轴对称的应用
轴对称的应用-将军饮马最短路径问题
QB、QB/，如图所示。
由轴对称的性质知
PB=PB/，QB=QB/
∴PA+PB=PA+PB/=AB/
QA+QB=QA+QB/
又∵AB/＜QA+QB/(两点之间线段最短或三角形中两边之和
大于第三边）
∴PA+PB＜ QA+QB
即此时点P使得PA+PB的值最小
B
A P L
Q
B/
典型例题：
1.要在河边修建一个水泵，分别向张村、李 庄送水（如图），修在河边什么地方，可使 所用水管最短？
照镜子：物和像关 于镜面成抽对称， 镜面上的任意一点 到物和像对应点的 距离相等。
探索新知 5、通过以上学习和讨论，你知道海伦是怎样帮 助将军解决问题的了吗？
B A
l
P B′
6、为什么这样找到的点P，就能使得PA+PB最短 呢？你能尝试证明吗？
探究新知
证明：在直线L上任意取不同于点P的一点Q，连接QA、
2、如图，A,B 两点位于直线L
A
的两侧，你能
在直线L上找一
点P，使得点p
到A、B两点距
离之和最短吗？
图形 B
A
O
L
L P
B
语言描述
两点之间，线段最短。
直线外一点与直线上 所有点的连线中，垂 线段最短。
将直线异侧的两点A、 B直接连接，交直线L 于点P，此时PA+PB 最短。
任务驱动 启迪智慧
问题
李庄
张村
●
●
3.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是 12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、 F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动 点，则 BDM的周长的最小值为（ ）
请简答轴对称原理的应用
请简答轴对称原理的应用什么是轴对称原理？轴对称原理是指物体或系统在绕某个轴旋转180度后，仍然具有相同的形状和性质。
这个轴被称为轴对称轴。
轴对称原理是在理解和研究物体结构和性质时经常应用的原理之一。
在物理、化学和工程等领域中，轴对称原理有广泛的应用，可以帮助我们理解和解决各种问题。
轴对称原理的应用1.建筑设计轴对称原理在建筑设计中应用广泛。
建筑物的外立面、室内布局、建筑平面图和立面图等都常常采用轴对称的结构。
轴对称设计不仅能够实现美观和对称感，还有助于保持建筑结构的平衡和稳定性。
2.机械设计在机械设计中，轴对称原理被广泛应用于各种机械零件和设备的设计中。
例如，在设计齿轮、轴承和传动装置时，考虑到轴对称性可以减少噪音和振动，并提高零件的工作效率和寿命。
3.流体力学在流体力学中，轴对称原理被用于研究流体的行为和流动属性。
通过考虑轴对称性，可以简化流体力学问题的计算和分析。
例如，在设计管道系统和液压装置时，轴对称原理可以帮助工程师理解和优化流体的流动过程。
4.生物医学在生物医学领域，轴对称原理被用于理解和研究生物体的结构和功能。
例如，人体的左右对称性是基于轴对称原理的。
轴对称原理也可以应用于器官移植和组织修复等医学应用中。
5.光学设计在光学设计中，轴对称原理被用于设计光学元件和光学系统。
通过利用轴对称性，可以简化光学设计过程，并提高光学系统的性能和效率。
6.电路设计在电路设计中，轴对称原理被用于分析和优化电路的结构和特性。
例如，在设计电路板和电子设备时，考虑到轴对称性可以帮助工程师减少信号干扰和电路噪音，并提高电路的稳定性和可靠性。
总结轴对称原理是一种常用的原理，广泛应用于各个领域。
在建筑设计、机械设计、流体力学、生物医学、光学设计和电路设计等领域中，都可以看到轴对称原理的应用。
通过考虑和利用轴对称性，可以简化问题的分析和解决，提高设计和实施的效率和可靠性。
轴对称的应用
轴对称的应用例甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币。
规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜。
如果甲先放，那么他怎样放才能取胜？分析与解：这道题初看太抽象，既不知道圆桌的大小，又不知道硬币的大小，谁知道该怎样放呀！我们用对称的思想来分析一下。
圆是关于圆心对称的图形，若A是圆内除圆心外的任意一点，则圆内一定有一点B与A关于圆心对称（见右图，其中AO=OB）。
所以，圆内除圆心外，任意一点都有一个（关于圆心的）对称点。
由此可以想到，只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的圆心处，以后无论乙将硬币放在何处，甲一定能找到与之对称的点放置硬币。
也就是说，只要乙能放，甲就一定能放。
最后无处可放硬币的必是乙。
甲的获胜策略是：把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币。
这种利用对称思想的获胜策略体现出了一种机智，而这种机智来源于数学思想。
同学们经常进行这种锻炼，就会变得越来越聪明。
比如，有两堆火柴，第一堆20根，第二堆25根，甲、乙二人轮流从中取火柴，每次可以从任一堆中取走任意数量的火柴，取走最后一根火柴者胜。
甲先取，怎样才能保证获胜？利用对称的思想分析，只要甲先从第二堆中取走5根，此时两堆火柴的数量相等（也是一种对称），以后无论乙从哪一堆取多少根火柴，甲都对称地从另一堆取相同数量的火柴，只要乙能取，甲就能取，所以最后一根必被甲取走，甲胜。
练习：1、桌子上有8枚棋子，甲乙二人轮流拿棋子。
规定先拿的只要不都拿走，拿几枚都成，后拿者不能多于先拿的2倍，如此进行下去，谁拿最后一枚棋子谁就算胜利。
请你回答，怎样拿必然取胜，为什么？2、桌子上有两堆棋子，一堆8枚，一堆9枚，甲乙二人轮流拿棋子。
规定每次只能从一堆中拿，拿几枚都成，谁拿最后一枚棋子谁就算胜利。
请你回答，怎样拿必然取胜，为什么？。
轴对称图形
轴对称图形轴对称图形是几何学中的一个重要概念，在许多领域中都有着广泛的应用。
轴对称图形是指可以通过某条虚拟线（称为轴）将图形分成两个对称的部分的图形。
接下来我们将深入探讨轴对称图形的性质、特点以及一些实际应用。
轴对称图形的性质轴对称图形具有以下几个显著的性质：1.对称轴：轴对称图形存在一个或多个对称轴，通过这些轴，可以将图形分成两个完全对称的部分。
对称轴可以是水平、垂直或斜线。
2.对应点：轴对称图形上的每个点都有一个对应的对称点，这个对称点关于对称轴相对位置相同，但是在轴对称图形中却是互为镜像的。
3.性质保持不变：轴对称变换不改变轴对称图形的性质，如面积、周长等，它只改变图形在空间中的位置和方向。
轴对称图形的分类根据轴对称的不同性质，轴对称图形可以分为以下几类：1.轴对称图形：最简单的轴对称图形是对称图形本身，例如正方形、正圆等。
2.轴对称字母：字母X在垂直中线上是轴对称。
3.轴对称数字：数字0、1、8在水平、垂直中线上是轴对称的。
4.轴对称图形的组合：多个轴对称图形可以组合在一起形成一个更大的轴对称图形。
轴对称图形的实际应用轴对称图形在日常生活中有着广泛的应用，下面列举几个实际应用：1.艺术创作：许多艺术作品中都运用了轴对称的原理，通过对称的布局或对称的图案来吸引观众的眼球。
2.建筑设计：建筑中的对称结构能够给人一种和谐、美感的感受。
许多古代建筑和现代建筑都运用了轴对称的设计。
3.产品设计：在产品设计中，轴对称设计能够提升产品的稳定性和美观性，例如汽车、手机等产品。
4.生物学：生物体中也存在轴对称结构，例如人体的左右对称、植物的对称花瓣等。
总结轴对称图形作为一种重要的几何概念，不仅在数学中有着丰富的性质和特点，而且在各个领域都有着重要的应用。
通过深入研究和理解轴对称图形，我们可以更好地利用这一概念在日常生活和工作中发挥作用，为人们创造更多美好的体验和设计。
希望本文对读者们有所启发，谢谢阅读！。
轴对称应用举例
轴对称应用举例生活中很多图形的形状都有一个共同的特性——轴对称．在日常生活中利用轴对称的性质能解决很多问题，下面举例说明．一、确定方向【例1】如图1，四边形ABCD是长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于E、F两点的位置，试问，怎样撞击黑球E，才能使黑球先碰撞台边DC，反弹后再击中白球F【解】作E点关于直线CD的对称点E′，连接FE′，与CD的交点P即为撞击点，点P 即为所求．【例2】如图2，甲车从A处沿公路L向右行驶，乙车从B处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间追上甲车，请问乙车行驶的方向【解】作AB的垂直平分线EF，交直线L于点C，乙车沿着BC方向行驶即可．二、确定点的位置找最小值【例3】如图3，AB∥CD，AC⊥CD，在AC上找一点Ｅ，使得BE+DE最小．【解】作点B关于AC的对称点B′，连接DB′，交AC于点E，点E就是要找的点．【例4】如图4，点A是总邮局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小．【解】作点A关于L1和L2的对称点B、C．连接BC，交L1于点D，交L2于点E．点D、E就是要找的点．三、与其他学科结合唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰如其分，你能对出下联来吗对联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生路过，感觉庙前没有下联不像话，十分感慨．一连几天在庙前苦思冥想，未能对出下联，有次在庙前散步，望见一条大船由远而来，船夫正使劲的摇橹，这时李生突发灵感，对出了下联——“一舟二橹四人摇过八仙桥”．太守再次路过此庙时，看到下联，连连称赞“妙妙妙”．这副对联数字对数字，事物对事物，对称美如此的和谐．可见，对称美在文学方面也有生动深刻的体现．生活中的轴对称无处不在，只要你善于观察,将会发现其间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的回味无穷的享受．。
轴对称的应用
实际问题数学化
如图，P为∠MON内一定点，分别在 OM与ON上找点A、B，使△ABP的周 长最小.
解：作点P关于OM、ON的对称点P1、P2， 连接P1P2 ， P1P2与OM、ON分别交于A、 B，点A、B即为所求.
在解决问题过程中，轴对称变换起到了什么作用？ 在解决问题过程中，轴对称变换起到了什么作用？ 利用轴对称变换实现了线段长度的等量转化 等量转化. 等量转化
轴对称变换在解决问题中所起的作 用是什么呢？ 实现了线段长度的等量转化，将直 线同侧两定点问题转化为直线异侧 两定点问题.
问题2
如图，公园内两条小河汇合，两河形 成的半岛上有一处古迹P，现计划在两 条小河上各修建一座小桥，并在半岛 上修三条小路，连通两座小桥与古迹， 这两座小桥应建在何处，使所修建的 道路最短？
（1）实际问题数学化 如图，已知点A、B在直线l的同侧. 在l上找点P，使PA+PB最小.
解：作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1， AB1与直线l交于P，点P即为所求. 理由：如图，由轴对称性质BP=B1P，所以 AP+BP=AP+B1P，当A、P、B1三点共线 时AB1最短，所以P点为所求.
如果P1是异于点P的一点，你能证明 AP1+BP1> AP+BP吗？
证明：连接B1P1. 由轴对称性质， BP1=B1P1，BP=B1P. 所以 AP1+BP1=AP1+ B1P1， AP+BP=AP+ B1P =AB1， 在△AP1B1中，AP1+B1P1>AB1， 即 AP1+BP1 > AP+BP.
问题3
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某 一天要从马厩牵出马，先到草地某一 处牧马，再到河边饮马，然后牵马回 到帐篷，请你帮他确定这一天所走的 最短路线.
轴对称的作用用途有
轴对称的作用用途有轴对称（也称为镜像对称）是指一个图形分别关于某条直线对称对折后，两部分重叠在一起，即左右对称。
轴对称的作用和用途在多个领域中具有重要意义，下面将详细介绍轴对称的作用和用途。
1. 几何学中的作用和用途：轴对称在几何学中具有重要的作用和用途。
例如，在做图形的复制、放大和缩小时，通过轴对称可以准确地绘制出图形的对称部分，从而保持图形的整体对称性。
对称的图形也常用于设计中，因为对称的图形给人以平衡、美观的感觉。
2. 艺术与设计中的作用和用途：在艺术与设计领域中，轴对称被广泛应用。
例如，在绘画和雕塑中，通过轴对称可以创造出平衡和和谐的效果，使作品更具有吸引力。
轴对称还可以用来设计装饰品、家具、建筑等，为其增加美感和艺术性。
同时，通过轴对称可以突出某些重要的元素，使设计更加突出。
3. 自然科学中的作用和用途：轴对称在自然科学中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，轴对称是生物体的一种常见形态，包括人类和许多其他动植物。
生物体的轴对称起到了平衡身体结构、提供运动和保护内部器官的作用。
轴对称也在晶体学中起到重要的作用，因为晶体的结构通常具有轴对称性，这是物质性质研究和应用的基础。
4. 计算机图形学中的作用和用途：在计算机图形学中，轴对称的概念被广泛运用于图像处理和计算机辅助设计等领域。
通过使用轴对称算法，可以实现图像的镜像反转、图像修复和图像特征提取等操作，提高图像处理和分析的效果。
轴对称还可以应用于3D模型的对称构建，减少模型的复杂度，并提高计算效率。
5. 数学中的作用和用途：轴对称是数学中一种重要的对称性质，具有广泛的应用。
在代数学和几何学中，轴对称的概念被广泛运用于研究对称性和变换等问题。
轴对称在线性代数、群论、微积分等数学分支中都有着重要的应用。
此外，轴对称还被应用于函数的分析和绘制中，例如，对称函数的图像在坐标系中具有轴对称性。
另外，轴对称还在解析几何学中有重要的应用，例如，通过轴对称可以推导出很多关于点、直线和曲线等的性质。
轴对称的相关应用
轴对称对称是一个十分宽广的概念，它出现在数学教材中，也存在于日常生活中，能在文学意境中感受它，也能在建筑物、绘画艺术、日常生活用品中看到它，更存在于大自然的深刻结构中．数学和人类文明同步发展，“对称”只是是纷繁数学文化中的标志之一．让我们来认识下轴对称在生活中的应用吧一、从轴对称图形中发现对称原理的运用根据轴对称图形的一半和对称轴可以精确的画出轴对称图形的另一半图形，这是在教学了轴对称图形后常见的习题。
在数学中，轴对称图形同时也为人们研究数学提供了某些启示，例如它在博弈问题中也常运用这一原理。
如：桌面上有21个棋子，排成一排，你一次可以拿一粒也可以拿两粒棋子，甚至可以拿三个棋子。
想拿哪里的棋子都行，不必按顺序拿，但拿两粒或三粒棋子时必须是相邻的即中间没有空隔或其他棋子，问：“两人轮流拿谁拿到最后一粒谁赢，你如果先拿能保证赢吗？”这题看上去挺复杂，按排列组合众多拿法要想一一分析清楚太费力，其实运用对称原理就非常简单，先拿的人只要先拿走中间一粒，即第十一粒棋，这样左、右两边各剩十粒，这样对方拿左边的棋子，你就拿右边的棋子，并且个数和位置和他对称，如果对方拿右边的棋子，你就按照他拿左边的棋子，总之只要保持左、右两边的棋子剩下的个数和位置一样，只要他有的拿，你也有的拿，因此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必胜，如果棋子是20粒（偶数个），你就先拿中间的两粒，让左右两边各剩9粒棋子，这样你就必胜。
类似的题目还有如：用若干一元的硬币两人轮流将它摆在一个大圆盘上，要求硬币之间不能重叠，谁摆不下谁算输，是先摆赢还是后摆赢？显然根据对称原理，先摆的人只要先占住圆心，以后对方摆哪你就照他在对面对称着摆出，只要他有空间摆，那么在相对称的地方也必定有空间摆，直至对方摆不下为止，对方先输。
其实这两题的思维方法都来自轴对称图形的基本特征，教师在教学完轴对称图形的内容后可以适当的渗透这方面的知识，学生即乐于学习，又加深对轴对称图形知识的运用和深层理解，发现对称的美，感受到数学的魅力。
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（1）试求A1与A2间的距离； （2）若小球在L1，L2间运动A，1 B
A C A2
A1 与A2 间的距离改变吗？ 解：如图，∵ A 与 A1关于L1对称， A 与 A2关 于L2对称
到村庄M、N的距离之和最短？
M
A
证明：在AB上任取一点P，连 接PM，PN PN₁，P ５N ∴PN＝PN₁，P N5 =P 5N₁
·N P P5 N1
B
∴PM+PN＞MP ＋P N₁５ Nhomakorabea５
即：PM+PN＞MP５ ＋P５ N
∴在三角形PMN₁中 ∴PM+PN₁＞MN₁
即 P５ 就是符合要求的点
６ 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、 N分别表示位于公路AB两侧的村庄， 是否存在一点P，使汽车行驶 到该点时，汽车到村庄M、N的距离之差最大？如果存在，请指出 该点的位置；如果不存在，请说明理由。
７如图，河流中有一个小岛M，小岛与两岸有一艘船来进行通 航，船从先到出发到达北岸，在从北岸到达南岸，最后回到小岛，
· 问怎样设计两岸的码头才能使渡船来回行驶的路程最短。 M′
B E
A
· 岛M
C 南岸
F
D
解：分别作出M关于AB CD的对称点 M′，M″，连接M′M″与AB，AC交于E，
·M′′
F，则E和F就是求作的码头位置
∴ A1 B=AB， A2 C=AC ∴A1A2=2BC=36
2、 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、 N分别表示位于公路AB两侧的村庄，
（1）当汽车行驶到什么位置时距村庄M最近？行驶到什么 位置时距村庄N最近？
M
A
P1
P2
B
N
答：如图 ，当汽车行驶到P1时，距村庄最近 当汽车行驶到P2时，距村庄N最近。
M
N1
A
P′
N
PB
证明： 在直线AB上任取一点P′， ∵PM-PN₁=PM-PN=MN₁②
连接P′M，P′N，PN₁NP ∴P′N＝P′N₁，PN=PN₁
由①②∴P′M-P′N＜PM-PN
在三角形P′MN₁中， ∴P′M-P′N₁＜MN₁ 即：P′M-P′N＜MN₁①
所以，点P是所求的使PM PN中较长一条与较短的一条 的差最大的点
M
N1
A
PB N
答：如图 ，当汽车行驶到P 时，到村庄M、N的距离之差最大。
理由如下：
６ 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、 N分别表示位于公路AB两侧的村庄， 是否存在一点P，使汽车行驶 到该点时，汽车到村庄M、N的距离之差最大？如果存在，请指出 该点的位置；如果不存在，请说明理由。
又∵BC′=AB+AC′＝AB＋AC
·
C′
D F
BD＋C′D＝BD+CD
∴ AB＋AC＜ＢＤ＋ＣＤ
B
C
同学们再见
８、如图，在△ABC中，AB=AC，EF经过A点，且EF//BC，D为 EF上任意一点，（不与A点重合），求证：AB＋AC＜BD+CD
证明：作点C关于EF的对称点C′， 连接C′A，C′D
则：DC=DC′，AC=AC′
易得B A Ｃ′在一条直线上，有三 角形的三边定理可得
BC′＜BD+CD′
A E
M
A
P′
P4
B N
答：如图 ，当汽车行驶到P4时，到村庄M、N的距离之和最短。
根据：两点之间线段最短。
理由：在AB上任取一点P′，连接P′M P′N
有三角形的三边关系可知：P′M＋P′N＞MN
∴P₄是最佳地点。
５ 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分 别表示位于公路AB同侧的村庄， 当汽车行驶到什么位置时，
３、 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶， M、N分别表示位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驰到什么 位置时，与村庄M N的距离相等？
M
A
P3
B N
答：如图 ，连接线段MN，作MN的中垂线与AB交于P₃，当汽 车行驶到P3时，与村庄M、N的距离相等。
４ 已知如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N分 别表示位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到什么位置时 ，到村庄M、N的距离之和最短？