及整式的乘法是互逆运算．15．多项式ax2﹣4a及多项式x2﹣4x+4的公因式是x﹣2 ．考点：公因式．分析：分别将多项式ax2﹣4a及多项式x2﹣4x+4进行因式分解，再寻找他们的公因式．解答：解：∵ax2﹣4a=a（x2﹣4）=a（x+2）（x﹣2），x2﹣4x+4=（x﹣2）2，∴多项式ax2﹣4a及多项式x2﹣4x+4的公因式是x﹣2．点评：本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．16．因式分解：ax2y+axy2= axy（x+y）．考点：因式分解-提公因式法．分析：确定公因式为axy，然后提取公因式即可．解答：解：ax2y+axy2=axy（x+y）．点评：本题考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．17．计算：9xy•（﹣x2y）= ﹣3x3y2；分解因式：2x（a﹣2）+3y（2﹣a）= （a﹣2）（2x﹣3y）．考点：因式分解-提公因式法；单项式乘多项式．专题：因式分解．分析：（1）根据单项式及单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，计算即可．（2）直接提取公因式（a﹣2）即可．解答：解：9xy•（﹣x2y）=﹣×9•x2•x•y•y=﹣3x3y2，2x（a﹣2）+3y（2﹣a）=（a﹣2）（2x﹣3y），故答案分别为：﹣3x3y2，（a﹣2）（2x﹣3y）．点评：（1）本题考查了单项式及单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．（2）本题考查了提公因式法分解因式，解答此题的关键把（a﹣y）看作一个整体，利用整体思想进行因式分解．18．若|m﹣4|+（﹣5）2=0，将mx2﹣ny2分解因式为（2x+5y）（2x﹣5y）．考点：因式分解-运用公式法；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．分析：先根据绝对值非负数，平方数非负数的性质列式求出m、n的值分别是4和25，然后代入多项式，再利用平方差公式进行因式分解即可．解答：解：|m﹣4|+（﹣5）2=0∴m﹣4=0，﹣5=0，解得：m=4，n=25，∴mx2﹣ny2，=4x2﹣25y2，=（2x+5y）（2x﹣5y）．点评：本题主要考查利用平方差公式分解因式，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键．19．因式分解：（2x+1）2﹣x2= （3x+1）（x+1）．考点：因式分解-运用公式法．分析：直接运用平方差公式分解因式，两项平方的差等于这两项的和及这两项的差的积．解答：解：（2x+1）2﹣x2，=（2x+1+x）（2x+1﹣x），=（3x+1）（x+1）．点评：本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，本题难点在于把（2x+1）看作一个整体．20．分解因式：a3﹣ab2= a（a+b）（a﹣b）．考点：提公因式法及公式法的综合运用．分析：观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．解答：解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．点评：本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．21．分解因式：a3﹣10a2+25a= a（a﹣5）2．考点：提公因式法及公式法的综合运用．分析：先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解．解答：解：a3﹣10a2+25a，=a（a2﹣10a+25），（提取公因式）=a（a﹣5）2．（完全平方公式）点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后可以利用完全平方公式继续进行二次分解，分解因式一定要彻底．22．因式分解：9x2﹣y2﹣4y﹣4= （3x+y+2）（3x﹣y﹣2）．考点：因式分解-分组分解法．分析：此题可用分组分解法进行分解，可以将后三项分为一组，即可写成平方差的形式，利用平方差公式分解因式．解答：解：9x2﹣y2﹣4y﹣4，=9x2﹣（y2+4y+4），=9x2﹣（y+2）2，=（3x+y+2）（3x﹣y﹣2）．点评：本题考查了分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可组成完全平方公式，可把后三项分为一组．23．在实数范围内分解因式：x2+x﹣1= （x++）（x+）．考点：实数范围内分解因式；因式分解-运用公式法．分析：本题考查对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，分解的结果一般要分到出现无理数为止，而且对于不能直接看出采用什么方法进行因式分解的多项式，则需进行变形整理，一般可以在保证式子不变的前提下添加一些项，如本题，因为有x2+x，所以可考虑配成完全平方式，再继续分解．解答：解：x2+x+﹣1=（x+）2﹣=（x+）2﹣（）2=[（x+）+][（x+）﹣]=（x++）（x+）．点评：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．同时还要结合式子特点进行适当的变形，以便能够分解．24．已知P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2，当x≠0时，3P﹣2Q=7恒成立，则y的值为 2 ．考点：因式分解的应用．分析：先根据题意把P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2分别代入3P﹣2Q=7中，再合并同类项，然后提取公因式，即可求出y的值．解答：解：∵P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2，∴3P﹣2Q=3（3xy﹣8x+1）﹣2（x﹣2xy﹣2）=7恒成立，∴9xy﹣24x+3﹣2x+4xy+4=7，13xy﹣26x=0，13x（y﹣2）=0，∵x≠0，∴y﹣2=0，∴y=2；故答案为：2．点评：此题考查了因式分解的应用，解题的关键是把要求的式子进行整理，然后提取公因式，是一道基础题．25．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x﹣y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3﹣xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是：101030或103010或301010 （写出一个即可）．考点：因式分解的应用．专题：开放型．分析：把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可．解答：解：4x3﹣xy2=x（4x2﹣y2）=x（2x+y）（2x﹣y），当x=10，y=10时，x=10；2x+y=30；2x﹣y=10，用上述方法产生的密码是：101030或103010或301010．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，读懂题目信息，正确进行因式分解是解题的关键，还考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．三．解答题（共5小题）26．化简：（a﹣b）（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）2+2b（a2+b2）考点：因式分解-提公因式法．分析：先对前两项提取公因式（a﹣b）（a+b），整理后又可以继续提取公因式2b，然后整理即可．解答：解：（a﹣b）（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）2+2b（a2+b2），=（a﹣b）（a+b）（a+b﹣a+b）+2b（a2+b2），=2b（a2﹣b2）+2b（a2+b2），=2b（a2﹣b2+a2﹣b2），=4a2b．点评：本题考查了平方差公式，提公因式法分解因式，对部分项提取公因式后再次出现公因式是解题的关键，运用因式分解法求解比利用整式的混合运算求解更加简便．27．因式分解：x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）．考点：提公因式法及公式法的综合运用．分析：先提取公因式（y2﹣1），再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解，对公因式利用平方差公式分解因式．解答：解：x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1），=（y2﹣1）（x2+2x+1），=（y2﹣1）（x+1）2，=（y+1）（y﹣1）（x+1）2．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于提取公因式后需要对公因式和剩余项进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．28．在实数范围内分解因式：．考点：实数范围内分解因式．分析：将原式化为（x2﹣2）+（x+）进行分解即可，前半部分可用平方差公式．解答：解：原式=（x2﹣2）+（x+）=（x+）（x﹣）+（x+）=（x+）（x﹣+1）．点评：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．29．计算：1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2000﹣[（1﹣a）2001﹣3]考点：因式分解的应用．专题：规律型．分析：本题要根据规律进行求解，我们发现式子的前两项可写成（1﹣a），则（1﹣a）﹣a（1﹣a）用提取公因式法可得出（1﹣a）（1﹣a）=（1﹣a）2，再和下一项进行计算就是（1﹣a）2﹣a（1﹣a）2=（1﹣a）3，根据此规律，我们可得出原式=（1﹣a）2001﹣[（1﹣a）2001﹣3]=3．解答：解：1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2000﹣[（1﹣a）2001﹣3]，=（1﹣a）2000﹣a（1﹣a）2000﹣[（1﹣a）2001﹣3]，=（1﹣a）2001﹣[（1﹣a）2001﹣3]，=3．点评：本题考查了提公因式法的应用，解题的关键是运用提取公因式法来找出式子的规律，从而求出答案．30．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k所民办学校所得到的奖金为a k元（1≤k≤n），试用k、n和b表示a k（不必证明）；（3）比较a k和a k+1的大小（k=1，2，…，n﹣1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．考点：因式分解的应用；列代数式．专题：规律型．分析：（1）第2所民办学校得到的奖金为：（总资金﹣第一所学校得到的奖金）÷n；第3所民办学校得到的奖金为：（总资金﹣第一所学校得到的奖金﹣第2所民办学校得到的奖金）÷n；（2）由（1）得k所民办学校所得到的奖金为a k=总资金÷n×（1﹣）n；（3）用a k表示出a k+1进行比较即可．解答：解：（1）因为第1所学校得奖金a1=，所以第2所学校得奖金a2=（b﹣）=（1﹣）所以第3所学校得奖金a3===（2）由上可归纳得到a k=（3）因为a k=，a k+1=，所以a k+1=（1﹣）a k＜a k结果说明完成业绩好的学校，获得的奖金就多．点评：这是一道渗透新课程理念的好题．它以奖金发放为背景，以列代数式、因式分解、代数式的大小比较等相关知识为载体，考查了学生数感、符号感、数学建模能力、观察分析、归纳推理等能力．本题得分率较低，究其原因主要有：一是部份学生不能将文字语言转换成符号语言，二是部份学生不能在代数式的整理变形过程中总结发现规律．解决本题的关键一是充分理解题意，二要表示第k所民办学校所得到的奖金，就要在第2所、第3所民办学校得到的奖金（代数式）上发现规律，三要提高对代数式变形的技能．。
因式分解基础测试题及答案解析
因式分解基础测试题及答案解析一、选择题1．若a b +=1ab =，则33a b ab -的值为（ ）A ．±B ．C ．±D ．【答案】C【解析】【分析】将原式进行变形，3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-，然后利用完全平方公式的变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值，从而求解． 【详解】解：∵3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-∴33)a b b ab a =--又∵22()()4a b a b ab -=+-∴22()414a b -=-⨯=∴2a b -=±∴33(2)a b ab =±=±-故选：C ．【点睛】本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键．2．已知12,23x y xy -==，则43342x y x y -的值为( )A ．23B ．2C ．83D ．163【答案】C【解析】【分析】利用因式分解以及积的乘方的逆用将43342x y x y -变形为(xy)3(2x-y)，然后代入相关数值进行计算即可．【详解】 ∵12,23x y xy -==，∴43342x y x y -=x 3y 3(2x-y)=(xy)3(2x-y)=23×1 3=83，故选C．【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．3．把多项式分解因式，正确的结果是（）A．4a2+4a+1=（2a+1）2B．a2﹣4b2=（a﹣4b）（a+b）C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．（a﹣b）（a+b）=a2+b2【答案】A【解析】【分析】本题考查的是因式分解中的平方差公式和完全平方公式【详解】解：A. 4a2+4a+1=（2a+1）2，正确；B. a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b），故此选项错误；C. a2﹣2a+1=（a﹣1）2，故此选项错误；D. （a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，故此选项错误；故选A4．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )A．2ab(a-b)=2a2b-2ab2B．x2+1=x(x+1 x )C．x2-4x+3=(x-2)2-1 D．a2-b2=(a+b)(a-b)【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形.【详解】解：A.不是因式分解，而是整式的运算B.不是因式分解，等式左边的x是取任意实数，而等式右边的x≠0C.不是因式分解，原式＝(x－3)(x－1)D.是因式分解.故选D.故答案为：D.【点睛】因式分解没有普遍适用的法则，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法、待定系数法、拆项法等方法.5．下列运算结果正确的是( )A ．321x x -=B ．32x x x ÷=C ．326x x x ⋅=D ．222()x y x y +=+【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、公式法分解因式逐项进行计算即可得.【详解】A 、3x ﹣2x ＝x ，故A 选项错误；B 、x 3÷x 2＝x ，正确；C 、x 3•x 2＝x 5，故C 选项错误；D 、x 2+2xy+y 2＝(x+y)2，故D 选项错误，故选B.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除、公式法分解因式，熟练掌握相关的运算法则以及完全平方公式的结构特征是解题的关键.6．将3a b ab 进行因式分解，正确的是( )A ．()2a a b b -B ．()21ab a -C ．()()11ab a a +-D ．()21ab a - 【答案】C【解析】【分析】多项式3a b ab 有公因式ab ，首先用提公因式法提公因式ab ，提公因式后，得到多项式()21x -，再利用平方差公式进行分解．【详解】()()()32111a b ab ab a ab a a -=-=+-，故选：C ．【点睛】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；7．如图，边长为a ，b 的矩形的周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为（ ）A ．60B ．16C ．30D ．11【答案】C【解析】【分析】 先把所给式子提公因式进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，再代入求值即可．【详解】∵矩形的周长为10，∴a+b=5，∵矩形的面积为6，∴ab=6，∴a 2b+ab 2=ab （a+b ）=30．故选：C ．【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．8．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )A ．2(a ﹣b)＝2a ﹣2bB ．221(a b)(a b)1-=-+++a bC ．2224(2)x x x -+=-D ．22282(2)(2)x y x y x y -=-+【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的积的形式是分解因式进行分析即可得出.【详解】解：由因式分解的定义可知：A. 2(a ﹣b)＝2a ﹣2b ，不是因式分解，故错误；B. 221(a b)(a b)1-=-+++a b ，不是因式分解，故错误；C. 2224(2)x x x -+=-，左右两边不相等，故错误；D. 22282(2)(2)x y x y x y -=-+是因式分解；故选：D【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义和分解的规范要求是解题关键.9．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣y2=（x﹣y）2B．a2+a+1=（a+1）2C．xy﹣x=x（y﹣1）D．2x+y=2（x+y）【答案】C【解析】【分析】【详解】解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故此选项错误；B、a2+a+1无法因式分解，故此选项错误；C、xy﹣x=x（y﹣1），故此选项正确；D、2x+y无法因式分解，故此选项错误．故选C．【点睛】本题考查因式分解．10．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．8x2y3＝2x2⋅4 y3B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1C．3x﹣3y﹣1＝3（x﹣y）﹣1 D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.【详解】①是单项式的变形，不是因式分解；②是多项式乘以多项式的形式，不是因式分解；③左侧是多项式加减，右侧也是多项式加减，不是因式分解；④符合因式分解的定义，结果是整式的积，因此D正确；故选D．【点睛】本题考查因式分解的定义．正确理解因式分解的结果是“整式的积”的形式，是解题的关键．11．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．x2+4x+4=（x+2）2C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．ax2﹣a=a（x2﹣1）【答案】B【解析】【分析】因式分解是指将多项式和的形式转化成整式乘积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,套用公式法,十字相乘法,分组分解法,解决本题根据因式分解的定义进行判定.【详解】A 选项,从左到右变形错误,不符合题意,B 选项,从左到右变形是套用完全平方公式进行因式分解,符合题意,C 选项, 从左到右变形是在利用平方差公式进行计算,不符合题意,D 选项, 从左到右变形利用提公因式法分解因式,但括号里仍可以利用平方差公式继续分解,属于分解不彻底,因此不符合题意,故选B.【点睛】本题主要考查因式分解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.12．若△ABC 三边分别是a 、b 、c ，且满足（b ﹣c ）（a 2＋b 2）＝bc 2﹣c 3 ， 则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】试题解析：∵（b ﹣c ）（a 2+b 2）=bc 2﹣c 3，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2）﹣c 2（b ﹣c ）=0，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2﹣c 2）=0，∴b ﹣c=0，a 2+b 2﹣c 2=0，∴b=c 或a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．故选D ．13．下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ）A ．()2212x x x x --=--B ．()()22a b a b a b +-=-C ．()()2422x x x -=+-D ．()2222a b a b ab +=++ 【答案】C【解析】【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可．【详解】A 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.B 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.C 选项：等式右边是乘积的形式，故是因式分解，符合题意.D选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意.故选：C.【点睛】考查了因式分解的意义，关键是掌握因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式）．14．下列各因式分解正确的是（）A．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2）B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2C．4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2D．x3﹣4x=2（x﹣2）（x+2）【答案】C【解析】【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可．【详解】A．﹣x2+(﹣2)2=(2+x)(2﹣x)，故A错误；B．x2+2x﹣1无法因式分解，故B错误；C.4x2﹣4x+1=(2x﹣1)2，故C正确；D、x3﹣4x= x(x﹣2)(x+2)，故D错误．故选：C．【点睛】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义，熟练掌握相关公式是解题关键．15．下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．12xy2＝3xy•4y B．（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3C．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．16．把多项式分解因式，正确的结果是（ ）A ．4a 2+4a +1=（2a +1）2B ．a 2﹣4b 2=（a ﹣4b ）（a +b ）C ．a 2﹣2a ﹣1=（a ﹣1）2D ．（a ﹣b ）（a +b ）=a 2﹣b 2【答案】A【解析】【分析】直接利用平方差公式和完全平方公式进行分解因式，进而判断得出答案．【详解】A ．4a 2+4a +1=（2a +1）2，正确；B ．a 2﹣4b 2=（a ﹣2b ）（a +2b ），故此选项错误；C ．a 2﹣2a ﹣1在有理数范围内无法运用公式分解因式，故此选项错误；D ．（a ﹣b ）（a +b ）=a 2﹣b 2，是多项式乘法，故此选项错误．故选：A ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．17．已知a 、b 、c 是ABC 的三条边，且满足22a bc b ac +=+，则ABC 是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】C【解析】【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b ，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b ）（a-b ）-c （a-b ）=0，即（a-b ）（a+b-c ）=0，∵a+b-c ≠0，∴a-b=0，即a=b ，则△ABC 为等腰三角形．故选C ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．下列各式分解因式正确的是（ ）A ．2112(12)(12)22a a a -=+-B ．2224(2)x y x y +=+C ．2239(3)x x x -+=-D ．222()x y x y -=- 【答案】A【解析】【分析】根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解．【详解】 A. 2112(12)(12)22a a a -=+-，故本选项正确； B. 2222224(2)(2)=+44x y x y x y x xy y +≠+++，，故本选项错误；C. 222239(3)(3)=69x x x x x x -+≠---+，，故本选项错误；D. ()22()x y x y x y -=-+，故本选项错误. 故选A.【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式.19．把多项式3(x －y)－2(y －x)2分解因式结果正确的是（ ）A ．()()322x y x y ---B ．()()322x y x y --+C ．()()322x y x y -+-D ．()()322y x x y -+-【答案】B【解析】【分析】提取公因式x y -，即可进行因式分解．【详解】 ()()232x y y x --- ()()322x y x y =--+故答案为：B ．【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握因式分解的方法是解题的关键．20．下列因式分解正确的是（ ）A ．()222x xy x x y -=-B ．()()2933x x x +=+- C ．()()()2x x y y x y x y ---=-D ．()22121x x x x -+=-+ 【答案】C【解析】【分析】根据提公因式法和公式法进行判断求解即可.【详解】A. 公因式是x ，应为()222x xy x x y -=-，故此选项错误； B. 29x +不能分解因式，故此选项错误；C. ()()()()()2x x y y x y x y x y x y ---=--=-，正确；D. ()2221=1x x x x -+=-，故此选项错误.故选：C【点睛】此题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服.。
因式分解技巧及练习题附答案解析
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．
【详解】
A．属于整式的乘法运算，不合题意；
B．符合因式分解的定义，符合题意；
C．右边不是乘积的形式，不合题意；
D．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；
15．下面的多项式中，能因式分解的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
完全平方公式的考察，
【详解】
A、C、D都无法进行因式分解
B中， ，可进行因式分解
故选：B
【点睛】
本题考查了公式法因式分解，常见的乘法公式有：平方差公式：
完全平方公式：
16．若多项式 含有因式 和 ，则 的值为（）
【详解】
解： ；
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.
9．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8x2y3＝2x2⋅4y3B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．3x﹣3y﹣1＝3（x﹣y）﹣1D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
【答案】D
C．x2-4x+3=(x-2)2-1D．a2-b2=(a+b)(a-b)
【答案】D
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形.
【详解】
解：A.不是因式分解，而是整式的运算
B.不是因式分解，等式左边的x是取任意实数，而等式右边的x≠0
因式分解方程练习题及答案
因式分解方程练习题及答案在代数学中，因式分解是一种重要的技巧，可帮助我们简化和解决各种代数方程。
本文将为大家提供一些因式分解方程的练习题，并附带详细的答案解析，以帮助大家更好地理解和掌握这一技巧。
一、一元一次方程的因式分解1. 将方程2x + 4 = 0进行因式分解。
解：因为2x + 4的两个系数2和4没有公因子，所以无法进行因式分解。
所以该方程无解。
2. 将方程3x + 6 = 0进行因式分解。
解：3x + 6 = 3(x + 2)。
所以方程的解为x = -2。
二、一元二次方程的因式分解1. 将方程x^2 + 5x + 6 = 0进行因式分解。
解：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。
所以方程的解为x = -2或x = -3。
2. 将方程2x^2 - 7x - 3 = 0进行因式分解。
解：我们可以使用二次方程的求根公式来解这个方程，也可以进行因式分解。
通过因式分解，我们可以将2x^2 - 7x - 3分解为(2x + 1)(x - 3)。
所以方程的解为x = -1/2或x = 3。
三、高次多项式的因式分解1. 将多项式x^3 - 8进行因式分解。
解：x^3 - 8可以写为(x - 2)(x^2 + 2x + 4)。
所以该多项式的因式分解为(x - 2)(x^2 + 2x + 4)。
2. 将多项式x^4 - 16进行因式分解。
解：x^4 - 16可以写为(x^2 - 4)(x^2 + 4)。
进一步分解可以得到(x -2)(x + 2)(x^2 + 4)。
四、高次方程的因式分解1. 将方程x^5 - 32 = 0进行因式分解。
解：我们可以将x^5 - 32写为(x - 2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16)。
但是(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16)无法再进行进一步的因式分解。
所以方程的解为x = 2。
2. 将方程x^6 - 64 = 0进行因式分解。
北师大版八年级数学下册《因式分解》单元测试卷及答案含有详细解析
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………北师大版八年级数学下册《因式分解》单元测试卷评卷人 得分一、选择题1、将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）A ．a 2﹣1 B ．a 2+a C ．a 2+a ﹣2 D ．（a+2）2﹣2（a+2）+1 2、下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A ．x 2-xy B ．x 2+xy C ．x 2-y 2D ．x 2+y 23、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )A ．(3－x)(3＋x)＝9－x 2B ．m 4－n 4＝(m 2＋n 2)(m ＋n)(m －n) C ．(y ＋1)(y －3)＝－(3－y)(y ＋1) D ．4yz －2y 2z ＋z ＝2y(2z －yz)＋z 4、把8a 3－8a 2＋2a 进行因式分解，结果正确的是( )A ．2a(4a 2－4a ＋1)B ．8a 2(a －1) C ．2a(2a ＋1)2D ．2a(2a －1)25、一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是( )A ．4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2B ．x 3－x ＝x(x 2－1) C ．x 2y －xy 2＝xy(x －y) D ．x 2－y 2＝(x ＋y)(x －y) 6、若x 2＋ax －24＝(x ＋2)(x －12)，则a 的值为( )A ．－10B ．±10C ．14D ．－14 7、小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是( )A ．x 2＋2x ＝x(x ＋2) B ．x 2－2x ＋1＝(x －1)2C ．x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2D ．x 2＋3x ＋2＝(x ＋2)(x ＋1) 8、对于任何整数m ，多项式( 4m +5)2−9都能( )A ．被8整除B ．被m 整除C ．被(m −1)整除D ．被(2m −1)整除……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………9、某同学粗心大意，因式分解时，把等式x 4－■＝(x 2＋4)(x ＋2)(x －▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( ) A ．8，1 B ．16，2 C ．24，3 D ．64，8 10、已知，则a 2－b 2－2b 的值为A ．4B ．3C ．1D ．0评卷人 得分二、填空题11、分解因式：2m 3﹣8m= 。
因式分解练习题及答案
因式分解练习题及答案因式分解是指将一个复杂的代数表达式分解为一组较简单的乘积或乘积的形式。
因式分解是解决多项式方程的重要步骤，对于解决数学问题和简化计算过程都有很大的帮助。
下面是一些因式分解练习题及其答案。
练习题1:1. 将表达式 $x^2 - 4x + 4$ 进行因式分解。
解答：这个表达式是一个二次多项式，可以使用配方法来进行因式分解。
首先，找到一个乘积等于首项系数与常数项乘积的两个数。
在这个例子中，首项系数是1，常数项是4，所以可以找到两个数为2和2。
然后，将表达式进行配方法的运算：$x^2 - 4x + 4 = (x-2)(x-2) = (x-2)^2$所以表达式 $x^2 - 4x + 4$ 的因式分解形式为 $(x-2)^2$。
2. 将表达式 $2x^2 + 8x - 10$ 进行因式分解。
解答：这个表达式是一个二次多项式，可以使用配方法来进行因式分解。
首先，将首项系数和常数项纳入考虑，找到一个乘积等于首项系数与常数项乘积的两个数。
在这个例子中，首项系数是2，常数项是-10，所以可以找到两个数为5和-2。
然后，将表达式进行配方法的运算：$2x^2 + 8x - 10 = 2(x^2 + 4x - 5) = 2(x+5)(x-1)$所以表达式 $2x^2 + 8x - 10$ 的因式分解形式为$2(x+5)(x-1)$。
3. 将表达式 $4x^2 - 25$ 进行因式分解。
解答：这个表达式是一个差的平方形式，可以使用差平方公式进行因式分解。
差平方公式是 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。
在这个例子中，$a$ 是 $2x$，$b$ 是 5。
根据差平方公式，可以将表达式进行分解：$4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x-5)(2x+5)$所以表达式 $4x^2 - 25$ 的因式分解形式为 $(2x-5)(2x+5)$。
练习题2:1. 将表达式 $3x^2 + 9x - 6$ 进行因式分解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因式分解练习01
1．将下列各式因式分解：
（1）5a3b（a﹣b）3﹣10a4b3（b﹣a）2；
（2）（b﹣a）2+a（a﹣b）+b（b﹣a）；
（3）（3a﹣4b）（7a﹣8b）+（11a﹣12b）（8b﹣7a）；
（4）x（b+c﹣d）﹣y（d﹣b﹣c）﹣c﹣b+d．
2．把下列各式因式分解：
（1）﹣20a﹣15ax；
（2）﹣4a3b3+6a2b﹣2ab；
（3）﹣10a2bc+15bc2﹣20ab2C．
3．把下列各式分解因式：
（1）3x2y﹣6xy
（2）5x2y3﹣25x3y2
（3）﹣4m3+16m2﹣26m
（4）2（a﹣3）2﹣a+3
（5）3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2
（6）18b（a﹣b）2﹣12（a﹣b）3
（7）15x3y2+5x2y﹣20x2y3
（8）6x（x+y）﹣4y（x+y）
（9）a（x﹣a）+b（a﹣x）﹣c（x﹣a）
（10）（m+n）（p+q）﹣（m+n）（p﹣q）
4．分解因式
①21xy﹣14xz+35x2
②15xy+10x2﹣5x
③（2a+b）（3a﹣2b）﹣4a（2a+b）
④（x﹣2）2﹣x+2
⑤a2（x﹣2a）2﹣a（2a﹣x）2
⑥15b（2a﹣b）2+25（b﹣2a）3．
5．把下列各式分解因式：
（1）18a3bc﹣45a2b2c2；
（2）﹣20a﹣15ab；
（3）18x n+1﹣24x n；
（4）（m+n）（x﹣y）﹣（m+n）（x+y）；（5）15（a+b）2+3y（b+a）；
（6）2a（b﹣c）+3（c﹣b）．
6．把下列各式因式分解：
（1）x（a+b）+y（a+b）；
（2）3a（x﹣y）﹣（x﹣y）；
（3）6（p+q）2﹣12（q+p）；
（4）a（m﹣2）+b（2﹣m）；
（5）2（y﹣x）2+3（x﹣y）．
7．把下列各式因式分解：
（1）x2﹣9y2；
（2）﹣64m2+81n2；
（3）（2x+y）2﹣（x﹣2y）2；
（4）169（a+b）2﹣121（a﹣b）2．
8．下列分解因式是否正确？如果不正确，请给出正确结果．（1）﹣x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）；
（2）9﹣25a2=（3+25a）（3+25b）；
（3）﹣4a2+9b2=（﹣2a+3b）（﹣2a﹣3b）．
9．把下列各式写成乘积的形式：
（1）1﹣x2；
（2）4a2+4a+1；
（3）4x2﹣8x；
（4）2x2y﹣6xy2；
（5）1﹣4x2；
（6）x2﹣14x+49．
10．把下列各式分解因式．
（1）﹣12xy+x2+36y2
（2）（x2+9y2）2﹣36x2y2
（3）（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9．
11．把下列各式分解因式：
（1）4a2+4a+1；
（2）1﹣6y+9y2；
（3）1+m+；
（4）4x2﹣12xy+9y2；
（5）++n2；
（6）（x+y）2﹣10（x+y）+25；
（7）（x﹣y）2+4xy．
各项利用完全平方公式分解即可得到结果．
解：（1）4a2+4a+1=（2a+1）2；
（2）1﹣6y+9y2=（1﹣3y）2；
（3）1+m+=（1+）2；
（4）4x2﹣12xy+9y2=（2x﹣3y）2；
（5）++n2=（+n）2；
（6）（x+y）2﹣10（x+y）+25=（x+y﹣5）2；
（7）（x﹣y）2+4xy=（x+y）2．
此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．分解因式：
（1）﹣2xy﹣x2﹣y2；
（2）3ax2+6axy+3ay2；
（3）x2﹣3y2；
（4）x4﹣81；
（5）（x2+y2）2﹣4x2y2；
（6）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2．
（2）先提取公因式3a，再根据完全平方公式分解因式；
（3）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式；
（4）两次运用平方差公式分解因式；
（5）先运用平方差公式分解因式，再运用完全平方公式分解因式；
（6）两次运用平方差公式分解因式．
解：（1）﹣2xy﹣x2﹣y2
=﹣（2xy+x2+y2）
=﹣（x+y）2；
（2）3ax2+6axy+3ay2；
=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2；
（3）x2﹣3y2
=（x2﹣9y2）
=（x+3y）（x﹣3y）；
（4）x4﹣81；
=（x2+9）（x2﹣9）
=（x2+9）（x+3）（x﹣3）；
（5）（x2+y2）2﹣4x2y2；
=（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）
=（x+y）2（x﹣y）2；
（6）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2．
=（x2﹣2y+1﹣2y）（x2﹣2y﹣1+2y）
=（x2﹣4y+1）（x2﹣1）
=（x2﹣4y+1）（x+1）（x﹣1）．
考查了因式分解﹣运用公式法，要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
13．分解因式：
①（x2+y2）2﹣4x2y2
②（x+y）2﹣4（x+y﹣1）
③（a2+b2）2﹣4ab（a2+b2）+4a2b2
④x4+x2+1．
14．分解因式：
（1）ax2﹣2ax+a
（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 （3）x2（x﹣y）+（y﹣x）
15．把下列各式分解因式：（1）4y2﹣64z2；
（2）﹣x2y+8xy2﹣16y3；（3）a2﹣7ab﹣30b2．
16．分解因式：
（1）a2﹣2a﹣3；
（2）xy2﹣x；
（3）﹣2x2+4x﹣2；
（4）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）
17．因式分解：
①4x2y2﹣12x2y；
②（x2+4）2﹣16x2；
③3a3﹣6a2+3a；
④x4﹣y4．
18．分解因式：
（1）﹣m2n+16mn﹣64n；
（2）3（a﹣2b）2﹣27b2．
19．因式分解：
（1）3a2﹣27
（2）﹣4a2x2+8ax﹣4
（3）9（2a+3b）2﹣4（3a﹣2b）2（4）（x2+1）2﹣2x（x2+1）．
20．分解因式：
（1）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2；（2）x2y﹣2xy2+y3；
（3）4m2+8m+3；
（4）x3+x2y﹣xy2﹣y3．
21．分解因式：
（1）x2y﹣4xy+4y．
（2）9（a+b）2﹣（a﹣b）2．
（3）12a2b﹣18ab2﹣24a3b3．
（4）4a（x﹣2）2﹣2b（2﹣x）3．
（5）a（a﹣2b）（2a﹣3b）﹣2b（2b﹣a）（3b﹣2a）
22．将下列各式分解因式：
（1）a2+ab+a（2）m2﹣9 （3）x3+6x2+9x（4）a4﹣8a2b2+16b4
23．因式分解：
（1）a4﹣16．
（2）x2﹣6xy+9y2．
（3）9x2y﹣6xy2+y3 ．（4）x2﹣7x+12．
24．把下列多项式分解因式（1）﹣5a2+25a
（2）x2+4xy+4y2
（3）a2﹣5a﹣6
（4）3x3﹣12xy2
25．因式分解：
（1）a3﹣a
（2）4x2y+4xy2+y3（3）a2﹣b2+4b﹣4 （4）（x﹣2）2+x﹣8．
26．把下列各个式子因式分解：
（1）a2﹣4ab+4b2﹣6a+12b﹣7；
（2）16﹣（x2﹣4x+2）2；
（3）x2﹣x﹣1；
（4）4x4﹣13x2+9．
（4）首先利用平方差公式分解因式，再利用十字相乘法分解因式得出即可．
解：（1）a2﹣4ab+4b2﹣6a+12b﹣7
=（a﹣2b）2﹣6（a﹣2b）﹣7
=（a﹣2b﹣7）（a﹣2b+1）；
（2）16﹣（x2﹣4x+2）2
=42﹣（x2﹣4x+2）2，
=（4+x2﹣4x+2）（4﹣x2+4x﹣2）
=﹣（x2﹣4x+6）（x﹣2﹣）（x﹣2+）；
（3）当x2﹣x﹣1=0，
解得：x1=，x2=，
故原式=（x﹣）（x﹣）；
（4）4x4﹣13x2+9
=（x2﹣1）（4x2﹣9）
=（x+1）（x﹣1）（2x+3）（2x﹣3）．
此题主要考查了实属范围内分解因式以及公式法分解因式，熟练利用十字相乘法分解因式是解题关键．
27．分解因式：
（1）x2﹣6x﹣7
（2）x2+6x﹣7
（3）x2﹣8x+7
（4）x2+8x+7
（5）x2﹣5x+6
（6）x2﹣5x﹣6
（7）x2+5x﹣6
（8）x2+5x+6．
28．分解因式
（1）8a3b2﹣12ab3c
（2）﹣3ma3+6ma2﹣12ma （3）2（x﹣y）2﹣x（x﹣y）（4）3ax2﹣6axy+3ay2
（5）p2﹣5p﹣36
（6）x5﹣x3
（7）（x﹣1）（x﹣2）﹣6 （8）a2﹣2ab+b2﹣c2
29．分解因式
（1）20a3x﹣45ay2x
（2）1﹣9x2（3）4x2﹣12x+9
（4）4x2y2﹣4xy+1
（5）p2﹣5p﹣36
（6）y2﹣7y+12
（7）3﹣6x+3x2（8）﹣a+2a2﹣a3（9）m3﹣m2﹣20m
30．把下列各式分解因式：
（1）4x3﹣31x+15；
（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；
（3）x5+x+1；
（4）x3+5x2+3x﹣9；
（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．。