幻方问题公式
合数阶幻方的构造法
合数阶幻方的构造法一、概念和公式1、设n 阶矩阵()n ij n nA a ⨯=，,k b N ∈（1）定义()n ijn nkA ka ⨯=即()n ijn nA a ⨯=中的每个数都乘以k ； （2）()n ij n nA b a b⨯+=+，即()n ijn nA a ⨯=中的每个数都加上b ；由（1）（2）得出：()n ij n nkA b ka b ⨯+=+（3）()n m ij m mn mn A B a B ⨯⨯=⨯ 2 、()1n n n I ⨯= ，()n n n kI k ⨯= 二、用3幻方构造9阶幻方3492357816A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，33811246705A ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，3111111111I ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，339999999999B I ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭3333333333391(1)246705B B B A B B B B B B ⎛⎫⎪-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，()333333333333A A A A A A A A A A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3333339333333333333333339(1)246705B A B A B A A A B A B A B A B A B AA B A ⨯+++⎛⎫⎪=-⨯+=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭就是9阶幻方。
其中33949992939597989196k k k kB A k k k k k k +++⎛⎫⎪+=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭表示由91,92,,99k k k +++ 这9个数构成的3阶幻方。
33333393333333333331362976817413181130323475777912141635283380737817101538222720404538586356246212325394143575961705261924443742625560677265492495447666870357485B A B A B A A B A B A B A B AA B A +++⎛⎫⎪=+++= ⎪ ⎪+++⎝⎭052716469816534651⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭二、合数(3,;3,)n ab a a N b b N =≥∈≥∈ 已知a A ，b A ，1、 做出1a A -，就是把a A 中的每个数都减去12、 做出b I ，以及2b b B b I =3、 计算(1)a b A B -⨯4、 做出()b b b a abb a a A A A A A ⨯⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 5、 那么()(1)n a b b a a A A B A ⨯=-⨯+就是一个n 阶幻方。
三阶幻方最简单的口诀
三阶幻方最简单的口诀1. 幻方的魅力你有没有听说过三阶幻方？这东西可有意思了，简单来说，就是一个3×3的方阵，里面填上1到9的数字，要求每一行、每一列和两个对角线的数字加起来都得是同一个数。
听起来是不是有点复杂？别着急，咱们慢慢聊。
首先，咱们得知道，这个“同一个数”其实是15。
因为1+2+3+4+5+6+7+8+9加起来是45，而这个45再分成三组，每组15。
想想看，真的挺神奇的吧！这就像是数学里的魔法，既简单又有趣。
说到这，谁还没被这样的魔法吸引呢？2. 如何排列2.1 排列步骤要想轻松搞定三阶幻方，我们得有个简单的口诀。
听好了，首先，把数字1放在中间上方的格子里。
然后，接下来放的数字要遵循一个“左上右下”的原则。
具体点说，就是当你放了一个数字之后，接下来的数字应该在它的右上方，如果那个位置已经有数字了，那就往下移动一格，继续放。
2.2 举个例子比如说，第一步你放上1，然后接下来的数字2，你就要放在1的右上方，结果发现位置空着，就放上去。
接着放3，你会发现3的右上方位置又空着，继续放。
如果不小心越过了边界，别担心，直接从对面的边界进来就行。
记住，永远都不能让数字重叠。
这样排下去，慢慢的，你会发现所有的数字都能填满，最后的结果可真是让人眼前一亮。
虽然看起来好像有点绕，但其实只要试几次，你就能熟能生巧，像老手一样轻松掌握。
3. 幻方的乐趣3.1 朋友聚会的小把戏你可以想象一下，在朋友聚会的时候，突然用这个三阶幻方给大家来一段小表演，肯定能吸引眼球。
大家围过来，啊呀，怎么做到的呀！你就可以得意洋洋地跟他们说：“这可是我最近学会的绝活！”多么拉风啊，简直就像是从魔术师的手中变出来的一样。
3.2 学习中的好帮手而且，这三阶幻方还不仅仅是个游戏。
它还可以锻炼我们的逻辑思维，特别适合那些喜欢挑战自己的朋友们。
就像古人说的“开卷有益”，我们在玩乐中学习，顺便培养我们的耐心和专注力，真是一举两得。
在这个快节奏的生活中，抽出一点时间，和家人朋友一起围坐，动动脑筋，不仅能拉近彼此的距离，也能享受那种解谜后的成就感。
三阶幻方的讲解
三阶幻方的讲解在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。
如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。
幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
这里我们主要学习三阶幻方。
例1用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
分析与解先求幻和再添数！雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。
（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。
同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。
如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3=45÷3=15（3）选择解题突破口突破口显然是e，在图2中，因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）=15+15＋15＋15=60，也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。
幻方做题技巧
幻方做题技巧幻方啊，就像一个神秘的数字魔法阵。
咱要解开它的奥秘，可得有点小窍门。
先说说三阶幻方吧。
这就好比是幻方里的小老弟，简单又有趣。
你得知道幻和这个概念，啥是幻和呢？就像是这个幻方里的一个小目标。
对于三阶幻方来说，它的幻和特别好算，你把这九个数里最大的数加上最小的数，然后乘以个1.5就成了。
比如说1到9这九个数，最大的是9，最小的是1，那幻和就是(9 + 1)×1.5 = 15。
知道了幻和，就像手里有了一把小钥匙。
咱再看这九个数怎么往幻方里填。
中间数那可是个关键的主儿，就像一个小班长，在三阶幻方里，这中间数就得填5。
为啥呢？因为它在这堆数里位置特殊呗。
你把5填在中间，就像在这个魔法阵的中心定了个桩。
然后呢，你就可以试着把和为10的数对往幻方里填，像1和9，2和8，3和7，4和6，就像给小朋友找小伙伴，一对一对的。
不过这填的时候也得有点小技巧，不能瞎填。
你可以先在角上找个位置给1，为啥是角上呢？角上的数啊，它要跟更多的数相加凑幻和呢。
你把1填在角上，那跟1凑幻和15的数就有9和5了，这样就比较容易确定其他数的位置。
再讲讲五阶幻方。
这五阶幻方可比三阶的复杂点了，就像从小学的数学题跳到了初中的难度。
这时候幻和的计算也有点不一样了。
你得把这25个数里最小的数加上最大的数，然后乘以个2.5。
这时候填数也有个小办法。
你可以先把1填在最上面一行中间的位置，就像在舞台的正中央先放了个小演员。
然后呢，你就按照斜着往上走的规则填数。
要是走到幻方的外面了，你就像这个数字坐了时光机一样，从幻方的对面钻出来接着填。
要是斜着走的位置已经被占了，那这个数字就乖乖地填在这个被占数字的下面，就像排排坐吃果果一样。
还有一种幻方是偶数阶幻方。
偶数阶幻方就像两个好朋友手拉手。
比如说四阶幻方，你可以把这个幻方分成四个小方阵。
先把1到16这16个数按顺序填进去，然后呢，你就像个调皮的小精灵，把对角线上的数进行交换。
把左上角小方阵和右下角小方阵里的对角线的数交换，右上角小方阵和左下角小方阵里的对角线的数也交换。
三阶幻方的解法最简单的口诀
三阶幻方的解法最简单的口诀三阶幻方是指一个 $3\\times 3$ 的矩阵，其中填入了 $1$ 至 $9$ 的数字，使得每个数字在该矩阵中出现且仅出现一次，并且每行、每列和两条对角线的数字和均相等。
解决三阶幻方问题最简单的口诀如下：1. 定义首先，我们需要明确一些基本的概念和定义。
矩阵：$m \\times n$ 的矩阵是一个由 $m$ 行、$n$ 列数字（称为元素）所组成的矩形数组，通常用方括号表示，如下所示：$$\\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\a_{21} & a_{22} & \\cdots & a_{2n} \\\\\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\a_{m1} & a_{m2} & \\cdots & a_{mn}\\end{bmatrix}$$矩阵元素：矩阵中每一个数字称为矩阵元素。
对角线：矩阵中从左上角到右下角和从右上角到左下角的线称为对角线。
主对角线：从左上角到右下角的对角线称为主对角线。
副对角线：从右上角到左下角的对角线称为副对角线。
2. 解法接下来，我们将逐步介绍如何解决三阶幻方问题。
步骤 1：确定中间的数字由于每行、每列和两条对角线的数字和均相等，因此中间的数字必须是$5$。
$$\\begin{bmatrix}\\emptyset & \\emptyset & \\emptyset \\\\\\emptyset & 5 & \\emptyset \\\\\\emptyset & \\emptyset & \\emptyset\\end{bmatrix}$$步骤 2：填充四个角的数字要求每行、每列和两条对角线的数字和均相等，因此填充四个角的数字时需要保持对称。
数学 幻方知识点
数学幻方知识点一、知识概述《幻方知识点》①基本定义：幻方就是一个正方形的数阵。
在这个数阵里，横着每行数字加起来的和、竖着每列数字加起来的和以及两条对角线上数字加起来的和，都相等。
比如一个3×3的幻方，就像一个九宫格，给每个格子里填上不同的数，满足刚刚说的这些和相等的条件。
②重要程度：幻方在数学里算是比较有趣又有挑战性的一部分。
它能锻炼咱们对数字的感觉和计算能力，还能加深对数字规律的理解。
而且它和一些更高级的数学知识也有点联系，算入门数学里比较独特的一块。
③前置知识：首先要对基本的加法运算特别熟练，得能快速准确地算出一些数字的和。
另外，对数字顺序得很熟悉，比如说1到9这些自然数的顺序。
还有就是对数阵这个概念得有点概念，知道行列是怎么回事。
④应用价值：幻方可不光是在纸上玩玩数字游戏。
在编程里，特别是设计算法的时候能涉及到幻方的原理，像是怎么让程序快速找到满足幻方规则的数字组合。
而且从研究数字规律的角度看，幻方里藏着不少数学奥秘，可能对密码学之类的可以提供一些思路。
二、知识体系①知识图谱：幻方在数学里属于数字规律探索这个分支里的。
算是一种特殊的数字组合现象，不是像四则运算那样基础，但在探索数字多种组合奥秘这一块是很有代表性的。
②关联知识：和加法运算有着直接联系，因为都是靠加法来确定幻方的和是否相等的。
和数列也有点关系，幻方里每行每列的数字可以看成是一个特殊的数列。
③重难点分析：难点就是找到那一套满足幻方条件的数字组合，特别是幻方规格大一些的时候，像5×5，7×7的幻方就更难了。
重点是要清楚幻方的定义和确定幻方和的计算方法。
④考点分析：在考试里，如果是数学竞赛可能会碰到幻方的题目。
一般会考查你能不能找到幻方的缺失数字，或者判断一组数字能否组成幻方，考查方式就是给你个残缺的幻方或者一组数字，让你按幻方的规则去处理。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：幻方核心就是它的数字组合满足特定的和相等的条件。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总幻方是指将一组数字排列成一个正方形矩阵，使得同一行、同一列以及对角线的所有数字之和均相等。
幻方问题早在数学家古希腊的时候就开始研究，并且已经有了多种解法。
以下是常见的幻方常规解法汇总：1.奇阶幻方解法：奇阶幻方是指正方形矩阵的边长为奇数，例如3阶、5阶、7阶等。
下面介绍一种常见的奇阶幻方解法：- 准备一个nxn的方阵，初始时全部填0；-从方阵的中间行的最左列开始，用数字1填充；-按照以下规则填充剩余位置：-如果当前位置的上一行和左一列都为空，则填充上一行、左一列数字的右上位置；-如果当前位置的上一行为空，而左一列不为空，则填充上一行数字的位置；-如果当前位置的上一行不为空，而左一列为空，则填充左一列数字的位置；-如果当前位置的上一行和左一列都不为空，则填充当前位置的下一行；-当填充到n*n时，得到了一个满足要求的奇阶幻方。
2.双偶阶幻方解法：双偶阶幻方是指正方形矩阵的边长为4的倍数（4n，例如4阶、8阶、12阶等）。
下面介绍一种常见的双偶阶幻方解法：-将矩阵分割为四个相等的子矩阵；-将四个子矩阵中的数字按照如下规则填充：-以1~(n/2)^2填充左上子矩阵，其中n为矩阵的边长；-以(n^2+1)~(n^2+n^2/4)填充右上子矩阵；-以(n^2/4+1)~(n^2/2)填充左下子矩阵；-以(n^2/2+1)~(n^2)填充右下子矩阵；-将四个子矩阵的对角线元素进行交换，得到一个满足要求的双偶阶幻方。
3.单偶阶幻方解法：单偶阶幻方是指正方形矩阵的边长为4的倍数加2（例如6阶、10阶、14阶等）。
下面介绍一种常见的单偶阶幻方解法：-将矩阵分割为四个相等的子矩阵；-将四个子矩阵中的数字按照如下规则填充：-以1~(n/2)^2填充左上子矩阵，其中n为矩阵的边长；-以(n^2+1)~(n^2+n^2/4)填充右上子矩阵；-以(n^2/4+1)~(n^2/2)填充左下子矩阵；-以(n^2/2+1)~(n^2)填充右下子矩阵；-将四个子矩阵的对角线元素进行交换，得到一个满足要求的单偶阶幻方。
三阶幻方公式简易口诀
三阶幻方公式简易口诀三阶幻方是指由1到9的九个数字组成的一个3x3的方阵，使得方阵中的每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
下面是一个简单的口诀来求解三阶幻方的公式：首先，我们需要把9个数字按照一定的规律填入到3x3的方阵中。
设置一个3x3的方阵如下：abcdefghi第一步：选取任意一个数字填入中间的位置，比如选取数字5，填入方阵的中心位置e：abcd5fghi第二步：根据魔方的特性，可以得出以下规律：1.真正的幻方中心位置的值将会是(n^2+1)/2，对于三阶幻方来说，中心位置的值为(3^2+1)/2=52.方阵的每个角的位置必须是n的倍数，对于三阶幻方来说，四个角的值即为1、3、7、9根据以上两个规律，我们可以进行以下步骤填充幻方：第三步：将数字1填入到方阵的上一个位置g（此处的上指的是在方阵中“上方”相对于中心位置e的方向）：abc15fghi第四步：根据规律2，将数字9填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159ghi第五步：根据规律2，将数字3填入到方阵的下一个位置h（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159g3i第六步：根据规律2，将数字7填入到方阵的下一个位置d（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc15973i第七步：根据规律1，将数字8填入到方阵的下一个位置b（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c15973i第八步：根据规律1，将数字4填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c159734最终得到了一个三阶幻方。
利用以上口诀和规律，我们可以通过简单的步骤来构造三阶幻方。
通过这个口诀，我们可以快速而准确地创建出一个三阶幻方，仅需一些简单的数字填充操作。
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幻方问题公式
幻方是一个由数字组成的正方形阵列，其中每行、每列和每个对角线的数字之和都是相同的。
以下是幻方的计算公式：
对于任意n阶幻方，每行、每列和每个对角线的数字之和可以用以下公式表示：
S = n(n^2 + 1) / 2
其中，n是幻方的阶数。
当n为奇数时，称为奇阶幻方。
当n为偶数时，幻方分为双偶幻方和单偶幻方。
对于奇阶幻方，可以使用Merzirac法生成。
具体步骤如下：
1. 在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…。
2. 如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。
3. 如果出到方阵下方，把该数字填到本该填数所在列上方相应的格。
4. 如果出到方阵右方，把该数字填到本该填数所在行的左方相应的格。
5. 如果落步格已有数字，则向上移一格继续填写。
对于偶阶幻方，可以使用以下公式计算每行、每列和每个对角线的数字之和：S = n(n/2)^2 + (n/2)^2
其中，n是幻方的阶数。