杭州师范大学题库：高等数学B卷(期末样卷)

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浙江省杭州师范大学附属中学2025届高三数学第一学期期末达标检测试题含解析

浙江省杭州师范大学附属中学2025届高三数学第一学期期末达标检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数1()ln ||1x f x x+=-的图象大致为 A ． B ． C ．D ．2．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A B =（）A ．{}2345，，，B ．{}234，，C ．{}1234，，，D ．{}01234，，，， 3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥其中正确的是（）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④4．不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（） A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>C ．(),x y ∀∈Ω，231y x +>-D ．(),x y ∃∈Ω，251y x +>-5．设数列{}()*na n N ∈的各项均为正数，前n 项和为n S ，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（） A ．128 B ．65 C ．64D ．63 6．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（）A ．36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3[,1)3C ．3(0,]3D ．6[,1)3 7．已知复数(2)1ai i z i +=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（） A ．2i B ．2i - C ．i D ．i -8．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对9．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）235 2.236≈≈≈）A ．22个B ．24个C ．26个D ．28个10．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=，234+=a a ，则10S =（） A ．85 B ．852 C ．35 D ．35211．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．1-B ．2C ．7D ．812．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【高等教育】高等数学B期末试卷

《高等数学B 》期末试卷（A ）本试卷共 4 页；考试时间 110 分钟；专业班级学号姓名一、选择题（每小题3分，共15分）1．函数()f x 在点0x 连续是()f x 在点0x 可导的（）． A ）充分条件 B ）必要条件C ）充要条件D ）既非充分也非必要条件2．当1x →时，21x -是2(1)x -的（）．A ）高阶无穷小B ）低阶无穷小C ）等价无穷小D ）以上说法都不对3．设21,0()0,01,0x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪+>⎩，则0x =是()f x 的 ( )A ）连续点B ）可去间断点C ）跳跃间断点D ）第二类间断点 4．设sin ()xf x x=，则下列说法正确的是（） A ）只有水平渐近线0y = B ）只有垂直渐近线0x = C ）既有水平渐近线，又有垂直渐近线 D ）没有渐近线 5．设()f x 是连续函数，下列各式正确的是（） A ）'()()f x dx f x =⎰ B ）['()]()df x dx f x C dx =+⎰ C ）'(2)(2)f x dx f x C =+⎰ D ）[(2)](2)df x dx f x dx=⎰装订线内不要答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊二、填空题（每题4分，共20分）1．设0'()1f x =，则000(2)()limh f x h f x h→+-=_________．2．设2()sin f x x =，则()df x =_________．3．当____x =时，函数2()x f x x e =取得极小值_________． 4．函数5y x =的拐点坐标是_________．5． 3121sin 1xdx x -=+⎰_________．三、求下列极限（每题6分，共12分）1．0x → 2．020tan lim xx arc tdt x→⎰四、（7分）设函数()y y x =由方程y e xy e +=确定，求曲线()y y x =在(0,1)处的切线方程．五、（6分）设函数()y y x =由参数方程2ln(1)arctan x t y t⎧=+⎨=⎩确定，求dy dx 和22d ydx ．六、求下列积分（每题7分，共28分）1．2cos x x dx ⎰2．xxe dx ⎰3．10⎰ 4．211dx x +∞⎰七、（7分）证明不等式：当0x>时，2ln(1)2xx x+>-．八、（5分）设()f x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1 (0)2f=-，(1)0f=，1()12f=，证明：存在(0,1)ξ∈，使'()1fξ=．装订线内不要答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊。

浙师大高等数学2010年6月B卷

浙江师范大学《高等数学(下) 》考试卷（B 卷）2009—2010学年第二学期考试形式：闭卷使用学生：工科1考试时间：120分钟出卷时间：2010年5月27日说明：考生应将全部答案写在答题纸上，否则无效.一、选择题 (每小题3分, 共18分)1．平面Ax By Cz D +++=0过x 轴，则 ( )(A) A D ==0 (B) B C =≠00,(C) B C ≠=00, (D) B C ==02. 曲面1=xyz 的平行于平面1=++z y x 的切平面方程是（）(A) 1=++z y x (B) 03=---z y x(C) 03=+++z y x (D) 2=++z y x3. 幂级数∑∞=-+12)4(2n n n nnx 的收敛域为（） (A) )2,2(- (B) )2,2[- (C) ]2,2(- (D) ]2,2[- 4. 设函数221y x u +-=，则点(,)00是函数u 的 ( )(A) 极大值点但非最大值点 (B) 极大值点且是最大值点(C) 极小值点但非最小值点 (D) 极小值点且是最小值点5. 设α为常数，则级数sin n n n n α211-⎛⎝ ⎫⎭⎪=∞∑ 为（） (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛(C) 发散 (D) 敛散性与α取值有关6. 设1:22≤+y x D , f 在D 上连续，则y x y x f D d d )(22⎰⎰+= ( )(A) ρρρπρd )(40⎰f (B) ρρρπd )(410⎰f(C) ρρπd )(2102⎰f (D) ρρρπd )(210⎰f二、填空题 (每小题3分, 共21分)1.5=,6=,7=+-= ① .2. 若z yx z y x f 1)(),,(=，则)1,1,1(x f = ② . 3. 设()y x f z ,=是由方程yz z x ln =确定的隐函数，则x z ∂∂= ③ . 4. 设函数,23z xy x u --= 则u 在点)0,1,1(处方向导数的最大值为 ④ .5. 曲线x t y t t z t t =+=++=-+311122,,在对应于t =-1点处的法平面方程为 ⑤ .6. 函数z x y x y =----2346122的驻点是 ⑥ .7. 计算21120d d y x x x e y -⎰⎰= ⑦ .三、计算题(每小题8分, 共48分)1. 设y x ye z x2sin 2+=，求22x z ∂∂和y x z ∂∂∂2. 2. 计算()⎰⎰++D y x σd 1ln 22，其中D ：122≤+y x ，0≥x ，0≥y .3. 求椭圆抛物面4422y x z --=与平面0=z 所围成的立体体积. 4．设L :222R y x =+()0>R 沿逆时针方向, 求R , 使得⎰-+=Ly x x x y I d )3(d 33 取最大值, 并求出该最大值.5. 求⎰+L s yx z d 222，其中L 为螺线,cos t a x =,sin t a y =at z =()0,20>≤≤a t π. 6．求级数∑∞=-11n n nx的和函数.四、应用题 (8分）要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元, 问应如何设计尺寸，使得造价最省？五、(5分) 问级数∑∞=--21)1(n nn n 是否收敛?为什么?。

2023-2024学年浙江省杭师市高二上册期末数学质量检测试题(含解析)

2023-2024学年浙江省杭师市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(1,2,3),(1,2,3)--，则A ，B 两点的位置关系是（）A ．关于x 轴对称B ．关于xOy 平面对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称【正确答案】C【分析】根据A ，B 两点坐标之间的关系直接判断即可得解.【详解】因为点A ，B 的横纵坐标互为相反数，它们的竖坐标相同，所以点A ，B 关于z 轴对称.故选：C.2．若把数据1232022,,,,x x x x ，改变为12320222,2,2,,2x x x x ---- ，则它们的（）A ．平均数与方差均不改变B ．平均数改变，方差保持不变C ．平均数不变，方差改变D ．平均数与方差均改变【正确答案】B【分析】直接由平均数和方差的定义计算即可求解.【详解】数据1232022,,,,x x x x 的平均数12320222022x x x x x ++++=，数据12320222,2,2,,2x x x x ---- 的平均数为1232022123202222202222222022x x x x x x x x x x -++++++==+----=-+ ，平均数发生变化；数据1232022,,,,x x x x 的方差()()()22212202222022x x x x x xs-+-++-= ，数据12320222,2,2,,2x x x x ---- 的方差为()()()22212202222222222022x x x x x x s --++--+++--+= ，方差不发生变化.故选：B.3．若直线l 的一个方向向量为()2,2,4v =--- ，平面α的一个法向量为()1,1,2n =，则直线l 与平面α的位置关系是（）A ．垂直B ．平行C ．相交但不垂直D ．平行或线在面内【正确答案】A【分析】根据2n υ=-得到υ 与n 共线，即可得到直线l 与平面α垂直.【详解】因为2n υ=-，所以υ 与n 共线，直线l 与平面α垂直.故选：A.4．已知椭圆2221(5)25x y a a +=>的两个焦点为12,F F ，且128F F =．弦AB 过点1F ，则2ABF △的周长为A ．10B ．20C ．D ．【正确答案】D【分析】求得椭圆的,,a b c ，由椭圆的定义可得2ABF △的周长为224AB AF BF a ++=，计算即可得到所求值．【详解】解：由题意可得椭圆2221(5)25x y a a +=>中5,4b c ==，则a =由椭圆的定义可得12122AF AF BF BF a +=+=，即有2ABF △的周长为224AB AF BF a ++==.故选：D ．5．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则6a =（）A ．103B ．107C ．109D ．105【正确答案】B【分析】根据已知条件进行转化得到数列{}n a 通项公式，由题意解出不等式即可判断项数.【详解】由题意，被3除余2且被7除余2的数即为被21除余2的数，故2119,N n a n n *=-∈，则621619107a =⨯-=.故选：B6．如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为A ．14B ．12C ．1D ．2【正确答案】C【分析】先由题意得到(1,0)F ，设直线:(1)l y k x =-，联立直线与抛物线方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，结合韦达定理得到121=x x ，再由抛物线的定义，得到1=AB x ，2=CD x ，进而可求出结果.【详解】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，当直线l 的斜率不存在时，易得1AB CD ⋅=；当直线的斜率存在时，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x 由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ，同理2=CD x ，所以12cos 01︒⋅=⋅⋅== AB CD AB CD x x .故选C本题主要考查抛物线的定义与性质，以及向量数量积的运算，熟记向量数量积的定义，以及抛物线的定义与简单性质即可，属于常考题型.7．已知边长为1的正方体1111ABCD A B C D -，M 为BC 中点，N 为平面1DCC D 上的动点，若1MN AC ⊥，则三棱锥1N AA D -的体积最小值为（）A ．110B ．112C ．114D ．116【正确答案】B【分析】建立空间直角坐标系，结合1MN AC ⊥求得三棱锥1N AA D -的体积的表达式并求得其最小值.【详解】以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()111,0,1,0,1,0,,1,02A C M ⎛⎫⎪⎝⎭，设()0,,,01,01,N a b a b ≤≤≤≤∴()111,1,1,,1,2A C MN a b ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，又1MN AC ⊥，∴1102a b +--=，即12a b -=，∴12b a =-，01,b ≤≤∴11,2a ≤≤∴111113612N AA D AA D V Sa a -=⋅⋅=⋅≥.故选：B8．设1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ，N 两点，且135MAN ∠=︒，（如图），则该双曲线的离心率为（）A 2B 3C ．2D 5【正确答案】D【分析】联立222x y c +=与by x a=求出(),M a b ，进而MAO ∠的正切可求，得出a b 与的关系，从而进一步解出答案.【详解】依题意得,以线段12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=,双曲线C 的一条渐近线的方程为by x a=.由222,,b y x a x yc ⎧=⎪⎨⎪+=⎩以及222,a b c +=解得,x a y b=⎧⎨=⎩或,.x a y b =-⎧⎨=-⎩不妨取(),M a b ,则(),N a b --.因为(),0,135A a MAN ∠-=,所以45MAO ∠= ,又tan 2b MAO a∠=,所以12b a=,所以2b a =,所以该双曲线的离心率2215b e a=+.故选：D.二、多选题9．已知椭圆221:1169x y C +=与双曲线()222:1916169x y C k k k+=<<--，下列关于两曲线的说法正确的是（）A ．1C 的长轴长与2C 的实轴长相等B ．1C 的短轴长与2C 的虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率不相等【正确答案】CD【分析】利用椭圆、双曲线的几何性质逐项判断可得出合适的选项.【详解】由题意可知，椭圆1C 的长轴长为128a =，短轴长为126b =，焦距为12c ==离心率为1114c e a ==，当916k <<时，160k ->，90k -<，双曲线2C 的焦点在x轴上，其实轴长为22a =，虚轴长为22b =，焦距为22c ==，离心率为222c e a =.故1C 的长轴长与2C 的实轴长不相等，1C 的短轴长与2C 的虚轴长不相等，1C 与2C 的焦距相等，离心率不相等．故选：CD ．10．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27n S n n =-+，则下列说法正确的是（）A ．{}n a 是递增数列B ．1014a =-C ．当4n >时，0n a <D ．当3n =或4时，n S 取得最大值【正确答案】CD【分析】根据n S 表达式及2n ≥时，1n n n a S S -=-的关系，算出数列{}n a 通项公式，即可判断A 、B 、C 选项的正误.27n S n n =-+的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.【详解】当2n ≥时，128n n n a S S n -=-=-+，又116218===-⨯+a S ，所以28n a n =-+，则{}n a 是递减数列，故A 错误；1012=-a ，故B 错误；当4n >时，820n a n =-<，故C 正确；因为27n S n n =-+的对称轴为72n =，开口向下，而n 是正整数，且3n =或4距离对称轴一样远，所以当3n =或4时，n S 取得最大值，故D 正确.故选：CD.11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点.则（）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点1A 和点D 到平面AEF 的距离相等【正确答案】BCD【分析】根据异面直线所成角的定义判断A ，由面面平行的性质定理判断B ，作出完整的截面，判断CD ．【详解】因为11//D D C C ，而1C C 与AF 显然不垂直，因此1DD 与AF 不垂直，A 错；取11B C 中点H ，连接1,A H GH ，1BC ，由,,G E F 分别是11,,BB BC CC 中点，得1////HG BC EF ，又11////HE BB AA ，11HE BB AA ==，1A HEA 是平行四边形，所以1//A H AE ，AE EF E ⋂=，,AE EF ⊂平面AEF ，所以1//A H 平面AEF ，//HG 平面AEF ，而1A H HG H = ，1,A H HG ⊂平面1A HG ，所以平面1//A HG 平面AEF ，又1AG ⊂平面1A HG ，所以1//A G 平面AEF ．B 正确；由正方体性质，连接11,FD AD ，则截面AEF 即为四边形1AEFD ，它是等腰梯形，1AD EF =，1D F AE =，等腰梯形的高为2h =，截面面积为19222S =⨯+⨯=，C 正确，设11A D AD O ⋂=，易知O 是1A D 的中点，所以1,A D 两点到平面1AEFD 的距离相等．D 正确．故选：BCD ．关键点点睛：本题考查正方体的性质．考查异面直线所成角的定义，面面平行的性质定理，考查正方体的截面问题．在证明面面平行时，注意判定定理的条件，对正方体的截面，解决问题的最好方法是作出完整的截面，然后根据正方体的性质确定截面的性质，从而完成求解．12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点()1,0F ，直线:4l x =，动点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离的一半.若某直线上存在这样的点P ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）A ．点P 的轨迹方程是22143x y +=B ．直线1l ：240x y +-=是“最远距离直线”C ．平面上有一点()1,1A -，则2PA PF +的最小值为5.D ．点P 的轨迹与圆C ：2220x y x +-=是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）【正确答案】ABC【分析】对A ，设(),P x y ，根据定义建立关系可求出；对B ，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对C ，根据定义转化为求PA PB +即可；对D ，易判断()20,为交点.【详解】设(),P x y ，因为点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离的一半，所以4x -，化简得22143x y +=，故A 正确；联立方程22240143x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()210x -=，解得1x =，故存在31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线1l ：240x y +-=是“最远距离直线”，故B 正确；过P 作PB 垂直直线:4l x =，垂足为B ，则由题可得2PB PF =，则2PA PF PA PB +=+，则由图可知，PA PB +的最小值即为点A 到直线:4l x =的距离5，故C 正确；由2220x y x +-=可得()2211x y -+=，即圆心为()1,0，半径为1，易得点P 的轨迹与圆C 交于点()20,，故D 错误.故选：ABC.三、填空题13．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =________【正确答案】14-【分析】根据题意，结合双曲线方程，列式计算即可.【详解】由双曲线方程可得0m <，焦点坐标在y轴上，故可得虚轴长为2，又因为虚轴长是实轴长的2倍，故可得4=，解得14m =-.故答案为.14-本题考查由,a b 之间的关系，求双曲线方程中参数值的问题，属基础题.14．甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是12，13，则该密码被成功破译的概率为______．【正确答案】23【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是12，13，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率1111(1(1)233P =-⨯-=，故该密码被成功破译的概率21121133P P =-=-=．故23．15．己知矩形ABCD ，1,AB BC ==，沿对角线AC 将ABC 折起，若二面角B AC D --的余弦值为13-，则B 与D 之间距离为_________．【分析】过B 和D 分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，由题意可得2BE DF ==、1EF =，由二面角B AC D --的余弦值为13-，得1cos ,3EB FD =- ，再利用BD BE EF FD =++ 可求得结果.【详解】过B 和D 分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，由1,AB BC ==，则2AC =，由等面积法知：111=222AB BC AC BE AC DF ⋅=⋅⋅，故BE DF ==则12AE CF ==，即1EF =，二面角B AC D --的余弦值为13-，即1cos ,3EB FD =- ，BD BE EF FD =++ ，22222()222BD BE EF FD BE EF FD BE EF EF FD BE FD∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 33311234443=+++⨯⨯=，则BD = B 与D16．如图，已知抛物线的方程22(0)x py p =>，过点(0,1)A -作直线与抛物线相交于P ，Q 两点，点B 的坐标为(0,1)，连接BP ，BQ ，设QB ，BP 的延长线与x 轴分别相交于点M ，N ．如果直线BQ 与BP 的斜率之积为2-，则cos MBN ∠=________．【正确答案】13【分析】设直线PQ 的方程为：11221,(,),(,)y kx P x y Q x y =-，联立直线方程和抛物线方程，消去y 后利用韦达定理可证0BP BQ k k +=，结合2BP BQ k k ⋅=-可取直线,BM BN 斜率，再利用余弦定理求解.【详解】设直线PQ 的方程为11221,(,),(,)y kx P x y Q x y =-，由21,2y kx x py =-⎧⎨=⎩得2220x pkx p -+=，22480p k p ∆=->，又12122,2x x pk x x p +=⋅=，因为111BP y k x -=，221BQ y k x -=，故12121222()222202BP BQ kx x x x k p pk k k x x p -+⋅-⋅+===，又2BP BQ k k ⋅=-，故解得BP BQ k k ==所以1tan ,||||||2BNO ON OM ON ∠=∴==.所以||||2BN BM ==.由余弦定理得332122cos 3MBN +-∠=.故答案为.13四、解答题17．某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照[)0,0.5、[)0.5,1、…、[]4,4.5从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.(1)求图中a 的值；(2)估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；(3)在[)1,1.5、[)1.5,2这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率.【正确答案】(1)0.30(2)2.06(3)37【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1即可求解；（2）根据频率分布直方图中中位数左边和右边的直方图的面积相等即可求解；（3）利用分层抽样的抽样比公式及古典概型的计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图，可知，平均户外“活动时间”在[)0,0.5的频率为0.080.50.04⨯=．同理，在[)0.51，，[)1.52，，[)2 2.5，，[)33.5，，[)3.54，，[)4 4.5，等组的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，由()10.040.080.200.250.070.040.020.50.5a a -++++++=⨯+⨯，解得0.30a =．（2）设中位数为m 小时．因为前5的频率之和为0.040.080.150.200.250.720.5++++=>，而前4组的频率之和为0.040.080.150.200.470.5+++=<，所以2 2.5m ≤<．由()0.5020.50.47m ⨯-=-，解得 2.06m =.故可估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为2.06小时．（3）由题意得平均户外活动时间在[)11.5，，[)1.52，中的人数分别有15人、20人，按分层抽样的方法分别抽取715335⨯=人、720435⨯=人，记作,,A B C 及a b c d ，，，，从7人中随机抽取2人，共有()A B ，，()A C ，，()A a ，，()A b ，，()A c ，，()A d ，，()B C ，，()B a ，，()B b ，，()B c ，，()B d ，，()C a ，，()C b ，，()C c ，，()C d ，，()a b ，，()a c ，，()a d ，，()b c ，，()b d ，，()c d ，．共21种，同时在同一组的有()A B ，，()A C ，，()B C ，，()a b ，，()a c ，，()a d ，，()b c ，，()b d ，，()c d ，．共9种，故其概率是93217P ==．18．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，114560CB BD C CD CC B ⊥∠=︒∠=︒，，，11CC CB BD ===，(1)求对角线1CA 的长度；(2)求异面直线1CA 与DA 所成角的余弦值．【正确答案】(1)3；(2)56.【分析】(1)以向量1,,CB CD CC u u u r u u u r u u u u r 为基底，则有11CA CB CD CC =++u u u r u u u r u u u r u u u u r ，两边平方即可得21||9CA =u u u r ，即可得1||CA u u u r 的值，即可得答案；(2)由向量的四则运算及数量积可得11DA CB CA CA =⋅⋅u u u u r u u u u u r u u ur r 52=,从而可得1cos ,CA DA <>u u u r u u u r 的值，即可得答案.【详解】（1）因为1CB BD ==，CB BD ⊥，所以三角形BCD 为等腰直角三角形，所以2CD =，又因为11CC CB ==，160CC B ∠=︒，所以三角形1CC B 为边长为1的等边三角形，以向量1,,CB CD CC u u u r u u u r u u u u r 为基底，则有111CA CB BA AA CB CD CC =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r ，两边平方得2211()CA CB CD CC =++u u u r u u u r u u u r u u u u r 222111222CB CD CC CB CD CB CC CC CD=+++⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r 212112************=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯9=，所以1||3CA =u u u r ，即1||3CA =,所以对角线1CA 的长度为3；（2）因为11CA CB CD CC =++u u u r u u u r u u u r u u u u r ，1||3CA =u u u r ，DA CB = ，||||1DA CB ==u u u r u u u r ，所以11DA CBCA CA =⋅⋅u u u u r u u u u u r u u ur r 1()CB CD CC CB=++⋅u u u r u u u r u u u u r u u u r 21CB CD CB CC CB=+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u ur 111112=⨯⨯⨯52=,所以1115cos ,6||||CA DA CA DA CA DA ⋅<>==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,即异面直线1CA 与DA 所成角的余弦值为56.19．如图，某海面上有O ，A ，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O岛B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处．以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C 经过O ，A ，B三点．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?【正确答案】(1)2220600x y x y +--=；(2)该船有触礁的危险．【分析】（1）根据给定条件，求出点A ，B 的坐标，设出圆C 的一般方程，利用待定系数法求解作答.（2）求出船D 的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.【详解】（1）依题意，因A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O岛则点()40,40A ，又B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处，则()20,0B ，设过O ，A ，B 三点的圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得20600D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为2220600x y x y +--=．（2）因船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，则(20,D --，而船D 沿着北偏东45°方向行驶，则船D 的航线所在直线l 的斜率为1，直线l的方程为200x y -+-=，由（1）知，圆C 的圆心为()10,30C，半径r =，则圆心C 到直线l的距离d ==d r <，所以该船有触礁的危险.20．已知等比数列{}()n a n N *∈满足234a a a =，13223a a a +=.（1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”，证明：数列{}n a 是“M -数列”；（2）记等差数列{}n b 的前n 项和记为n S ，已知59b =，864S =，求数列{}21n n b a -的前n 项的和n T .【正确答案】（1）证明见解析；（2）()4727n n T n =-+.（1）由等比数列的通项公式求出公比，根据题意证明数列{}n a 是“M -数列”；（2）由等差数列的性质求出21n b n =-，当1q =时，由等差数列的求和公式求出n T ；当2q =时，由错位相减法求出n T .【详解】（1）证明：由题意可设公比为q ，则23311a q a q =得：11a =211123a a q a q +=得：1q =或2q =∴数列{}n a 是“M -数列”.（2）设数列{}n b 的公差为d易得：()458464b b S +==得：47b =∴542d b b =-=，得：21n b n =-由（1）知若1q =，则2143n n b a n -=-∴()214322n n n T n n +-==-若2q =，则12n n a -=，∴()121432n n n b a n --=-⋅∴()()0221125292472432n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-①∴()()2312125292472432n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-②①-②得：()()231125292472432n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-∴()()1812143212n nn T n ---=+---∴()4727n n T n =-+.对于“等差乘等比”类型的数列，一般采用错位相减法求数列的和.21．如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB BC CD AD ===，现以AC 为折痕把ABC 折起，使点B 到达点P 的位置，且PA CD ⊥.(1)证明：CD ⊥平面PAC ；(2)若M 为PD 上一点，且三棱锥D ACM -的体积是三棱锥P ACM -体积的2倍，求平面PAC 与平面ACM 夹角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析2【分析】（1）在梯形ABCD 中，取AD 的中点E ，证明四边形BCEA 为平行四边形，再根据圆的性质得出AC CD ⊥，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，由:1:2P ACM D ACM V V --=得出13PM PD = ，利用向量法即可得出二面角P AC M --的余弦值.【详解】（1）在梯形ABCD 中取AD 中点N ，连接CN ，所以BC AN =且//BC AN ，所以四边形ABCN 为平行四边形，所以CN AB =，又因为12AB AD =，所以12CN AD =，所以点C 在以AD 为直径的圆上，所以AC CD ⊥.又因为AP CD ⊥，AP AC A ⋂=，,AP AC ⊂平面PAC所以CD ⊥平面PAC .（2）取AC 中点O ，连接PO ，因为AP PC =，所以PO AC ⊥，由（1）得CD ⊥平面PAC ，又因为CD ⊂面ACD ，所以平面PAC ⊥面ACD ，因为AC 为两平面交线，所以PO ⊥面ACD ，以O 为原点，OA 为x 轴，过O 且与OA 垂直的直线为y 轴，OP 为z 轴建立直角坐标系，设2AB =，则)A ，()C ，()0,0,1P ，()D ，由:1:2P ACM D ACM V V --=，得13PM PD = ，所以122,,3333OM OP PM OP PD ⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ACM 的法向量为(),,n x y z =r ，所以00n OM n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220330y z ⎧++=⎪=，取1z =-，则0x =，1y =，所以()0,1,1n =- ，又因为平面PAC 的法向量()0,1,0m = ，所以cos ,2m n n m m n ⋅== ,因为二面角P AC M --2.22．已知抛物线2y =的准线过椭圆E 的左焦点,且椭圆E 的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形.(1)求椭圆E 的方程;(2)直线12y =交椭圆E 于,A B 两点,点P 在线段AB 上移动,连接OP 交椭圆于,M N 两点,过P 作MN 的垂线交x 轴于Q ,求MNQ △面积的最小值.【正确答案】(1)2214x y +=【分析】(1)根据抛物线的准线求得椭圆的焦点,根据一个焦点与短轴两端点构成正三角形可求得,a c ,即可得椭圆方程.(2)根据题意可判断直线MN 斜率存在且不为0,设MN 直线方程与椭圆联立求得MN ,根据PQ MN ⊥设出Q 点坐标,用斜率公式求得坐标,再用点到直线的公式求得三角形高,用面积公式将面积写出,分离常数,变为积为定值的形式,再用基本不等式即可.【详解】（1）解:由题知抛物线的准线为x =c ∴=因为椭圆E 的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形,1,2b a ∴==,故椭圆的标准方程为:2214x y +=;（2）由(1)得椭圆的方程为2214x y +=,MN 的垂线交x 轴于Q ,MN ∴的斜率存在, 连接OP 交椭圆于,M N 两点,MN ∴的斜率不为0,不妨设()()1122:,,,,MN l y kx M x y N x y =,则11,22P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭,联立2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,即()221440k x +-=,1212240,14x x x x k -∴+=⋅=+,MN ∴=设(),0Q m ,PQ MN ⊥ ,12112PQ MN k k k m k ∴⋅=⋅=--,解得:122k m k =+,Q ∴到直线MN 的距离为2122k +=,2122MNQ k S +∴=2=214=⋅14⎫=⎪⎭14≥⋅==即2k =±时取等,故MNQ △面积的最小值为2.。

高等数学(B2)期末模拟试卷及答案

高等数学（B2）期末模拟试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，每题3'，共30'）:1. )1ln(412222-++--=y x y x z ，其定义域为----------------------------------（A ）.A {}41),(22<+<y x y x B {}41),(22<+≤y x y x C {}41),(22≤+<y x y x D {}41),(22≤+≤y x y x .2. 设yx z =，则=dz --------------------------------------------------------------------------（D ）. A dy yx xdx x y y1ln -+ B dy x dx yx y y +-1C xdy x xdx yxy y ln ln 1+- D xdy x dx yx y y ln 1+-.3. 由椭圆1162522=+y x 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（ C ）. A 5202y dx π⎰B 5204y dx π⎰ C 4202x dy π⎰ D 4204x dy π⎰.4. 设)3,2,1(=a ，)4,3,2(=b ，)2,1,1(-=c，则.)(c b a ⋅⨯为--------------------（A ）.A 5-B 1-C 1D 5. 5. 设05432:=+++∏z y x ，41321:-==-z y x L ，则∏与直L 的关系为---（ A ）. A L 与∏垂直 B L 与∏斜交 C L 与∏平行 D L 落于∏内.6. 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{}40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D ,)(22y x f +为D 上的连续函数，则σd y x f D)(22⎰⎰+可化为----------------------------------------------------（C ）.Aσd y x f D )(122⎰⎰+ B σd y x f D )(2122⎰⎰+C σd y x fD )(4122⎰⎰+ D σd y x f D )(8122⎰⎰+.7. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.A xe cx y += B x ec y xc +=+21C x c e c y x21+= D )(21xe x c c y +=.8. 下列哪个级数收敛---------------------------------------------------------------------------（D ）. A∑∞=-1)1(n nB∑∞=+11001n n C ∑∞=+1100n n nD∑∞=1100100n n . 9. 若⎰⎰=Dd 4σ，其中ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数=a ---------------------（ B ）.A 322 B 2 C 342 D 232. 10. 若幂级数∑∞=-1)1(n nnx a在3=x 处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（ B ）. A 1 B 2 C 3 D 4.二、计算题（本大题共4小题，每题7'，共28'）:1. 设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，若)cos ,(sin y x f z =，求.,2y x z x z ∂∂∂∂∂ 解： ,cos 1xf xz=∂∂=∂∂∂y x z 2.cos sin )sin (cos )(1212xf y y xf x z y -=-⋅=∂∂∂∂ 2. 设)sin(22y x z +=，求⎰⎰Dzdxdy . D :22224ππ≤+≤y x .解：⎰⎰Dzdxdy =)4cos (cos 22πππ-3. 设曲线xe y 2=， )1ln(+=x y 与直线1=x 及y 轴所围成的区域为D ，求D 的面积.解D 的面积=2ln 2)1(212-+e . 4. 解微分方程.2x e x y dxdyx -+=解：x xe y xdx dy -=-1x xe x Q xx P -=-=)(,1)(⎰-=∴x dx x P ln )(， x x x dxx P e dx e xe dx ex Q ----=⋅=⎰⎰⎰ln )()(故通解为)(C ex y x+-=-三、计算题（本题9'）设⎰⎰=202sin ππy ydx xxdy I ，（1）改变积分次序；（2）计算I 的值.解：⎰⎰=202sin ππyydx xxdy I =πππππ21)2(sin sin 2022022-=-=⎰⎰⎰dx x x x x dy x x dx xx 四、证明题（本题8'）求证：曲面a z y x =++上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（000,,z y x ）且设=),,(z y x F a z y x -++，则切平面方程为：+-)(2100x x x +-)(2100y y y 0)(2100=-z z z令0==z y 可得：切平面在x 轴上的截距为 a x z x y x x 000000=++同理可得：切平面在z y ,轴上的截距分别为,,00a z a y因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于a a z a y a x =++000。

高等数学b1期末试题及答案

高等数学b1期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx 的值。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A3. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 计算极限lim(x→0) (sin x)/xB. 计算定积分∫(0,π) sin x dxC. 计算导数 d/dx (x^3)D. 计算不定积分∫e^x dx答案：A4. 以下哪个选项是二阶导数？A. d^2y/dx^2B. dy/dxC. d^2y/dy^2D. d^2y/dxdy答案：A5. 以下哪个选项是泰勒公式的展开式？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)B. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^3/3!答案：B6. 以下哪个选项是傅里叶级数的组成部分？A. 正弦函数B. 余弦函数C. 指数函数D. 所有选项答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 f(x) = x^3 - 6x 在 x = 2 处的导数是 _______。

答案：-62. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解是 _______。

答案：y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)3. 计算极限lim(x→0) (e^x - 1)/x 的值是 _______。

答案：14. 函数 y = sin x 的不定积分是 _______。

高等数学(B)(1)期末考试样卷

高等数学（B ）（1）试题第 1 页共 3页高等数学(B)(1)期末考试样卷一、填空题(每空格4分．共36分)1、函数3122--=x y 的定义域是。

2、1=x 的21=δ邻域可表示为。

3、已知函数f (x )=x -2，则)(2x f = 。

4、函数表达了与之间的一种对应规则。

5、设5+=x y ，则=dy 。

6、设x x y sin cos +=，则y ''= 。

7、函数12+=x y 的单调增加区间是 .8、当函数)(x f 0>时，定积分⎰ba dx x f )(在几何上表示二、判断题(在每题的括号内填上对或错，每题4分。

共16分)1、绝对值很小的量称为无穷小量。

()2．若函数)(x f 在点0x 连续，则它在点0x 可导．()3．一个函数的全体原函数称为此函数的不定积分。

()4、=→xx x 2sin lim 02() 三、简答题(每题5分。

共10分)1、简述什么是初等函数2、简述函数()y f x =在点0x 连续与间断的概念四、计算题(每题8分。

共24分)1、1324lim 22++∞→n n n 2、求ln cos y x =的导数。

高等数学（B ）（1）试题第 1 页共 3页 3、⎰-+1024)d (x e x x五、应用题(14分)某厂生产一种玩具，每只成本4元.若每只售价x 元，每天可以卖掉x -20只，该厂应如何定价，才能使每天销售这种玩具所得利润最大？声明：此资源由本人收集整理于网络，只用于交流学习，请勿用作它途。

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高等数学B期末考试试卷 A 参考答案及评分标准

Dxy 1− x2 − y2
8
共3页
第2页
2
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一、填空（共20分，每空格5分）
1．设221,0()(1),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则1(3)f --= 2 ； 2．函数()f x 在点0x 连续是()f x 在点0x 可导（可微）的必要条件（充分、必要、充分必要）； 3．设函数()y f x =在区间I 内二阶可导，如果()f x '' <0 ，曲线()y f x =在I 内是凸的； 4．设11()x x f x e dx e C =+⎰，则()f x =21x -； 5．设21()ln 1x f t dt x x =+-⎰，则()f x =12x x +。

二、单项选择题（共6分，每小题2分） 1．若()f x 的一个原函数为()F x , 则()x x e f e dx --⎰为 ( B ) A. ()x F e C + B. ()x F e C --+ C. ()x F e C -+ D. ()x F e C x -+ 2．下列极限中不能应用洛必达法则的是( B ) A.x x x ln lim +∞→ B.x x x 2cos lim ∞→ C.x x x -→1ln lim 1 D.x e x x ln lim -+∞→ 3．3()3f x x x =-在区间[0,2]上的最小值是( B ) A. 0 B. -2 C. -4 D. 2
4. 已知()f x 是具有任意阶导数，且2'()[()]f x f x =, 则当n 为大于2的正整数时，()f x 的n
阶导数()()n f x 为 ( D )
A. 2![()]n n f x
B.1[()]n n f x +
C. 2[()]n f x
D. 1![()]n n f x +
5. 已知34dx I x =-⎰,则I =( B ). A. 1ln 344x -- B. 1ln 344
x C --+ C. 1ln 344x - D. 1ln 344
x C -+
三、计算题（共48分，每题8分）
1,求由参数方程⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x 所确定的函数的一阶导数dx dy 及二阶导数22dx y d 解：cos sin 1sin cos dy
dy d dx d θθθθθθθ
θ
-==--――――――――4分 2222()2sin cos 2cos 23sin 2cos 2(1sin cos )()1sin cos dy d dx d y d dy d dx dx dx dx d θθθθθθθθθθθθθθθ
θ
---++--===-- 232sin cos 2cos 23sin 2cos 2(1sin cos )
θθθθθθθθθθθ---++=--――――――――4分 2,求极限x x x ln lim 20
→ 解：22
00ln lim ln lim x x x x x x -→→=――――――――2分 301
lim 2x x
x
-→=-――――――2分 20
1lim 2x x →=-――――――2分 0=―――――――2分
3,求不定积分⎰
xdx x x cos sin 解：1sin cos sin 22
x x xdx x xdx =
⎰⎰――――――――――2分 1cos 24
xd x =-⎰――――――――2分 11cos 2cos 244x x xdx =-+⎰――――――2分
11cos 2sin 248x x x C =-
++―――――――2分 4,设dt t
t x f x ⎰
=21sin )(,求10()xf x dx ⎰ 解：dt t t x f x ⎰=21sin )(，222sin 2sin '()2x x f x x x x
==―――――――2分 11
112220000111()()()()222xf x dx f x dx f x x x df x ==-⎰⎰⎰ 11201111sin 1(1)cos (cos11)2222
t f x dt t =
+=+-⎰―――――――4分 1(cos11)2=-―――――――――2分 5,
求函数()51f x x x =+-≤≤的最大值和最小值
解：()'()1f x x f x ==2分当1x =时，'()f x 不存在。

由于――――――2分
(5)56,(1)1f f -=-=―――――――2分
比较得()51f x x x =+-≤≤的最大值(1)1f =
，最小值(5)5f -=-2分
6,求常数b a 和的值,使.011lim 2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--++∞→b ax x x x 解：221(1)()1lim lim 11x x x a x a b x b ax b x x →∞→∞⎛⎫+--++---= ⎪++⎝⎭
――――――2分因为21lim 0,1x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭
故100a a b -=⎧⎨+=⎩，――――――――4分即1,1a b ==-―――――――――2分
四、证明题（共12分，每题6分）
1．证明方程b x a x +=sin 至少有一个正根，并且它不超过b a +，其中0 ,0>>b a ．
证明：令b x a x x f --=sin )(，显见)(x f 在[0,]a b +]连续，(1分)
又0)0(<-=b f ，()[1sin()]f a b a a b +=-+．(2分)
当sin()1a b +=时0)(=+b a f ，原方程有根b a +；(1分)
当sin()1a b +≠时0)(>+b a f ，由零点定理知，至少存在),0(b a +∈ξ，使得0)(=ξf ．
综上知原方程至少存在一个正根，且不超过b a +．(2分)
2．0x >时，证明不等式ln(1)x x >+．
证明：记()ln(1),[0,)f x x x x =-+∈+∞， (1分)
'()01x f x x
=>+，(0,)x ∈+∞， (2分) 所以()f x 在[0,)+∞内严格单调增加，即0x ∀>，()(0)0f x f >=(1分)
得ln(1),0x x x >+>． (2分)。