一元函数微分学专升本拉练试题
08级专升本《高等数学》测试题
时间（50分钟） 满分（50分）
一、选择题（每小题2分，共10分） 1. 极限x x arctan lim ∞
→的值为（ ）
A.0
B.
2
π
C. 2
π
-
D. 不存在
2． ⎪⎩⎪⎨⎧
=≠=0
01sin
)(x x x
x x f ，则在0=x 处是（ ）
A ．可导 B. 不连续 C. 不可导 D. 连续
3. 设3
2
)1()(-=x x f ，则点1=x 是)(x f 的（ ）
A ．间断点
B ．可导点
C ．驻点
D ．极值点 4． 下列能使用洛必达法则的是（ ）
A ．x
x x 2
1lim
++∞
→ B ．x
x
x x sin 1sin
lim
2
→ C ．x
x x x x sin sin lim
-+∞
→ D ．x
x
x arcsin lim 0
→
5. 设函数)(x f 存在二阶导数，)(ln x f y =，则=''y ( )
A ．)](ln )(ln [12
x f x f x
'+'' B ．
)](ln )(ln [12
x f x f x
'-''
C ．
)](ln )(ln [12
x f x f x x
'-'' D ．
)](ln )(ln [12
x f x f x x
''-' 二、填空题（每小题2分，共10分）
1．函数2
x
e
y -=代表的曲线的拐点坐标是
2．函数)
4(||2)(2
2
--=
x x x
x x f 的可去间断点为
3.y x xy
+=2
，则0|=x dy ＝
3. 1lim 12x
x x -→∞⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭ 4. )
1(1
3
--=
x x x y 的垂直、水平渐近线有 条.
三、计算与证明题（每小题5分，共30分） 1.计算 3
tan lim
x
x x x -→
2．已知⎩⎨⎧=+=t
y t x arctan )1ln(2，求2
2
dx y
d 。
3．已知x
x
x y +=sin ，求y '。
4．求函数2
3
)
1(-=x x
y 的单调区间和极值.
5．证明方程475
=-x x 在（1,2），内至少有一实根。
6．证明：当0>x 时，x x <+)1ln(成立.。
专升本高等数学二(一元函数微分学)模拟试卷3(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设f(x)在x=0处可导，则= ( )A．f’(0)B．f’(0)C．2f’(0)D．f’(0)正确答案：C解析：知识模块：一元函数微分学2．设函数y=ex－2，则dy= ( )A．ex－3dxB．ex－2dxC．ex－1dxD．exdx正确答案：B解析：因为y=ex－2，y’=ex－2，所以dy=ex－2dx．知识模块：一元函数微分学3．下列函数中，在x=0处可导的是( )A．y=｜x｜B．y=C．y=x3D．y=lnx正确答案：C解析：选项A中，y=｜x｜，在x=0处左右导数不相同，则y=｜x｜在x=0处不可导；选项B中，在x=0处无定义，即y=在x=0处不可导；选项C中，y=x3，y’=3x2处处存在，即y=x3处处可导，也就在x=0处可导；选项D中，y=lnx在x=0点没定义，所以y=lnx在x=0处不可导．知识模块：一元函数微分学4．f(x)=(x+1)(x+2)…(x+100)，则f’(一1)= ( )A．100！B．99！C．∞D．一99！正确答案：B解析：由导数的定义可知f’(一1)==(x+2)…(x+100)=99！．知识模块：一元函数微分学5．曲线y=( )A．有一个拐点B．有两个拐点C．有三个拐点D．无拐点正确答案：D解析：因y’=，则y’’在定义域内恒不等于0，且无二阶不可导点，所以无拐点．知识模块：一元函数微分学6．函数y=ex+e－x的单调增加区间是( )A．(一∞，+∞)B．(一∞，0]C．(一1，1)D．[0，+∞)正确答案：D解析：y=ex+e－x，则y’=ex一e－x=，令y’＞0，则x＞0，所以y 在区间[0，+∞)上单调递增．知识模块：一元函数微分学7．函数f(x)=在[0，3]上满足罗尔定理，则ξ= ( )A．2B．3C．0D．1正确答案：A解析：由f(x)=，得f(0)=f(3)=0．又因f’(x)=，故f’(ξ)=0，所以ξ=2．知识模块：一元函数微分学8．设y=f(x)在[0，1]上连续，且f(0)＞0，f(1)＜0，则下列正确的是( ) A．y=f(x)在[0，1]上可能无界B．y=f(x)在[0，1]上未必有最小值C．y=f(x)在[0，1]上未必有最大值D．方程f(x)=0在(0，1)内至少有一个实根正确答案：D解析：函数在闭区间上连续，则在该区间必定有界，且存在最大、最小值，由零点定理可知选项D正确．知识模块：一元函数微分学填空题9．设函数y=(x一3)4，则dy=________．正确答案：4(x一3)3dx解析：因为y=(x一3)4，y’=4(x一3)3，则dy=4(x一3)3dx．知识模块：一元函数微分学10．设y=x2ex，则y(10)｜x=0=________．正确答案：90解析：y’=2xex+x2ex=ex(x2+2x)=ex[(x+1)2一1]，y’’=ex(x2+2x)+ex(2x+2)=ex[(x+2)2一2]，y’’’=ex(x2+4x+2)+ex(2x+4)=ex[(x+3)2一3]，…y(10)=ex[(x+10)2一10]，所以y(10)｜x=0=90．知识模块：一元函数微分学11．x=，y=t3，则=________．正确答案：一3t2(1+t)2解析：=一3t2(1+t)2．知识模块：一元函数微分学12．曲线y=的水平渐近线方程为_________．正确答案：y=解析：的水平渐近线．知识模块：一元函数微分学13．f(x)=xex，则f(n)(x)的极小值点为_________．正确答案：x=一(n+1)解析：f’(x)=ex+xex=(x+1)ex，f’’(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f’’’(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex，…，f(n)(x)=(x+n)ex，故(f(n)(x))’=f(n＋1)(x)=(x+n+1)ex=0，则x=一(n+1)，显然当x＞一(n+1)时，f(n＋1)(x)＞0；当x＜一(n+1)时，f(n＋1)(x)＜0，因此f(n)(x)的极小值点为x=一(n+1)．知识模块：一元函数微分学解答题14．讨论f(x)=在x=0处的可导性．正确答案：f－’(0)==0，f＋’(0)==0．故函数在x=0处可导且f’(0)=0．涉及知识点：一元函数微分学15．求曲线y=e－x上通过原点的切线方程及和直线x+y=2垂直的法线方程．正确答案：曲线y=e－x上任一点(x0，e－x0)处的切线方程为y=e－x0=一(e －x)｜x=x0(x—x0)，即y—e－x0=一e－x0(x—x0)．因切线过原点，则将x=0，y=0代入得x0=一1，则切点为(一1，e)，故过原点的切线方程为y=一ex．又曲线y=e－x上任意点的法线方程为y—e－x0=ex0(x—x0)，因法线与x+y=2垂直，故有ex0．(一1)=一1，得x0=0，从而所求法线方程为y=x+1．涉及知识点：一元函数微分学16．函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定，求dy．正确答案：将ey=sin(x+y)两边对x求导，有ey．y’=cos(x＋y)(1+y’)，所以y’=dx．涉及知识点：一元函数微分学17．求函数y=的导数[已知f(μ)可微]．正确答案：设y=f(μ)，μ=ν2，ν=sint，t=，则涉及知识点：一元函数微分学18．设f(x)在x0点可导，求．正确答案：=2f’( x0)．涉及知识点：一元函数微分学19．已知g(x)=af2(x)且f’(x)=，证明：g’(x)=2g(x)．正确答案：g’(x)=(af2(x))’=lna．af2(x)．[f2(x)]’=lna．af2(x)．2f(x)．f’(x)，又f’(x)=，所以g’(x)=lna．af2(x)．2f(x)．=2af2(x)=2g(x)．涉及知识点：一元函数微分学20．已知曲线y=ax4+bx2+x2＋3在点(1，6)处与直线y=11x一5相切，求a，b．正确答案：曲线过点(1，6)，即点(1，6)满足曲线方程，所以6=a+b+4，①再y’=4ax2+3bx2+2x，且曲线在点(1，6)处与y=11x一5相切，所以y’｜x=1=4a+3b+2=11，②联立①②解得a=3，b=一1．涉及知识点：一元函数微分学21．设f(x)在[0，+∞)上连续，f(0)=0，f’’(x)在(0，+∞)内恒大于零，证明g(x)=在(0，+∞)内单调增加．正确答案：方法一因为f’’(x)＞0，所以f’(x)在(0，+∞)单调增加，故f’(x)＞f’(ξ)，即g’(x)＞0，从而g(x)在(0，+∞)单调增加．方法二g’(x)=，欲证分子φ(x)=f’(x)x－f(x)大于零，因为φ’(x)=f’’(x)x+f’(x)一f’(x)=f’’(x)x＞0(x＞0)，所以x＞0时φ(x)单调增加，即φ(x)＞φ(0)=0，故当x＞0，g(x)在(0，+∞)内单调增加．涉及知识点：一元函数微分学22．设f(x)在[a，b]上具有一、二阶导数，f(a)=f(b)=0，又F(x)=(x一a)2f(x)．证明F(x)在(a，b)内至少存在一点ζ，使F’’(ζ)=0．正确答案：显然，F(x)在[a，b]上满足罗尔定理条件，故存在η∈(a，b)，使F’(η)=0，又由F’(x)=2(x一a)f(x)+(x一a)2f’(x)，知F’(a)=0．因此，F’(x)在[a，η]上满足罗尔定理条件，故存在ζ∈(a，η)(a，b)，使得F’’(ζ)=0．涉及知识点：一元函数微分学23．当0＜x＜π时，证明．正确答案：令F(x)=，则F(0)=F(π)=0．又F’(x)=＜F’(0)＞F’(x)＞F’(π)．而F’(0)=＜0，判别不出F’(x)的正负．注意到F’’(x)＜0，则F(x)在0＜x＜π时是凸曲线，由于F(0)=F(π)=0，故F(x)＞0，即，得证．涉及知识点：一元函数微分学24．设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，k为正整数，求证：存在一点ξ∈(0，1)使得ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．正确答案：xf’(x)+kf(x)=f’(x)，整理得，(x一1)f’(x)=一kf(x)，分离变量得，两边积分得lnf(x)=一kln(1一x)+C1，整理得lnf(x)(1一x)k=C1，即f(x)(1一x)k=C，所以设F(x)=f(x)(1一x)k，F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又F(0)=0，F(1)=0，则F(x)在[0，1]上满足罗尔定理，故存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即ξf’(ξ)+kf(ξ)=f’(ξ)．涉及知识点：一元函数微分学25．证明当x＞0时，有．正确答案：分析可得＞0，又可构造辅助函数，用单调性证明．令F(x)=(0＜x＜+∞)，因为F’(x)=＜0，所以F(x)在(0，+∞)上单调减少，又=0，所以，对一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即．涉及知识点：一元函数微分学26．某企业计划生产一批服装a件，分若干批进行生产，设生产每批服装需要固定支出1000元，而每批生产直接消耗的费用与产品数量的平方成正比，已知当每批服装生产数量是40件时，直接消耗的生产费用是800元，问每批服装生产多少件时，才能使总费用最少?正确答案：设每批生产x件，则一年内生产批，每批生产直接消耗费用为p，则p=kx2，又因为根据条件，每批产品40件时，直接消耗的生产费用为800，所以，800=k402，即k=x2，该产品的总费用y为y=．0＜x≤a，又因为在实际问题中唯一的极值点就是最值点，所以当x=≈45时，总费用最小．涉及知识点：一元函数微分学。
专升本高等数学二(一元函数微分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（一元函数微分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且f(x0)为f(x)的一个极小值，则= ( )A．一2B．0C．1D．2正确答案：B解析：因f(x)在x=x0处取得极值，且可导，于是f’(x0)=0．又=2f’(x0)=0．知识模块：一元函数微分学2．设函数f(x)=e－x2，则f’(x)等于( )A．一2e－x2B．2e－x2C．一2xe－x2D．2xe－x2正确答案：C解析：因f(x)=e－x2，则f’(x)=e－x2．(一2x)=一2xe－x2．知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)=2lnx+ex，则f’(2)= ( )A．eB．1C．1+e2D．ln2正确答案：C解析：因f(x)=2lnx+ex，于是f’(x)=＋ex，故f’(2)=1+e2．知识模块：一元函数微分学4．设y=exsinx，则y’’’= ( )A．cosx．exB．sinx．exC．2ex(cosx—sinx)D．2ex(sinx—cosx)正确答案：C解析：y’=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)，y’’=ex(sinx+cosx)+ex(cosx—sinx)=2excosx，y’’’=2excosx一2exsinx=2ex(cosx—sinx)．知识模块：一元函数微分学5．设f(x)可导，且满足=一2，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为( )A．4B．一4C．1D．一1正确答案：D解析：=2f’(1)=一2，故f’(1)=一1．知识模块：一元函数微分学6．曲线y=1+( )A．有水平渐近线，无铅直渐近线B．无水平渐近线，有铅直渐近线C．既有水平渐近线，又有铅直渐近线D．既无水平渐近线，也无铅直渐近线正确答案：C解析：对于曲线y==1，故有水平渐近线y=1；又=一∞，故曲线有铅直渐近线x=一1．知识模块：一元函数微分学7．曲线y==1的水平渐近线的方程是( )A．y=2B．y=一2C．y=1D．y=一1正确答案：D解析：=一1，所以水平渐近线为y=一1．知识模块：一元函数微分学8．曲线y=(x一1)2(x一3)2的拐点个数为( )A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：本题考察曲线拐点的概念，可直接求函数二阶导数为零的点，再判断在零点左右两侧的二阶导数是否异号，以求出拐点，但由于函数的一阶、二阶导数有明显的几何意义，因而这类题目若能结合曲线的形状，往往判断起来更为方便，本题的曲线对称于直线x=2，所以它或者没有拐点，或者只有两个拐点，因此B与D被排除掉，又y’=4(x一1)(x一2)(x一3)，对导函数y’应用罗尔定理，知y’’有两个零点，从而知曲线有两个拐点，故选C．知识模块：一元函数微分学9．方程x3一3x+1=0 ( )A．无实根B．有唯一实根C．有两个实根D．有三个实根正确答案：D解析：令f(x)=x3一3x+1，则f’(x)=3(x＋1)(x－1)，可知，当一1＜x＜1时，f’(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1或x＜一1时，f’(x)＞0，f(x)单调递增，因f(一2)=一1＜0，f(一1)一3＞0，f(1)=一1＜0，f(2)一3＞0，由零点定理及f(x)的单调性知，在(一2，一1)，(－1，1)及(1，2)各存在一个实根，故f(x)=x3一3x+1有且只有三个实根，故选D．知识模块：一元函数微分学填空题10．设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，f’(0)=b，若F(x)=在x=0处连续，则常数A=________．正确答案：a+b解析：由函数F(x)在x=0处连续可得=F(0)，即=b+a=A．知识模块：一元函数微分学11．设y=2x，则y(n)=________．正确答案：(ln2)n2x解析：y=2x，y’=2xln2，y’’=2x．ln2．ln2=(ln2)22x，y’’’=(ln2)2．2x．ln2=(ln2)3．2x，…y(n)=(ln2)n2x．知识模块：一元函数微分学12．设y=，则y’=_________．正确答案：解析：知识模块：一元函数微分学13．设f(x)=ax3一6ax2+b在区间[一1，2]的最大值为2，最小值为一29，又知a＞0，则a=_________，b=_________．正确答案：，2解析：f’(x)=3ax2－12ax，f’(x)=0，则x=0或x=4，而x=4不在[一1，2]中，故舍去，f’’(x)=6ax一12a，f’’(0)=一12a，因为a＞0，所以f’’(0)＜0，所以x=0是极大值点．又因f(一1)=一a一6a+b=b一7a，f(0)=b，f(2)=8a一24a+b=b一16a，因为a＞0，故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小．所以b一16a=一29，即16a=2+29=31，故a=．知识模块：一元函数微分学14．若=1，则f(x)在x=a处取极_________值．正确答案：小解析：一1＞0，又有(x一a)2＞0，则由极限的保号性可知f(x)一f(a)＞0，故f(a)为极小值．知识模块：一元函数微分学解答题15．求y=的n阶导数．正确答案：y’=，y’’=，y’’’=，依次类推y(n)=(一1)n．涉及知识点：一元函数微分学16．求函数y=ln(x+)的二阶导数y’’．正确答案：y’’=．涉及知识点：一元函数微分学17．设x=φ(y)是严格单调的连续函数y=f(x)的反函数，且f(1)=9，f’(1)=一，求φ’(9)．正确答案：φ’(y)=，而f(1)=9，f’(1)=一，故φ’(9)=．涉及知识点：一元函数微分学18．设y=y(x)由所确定，f’’(t)存在且f’’(t)≠0，求．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学19．设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且f(0)=f’(0)=0，试求函数g(x)=的导数．正确答案：当x≠0时，g’(x)=；涉及知识点：一元函数微分学20．求曲线y=x3一3x+5的拐点．正确答案：y’=3x2一3，y’’=6x．令y’’=0，解得x=0．当x＜0时，y＜0；当x＞0时，y’’＞0，当x=0时，y=5．因此，点(0，5)为所给曲线的拐点．涉及知识点：一元函数微分学已知f(x)是定义在R上的单调递减的可导函数，且f(1)=2，函数F(x)=∫0xf(t)dt一x2—1．21．判别曲线y=F(x)在R上的凹凸性，并说明理由；正确答案：∵F’(x)=f(x)一2x，F’’(x)=f(x)一2，且由题意知f’(x)≤0(x∈R)，∴F’’(x)＜0(x∈R)，故曲线y=F(x)在R上是凸的；涉及知识点：一元函数微分学22．证明：方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．正确答案：显然F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=一1＜0，F(1)=∫01f(t)dt一2＞∫012dt一2=0，∴方程F(x)=0在区间(0，1)内至少有一个实根．由F’’(x)＜0知F’(x)在R上单调递减，∴x＜1时，有F’(x)＞F’(1)=f(1)一2=0，由此知F(x)在(0，1)内单调递增，因此方程F(x)=0在(0，1)内至多只有一个实根，故方程F(x)=0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．涉及知识点：一元函数微分学23．若f(x)在[0，1]上有三阶导数，且f(0)=f(1)=0，设F(x)=x3f(x)，试证在(0，1)内至少存在一个ξ，使F’’’(ξ)=0．正确答案：由题设可知F(x)，F’(x)，F’’(x)，F’’’(x)在[0，1]上存在，又F(0)=0，F(1)=f(1)=0，由罗尔定理，存在ξ1∈(0，1)使F’(ξ1)=0．又F’(0)=[3x2f(x)+x3f’(x)]｜x=0=0，F’(x)在[0，ξ1]上应用罗尔定理，存在ξ2∈(0，ξ1)(0，1)使F’’(ξ2)=0，又F’’(0)=[6xf(x)+6x2f’(x)+x3f’’(x)]｜x=0=0，对F’’(x)在[0，ξ2]上再次用罗尔定理，存在ξ∈(0，ξ2)(0，1)使F’’’(ξ)=0．涉及知识点：一元函数微分学24．设0＜a＜b＜1，证明不等式arctanb—arctana＜．正确答案：只需证明，在[a，b]上用拉格朗日中值定理，涉及知识点：一元函数微分学25．证明：当x＞0时，有不等式(1+x)ln(1+x)＞arctanx．正确答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)一arctanx，f’(x)=ln(1+x)+1一，f’’(x)=当x＞0时，f’’(x)＞0，则f’(x)单调递增，故有f’(x)＞f’(0)=0，则f(x)单调递增，故有f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)＞arctanx．涉及知识点：一元函数微分学26．证明当x＞0时，x＞ln(1+x)．正确答案：令F(x)=x—ln(1+x)，由F’(x)=1－＞0(当x＞0时)知F(x)单调增加，又F(0)=0，所以，当x＞0时，F(x)＞0，即x—ln(1+x)＞0，即x＞ln(1+x)．涉及知识点：一元函数微分学27．设有底为等边三角形的直柱体，体积为V，要使其表面积为最小，问底边的长应为多少?正确答案：设底边长为x，直柱体高为y，则V=，S’=，令S’=0得为极小值点，故在实际问题中，也为最小值点，即底边为时，表面积最小．涉及知识点：一元函数微分学。
专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷3
专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷3(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数f(x)在x=0，则（分数：2.00）A.f(0)=0且f －' (0)存在B.f(0)=1且f －' (0)存在C.f(0)=0且f ＋' (0)存在√D.f(0)=1且f ＋' (0)存在解析：解析：因为f(x)在x=0处连续，且=1，所以f(0)=0．从而有＋' (0)，故选C．2.设f(x)=e 2 + ，则f '（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：f ' (x)=(e 2 ) '3.设函数f(x)=xsinx，则f '（分数：2.00）B.1 √D.2π解析：解析：因为f ' (x)=sinx+xcosx，所以．4.函数x=0处 ( )（分数：2.00）A.连续且可导B.连续且不可导√C.不连续D.不仅可导，导数也连续解析：解析：因为=0=f(0)，所以函数在x=0处连续；所以函数在x=0处不可导．5.设y=x 2 +2x一1(x＞0)，则其反函数x=φ(y)在y=2处导数是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：y=x 2 +2x一1(x＞0)，y ' =2x+2，y=2时，x=1或x=一3(舍)，y ' (1)=4，所以x=φ(y)在y=2处的导数为φ'，故选A．6.已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，则在点x=0处f(x) ( )（分数：2.00）A.不可导B.可导且f(0)≠0C.取得极大值D.取得极小值√解析：解析：因为＞0，由极限的保号性知，存在x=00，因此在该邻域内有f(x)＞f(0)，所以f(x)在x=0处取极小值，故选D．7.函数y=e x +arctanx在区间[一1，1]上 ( )（分数：2.00）A.单调减少B.单调增加√C.无最大值D.无最小值解析：解析：因y ' =e x0处处成立，于是函数在(－∞，+∞)内都是单调增加的，故在[一1，1]上单调增加，在区间端点处取得最值．8.设函数f(x)满足关系式f '' (x)+[f ' (x)] 2 =x，且f ' (0)=0，则 ( )（分数：2.00）A.f(0)是f(x)的极大值B.f(0)是f(x)的极小值C.点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点√D.f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点解析：解析：由f ' (0)=0及f '' (x)+[f ' (x)] 2 =x知f '' (0)=0且f '' (x)=x一[f ' (x)] 2，又x，f' (x)可导，所以f '' (x)可导，于是f ''' (x)=1—2f ' (x)f '' (x)，f ''' (0)=1＞0，而f '''，故f '' (x)在x=0左、右两侧异号，故选C．9.设f(x)在[0，a]上二次可微，且xf ' (x)一f(x)＜0，则(0，a)内是 ( )（分数：2.00）A.单调减少√B.单调增加C.有增有减D.不增不减(0，a)内单调减少．10.点(0，1)是曲线y=ax 3 +bx 2 +c的拐点，则有 ( )（分数：2.00）A.a=1，b=一3，c=1B.a≠0，b=0，c=1 √C.a=1，b=0，c为任意D.a、b为任意，c=1解析：解析：(0，1)在曲线上，所以c=1，y ' =3ax 2 +2bx ，y '' =6ax+2b ，(0，1)为拐点，所以y ''(0)=0，得a≠0，b=0，故选B ．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)11.设f '(x)=g(x)，则2x)]= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：g(sin 2x)sin2x ）解析：解析：2 x)]=f ' (sin 2 x)．(sin 2 x) ' =2sinxcosxf ' (sin 2 x)=sin2xg(sin 2x)．12.设y=(3x+1) 27，则y (27)= 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3 27．27！）解析：解析：对于形如y=(ax+b) n的函数，其k 阶导为y (k)k (ax+b) n －k，对于此题n=k=27，a=3，b=1，所以y (27)=27！．3 27 ． 13.若f '(x 0 )=1，f(x 0 )=0，则= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1）解析：解析：－f '(x 0 )=－1．14.函数F(x)=∫ 1 x(2－＞0)的单调递减区间是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0＜x ＜[*]）解析：解析：由F(x)=∫ 1 x(2一 )dt(x ＞0)，则F '(x)=2一． 令F '(x)=0，得时，F '(x)＜0，F(x)单调递减．15.设点(x 0 ，f(x 0 ))是曲线y=f(x)的拐点，且f ''(x 0 )≠0，则f ''(x 0 )必定 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：不存在） 解析：解析：拐点是二阶导数为0的点或是二阶导数不存在的点．三、解答题(总题数：11，分数：24.00)16.当h→0，f(x 0 +3h)一f(x 0 )+2h 是h 的高阶无穷小量，求f '(x 0 )． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为h→0，f(x 0 +3h)－f(x 0 )+2h 是h 的高阶无穷小量，即 所以，3f '(x)+2=0，即f '(x 0．)解析：17.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：则根据点斜式求得切线方程为y=a+[x 一a[一1)]=x +2a ．)解析：18.设f(x)在x=1处有连续导数，且f ' (1)=2，求（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：19.设y=y(x)由所确定，求（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：，由隐函数求导)解析：20.计算lnl．01的近似值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由微分定义可知f(x+△x)=f(x)+f '(x)△x，令f(x)=lnx，则ln1．01=f(1．01)=f(1)+f ' (1)．0．01=0+1．0．01=0．01．)解析：给定曲线 4.00）(1).求曲线在横坐标为x 0的点处的切线方程；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由y ' = 可知曲线y= 在横坐标为x 0的点处的切线方程为) 解析：(2).求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由切线方程y一(x—x 0 )分别令y=0，x=0可求得该切线在x轴，y轴上的截距分别为设该切线被两坐标轴所截线段长度为L，则L 2=X 2＋Y 2= ．令=0，得驻点x 0 = ．由此可知，L 2在x 0 = 处取得极小值，即最小值，)解析：21.设f(x)在[a，b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明：至少存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+f ' (ξ)=0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因[e x f(x)] ' =e x f(x)+e x f ' (x)=e x [f(x)+f ' (x)]，故设F(x)=e x f(x)，显然F(x)在[a，b]上连续且可导，F(a)=F(b)=0．由罗尔定理，至少存在ξ∈(a，b)，使F ' (ξ)=0．即e ξ [F(ξ)+f ' (ξ)]=0，e ξ＞0，则f(ξ)+f ' (ξ)=0．)解析：22.设f(x)在[0，c]上有定义，f ' (x)存在且单调减少，f(0)=0，证明对于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：在[0，a]上用拉格朗日中值定理得 f(a)一f(0)=f ' (ξ)(a一0)，(0＜ξ＜a) 即有f(a)=af '(ξ)，(0＜ξ＜a) 再对f(x)在[b，a+b]上应用拉格朗日中值定理得f(b+a)=f(b)+f '(η)a，(b＜η＜a+b) 因为f '(x)单调减少，且ξ＜a≤b＜η，则有f '(ξ)＞f '(η)，而a≥0，故af '(ξ)≥af ' (η)，于是f(a+b)≤f(b)+af ' (ξ)=f(b)+f(a)．)解析：23.证明：当0＜x sinx+tanx＞2x．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设f(x)=sinx+tanx一2x，f ' (x)=cosx+sec 2 x一2， f '' (x)=一sinx+2sec 2xtanx=sinx(2sec 3 x一1)＞0，x∈(0，)，因此f ' (x)单调增加，故f ' (x)＞f ' (0)=0，因此f(x)单调增加，故f(x)＞f(0)=0，即sinx+tanx＞2x,x∈(0，)．)解析：24.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，，证明至少存在一个ξ∈(0，1)，使f ' (ξ)=1．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令F(x)=f(x)一x，则有F(0)=f(0)一0=0，F(1)=f(1)一1=一1＜0，＞0．又F(x)在[ ，1]上连续，故由零点定理知，存在η∈( ，1)，使F(η)=0，在[0，η]上利用罗尔定理知，至少存在ξ∈(0，η(0，1)，使F ' (ξ)=0，f ' (ξ)=1．)解析：25.设一物体下端为直圆柱，上端为半球形，如果此物体的体积为V，问这物体的尺寸各是多少时，才能使其表面积最小?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设底面半径为r，圆柱高为h，则V=πr 2h+ πr 3，S=3πr 2+2πrh，经验证其为极小值点，在此问题中也为最小值点，r代入h中解得h= ，所以底面半径和直圆柱的高均为时，S有最小值．)解析：。
专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设f(x)在x0处不连续，则( )A．f’(x0)必存在B．f’(x0)必不存在C．f(x)必存在D．f(x)必不存在正确答案：B解析：f(x)在x0处不连续，是指连续性的三要素之一不满足，因此C、D都不对，由于可导必连续，则不连续必不可导，所以A不对，故选B．知识模块：一元函数微分学2．设函数f(x)=｜x3一1｜φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的( )。
A．充分必要条件B．充分但非必要条件C．必要但非充分条件D．既非充分又非必要条件正确答案：A解析：由φ(1)=0可知即f＋’(1)=f －’(1)=0，所以，f’(1)=0．设f(x)在x=1处可导，因为f(1)=0，所以(x2+x+1)φ(x)=3φ(1)，知识模块：一元函数微分学3．设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=( ) A．一2f’(0)B．一f’(0)C．f’(0)D．0正确答案：B解析：由于f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=f’(0)一2f’(0)=一f’(0)．知识模块：一元函数微分学4．若f(x一1)=x2一1，则f’(x)等于( )A．2x+2B．x(x+1)C．x(x一1)D．2x一1正确答案：A解析：因f(x一1)=x2一1=(x—1)(x一1+2)，故f(x)=x2+2x，则f’(x)=2x＋2．知识模块：一元函数微分学5．函数y=f(x)可导，则y=f｛f[f(x)]｝的导数为( )A．f’｛[f(x)]｝B．f’｛f’[f’(x)]｝C．f’｛f[f(x)]｝f’(x)D．f’｛f[f(x)]｝f’[f(x)]f’(x)正确答案：D解析：y’(x)=(f{f[f(x)]})’=f’{f[f(x)]}f’[f(x)]f’(x)，故选D．知识模块：一元函数微分学6．设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f’(x)＜0，则下列结论成立的是( )A．f(0)＜0B．f(1)＞0C．f(1)＞f(0)D．f(1)＜f(0)正确答案：D解析：因f’(x)＜0，x∈(0，1)，可知f(x)在[0，1]上是单调递减的，故f(1)＜f(0)．知识模块：一元函数微分学7．设函数f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f’(x)＞0，若f(a)．f(b)＜0，则y=f(x)在(a，b) ( )A．不存在零点B．存在唯一零点C．存在极大值点D．存在极小值点正确答案：B解析：由题意知，f(x)在(a，b)上单调递增，且f(a)．f(b)＜0，则由零点定理以及单调性可得y=f(x)在(a，b)内存在唯一零点．知识模块：一元函数微分学8．曲线y=( )A．没有渐近线B．仅有水平渐近线C．仅有铅直渐近线D．既有水平渐近线，又有铅直渐近线正确答案：D解析：因=1，所以y=1为水平渐近线，又因=∞，所以x=0为铅直渐近线．知识模块：一元函数微分学9．下列函数在给定区间满足罗尔定理条件的有( )A．f(x)=B．y=C．y=xex，[0，1]D．y=x2一1，[一1，1]正确答案：D解析：A选项中，函数在x=5处不连续；B选项中，函数在x=1处不连续；C选项中，y(0)≠y(1)；D选项中，函数在[一1，1]连续，在(一1，1)可导，y(－1)=y(1)，符合罗尔定理条件，故选D．知识模块：一元函数微分学10．要制作一个有盖铁桶，其容积为V，要想所用铁皮最省，则底面半径和高的比例为( )A．1：2B．1：1C．2：1D．正确答案：A解析：设底面半径为r，高为h，则有V=πr2h，S=2πrh＋2πr2=+2πr2，S’(r)=一＋4πr=，由于驻点唯一，必是最值点，此时h=，则r：h=1：2．知识模块：一元函数微分学填空题11．设函数y=sin(x一2)，则y’’=________．正确答案：一sin(x一2)解析：因为y=sin(x一2)，y’=cos(x一2)，y’’=一sin(x一2)．知识模块：一元函数微分学12．设函数f(x)有连续的二阶导数且f(0)=0，f’(0)=1，f’’(0)=一2，则=_______．正确答案：一1解析：=一1．知识模块：一元函数微分学13．y=y(x)是由方程xy=ey－x确定的函数，则dy=_______．正确答案：解析：方程两边对x求导，注意y是x的函数，有y+xy’=ey－x(y’一1)，所以y’=．知识模块：一元函数微分学14．函数y=cosx在[0，2π]上满足罗尔定理，则ξ=_________．正确答案：π解析：y’=一sinx，因函数在[0，2π]上满足罗尔定理，故存在ξ∈(0，2π)，使一sinξ=0，故ξ=π．知识模块：一元函数微分学15．若函数f(x)在[0，1]上满足f’’(x)＞0，则f’(0)，f’(1)，f(1)一f(0)的大小顺序为_________．正确答案：f’(1)＞f(1)一f(0)＞f’(0)解析：f’’(x)＞0，则f’(x)单调递增，又有拉格朗日中值定理得f(1)一f(0)=f’(ξ)(1一0)=f’(ξ)，ξ∈(0，1)．故有f’(1)＞f’(ξ)＞f’(0)，即f’(1)＞f(1)一f(0)＞f’(0)．知识模块：一元函数微分学解答题16．设f(x)=其中a、b、A为常数，试讨论a、b、A为何值时，f(x)在x=0处可导?正确答案：若函数f(x)在x=0可导，则函数f(x)也连续，故有=f(0)，f＋’(0)=f－’(0)，涉及知识点：一元函数微分学17．设y=，求y’．正确答案：涉及知识点：一元函数微分学18．设=a，且f’(0)存在，求f’(0)．正确答案：∴f’(0)=a．涉及知识点：一元函数微分学19．求函数x=cosxy的导数．正确答案：等式两边关于x求导，可得1=一(sinxy)(xy)’=一(sinxy)(y+xy’)，整理后得(xsinxy)y’=一1一ysinxy，从而y’=．涉及知识点：一元函数微分学20．已知y=，f’(x)=arctanx2，计算．正确答案：令y=f(μ)，μ=，则涉及知识点：一元函数微分学21．讨论曲线y=的单调性、极值、凸凹性、拐点．正确答案：y=，令y’=0得x=e．而y’’=，令y’’=0，得x=e2．当x→1时，y→∞，则x=1为垂直渐近线．当0＜x＜1时，y’＜0，y’’＜0，故y单调下降，且是凸的．当1＜x＜e时，y’＜0，y’’＞0，故y单调下降，且是凹的．当e＜x＜e2时，y’＞0，y’’＞0，故y单调上升，且是凹的．当e2＜x＜+∞时，y’＞0，y’’＜0，故y单调上升，且是凸的．当x=e时，y有极小值2e，且(e2，e2)是拐点．涉及知识点：一元函数微分学22．设f(x)在[1，e]可导，且f(1)=0，f(e)=1，试证f’(x)=在(1，e)至少有一个实根．正确答案：设F(x)=f(x)一lnx，F(1)=0，F(e)=0，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(1，e)使F’(ξ)=0，即f’(ξ)一=0，所以f’(x)=在(1，e)至少有一个实根．涉及知识点：一元函数微分学23．设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证明对任意给定的正数a及b，在(0，1)内必存在不相等的x1，x2，使=a+b．正确答案：因a，b＞0，故0＜＜1，又因f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，由介值定理，必存在ζ∈(0，1)，使f(ζ)=．又分别在[0，ζ]，[ζ，1]上用拉格朗日中值定理，得f(ζ)一f(0)=(ζ一0)f’(x1)，f(1)一f(ζ)=(1一ζ)f’(x2)(其中0＜x1＜ζ＜x2＜1)即有=1－ζ．考虑到1－，并将上两式相加，得=1，即存在不相等的x1，x2使=a+b．涉及知识点：一元函数微分学24．利用拉格朗日中值定理证明：当x＞1时，ex＞ex．正确答案：令f(μ)=eμ，μ∈[1，x]．容易验证f(μ)在[1，x]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在ξ∈(1，x)，使=f’(ξ)，即=eξ，因为ξ∈(1，x)，所以eξ＞e．即＞e，整理得，当x＞1时，ex＞ex．涉及知识点：一元函数微分学25．设a＞b＞0，n＞1，证明：nbn－1(a一b)＜an一bn＜nan－1(a一b)．正确答案：构造函数f(x)=xn(n＞1)，因为f(x)=xn在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，所以，存在一点ξ∈(a，b)使得f’(ξ)==nξn－1，又0＜a＜ξ＜b，故an－1＜ξn－1＜bn－1，所以nan－1＜nξn－1＜nbn－1，即nan－1＜＜nbn－1，整理得nan－1(b一a)＜bn一an＜nbn－1(b一a)．两边取负号得nbn－1(a一b)＜an一bn＜nan－1(a一b)．涉及知识点：一元函数微分学已知函数f(x)=．26．证明：当x＞0时，恒有f(x)+；正确答案：则可知F(x)=C，C为常数．当x=1时，F(1)=C=f(1)+f(1)=，故当x＞0时，F(x)=f(x)+恒成立；涉及知识点：一元函数微分学27．试问方程f(x)=x在区间(0，+∞)内有几个实根?正确答案：令g(x)=f(x)一x，则g‘(x)=一1＜0，故g(x)在(0，+∞)上单调递减，又则g(x)=0在(0，+∞)上有且仅有一个实根，即f(x)=x在(0，+∞)上只有一个实根．涉及知识点：一元函数微分学28．假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的销售量分别是Q1=，Q2=12一x，其中x为该产品在两个市场的价格(万元／吨)，该企业生产这种产品的总成本函数是C=2(Q1+Q2)+5，试确定x的值，使企业获得最大利润，并求出最大利润．正确答案：由已知条件得利润函数为L=(Q1+Q2)x—C=(Q1+Q2)x一2(Q1+Q2)一5=[＋(12－x)](x－2)一5=x2+24x一47，求导得L’=一3x+24，令L’=0，得驻点x=8．根据实际情况，L存在最大值，且驻点唯一，则驻点即为最大值点．Lmax=．82+24．8—47=49．故当两个市场价格为8万元／吨时，企业获得最大利润，此时最大利润为49万元．涉及知识点：一元函数微分学。
专升本一元函数微分学题目与答案A
二、一元函数微分学 练习题（A ） 一．选择题1．()1sin,00,0x f x x x x ⎧⎪=≠⎨⎪=⎩在0x =处 ( )A ． 极限不存在B ．极限存在但不连续C ．连续但不可导D ．可导但不连续 2．设()2421,f x x x =++则 ()=-'1f ( ) A ．1 B ．3 C ． -1 D ． -3 3．设()()ln 1f x x =+，则()()5f x = ( ) A ．()54!1x + B ．()54!1x -+C ．()55!1x + D ．()55!1x -+4．设()y f x =由方程()2cos 1x y e xy e +-=-所确定，则曲线()y f x =在点（0，1）的切线斜率(0)f '= ( )A ．2B ． -2C ．12 D ． -125．设()f x 在1x =有连续导数，且()12f '=,则(0lim x df dx+→= ( )A ． 1B ． -1C ． 2D ．-26. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是 ( )A. 1)]([!+n x f nB. 1)]([+n x f nC. n x f 2)]([D. n x f n 2)]([!7．设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, xdyy x ∆-∆→∆0lim等于 ( )A.－1B. 0 C .1 D. ∞8. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=b ax xx x f 1sin)(200≤>x x 在x = 0处可导, 则 ( ) A.a = 1, b = 0 B. a = 0, b 为任意常数 C. a = 0, b = 0 D.a = 1, b 为任意常数 9. 曲线2211x x ee y ---+=（ ）A.没有渐近线；B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D. 既有水平渐近线又有铅直渐近线 10. 设函数()x f 在点0可导，且()00=f ，则()=→xx f x 0lim( )A ．()x f 'B ．()0f 'C ．不存在D ．∞ 11. 当x =4π时，函数1()cos cos 44f x a x x =-取得极值，则a =（ ） A ．-2 B． CD ．212. 曲线y =322(1)x x -（ ） A ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线 B ．只有水平渐近线 C ．有垂直渐近线x=1D ．没有渐近线13. 设00()()0f x f x '''==，0()0f x ''<，则有（ ）A ．0()f x 是()f x 极大值；B ．0()f x 是()f x 极小值；C ．0()f x '是()f x '的极值；D ．点00(())x f x ，是曲线)(x f y =的拐点14. 已知函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，则()0f x '=有（ ）实根A 一个B 两个C 三个D 四个15. 设函数()f x 在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内()0f x '>是函数()f x 在(,)a b 内单调增的 （ ）A 必要非充分条件B 充分非必要条件C 充要条件D 无关条件 二．填空题1．设6y x k =+是曲线23613y x x =-+的一条切线，则k =2． 设()f x 在2x =连续，且(2)f =4，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭3． 直线l 与x 轴平行，且与曲线x y x e =-相切，则切点坐标是 4．()y f x =由方程33sin 60x y x y +-+=确定，则0x dy =∣= 5．设()10110n n n f x a x a x a x a --=++⋯++，则 ()()0n f = 6 . 设)('31)()(lim0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________.7. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e y x 确定, 则=dxdy____ __ 8. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ____ __9. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆xx n x f x m x f x )()(lim000___ ____10. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dxdy_____ __ 11. x xx f +-=11)(, 则)()(x f n = ___ ____12．设()f x =()f e '= 13． 7186223---=x x x y 单调区间_____ __14． )0(82>+=x x x y 单调区间___________ 15． x x x y 6941023+-=单调区间___________ 16． )1ln(2x x y ++=单调区间___________17． 53523++-=x x x y 拐点及凹或凸区间 __________ 18． )1ln(2+=x y 拐点及凹或凸区间___________ 19．)1ln(x x y +-=的极值___________ 20．x x y -+=1的极值____________21. 曲线32x y x =+的铅直渐近线为三、计算题 1.求下列函数的导数 (1)．531-=x y (2)．x x e y x+=1(3)．1004)13(-=x y (4)．122-+-=x x e y(5)．bx e y ax sin =（b a ,为常数） (6)．3cos 12e ey x x ++= (7)．xxy --+=1111 (8)．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=(9)．)1lg()1(22x e x y x -++=- (10)．)1ln(2x x y ++=(11)．xy 1tan 2= (12)． 322)13(+=x y(13)．101010lg 10x y x x =+++ (14).(2)a b y u +=(15).3333x y x =+ (16).3y =(17).2()(21)f t t t =- (18).y =(19). ln(y x = (20)．4)sin(=++xy e y x(21). x y x = (22). 22arctan()1xy x=-(23) ln(y x x = (24) 21(1)arctan cos 2y x x x =++(25) 2cos 3y x = (26) 22sin 0y x y --=(27) ln()y xy = (28) x y e y ln =2. 求下列函数的高阶导数（1）()2ln 1y x =-，求y ''； （2）()2y f x b =+，求y ''；（3）arcsin y x =，求y ''； （4）22arctan 1xy x=-，求y ''；（5）3ln y x x =，求 (4)y ； （6）11xy x-=+，求()n y ；（7）．已知2sin()0xy y π-=，求01|x y y =='及01|x y y ==-''；（8）.223=-y x y ，求22dxyd ；（9）. ln y x x = , 求 y ''.3.根据导数定义，求下列函数的导数 （1）12+=x y ，求1='x y ； （2）()ln f x x =，求()f x '.4. 求下列函数的微分 (1) 设 )ln(ln x y =，求 dy ；(2) 设ln tan 2xy =, 求dy ；(3) sin()y x y =+ ，求 'y 及 dy ；(4) 221cos 5ln xx y -+= ，求 y ' 及 dy ；(5) y e = y ' 及 dy ；(6) xy e y x -=, 求 y ' 及 dy ；(7) 求 13cos x y e x -= 的微分；(8) 设 cos 2x y e = ，求 dy ；(9) 3cos cos x y x x e =+，求 dy ；(10) 求 2xe y x= 的微分.5.求下列函数的极限(1)．x xx 5tan 3sin lim π→ (2). 求02lim sin x x x e e x x x-→---(3)．22)2(sin ln lim x xx -→ππ (4)．)0(lim ≠--→a a x a x nnm m a x(5)．xxx 2tan ln 7tan ln lim 0+→ (6)．x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→(7). xx x x x x sin 114lim 22+++-+-∞→ (8). 0lim sin x xx e e x-→-(9). 2ln cos 2lim()x x x ππ→- (10). cot limcot 3x xx π→(11). 0ln lim ln cot x xx+→ (12). 2lim x x x e -→+∞四．综合题1．设()f x 有任意阶导数，且()()2f x f x '=⎡⎤⎣⎦，求()()n f x .2. ')]310ln[cos(2y x y ，求+=.3. 方程 2cos 0y y x e += 确定 y 是 x 的函数，求 y '.4. 方程 0y x e e xy -+= 确定 y 是 x 的函数，求 y '.5. 已知 ()sin3f x x = ，求 ()2f π''.6. 判断函数的单调性（1）判断函数x y e x =-的单调性.（2）判断函数cos sin y x x x =+在区间3[,]22ππ的单调性.7．求下列函数的单调区间(1) 31292)(23-+-=x x x x f ； (2) 2()2ln f x x x =-；(3) ()f x = (4) 2()1xf x x=+.8.求拐点及凹凸区间（1）求曲线32231214y x x x =+-+的拐点；（2）问曲线 4y x =是否有拐点；（3）求曲线y =（4）求曲线43341y x x =-+的拐点及凹、凸的区间。
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专升本高等数学(一)分类模拟一元函数微分学(四)
一、选择题
问题:1. 下列函数在x=0处不可导的是______．
A． B．y=tan x
C．y=arccos x D．y=2x
答案:A
问题:2. 函数y=ex+arctan x在区间[-1，1]上______．
答案:A
二、填空题
问题:1. 设y=xex，则y"(0)=______．
答案:2．
问题:2. 设函数，则它在点x=______处有极______值，其值为______．
答案:2，大，．
问题:3. 曲线在x=3处的法线方程为______．
答案:27x-3y-79=0．
问题:4. 曲线的水平渐近线方程为______.
22. ；
答案:-0.15；
23. y=sin 2x-cos3x，x=0，Δx=0.01；
答案:02；
24. ，x=0，Δx=0.01；
答案:0；
25. y=sin ln x，．x=1，Δx=0.02；
答案:02；
26. ，x=e，Δx=0.01．
答案:
问题:27. 设，求y(n).
答案:由于，
因此
答案:因为g'(x)=cos x，所以y=f(cos x)=ecos x，则．
求由下列方程所确定的隐函数y=y(x)的导数：
18. ex-ey=sin(xy)；
答案:；
19. y3=x+arccos(xy)；
答案:；
20. x2-2xy+y3=0；
答案:；
21. x2=ln(x+y)+y．
专升本高等数学(一)-一元函数微分学(二)
专升本高等数学(一)-一元函数微分学(二)(总分：70.02，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：5，分数：10.00)1.设函数f(x)在x=x0处可导，且f'(x0)=2，则极限=______A． B．2 C． D．-2（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：2.设f(0)=0，且f'(0)存在，则=______ A．f'(x) B．f'(0) C．f(0) D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：3.设f(x)在x0处不连续，则______A．f'(x0)必存在 B．f'(x0)必不存在C．f(x)必存在 D f(x)必不存在（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：4.设函数f(x)=，则f'(x)等于______ A．-2 B．-2x C．2 D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：5.椭圆x2+2y2=27上横坐标与纵坐标相等的点处的切线斜率为______A．-1 B． C D．1（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：10，分数：20.00)6.f'(0)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：7.设函数f(x)在x=2处可导，且f'(2)=1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：8.设曲线y=x2-3x+4在点M处的切线斜率为-1，则点M的坐标为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：(1，2)）解析：9.y=，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：10.设y=x e+e x+lnx+e e，则y'= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：11.设y=x2·2x y'= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x·2x+x2·2x ln2）解析：12.设f(x)=ln(1+x2)，则f"(-1)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：13.设f(x)=sinx+lnx，则f"(1)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：-(1+sin1)）解析：14.设y=e sinx，则dy= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：e sinx·cosxdx）解析：15.设dy= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：4，分数：40.00)求下列由参数方程所确定的函数的导数．（分数：8.01）(1).设，求 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设y=f(x)由参数方程x=cost，y=sint-tcost 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设x=，y=，求 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：求下列隐函数的导数．（分数：8.01）(1).设由方程xy2-e xy+2=0确定的隐函数y=f(x) 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设y=f(x)由方程y3=x+arccos(xy) 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设y=f(x)由方程e xy+ylnx-cos2x=0 2.67）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：用对数求导法求下列函数的导数．（分数：12.00）(1).设y=x sinx，求y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设函数y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设函数y=arcsinx+x arctanx，求y'．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(4).f(x)在点x=0处可导，试确定a和b的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(函数f(x)在点x=0处可导，则它在x=0处必定连续．由于f(0)=e0=1，f(0-0)=[*]，f(0+0)=[*]，由函数的点连续的定义可知，f(0-0)=f(0+0)=f(0)，可得a=1．又函数f(x)在点x=0处可导，则函数f(x)在点x=0处的左导数f'-(x0)和右导数f'+(x0)都存在且相等，由于[*]因为f'-(x0)=f'+(x0)，于是可得b=1．)解析：求下列函数的高阶导数．（分数：12.00）(1).设函数y=ln(1+x2)，求y"．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设函数y=(1+x2)arctanx，求y"．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设f"(x)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(f"(x)=[*])解析：(4).设函数y=ln(1+x)，求y(n)．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：。
[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(二)分类模拟一元函数微分学(二)
[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(二)分类模拟一元函数 微分学(二)
答案:C[解析] f'(x)=-2sin2x，f'(0)=-2sin0=0。 问题:4. 设函数，则 f"(x)等于______
A． B． C． D． 答案:C[解析] 。
二、填空题 问题:1. 设函数，则 f'(x)=______。 答案:[解析] 作变量代换，令，则，即，所以。 问题:2. 设函数，则 f'(x)=______。 答案:2xcosx2[解析] 令，x=t2，则 f(t)=sint2，即 f(x)=sinx2，
答案:， 。
求微分。 5. 设函数 y=x4sinx，求 dy。 答案:y'=4x3sinx+x4cosx，dy=y'·dx=(4x3sinx+x4cosx)dx。 6. 设函数 y=ln(1-x2)，求 dy。 答案:
。 7. 设函数 y=e-xcosx，求 dy。 答案:y'=e-x(-x)'·cosx+e-x(-sinx)=-e-x(sinx+cosx)
求下列型未定式极限。 18. 求。 答案:使用洛必达法则求型未定式极限。
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[专升本(国家)考试密押题库与答案解析]专升本高等数学(二)分类模拟一元函数 微分学(二)
19. 求。 答案:选择进行变量代换，令，当时，t→0。有
求下列 0·∞型未定式极限。 20. 求。 答案:本为 0·∞型未定式极限，应先进行分式的恒等变形，化为型未定式后，使用洛必达法 则求出极限，即
问题:30. 要造一个容积为 32π 立方厘米的圆柱形容器。其侧面与上底用同一种材料，下底 面用另一种材料。已知下底面材料每平方厘米的价格为 3 元，侧面材料每平方厘米的价格 为 1 元，问该容器的底面半径 r 与高 h 各为多少时，造这个容器所用的材料费用最省。 答案:设 S 为材料费用函数，则 S=2πrh+πr2+3πr2，
专升本高等数学二(一元函数积分学)模拟试卷2
专升本高等数学二（一元函数积分学）模拟试卷2(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.cos x的一个原函数是（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：+C(C为任意常数)，可知当C=0时，cos x B．2.经过点(1，0)且在其上任一点x处的切线斜率为3x 2的曲线方程是 ( )（分数：2.00）A.y=x 3一1 √B.y=x 2一1C.y=x 3 +1D.y=x 3＋C解析：解析：因为y ' =3x 2 ,所以y=∫y ' dx=x 3 +C，又过点(1，0)，所以C=一1．3.已知∫f(x 2 )dx= +C，则（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：∫f(x 2 )dx= +C，两边求导得f(x 2 )= ，所以4.∫xf(x 2 )f ' (x 2 )dx= ( )（分数：2.00）2 (x 2 )+C √2 (x 2 )+C2 )+CD.4f 2 (x 2 )+C解析：解析：∫xf(x 2 )f ' (x 2 )dx= ∫f(x 2 )f ' (x 2 )d(x 2 )= ∫f(x 2 )df(x 2f 2 (x 2 )＋C．5.∫ －11 (3x 2 +sin 5 x)dx= ( )（分数：2.00）A.一2B.一1C.1D.2 √解析：解析：∫ －11 (3x 2 +sin 5x)dx=3∫ －11 x 2dx+∫ －11 sin 5 xdx，因为f 1 (x)=x 2为偶函数，所以∫ －11 x 2dx=2∫ 01 x 2 dx= ，因为f 2 (x)=sin 5 x为奇函数，所以∫ －11 sin 5 xdx=0．故∫ －11 (3x 2 +sin 5×3=2．∫ 0x e t dt= ( )（分数：2.00）A.e x√B.e x一1C.e x－1D.e x＋1解析：解析：因为∫ a x f(t)dt=f(x)，故0x e t dt=e x．7.设f(x)连续，则0x tf(x 2－t 2 dt)= ( )（分数：2.00）A.xf(x 2 ) √B.一xf(x 2 )C.2xf(x 2 )D.一2xf(x 2 )解析：解析：∫ 0x tf(x 2一t 2 )dt f(μ)dμ．则[∫ 0x tf(x 2－t 2x2 f(μ)dμ]=xf(x 2 )，故选A．8.设函数f(x)=∫ 0x e t2 dt，则f ' (0)= ( )（分数：2.00）A.0B.1 √C.2D.e解析：解析：因为f(x)=∫ 0x e t2 dt，所以f ' (x)=e x2，f ' (0)=1．9.由曲线y=x，x=2所围面积为( )（分数：2.00）A.∫ 12x)dxB.∫ 12 (x一√C.∫ 12 (2一12 (2一y)dyD.∫ 12 (2一12 (2一x)dx解析：解析：曲线y= 与直线y=x，x=2所围成的区域D如图3—4所示，则S D=∫ 12 (x一)dx．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x—arctanx+C）—arctanx+C．11.已知函数f(x)在[0，1]上有连续的二阶导数，且f(0)=1，f(1)=2，f '(1)=3，则定积分∫ 01xf ''(x)dx 的值等于 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：∫ 01 xf ''(x)dx=∫ 01 xdf ' (x)=xf ' (x)｜01－∫ 01 f ' (x)dx=f ' (1)一[f(1)一f(0)]=3—2+1=2．12.设f(x)=e －x，则∫ 12．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由f(x)=e －x知，f ' (x)=一e －x，因此f ' (lnx)= ，所以13.当p 1时，反常积分∫ 1＋∞收敛．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：＜0）解析：解析：=x p－1，∫ 0＋∞dx＜∫ 0＋∞ x p－1 dx= x p｜0＋∞，只有当P＜0时，∫ 0＋∞ x p－1 dx才收敛，也即∫ 0＋∞dx收敛，故p＜0时，∫ 0＋∞dx收敛．14.由y=x 3与Ox轴旋一周所得旋转体的体积为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：交于点(0，0)，(1，1)，故绕Ox轴旋转一周所得旋转体的体积为V=π∫ 01(x－x 6)dx=．三、解答题(总题数：10，分数：26.00)15.求∫(x—e x )dx．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：∫(x－e x)dx=∫xdx－∫e x一e x +C．)解析：16.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：17.求∫x 2 e x dx．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：∫x 2 e x dx=∫x 2 de x =x 2 e x一∫2xe x dx=x 2 e x一2∫xde x =x 2 e x一2(xe x－∫e x dx)=x 2 e x一2xe x +2e x +C．)解析：18.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令x=2sint，如图3—3，t∈，则dx=2costdt，)解析：19.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(=sin1．)解析：20.设∫ 1＋∞1)dx=1，求常数a，b．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由此积分收敛知，应有b一a=0，即b=a，故ln(1+a)=1，所以1+a=e，a=e一1，且b=e一1．)解析：21.若01 f(t)dt，求f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设∫ 01 f(t)dt=k，则两边同时在[0，1]上定积分得求得．) 解析：22.已知∫ 0x (x一t)f(t)dt=1一cosx，证明：∫ 0[*] f(x)dx=1．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因∫ 0x (x—t)f(t)dt=1一cosx，于是有∫ 0x x．f(t)dt—∫ 0x tf(t)dt=1一cosx，即x．∫ 0x f(t)dt—∫ 0x tf(t)dt=1一cosx，两边求导得∫ 0x f(t)dt+xf(x)一xf(x)=sinx，从而有∫ 0x f(t)dt=sinx，故=1．)解析：已知曲线y=x 2，（分数：6.00）(1).求该曲线在点(1，1)处的切线方程；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为y ' =2x，所以在点(1，1)处的切线方程为y=2(x一1)+1=2x一1；)解析：(2).求该曲线和该切线及直线y=0所围成的平面图形的面积S；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：S=∫ 01；)解析：(3).求上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：V=∫ 01π(x 2 ) 2 dx一．)解析：已知曲线y= (a＞0)与曲线(x 0，y 0 )处有公共切线，求（分数：4.00）(1).常数a及切点(x 0，y 0 )；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由题设条件可得解此方程组可得，x 0 =e 2，y 0 =1，于是切点为(e 2，1)．)解析：(2).两曲线与x轴围成的平面图形的面积S．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：画出曲线y= 的图形，则两曲线与x轴围成的平面图形(如图3—7)的面积S=∫1 (e 2y一e2 y 2 )dy= ．)解析：。
专升本高等数学第三章一元函数微积分练习题
第三章 一元函数积分学1、计算下列不定积分 （1）⎰-942x dx （2）⎰++dx x x 5212（3）⎰+-245xx dx（4）⎰+dx x 922（5）dx xe x⎰-+)12(2（6）dx xx 2)2cos 2(sin ⎰-（7）dx x x x ⎰-)tan (sec sec （8）dx x x x⎰-sin cos 2cos2、计算下列不定积分 （1）⎰+-dx xx x )1)(12(（2）dx x ⎰-)32cos(π（3）dx x ⎰-32)12(（4）dx x x ⎰2cos（5）dx x ⎰-232（6）xdx e x cos 2⎰（7）⎰dx x x 2arcsin （8）⎰+22)9(x dx（9）⎰x dx 3sin（10）xdx e x 3sin 2⎰-（11）⎰xdx x 5sin 3sin3、计算下列不定积分 （1）dx x x ⎰++3131（2）dx xx⎰+31（3）dx xx⎰-241（4）dx x x ⎰-229（5）dx x x ⎰+222)1( （6）⎰+dx xx )1(1104、计算下列不定积分 （1）xdx x cos 2⎰（2）⎰dx e x x 32（3）⎰+dx x x )1ln(4（4）xdx x arccos 2⎰（5）dx xxx ⎰-+11ln（6）⎰xdx arc cot（7）dx x x ⎰++)1ln(2（8）dx xx x ⎰-21arcsin5、求下列极限 （1）341limx dt t xx ⎰++∞→（2）2)1ln(limx dt t xx ⎰+→6、计算下列定积分 （1）dx x x⎰--+213（2）dx x x ⎰-+1123)3(（3）dx x x ⎰+5231（4）dx xx ⎰-+210211（5）⎰+101xe dx（6）dx x x⎰-743（7）⎰+21ln 1e xx dx（8）dx x )2(cos 02⎰π7、计算下列定积分（1）dx xxe⎰+1ln 1（2）dx e x ⎰-2ln 01（3）dx xx⎰++311 （4）dx ee xx⎰+2ln 021 （5）dx xx ⎰-2121（6）dx x ⎰-1248、计算下列定积分 （1）dx x⎰+12)1ln(（2）dx x ⎰31arctan（3）dx ex ⎰-12112（4）xdx x2cos 2⎰-ππ9、求下列图形的面积 （1）曲线xxe y e y -==,与直线1=x 所围成的图形（2）曲线x y 22=与022=-+x y 所围成的图形（3）曲线x y -=1与x 轴、y 轴所围成的图形10、设曲线21x y -=，x 轴与y 轴在第一象限所围成的图形被曲线2ax y =分为面积相等的两部分，其中0>a 为常数，试确定a 的值.11、求下列各组曲线所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转，所得的旋转体体积 （1）1,12+=+=x y x y（2）e x y x y ===,0,ln（3）1,0,3===x y x y12、在曲线)0(2≥=x x y 上某一点处作一切线，使之与曲线及x 轴所围图形的面积为121， 试求：（1）切点A 的坐标； （2）过切点A 的切线方程（3）由上述所围成平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积13、已知曲线三角形由抛物线x y 22=及直线1,0==y x 所围成，求 （1）曲边三角形的面积；（2）该曲边三角形绕0=y 旋转成所旋转体的体积14、求由曲线xe y -=与直线0,1,0===y x x 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积.习题答案1、（1）C x x +-+942ln 212；（2）C x ++21arctan21；（3）C x x x ++-+-)452ln(2 （4）C x x x x +++++)922ln(42992222；（5）C x e x++arcsin 2；（6）C x x ++cos ；（7）C x x +-sec tan ；（8）C x x +-cos sin 2、 （1）C x x x x +--+21232234（2）C x +-)32sin(21π（3）C x +-35)12(103（4）C x +2sin 21（5）C x x x x +-+--233ln 3323222 （6）C x x e x++)cos 2(sin 512（7）C x xx x +-+-22442arcsin )12( （8）C x x x +++3arctan 541)9(182 （9）C x x x x +-+-cot csc ln 21sin 2cos 2 （10）C x x e x++--)3cos 33sin 2(132 （11）C x x ++-2sin 418sin 161 3、 （1）C x x +++32)13)(2(51；（2）C x x x x +-+-61216567arctan 625676（3）C xx +--242ln21； （4）C xx x x +---+99ln 22（5）C x xx ++⋅-2121arctan 21 （6）C x x ++10101ln101 4、 （1）C x x x x ++-cos 2sin )2(2（2）C e xe e x xx x ++-33322729231 （3）C x x x x ++-+2242arctan )1ln(21 （4）C x x x x +-+-222192arccos 3（5）C xx x x x x +-+-+-+11ln 2111ln 212 （6）C x x xarc +++21ln cot （7）C x x x x ++-++1)1ln(22（8）C x x x ++--arcsin 12 5、 （1）31；（2）21 6、 （1）12ln 3-； （2）2；（3）)26ln 25(21- （4）1236+-π（5）)1ln(2ln 1e +-+ （6）332 （7）)13(2- （8）2π 7、 （1）23 ；（2）22π-；（3）35；（4）42arctan π-；（5）33π-；（6）233+π8、 （1）2ln 22+-π（2）3165-+π（3）1（4）π9、 （1）21-+-e e （2）49（3）32 10、3=a 11、（1）6,157ππ==y x V V ；（2）)1(2),2(2+=-=e V e V y x ππ；（3）ππ52,7==y x V V 12、（1）)1,1(A ；（2）12-=x y ；（3）30π=x V13、（1）61；（2）4π； 14、)21(21--e π。