轴对称及其应用
课时四 轴对称的综合应用
课时四 轴对称的综合应用
轴对称的综合应用：
1. 轴对称在工程建设中的应用：
桥梁、大型水库及水利结构、导线桥架、护坡墙、山坡防护、立交桥、悬索桥等工程建设中，都有广泛的应用轴对称的结构，大大提高工程施工的效率。
2. 轴对称在加工制造中的应用：
在汽车车门、汽车大灯、机床、飞机、家具等制造行业，都需要轴对称结构，使其表面形状更富有艺术美感。
3. 轴对称在构件制造中的应用：
轴对称构件可以使材料的流动更加有效，相比于传统的构件，其机械强度更高、机动性更好。
4. 轴对称在建筑构件上的应用：
轴对称构件可以有效地增加结构刚度，如螺旋楼梯、钢结构、悬臂梁等结构，都需要轴对称结构。
5. 轴对称在能源行业的应用：
在能源行业，轴对称的结构作为机械装置的成分，可以在机械驱动、电气机械设备等方面起到重大的作用。
6. 轴对称在精密仪器设备中的应用：
精密仪器设备中有大量采用轴对称结构，可以减少振动幅度，提高精度、操作便捷性，确保精密仪器设备的运行稳定性。
7. 轴对称在装饰艺术品中的应用：
轴对称能够体现设计师的艺术感知和自由发挥，使艺术品更加具有欣赏性，同时使整体结构更加独立、区别，使得艺术品更加完整美观。
第三讲轴对称的性质及应用
第三讲 轴对称的性质及其应用知识要点： 1、轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫对称轴。
轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
2、线段垂直平分线线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直； ②数量关系——平分。
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条直线线段两个端点的距离相等。
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线），或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。
4、生活中的图形折叠实质是轴对称，此外，还有生活中的照镜子，人、像与镜子的距离保持相等，人、像关于镜面的对称叫镜面对称，如果把镜面用一条直线表示，人和像的一个侧面用平面图形表示，那么人、像关于镜子的对称轴也是轴对称。
例1 △ABC 中，∠C=90°，点A 关于BC 边的对称点为A '，点B 关于AC 边的对称点为B '，点C 关于B A '边的对称点为C '，若a S ABC =∆，求C B A S ''∆和四边形B A AB ''的面积（用a 的代数式表示）。
A 'B 'B例2 如果，现有人骑马从C 点到D 点，但必须先到河岸1l 处的1P 点去让马饮水，然后再到河岸2l 处的2P 点再次让马饮水，最后到D 点，他如何选择饮水点1P 、2P ，才能使所走的L 2L 1D路程D P P P CP 2211++为最短？'L 2L 1例3 如图，P 为ABC ∆边BC 上的一点，且P C ＝2PB ，已知︒=∠45ABC ，︒=∠60APC ，求ACB ∠的度数。
轴对称、中心对称图形的性质及应用
轴对称、中心对称图形的性质及应用一、轴对称图形如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．轴对称图形具有以下的性质：(1)轴对称图形的两部分是全等的；(2)对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线．在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．例1 已知直线l外有一定点 P，试在l上求两点A、B，使AB＝m(定长)，且PA＋PB最短．分析当把P点沿l方向平移至C(如图1)，使PC＝m，那么问题就转化为在l上求一点B，使CB＋PB为最短．作法过P作PC∥l，使PC＝m，作P关于l的对称点P＇，连结CP＇交l于B．在l上作AB＝m，点A、B为所求之两点．证在l上另任取A＇B＇＝m，连PA、PA＇、PB＇，CB＇，A＇P＇，B＇P＇，则PA＇＝P＇A＇，PB＇＝P＇B＇，又PA＇B＇C 为平行四边形，∴CB＇＝PA＇．∵CB＇＋B＇P＇＞CP＇，∴ PA＇＋PB＇＞PA＋PB．例2 如图2，△ABC中，P为∠A外角平分线上一点，求证：PB＋PC＞AB＋AC．分析由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP、CP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把 AB＋AC、AC、PB、PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．证 (略)说明通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用(如AB＋AC化直为BD)．例3 等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m，求此梯形的高．解如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m．过AD、BC的中点M、N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又 AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m．∴OM＋ON＝m，即梯形高MN＝m．例4 凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．证如图4，连结AA2，EE3．正方形ABCD和正方形A1BCD1关于BC对称；EFGH和E1FG1H1关于BC对称；A1BCD1和A2B1CD1关于 CD1对称；E1FG1H1和 E2F1G1H2关于CD1对称；A2B1CD1和A2B2C1D1关于A2D1对称，E2F1G1H2和E3F2G2H2关于A2D1对称．例5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．已知如图22－5．四边形ABCD中，M、F、N、E分别为各边的中点，且MN、EF为它的对称轴．求证 ABCD是矩形．分析欲证ABCD是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．证∵四边形ABCD关于EF成轴对称，∴DC⊥EF，AB⊥EF，∴AB∥DC．同理AD∥BC．∴ABCD是平行四边形．∴DC＝AB．又∵DE＝DC/2，AF＝AB/2．∴DE AF，∴ADEF为平行四边形．∴AD∥EF，而DE⊥EF，∴DE⊥AD，∠D＝Rt∠．∴ABCD是矩形．二、中心对称图形如果把一个图形绕着某一点旋转180°后，能和原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点叫做对称中心，能重合的点互为对称点．中心对称图形具有以下性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．(2)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等．平行四边形是中心对称图形．矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形．例6 如图6．已知ABCD，O是对角线 AC与BC的交点． EF过O点与AB交于E，与DC交于F．求证：OE＝OF．证∵O点是ABCD的对称中心，EF过O点与AB相交于E，与DC相交于F．故E、F两点是以点O为对称中心的对称点．∴OE＝OF．例7 △ABC中，底边BC上的两点M、N把BC三等分，BE是AC上的中线，AM、AN分BE 为a，b，c三部分，求：a∶b∶c．分析本题解法很多，我们利用中心对称图形求解．如图7，以E为中心，作已知图形的中心对称图形，则M＇C∥AM，N＇C ∥AN，于是可得a∶(2b＋2c)＝1/2，∴a＝b＋c，①(a＋b)∶2c＝DN＇∶N＇A＝2∶1，∴a＋b＝4c，②由①得，a－b＝c，③②＋③， 2a＝5c，∴a＝5c/2．②－③，2b＝3c，∴b＝3c/2．∴ a∶b∶c＝5c/2∶3c/2∶c＝5∶3∶2．解 (略)例8 若四边形的一组对边相等，延长这一组对边，使各与另一组对边的中点连线的延长线相交，则这两个交角必相等．已知如图8．四边形ABCD中， AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别与EF的延长线交于G、H．求证∠AGE＝∠BHE．分析为了使求证的两个角与已知条件发生联系，利用“旋转法”使角或线段搬家而沟通思路．证如图8，以E为对称中心，作△EBC的中心对称图形△EAM(即连结CE并延长CE到M 使EM＝EC，连结AM)．连结DM，AM＝BC＝AD，∴∠2＝∠3．∵DF＝FC，CE＝EM，∴DM∥HE，∴∠1＝∠2．∵AE＝EB， EM＝EC，∴AMBC是平行四边形．∴AM∥BH，而DA∥HE，∴∠3＝∠BHE．∴∠1＝∠BHE，即∠AGE＝∠BHE．习题1．如图9 一牧童在A处牧马，牧童家在B处．A、B处距河岸分别为300m、500m，CD ＝600m，天黑前，牧童从A点将马牵到河边去饮水后再赶回家．那么牧童最少要走多少米？2．证明：任一点关于正方形各边中点的对称点是一个正方形的顶点．3．求证：在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么它的面积等于AC·BD/2．4．在直线MN两侧有A，B两点，在MN上求一点P，使P到A、B两点之差最大．5．等腰梯形的周长为22cm，中位线长为 7cm，两条对角线中点连线为3cm，求各边长．。
请简答轴对称原理的应用
请简答轴对称原理的应用什么是轴对称原理？轴对称原理是指物体或系统在绕某个轴旋转180度后，仍然具有相同的形状和性质。
这个轴被称为轴对称轴。
轴对称原理是在理解和研究物体结构和性质时经常应用的原理之一。
在物理、化学和工程等领域中，轴对称原理有广泛的应用，可以帮助我们理解和解决各种问题。
轴对称原理的应用1.建筑设计轴对称原理在建筑设计中应用广泛。
建筑物的外立面、室内布局、建筑平面图和立面图等都常常采用轴对称的结构。
轴对称设计不仅能够实现美观和对称感，还有助于保持建筑结构的平衡和稳定性。
2.机械设计在机械设计中，轴对称原理被广泛应用于各种机械零件和设备的设计中。
例如，在设计齿轮、轴承和传动装置时，考虑到轴对称性可以减少噪音和振动，并提高零件的工作效率和寿命。
3.流体力学在流体力学中，轴对称原理被用于研究流体的行为和流动属性。
通过考虑轴对称性，可以简化流体力学问题的计算和分析。
例如，在设计管道系统和液压装置时，轴对称原理可以帮助工程师理解和优化流体的流动过程。
4.生物医学在生物医学领域，轴对称原理被用于理解和研究生物体的结构和功能。
例如，人体的左右对称性是基于轴对称原理的。
轴对称原理也可以应用于器官移植和组织修复等医学应用中。
5.光学设计在光学设计中，轴对称原理被用于设计光学元件和光学系统。
通过利用轴对称性，可以简化光学设计过程，并提高光学系统的性能和效率。
6.电路设计在电路设计中，轴对称原理被用于分析和优化电路的结构和特性。
例如，在设计电路板和电子设备时，考虑到轴对称性可以帮助工程师减少信号干扰和电路噪音，并提高电路的稳定性和可靠性。
总结轴对称原理是一种常用的原理，广泛应用于各个领域。
在建筑设计、机械设计、流体力学、生物医学、光学设计和电路设计等领域中，都可以看到轴对称原理的应用。
通过考虑和利用轴对称性，可以简化问题的分析和解决，提高设计和实施的效率和可靠性。
轴对称图形的性质及应用
轴对称图形的性质及应用轴对称图形是指通过对称轴将图形分为两个互补的部分，两侧部分完全对称的图形。
本文将介绍轴对称图形的特点、性质以及在日常生活中的应用。
特点：轴对称图形在对称轴两侧完全对称，也就是说，左右两侧完全相同，而相应的点到对称轴的距离也完全相等。
轴对称图形最简单的例子就是欧拉线。
性质：轴对称图形与一般图形相比，具有许多独特性质。
1.对称坐标：轴对称图形在对称轴两侧完全对称，因此可以将其坐标进行相应的简化，将对称轴视为原点，将图形分解为x轴和y轴两个部分。
这种简化的坐标系统被称为对称坐标系。
2.取消相似性：一个轴对称图形绕对称轴旋转180度后，两部分分别重叠，正反都是一样的。
这也就说明了轴对称图形并不具有缩放不变性。
与此相反，使用其他变换，如旋转和平移时，图形可能变形，但尺寸和形状不变化。
3.构造对称轴：如果给定一个轴对称图形，很容易通过观察来确定它的对称轴。
但是，如果给定一个线段，如何通过它来构造轴对称图形呢？有一种简单的方法是，将线段的中点作为对称轴，然后用半径相等的圆弧将线段两端连接起来，就可以得到一个轴对称图形。
应用：轴对称图形在各个领域都有着广泛的应用。
1.设计：在建筑设计过程中，轴对称设计可以增强结构的平衡和美感。
对称图案也常常出现在布艺和墙壁装饰品上。
2.生物学：轴对称图形在生物学中也有着广泛的应用。
例如，许多植物和动物的身体结构都具有轴对称性。
轴对称性在遗传学中也发挥着重要作用，它对生物特征的分析和研究有重要的指导作用。
3.艺术：轴对称图形是艺术中常常使用的一种形式。
例如，一些字母、标志和图形都是轴对称的，这在机器制图和商业设计中都很常见。
4.数学：轴对称图形在数学中也发挥着重要作用，特别是在几何学中。
几何转化和对称操作常常用于证明数学定理，而轴对称图形则是证明某些性质的好例子。
总结：轴对称图形是一种可以通过对称轴将图形分为两个互补的部分，两侧部分完全对称的图形。
轴对称图形具有特殊的性质，例如对称坐标，取消相似性以及构造对称轴等。
轴对称的性质在生活中的应用
要 建的地点．
秒 的速度 沿桌面 向平面镜 匀速滚 去 ，则小
点评 ：在解 与距 离有关 的实际 问题时 ， 球在平 面镜 里所成 的像 （ ）．
常常会用到线段 的垂 直平分线 ．同学们在
处 理这类 问题 时 一定 要注 意 ，要找 至Ｕ某 两
点 的距离相 等 的点 ，往 往在这 两点所 连线
点应设 在什么地方７
Ｂ．以 １厘 米／秒 的速度 ，做竖直 向下运
动
ｃ．以 ２厘 米／秒 的速 度 。做竖 直 向上运
ｎ
。：：：
动
Ｄ．以 ２厘 米，秒 速 度 。做 竖 直 向下 运
动
解 析 ：根据 小球 与其在镜 子 中的像关
解析 ：要 使所 走 路程 最 短 ，可 以尝 试 于镜 面成轴对 称 。可作 出小球关 于镜 面对 利用轴对称性 质 ，分 别作点 肘 关 于直线 ｆ。、 称 的像 ，根据作 出的图可 以发 现其像 运动
轴对称 的性质是初 中数学 中的重要知 桌框撞击点的垂直线对称 ，得到小球的运行
识之一 ，它 的应用也很广泛 ，下面略举几 例 ， 路线 ，从 而确定小球最后落人 哪个筐 中．
供 同学们在学 习时参考 ．
例 ２ 某 城区规划局 为了方便 居 民的
例 １ 如 图 １是一 个 小 型的 台球 桌 ． 生活 ，计 划在三个住宅小 区 Ａ、Ｂ、Ｃ（如 图 ２ 四角分别有 Ａ…Ｂ Ｃ Ｄ四个球 筐 ，桌面可 以 所示 ）之 间修 建一 个 购物商 场 ．试 问 ：该购
解析 ：本题实际上就是要 找一个 点 。使
到小 球最后落人 哪个筐 中．由于小球 的入 它到三角形 的三个顶点 的距离 相等．如 图 ２
轴对称在生活中的应用
轴对称在生活中的应用我们生活在一个充满对称的世界中，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子，而轴对称是对称中重要的一种，在日常生活中有着非常重要的应用。
本文试举几例，谈谈轴对称在生活中的应用。
一．利用轴对称巧妙设计, 使所用的输水管线最短例1：如图1，要在河道L上修建一座水泵站，分别向A、B两镇供水，泵站建在河道的什么地方，可使所用的输水管线最短？L（图1）分析：我们可以把河道近似地看成一条直线l，问题就是要在直线L上找一点C，使AC与BC的和最小。
设B’是B关于l 的对称点，本题就是要使AC与CB’的和最小。
在连接AB’的线中，线段AB’最短。
因此，线段AB’与直线l的交点C的位置即为所求。
二．利用轴对称,在台球比赛中准确击球例2：如图2，已知台球桌ABCD内有两球P、Q，现击打球Q 去撞击AD边后反弹，再撞击P球。
请画出Q球撞击AD边的位置。
DC图2分析：要使球Q撞击AD边反弹，再撞击球P,必须使球Q的入射角等于其反射角，显然，作P点关于AD的对称点P’,连结P’Q, P’Q 与AD相交于点E,很容易得到∠QED=∠AEP’=∠AEP。
所以点E即为所求的点。
三．利用轴对称，求出镜中电子钟的实际时刻和水中车牌倒影的实际号码例3.小明从平面镜里看到镜子对面电子钟示数的像如图3所示，这时的实际时刻应该是（）A. 21:10B. 10:21C. 10:51D. 12:013分析：根据镜子中电子钟示数与实际时刻的读数成轴对称，镜子是对称轴，所以在镜中电子钟示数的右边划一条直线作为对称轴，找出各数字的对称图形，立即可以得出这时的实际时刻是10：51，所以选择C.例4．一辆汽车的车牌在水中的倒影如图4所示，请问该车的车牌号码是多少？分析：水中的倒影与实际的车牌号成轴对称，但两组数据的方向是一致的，所以在水中的倒影下边划一条直线作为对称轴，就很容易求得该车的实际车牌号是M17936，本题应和例3区别开来。
《轴对称完整》课件
对轴对称的未来展望
轴对称作为数学中的一个基础概念，仍有很大的研究和发展空间。随着数学和其 他学科的发展，轴对称的应用范围也将不断扩大。我们鼓励学生们在未来的学习 和研究中继续关注轴对称，探索它的更多应用和价值。
在《轴对称完整》ppt课件的最后，我们总结了轴对称的基本原理、方法和应用 ，并提出了进一步探索的问题和方向。我们希望学生们能够带着这些问题和思考 ，继续深入探索轴对称的奥秘，为未来的研究和应用打下坚实的基础。
轴对称是数学中的一个重要概念，它描述了一个图形通过某个直线折叠后与自身重合的性质。在《轴对称完整 》ppt课件中，我们深入探讨了轴对称的定义、性质和分类，帮助学生们更好地理解这一概念。
轴对称在几何学中有着广泛的应用，它不仅在平面几何中出现，还涉及到立体几何、解析几何等多个领域。通 过对轴对称的深入理解，学生们可以更好地掌握几何学的基本原理和方法。
05
轴对称的实践应用
在设计中的应用
对称美学的运用
设计作品中，轴对称的运用可以创造出平衡、和谐的感觉。例如，在服装设计中，设计师可以通过轴对称的裁 剪方式，使服装看起来更加优雅、庄重。
产品设计的指导
在产品设计中，轴对称的原理可以帮助设计师更好地布局产品的各个部分，使其更加符合人机工程学，提高使 用体验。
04
轴对称的意义
美学的意义
美学欣赏
轴对称的形状、图案和结 构常常被视为具有美感， 可以给人带来视觉上的享 受和满足感。
艺术创作
艺术家们经常利用轴对称 的原理来创作美丽的艺术 品，如建筑设计、绘画和 雕塑等。
平衡与和谐
轴对称能够给人带来平衡 和和谐的感觉，使整体效 果更加协调和完整。
科学的意义
自然界中的轴对称
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成轴对称的两个图形的对称轴的画法：
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
成轴对称的两个图形的主要性质：
①成轴对称的两个图形全等
【巩固】如图， 、 为 的边 、 上的两个定点，在 上求一点 ，使 的周长最短．
【例21】(2000年全国数学联赛)如图，设正 的边长为2， 是 边上的中点， 是 边上的任意一点， 的最大值和最小值分别记为 和 ．求 的值．
【例22】已知如图，点 在锐角 的内部，在 边上求作一点 ，使点 到点 的距离与点 到 的边的距离和最小．
【巩固】(2003安徽)如图， 是四边形 的对称轴，如果 ，有下列结论：① ② ③ ④ ．其中正确的结论是_________．(把你认为正确的结论的序号都填上)
【例13】(2003南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)．
⑵如果居民小区 、 在主干线 的同旁，如图⑵所示，那么分支点 在什么地方时总线路最短？此时分支点 与 距离多少千米？
【例26】(09山东临沂)如图， ， 是公路 ( 为东西走向)两旁的两个村庄， 村到公路 的距离 ， 村到公路 的距离 ， 村在 村的南偏东 方向上．
⑴求出 ， 两村之间的距离；
⑵为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点 的位置(保留清晰的作图痕迹，简明书写作法)．
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线
轴对称变换的方法应用：
轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．
【例 7】(上海)正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．
【巩固】(2003河北省)下列图案中，有且只有三条对称轴的是( )
【巩固】⑴(08苏州)下列图形中，轴对称图形的是
⑵下列图形中对称轴最多的是()
A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段
【例 8】作出下图所示的图形的对称轴：
【巩固】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：
如下图， 与 关于直线 对称， 叫做对称轴． 和 ， 和 ， 和 是对称点．
轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：
轴对称图形
两个图形轴对称
区别
图形的个数
1个图形
2个图形
对称轴的条数
一条或多条
只有1条
联系
二者都的关于对称轴对称的
对称轴的性质：
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【巩固】(黑龙江省中考题)如图，已知正方形 的边长为8， 在 上，且 ， 是 上的一个动点，则 的最小值是
【例25】(2004郸县改编)某供电部门准备在输电主干线 上连接一个分支线路同时向新落成的 、 两个居民小区送电，分支点为 ，已知居民小区 、 到主干线 的距离分别为 千米， 千米，且 千米．
⑴居民小区 、 在主干线 的两旁如图⑴所示，那么分支点 在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼
【备选3】(2008年荆门市中考题)如图，菱形 的两条对角线分别长6和8，点 、 分别是变 、 的中点，在对角线 求作一点 使得 的值最小．
板块二、轴对称的应用
【例14】如图， 和 关于直线 对称，且 ， ，求 的度数和 的长．
【例15】如图，有一块三角形田地， ，作 的垂直平分线 交 于 ，交 于 ，量得 的周长为 ，请你替测量人员计算 的长．
【巩固】如图， 中， 边的垂直平分线 交 于 ，交 于 ， 厘米， 的周长是18厘米，则 等于多少厘米？
【例23】已知： 、 两点在直线 的同侧， 在 上求作一点 ，使得 最小．
【巩固】已知： 、 两点在直线 的同侧，在 上求作一点 ，使得 最大．
【例24】(07年三帆中学期中试题)如图，正方形 中， ， 是 上的一点，且 ， 是 上的一动点，求 的最小值与最大值．
【巩固】例题中的条件不变，求 的最小值与最大值．
线段的垂直平分线：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
如图，直线 经过线段 的中点 ，并且垂直于线段 ，则直线 就是线段 的垂直平分线．
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
如图，点 是线段 垂直平分线上的点，则 ．
线段垂直平分线的判定：
【习题4】(四川省竞赛题)如图，在等腰 中， ， 的 上一点，满足 ，在斜边 上求作一点 使得 长度之和最小．
【习题5】在正方形 中， 在 上， ， ， 在 上，求 和 的长度之和的最小值．
【备选1】(2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
【备选2】判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．
【例 6】(2003北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥， 下列图案都与”羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是()
A．1；B．2；B．3；D．4
【巩固】⑴(08山东省青岛市)下列图形中，轴对称图形的个数是()
A． B． C． D．
⑵如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有()
A． 个B． 个C． 个D． 个
【例 4】(09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
【巩固】(2004北京)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A．等腰三角形B．等腰梯形
C．正方形D．平行四边形
【例 5】(2003四川)我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是()
轴对称图形：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．
如下图， 是轴对称图形．
两个图形轴对称：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
轴对称变换应用时有下面两种情况：
⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；
⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．
板块一、轴对称与轴对称图形的认识
【例 1】下列” 表情”中属于轴对称图形的是()
A．B．C．D．
【巩固】(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是()
【例 2】(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是()
【例19】如图，在公路 的同旁有两个仓库 、 ，现需要建一货物中转站，要求到 、 两仓库的距离和最短，这个中转站 应建在公路旁的哪个位置比较合理？
【巩固】若此题改成，在 上找到 、 两点，且 ， 在 的左边，使四边形 的周长最短．
【例20】(”五羊杯”邀请赛试题)如图， ，角内有点 ，在角的两边有两点 、 (均不同于 点)，求作 、 ，使得 的周长的最小．
【例16】如图，已知 ， 为 的垂直平分线，求 的度数．
【例17】(2004陕西)已知：如图，在 中， ， ， 平行于 轴，点 的坐标是 ．
⑴画出 关于 轴对称的 ；
⑵求以点 、 、 、 为顶点的四边形的面积．
板块三、轴对称在几何最值问题中的应用
【例18】已知点 在直线 外，点 为直线 上的一个动点，探究是否存在一个定点 ，当点 在直线 上运动时，点 与 、 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 ；若不存在，请说明理由．
【例 9】求作线段 的垂直平分线
【例10】已知：如图， 及两点 、 ．求作：点 ，使得 ，且 点到 两边所在的直线的距离相等．
【例11】(2003长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码：_______．
【例12】(2004河南)如图，直线 是四边形 的对称轴，若 ，有下面的结论：① ② ③ ④ ，其中正确的结论有_______．
A．B．C．D．
【巩固】(2004泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是()
【巩固】(2003吉林)下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不பைடு நூலகம்？请指出这个图形，并简述你的理由．
答：图形__________；理由是__________．
【例 3】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．
【习题1】(08苏州)下列图形中，轴对称图形的是
【习题2】⑴(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是()
A．B．C．D．
⑵(08山东烟台)下列交通标志中，不是轴对称图形的是()
⑶(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是()
【习题3】如图， 中， ， 为 的平分线， ， 是 的中点，求 的度数．