高等数学C1-期末考试卷-A-(答案)
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
⼤⼀⾼等数学期末考试试卷及答案详解⼤⼀⾼等数学期末考试试卷（⼀）⼀、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h →--的值为（）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-?的值为（）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)⼀定可导(C)可能可导 (D)必⽆极限⼆、填空题（共12分）1．（3分）平⾯上过点(0,1)，且在任意⼀点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线⽅程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极⼤值为 .三、计算题（共42分） 1. （6分）求20ln(15)lim.sin 3x x x x →+2. （6分）设2,1y x =+求.y '3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x xx f x xe x ?≤?=+??+>?5. （6分）设函数()y f x =由⽅程0cos 0yxte dt tdt +=??所确定,求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +?7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞+四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ??=-≤≤与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转⼀周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线⽅程.4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最⼩值和最⼤值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22bbab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?（⼆）⼀、填空题（每⼩题3分，共18分） 1．设函数()23122+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第类间断点.2．函数()21ln x y +=，则='y.3． =?+∞→xx x x 21lim.4．曲线xy 1=在点2,21处的切线⽅程为 . 5．函数2332x x y -=在[]4,1-上的最⼤值，最⼩值 . 6．=+?dx xx21arctan . ⼆、单项选择题（每⼩题4分，共20分） 1．数列{}n x 有界是它收敛的（） . () A 必要但⾮充分条件； () B 充分但⾮必要条件； () C 充分必要条件； () D ⽆关条件. 2．下列各式正确的是（） .() A C e dx e x x +=--?； () B C xxdx +=?1ln ； () C ()C x dx x +-=-?21ln 2211； () D C x dx xx +=?ln ln ln 1. 3．设()x f 在[]b a ,上，()0>'x f 且()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上.() A 沿x 轴正向上升且为凹的； () B 沿x 轴正向下降且为凹的；() C 沿x 轴正向上升且为凸的； () D 沿x 轴正向下降且为凸的.4．设()x x x f ln =，则()x f 在0=x 处的导数（）.() A 等于1； () B 等于1-； () C 等于0； () D 不存在.5．已知()2lim 1=+→x f x ，以下结论正确的是（）.() A 函数在1=x 处有定义且()21=f ； () B 函数在1=x 处的某去⼼邻域内有定义；() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义；() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每⼩题6分，共36分） 1．求极限：xx x 1sin lim 20→. 2. 已知()21ln x y +=，求y '. 3. 求函数x x y sin =()0>x 的导数.4. ?+dx xx 221. 5. ?xdx x cos .6.⽅程yxx y 11=确定函数()x f y =，求y '.四、（10分）已知2x e 为()x f 的⼀个原函数，求()?dx x f x 2.五、（6分）求曲线x xe y -=的拐点及凹凸区间. 六、（10分）设()()C e x dx x f x++='?1，求()x f .（三）⼀、填空题(本题共5⼩题，每⼩题4分，共20分).（1） 21(cos lim x x x → e1.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平⾏的切线⽅程为1-=x y . （3）已知xxxeef -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f =)(x f 2)(ln 21x .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线⽅程为 .9131-=x y（5）微分⽅程522(1)1'-=++y y x x 的通解为.)1()1(32227+++=x C x y⼆、选择题 (本题共5⼩题，每⼩题4分，共20分). （1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 0111=?-dx x (B) 21112-=?-dx x(C) +∞=?∞+141dx x (D) +∞=?∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所⽰，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点. (B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点.(C) 1x 是极值点.，())(,22x f x(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点图1-1（3）函数212e e e x x xy y y x '''--=（B ）23e .xy y y '''--= （C ）23e .x y y y x '''+-= （D ）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）. (A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是（ A ）.(A) (())().f x dx f x '=? (B) ()().=?df x f x (C) [()]().d f x dx f x =(D) ()().fx dx f x '=?三、计算题（本题共4⼩题，每⼩题6分，共24分）. 1．求极限) ln 11(lim 1x x x x --→.解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→ 1分=x x x xx ln 1ln lim1+-→ 2分= xx x x x x ln 1ln lim1+-→ 1分分2.⽅程??+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与2 2dx y d .解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= （3分） .sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''= （6分）3. 4. 计算不定积分.222(1) =2arctan 2 =2d x C =----------+------+---------??分分（分4.计算定积分?++3011dx xx.解 ??-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ?+--=30)11(dx x （3分）35)1(3（或令t x =+1）四、解答题（本题共4⼩题，共29分）.1．（本题6分）解微分⽅程256xy y y xe '''-+=.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征⽅程分特征解.分次⽅程的通解Y =C 分令分代⼊解得，所以分所以所求通解C 分2．（本题7分）⼀个横放着的圆柱形⽔桶（如图4-1），桶内盛有半桶⽔，设桶的底半径为R ，⽔的⽐重为γ，计算桶的⼀端⾯上所受的压⼒．解：建⽴坐标系如图22022220322203*********RRRP gx R x dx g R x d R x g R x g R ρρρρ=----------=---------=--------=----------------??分（）分[（）]分分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1baf x dx =?，试求()()b a222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222b b aab a b b a a xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------解：分分分分4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平⾯图形D. (1) (3) 求D 的⾯积A;(2) (4) 求D 绕直线e x =旋转⼀周所得旋转体的体积V.解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线⽅程是).(1ln 000x x x x y -+=1分yxyO1e 1D由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从⽽.0e x =所以该切线的⽅程为.1x e y =平⾯图形D 的⾯积 ?-=-=10.121)(e dy ey e A y 2分（2）切线xe y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三⾓形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π= 2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 2102)(?-=π， 1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=?e e dy e e e V V V y πππ 1分五、证明题（本题共1⼩题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1x e x ≥+.解法⼀：2112xe e x x xξ=++≥+解法⼆：设() 1.x f x e x =--则(0)0.f = 1分因为() 1.xf x e '=- 1分当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1x e x ≥+。
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
12级高数(i)期末考试题a卷及答案.doc
西南财经大学本科期末考试试卷（A）课程名称：高等数学担任教师：谢果等考试学期：2012 - 2013学年第1学期专业：全校各专业学号：年级：2012 姓名：考试时间：2012年月曰（星期）午出题教师必填：1、考试类型：闭卷［7］开卷［］（____ 页纸开卷）2、本套试题共五道大题,共—页，完卷时间120分钟。
3、考试用品中除纸、笔、尺子外，可另带的用具有：计算器［］字典［］__________ 等（请在下划线上填上具体数字或内容，所选［］内打钩〉考生注意事项：1、出示学生证或身份证于桌而左上角，以备监考教师查验。
2、拿到试卷后清点并检查试卷页数，如有重页、页数不足、空白页及刷模糊等举手向监考教师示意调换试卷。
3、做题前请先将专业、年级、学号、姓名填写完整。
4、考生不得携带任何通讯工具进入考场。
5、严格遵守考场纪律。
-、填空题（每小题2分，共20分）Vsinx + 1 -1 门--------------- x 01.函数/(%) = < ln(l + x) _____________ 在兀=0处连续，贝％二ax = 02. 设厂(1) = 3,则 lim /(1)7(1-力) __________________ . 2 X 3・1HB 竺fZ 1 -兀2兀2 —14. ____________________________________________ 函数门劝=—的无穷间断点为 _________________________________________________ ・— 3x + 25•设/(x)可导 y = f(e x ),则 y"=7. _____________________________________________________ 已知 f\e x) = \ + x,则/(x) = ___________________________________________________ . 8・a= ___________ , b = ____________ 时，点(1,3)是曲线y = ax 3+bx 2的拐点。
《高等数学Ⅰ(一)》课程期末考试试卷(模拟卷C)及参考答案
《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π23．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b + B ．e x ax b c ++ C ．e x ax bx + D ．e x ax b cx ++6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ． 当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ． 当()0f x ′′>时，102f<7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K << B ．I J K >> C ．J I K << D ．J I K >>10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0B ．(2)(1)f f −C ．(2)(1)f x f x +−+D ．(2)f x +二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．2．设函数()f x 连续，20()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________．5．广义积分2=∫___________．6．设()d ()f x x F x C =+∫，则(2)d f x x =∫___________．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x =是由方程21e yx y −+=所确定的隐函数，求22d d x yx=．2． 由3y x =，2x =，0y =所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周，计算所得几何体的体积．3．计算定积分．（1）10x x ∫．（2）x ∫．4．求微分方程d 24d yxy x x=−+满足(0)0y =的特解．5．证明：当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+．6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）解答参考一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′答案 A 解析 000000000()()()()()()1limlim ()22h h f x h f x h f x h f x f x h f x f x h h h →→+−−+−−−′=+= −，故本题选A ． 2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π2答案 A解析 在区间[π,π]−上()f x 的间断点有0，π2±，显然，π2±均为第二类间断点（无穷间断点），下面考察0x =．因1100e e e e lim ()lim lim 1e e e e txt t x x x f x ++→+∞→→++===−−，1100e e e elim ()lim lim 1e e e et xt t x x x f x −−→−∞→→++===−−−， 所以0x =是函数的第一类间断点（跳跃间断点），故本题选A ． 3．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小答案 B 解析 因sin 2222043323232000000sin d ()sin(sin )sin 11lim lim limlim lim lim ()434343433xx x x x x x t t f x x x x g x x x x x x x x x x →→→→→→======+++++∫， 所以当0x →时，()f x 是()g x 的同阶但非等价无穷小，故选B 项．4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+答案 C解析 因为()d arcsin xf x x x C =+∫，两边求导得()xf x =所以1()f x =．因此3222111d )(1)()23x x x x C f x =−−=−−+∫∫，5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b +B ．e x ax b c ++C ．e x ax bx +D ．e x ax b cx ++答案 D解析 原方程对应齐次方程的特征方程为21232012r r r r −+=⇒==，．考虑2112323e e x x y y y x y ax b c c ′′′−+⇒+++，考虑2112322e e e e x x x x y y y y cx c c ′′′−+=−⇒=++，根据线性微分方程的叠加原理可知，原方程通解为212e e e x x x ax b cx c c ++++，故选D 项．6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ． 当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ． 当()0f x ′′>时，102f<答案 D思路分析 条件中出现二阶可导，可尝试泰勒公式．解析 将()f x 泰勒展开：21111()()2222f x f f x f x ξ ′′′=+−+− ，(0,1)ξ∈，所以 21101111()d ()d 2222f x x ff x f x x ξ′′′=+−+− ∫∫ 21110001111d d ()d 2222f x f x x f x x ξ ′′′+−+− ∫∫∫210110()d 022f f x x ξ′′++−=∫，所以当()0f x ′′>时，102f< ，故本题选D ．7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++答案 B 解析 因为111111()(1)()d (1)d 1d(12ln )(12ln )212ln xx x f x f f t t f t t t t t=+=+=++++∫∫∫ 1111[ln(12ln )]ln |12ln |122x t x =++=++，8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax答案 D解析 由旋转体体积公式可得022πd π4d 2πx x V y x ax x ax ==⋅=∫∫，故本题选D ． 9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K <<B ．I J K >>C ．J I K <<D ．J I K >>答案 A解析 当π0,4x∈时，1cos sin 0x x >>>，cos cot cos sin x x x x =>，所以I J K <<，故本题选A ．10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0 B ．(2)(1)f f − C ．(2)(1)f x f x +−+ D ．(2)f x +答案 C解析 令u x t =+，则2211()d ()d x x f x t t f u u +++=∫∫，所以2211d d ()d()d (2)(1)d d x x f x t t f u u f x f x x x +++==+−+∫∫， 故本题选C ．二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．答案12解析 方法一 由泰勒公式知，当0x →时，33tan ()3x x x o x =++，33sin ()6x x x o x =−+，故3333331tan sin ()()()362x x x x x o x x o x x o x −=++−−+=+ ，于是可知31tan sin ~2x x x −，又33ln(1)~x x +，故 333001tan sin 12lim lim ln(1)2x x xx x x x →→−==+． 方法二 2332200001tan sin sin (1cos )1cos 12lim lim lim lim ln(1)cos 2x x x x xx x x x x x x x x x →→→→−−−====+⋅． 2．设函数()f x 连续，2()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．答案 2解析 由题可知20()()d x x x f t t ϕ=∫，220()()d 2()x x f t t x f x ϕ′=+∫，故1(1)()d 2(1)f t t f ϕ′=+∫，1(1)()d 1f t t ϕ==∫， 则(1)(1)2(1)5f ϕϕ′=+=，所以(1)2f =．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．答案 πd x解析 令21212121x u x x −==−++，故 2d 4d (21)u x x =+， 当0x =时，1u =−，所以000d d d ()(1)πd d d x x x y u u f u f xx x ===′′=⋅=−⋅= ，因此0d πd x y x ==．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________． 答案32解析 441112220202020111sin sin 3||d d 3||d 11x x x x x x x x x x x x x −−− +=+ ++∫∫∫． 第一个积分被积函数是奇函数，积分区间对称，故积分值为0；第二个积分被积函数为偶函数，积分区间对称，所以14112342020100sin 333||d 23d 2142x x x x x x x x x − +==⋅= + ∫∫． 5．广义积分2=∫___________．答案 π思路分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当2∫3∫均收敛时，原反常积分才收敛．解析 因为32222π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x++→=−=−−=∫∫，43334π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x−−→−=−=∫∫，所以2πππ22=+=∫．6．设()d()f x x F x C=+∫，则(2)df x x=∫___________．答案1(2)2F x C+解析令2t x=，则111(2)d()d()(2)222f x x f t t F t C F x C==+=+∫∫．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x=是由方程21e yx y−+=所确定的隐函数，求22ddxyx=．解将0x=代入方程21e yx y−+=解得0y=．对方程21e yx y−+=两边求导得2e yx y y′′−=①将0x=，0y=代入①得(0)0y′=．式①两端再求导得22e e()y yy y y′′′′′−=+②将0x=，0y=，(0)0y′=代入②得22d1dxyx==．2．由3y x=，2x=，0y=所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周，计算所得几何体的体积．解所求体积为222600128ππdπd7xV y x x x===∫∫．1258882228333000564ππ28πd32ππ()d32ππd32ππ[]35yV x y y y y y y=⋅⋅−=−=−=−⋅=∫∫∫．或用柱壳法计算2224500164π2πd2πd2π55yV xy x x x x====∫∫．3．计算定积分．（1）1x x ∫．解令sinx t=，则ππ1424222000sin cos d sin(1sin)dx x t t t t t t=−∫∫∫ππ46220031π531ππsin d sin d422642232t t t t=−=⋅⋅−⋅⋅⋅=∫∫．注这里用到了华里士公式ππ22001321,123sin d cos d131π,222n nnn n nn nI x x x xn n nn n−−××××−===−−××××−∫∫为大于的奇数为正偶数．（2）x∫．解令tanx t=，则πππ2444000sec1ππd d csc d(1tan)sec sin cos44tx t t t tt t t t==++++ ∫∫∫π4ππln csc cot44t t+−+=．4．求微分方程d24dy xy xx=−+满足(0)0y=的特解．解易知该方程对应的齐次方程d2dy xyx=−的通解为2e xy C−=，设原方程的解为2()e xy u x−=，代入原方程整理得2()4e xu x x′=，两端积分得2()2e xu x C=+，进而可得原方程的通解为22e xy C−=+．又因为(0)20y C=+=，故2C=−．所以满足条件的特解为222e xy−=−．5．证明：当0x>时，arctanln(1)1xxx+>+．证令()(1)ln(1)arctanf x x x x=++−，[0,)x∈+∞．显然函数()f x在[0,)x∈+∞时可导，且7 21()ln(1)10(0)1f x x x x ′=++−>>+， 所以函数()f x 在[0,)+∞上单调增加，故()(0)0f x f >=，从而 arctan ln(1)1x x x+>+． 6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ． 证 设12x x <．令0121233x x x =+，根据拉格朗日中值定理可得，110202(,)(,)x x x x ξξ∃∈∈，，使得 011011212()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−， 202012211()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−． 于是01202112211222[()()]2[()()]()[()()]()()()033f x f x f x f x x x f f x x f ξξξξξ′′′′−−−=−−=−−<． 故0123()()2()0f x f x f x −−<，所以01212()()()33f x f x f x <+，即得 12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．。
大一第一学期高数1试题A及答案
2009—2010学年第一学期《高等数学I(一)》课程考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.1.设，则 .()lim 1tt x f x t →+∞⎛⎫=+⎪⎝⎭()0x ≠=)3(ln f 2.设是的一个原函数，则= ．x e xsin +()f x ()f 'x 3.曲线的拐点坐标是 .16623-+=x x y 4.若，则 ．2121A dx x -∞=+⎰A =5． .21lim(2)cos2x x x →-=-二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）.将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中.1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）.()f x []12,-()()()22F x f x f x =++A ．；B ．；C ．；D ．.[]30,-[]31,-112,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦102,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．是函数的（ ）.3x =1()arctan 3f x x=-A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．第二类间断点.3．当时，与等价，则（ ）.0→x 1ax e -x 2sin a = A ．1 ；B ．2 ；C ． ；D ．.2-214．函数 在处（）.()21sin,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0=x A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导；D ．不连续且不可导.5.下列等式中正确的是（ ）．A ．； B .；()()ba d f x dx f x dx =⎰()()()x ad f x dx f x f a dx=-⎰C ．；D . .()()df x dx f x dx=⎰()()f x dx f x '=⎰6．函数（ ）.()21xf x x =+ A ．在内单调增加；B ．在内单调减少；(),-∞+∞(),-∞+∞C ．在内单调增加；D ．在内单调减少.()11,-()11,-7．若可导，且，则（）.()f u ()x y f e = A ．；B ．；()x dy f e dx '=()x x dy f e e dx '= C ．；D ．.()xxdy f e e dx =()xxdy f e e dx '⎡⎤=⎣⎦8．（ ）.20|1|x dx -=⎰A ．0 ；B ．2 ；C ．1 ；D ．.1-9．方程的通解是( ).sin y x '''=A .； B .；21231cos 2y x C x C x C =+++21231sin 2y x C x C x C =+++C .； D ..1cos y x C =+2sin 2y x =10.曲线与该曲线过原点的切线及轴围成的图形的面积为（ ）．xe y =y A ． ；B ．；10()xe ex dx -⎰1(ln ln )ey y y dy -⎰C ．； D ．．1()ex x e xe dx -⎰10(ln ln )y y y dy -⎰题号一二三四五六七八总分得分阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………三、解下列各题（每小题6分，共12分）.1．计算.)lim x xx →+∞-2．计算．xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→四、解下列各题（每小题6分，共12分).1.已知，求．076333=--++y xy x y 2=x dxdy2. 设函数由参数方程所确定，求和.)(x y y =⎩⎨⎧+==tt t y t x sin cos sin ln dx dy22dx y d五、解下列各题（每小题6分，共18分).1. 计算．⎰++dx xx x 221)(arctan 2．计算.204ln(1)limx x t dt x→-⎰3. 计算.220cos x e xdx π⎰阅卷人阅卷人阅卷人得分阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号 姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、（本题10分）.设曲线上任意一点处的切线斜率为,且该曲线经过点，)(x f y =),(y x 2x x y +11,2⎛⎫⎪⎝⎭（1）求函数；)(x f y =（2）求曲线，,所围成的图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积．)(x f y =0y =1x =x七、(本题10分).由半径为的圆上，割去一个扇形，把剩下的部分围成一个圆锥，试求割去扇形的中R 心角，使圆锥的容积为最大.S阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号姓名……………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………参考答案一、填空题1.3；2.sin x e x -3.()2,0-4.1π5. 0二、单项选择题题号12345678910答案DCBCCCBCAA三、解下列各题1. 解：)lim x xx →+∞3分limx =. 6分12=2．． 解：3分xx x x 1022lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+→()222202lim 12x xx x x x x x -⋅-→⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭.6分()02lim2x xx x e→-=1e e ==四、解下列各题1. 解：两边分别对求导，得x ，3分22333360dy dy dyy x y x dx dx dx+++-= 当时，，代入上式，得2x =1y =-. 6分23x dy dx==- 2..解： 3分dx dy dydt dx dt=sin sin cos cos sin t t t tt t-++=sin t t = . 6分22dxy d dy dtdx dt'=sin cos cos sin t t t t t +=2sin sin cos cos t t t tt+=五、解下列各题1.．解：⎰++dx x x x 221)(arctan ()222arctan 11x xdx dx x x =+++⎰⎰ 3分()()()22211arctan arctan 21d x x d x x +=++⎰⎰. 6分()()3211ln 1arctan 23x x C =+++2．.解： 3分204ln(1)limx x t dtx→-⎰()232ln 1lim4x x x x→-= .6分220lim 2x x x →-=12=-3..解：2分220cos xe xdx π⎰()22sin xe d x π=⎰222200sin 2sin xx e x e xdx ππ⎡⎤=-⎣⎦⎰()2202cos xe e d x ππ=+⎰2222002cos 4cos xx e e x e xdx πππ⎡⎤=+-⎣⎦⎰5分22024cos x e e xdx ππ=--⎰.6分∴22cos xe xdx π⎰()125e π=-三峡大学 试卷纸 教学班号序号学号姓名………………….………….……答 题 不 要 超 过 密 封 线………….………………………………六、解：(1)，即，且当时，， 2分2y y x x '=+2y y x x '-=1x =12y =与之对应的齐次线性微分方程的通解为，y Cx = 令，将其代入非齐次线性方程得，所以，()y u x x =u x '=212u x C =+所以非齐次线性微分方程的通解为，代入初始条件得，312y Cx x =+0C =故所求函数为. 6分312y x =(2) .10分23102x V dx π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰28π=七、解：设留下的扇形的中心角为，圆锥的高为，底面半径为，则其容积为ϕh r V ，又，213V r h π=2rR πϕ=h =故 4分V =()02ϕπ<<6分3224RV π'=令 得，0V '=ϕ=当时，时，，0ϕ<<0V '>2ϕπ<<0V'<因此为极大值点，又驻点唯一，从而也是最大值点. 8分ϕ=ϕ=即当割去扇形的中心角为时，圆锥的容积最大，2π. 10分3R 八、证明：方程在区间内有唯一实根.4013101xx dt t --=+⎰)1,0( 证明：令，()401311x f x x dt t =--+⎰则，()010f =-< ，()1401121f dt t =-+⎰0>由零点定理知，至少存在一点，使. 4分()0,1ξ∈()0f ξ=由，，()41301f x x'=->+()0,1x ∈知在内单调增加，()f x )1,0(所以方程在区间内有唯一实根. 8分4013101xx dt t --=+⎰)1,0(。
沈阳航空航天大学高等数学期末考试试卷(含答案)
沈阳航空航天大学高等数学期末考试试卷(含答案)一、高等数学选择题1．设函数，则（）．A、B、C、D、【答案】A2．极限（）．A、B、C、D、【答案】C3．不定积分（）．A、B、C、D、【答案】D4．设曲线如图示，则在内( )．A、没有极大值点B、有一个极大值点C、有两个极大值点D、有三个极大值点【答案】B5．设，不定积分（1）（2）（3）则上述解法中（）．A、第（1）步开始出错B、第（2）步开始出错C、第（3）步出错D、全部正确【答案】A6．设为上的连续函数，且，则定积分（）．A、B、C、D、【答案】D一、一选择题7．设，则微分．A、正确B、不正确【答案】B二、二选择题8．不定积分 ( )．A、B、C、D、【答案】C9．函数的图形如图示，则是函数的( )．A、极小值点也是最小值点B、极小值点但非最小值点C、最大值点D、极大值点【答案】A10．函数的定义域为．A、正确B、不正确【答案】A11．是偶函数.A、正确B、不正确【答案】B12．设，则．A、正确B、不正确【答案】B二、二选择题13．是微分方程．A、正确B、不正确【答案】A14．不定积分.A、正确B、不正确【答案】A二、二选择题15．不定积分．A、B、C、D、【答案】B。
高数下期末考试试题及答案解析
2017学年春季学期《高等数学Ⅰ（二)》期末考试试卷（A ）注意：1、本试卷共 3 页；2、考试时间110分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分)将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中．1．已知a 与b都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. （A ）-=0a b （B)+=0a b （C)0⋅=a b （D ）⨯=0a b 2.极限2222001lim()sinx y x y x y→→+=+( ）. (A) 0 （B ） 1 （C) 2 （D)不存在 3．下列函数中，d f f =∆的是（ ).（A）(,)f x y xy = (B ）00(,),f x y x y c c =++为实数（C ）(,)f x y =（D)(,)e x yf x y +=4．函数(,)(3)f x y xy x y =--,原点(0,0)是(,)f x y 的（ ）.（A)驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D)非驻点，非极值点 5．设平面区域22:(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+=⎰⎰,2D I σ=,3DI σ=,则有（ ）。
(A ）123I I I << （B)123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I <<6．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=⎰( ）. (A ） l (B ） l 3 （C) l 4 (D) l 127．设级数∑∞=1n na为交错级数,0()n a n →→+∞，则( ）.（A ）该级数收敛 （B)该级数发散 （C ）该级数可能收敛也可能发散 (D ）该级数绝对收敛 8.下列四个命题中,正确的命题是（ ）。
(A ）若级数1nn a∞=∑发散，则级数21nn a∞=∑也发散 （B ）若级数21nn a ∞=∑发散，则级数1nn a ∞=∑也发散 （C ）若级数21nn a∞=∑收敛，则级数1nn a∞=∑也收敛（D ）若级数1||nn a∞=∑收敛，则级数21n n a ∞=∑也收敛二、填空题（7个小题，每小题2分，共14分)．1.直线3426030x y z x y z a -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则常数a 为 。
最新大一下学期高等数学期末考试试题及答案
最新大一下学期高等数学期末考试试题及答案院（系）别班级 学号 姓名成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ⋅= ．2、设ln()z x xy =，则32zx y ∂=∂∂ ．3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dSz ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 （本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域，求 30()lim t F t t+→．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷.高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】参考解答与评分标准一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4-； 2、21y-；3、2414x y z ++=； 4、3，0； 5二、试解下列各题【每小题7分，共35分】1、解：方程两边对x 求导，得323dydz y z x dx dx dy dz y z xdxdx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 从而54dy x dx y =-，74dz x dx z =…………..【4】 该曲线在()1,1,2-处的切向量为571(1,,)(8,10,7).488T == (5)故所求的切线方程为1128107x y z -+-==………………..【6】 法平面方程为()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)２、解：2222226z x y z x y⎧=+⇒⎨=--⎩222x y +=，该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22:2xy D x y +≤．…..【2】 故所求的体积为Vdv Ω=⎰⎰⎰222620202(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=⎰⎰ (7)３、解：由11lim lim ln(1)lim ln(1)10nn n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>，知级数1n n u ∞=∑发散 (3)又111||ln(1)ln(1)||1nn u u n n +=+>+=+，1lim ||lim ln(1)0n n n u n→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】４、解：121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂， …………………………………【3】 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y ∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222231.x f xyf f f y y''''''=+--【7】 ５、解：∑的方程为z =，∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．=…..………【３】故22222200xy D dS adxdy d a d z a x y a πρρθρ∑==---⎰⎰⎰⎰⎰22012ln()2ln 2aa a a hπρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦..【7】三、【9分】解：设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d =【1】令22222(,,)()(1)L x y z x y z z x y x y z λμ=+++--+++-，则由22220220201x y z L x x L y y L z z x yx y z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=+⎪++=⎪⎩，解得12x y -±==，23z =．于是得到两个可能极值点121111(,(2222M M --+---+…………………【7】 又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．故max 2min 1||||d OM d OM ==== (9)四、【10分】 解：记L 与直线段OA 所围成的闭区域为D ，则由格林公式，得22(sin )(cos )8x x DL OAI e y m dx e y mx dy m d ma πσ+=-+-=-=-⎰⎰⎰． (5)而1(sin )(cos )ax xOAI e y m dx e y mx dy m dx ma =-+-=-=-⎰⎰ (8)∴221(sin )(cos ).8x x Le y m dx e y mx dy I I ma ma π-+-=-=-⎰ (10)五、【10分】解：()1131limlim 3133n n n n n na n R a n ρ++→∞→∞===⇒=+，收敛区间为 (3,3)-…………【2】 又当3x =时，级数成为11n n∞=∑，发散；当3x =-时，级数成为()11nn n ∞=-∑，收敛．……【4】 故该幂级数的收敛域为[)3,3- (5)令()13nn n x s x n ∞==∑（33x -≤<），则11111111()()33331/33n n n n n x x s x x x -∞∞-=='====--∑∑， (||3x <) ……【8】 于是()()000()()ln 3ln 3ln 33x xx dxs x s x dx x x x '===--=---⎰⎰，（33x -≤<） (10)六、【10分】解：取1∑为220(1)z x y =+≤的下侧，记∑与1∑所围成的空间闭区域为Ω，则由高斯公式，有()()133222222316I x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω=++-=++⎰⎰⎰⎰⎰ (5)()2211262d d z dz πρθρρρπ-=+=⎰⎰⎰ (7)而()()221133221122313133x y I x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤=++-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (9)2123.I I I πππ∴=-=-=- (10)七、【6分】解：()()2224000sin cos tF t d d r f r r dr ππθϕϕϕ⎡⎤=+⎣⎦⎰⎰⎰….… 【2】 ()3224400002sin cos sin t t d r dr d f r r dr πππϕϕϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()422028tt r f r dr π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰….… 【4】 故()(3222320002()222limlim lim ().333t t t t t f t F t f t a t t π+++→→→⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦=== 【6】。
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5
一、 单项选择题
1. D （解释：，
2. A （解释：
在
处连续
，所以
必须存在，
也就是
在
处有定义。
）
3.
B （解释：
，可以这样理解：。
）
4. C
，见书P90。
）
5. D
就是
，定积分
是一个常数，
所以它的导数为0。
，。
二、
填空题
1. 解：由的定义，
在
处连续，是指：
，也就是：
2. 解：先回顾导数的定义
看作
，那么原极限可以变为：
计算两部分的极限，其中
所以答案为：。
3. 解：要求法线方程，可以先计算曲线在
处的导数（也就是切线斜率），法
线的导数是切线斜率的负倒数。
在点
出导数
，代入
，
得到，所以法线的斜率为。
4. 解：函数
的正负变化情况
所以极大值：。
5. 解：此题可先计算不定积分
计算定积分：
5
三、求解下列各题
1.解：
2.解：
3.解：
4.解：
5.解：先对原等式两侧求微分，得到：
整理后得到
再计算
即：，代入，并代入点
得到：
6.解：
5
5
7.解：可以令
，
代换原式得到：
8.解：第一步用凑微分的方法，就是
可知：当为最小
值。
边际成本函数为，代入。
2.解：此题需要列表讨论函数的一二阶导数，并计算渐进线。
首先计算：
，
用使上面两式等于0：
1.是垂直渐进线；
2.由可知，是其水平渐进线；
3.无斜渐进线。
3.解：先计算，并作图
曲线的切线斜率为
方程则为，此线过原点，也就是说：代入
，所以切线位于曲线的切点坐标为：。
红色区域为所围成的区域，求此区域绕轴旋转一周形成的旋转体体积。
回顾：绕轴旋转一周的旋转体体积公式为：
但此题中不能直接使用该公式，原因是红色区域的上边界（不含轴）不构成一个函数。
而应考虑为是一个圆锥体（在区间上绕轴形成）体积减去其中由抛物线在区间上绕轴形成的旋转体体积，即：五、证明题
证：构造函数，由条件可知：，且上连续，内可导，满足罗尔中值定理的使用条件，因此：必存在使得，而通过计算我们知道：
所以：，其中，所以.
5。