结构力学I位移法
结构力学 7.位移法
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
结构力学第8章位移法
结构力学第8章位移法位移法是结构力学中一种常用的分析方法。
它基于结构物由刚性构件组成的假设，通过计算结构在外力作用下产生的位移和变形，进而推导出结构的反力和应力分布。
位移法的基本思想是将结构的局部位移组合成整体位移，通过建立位移和反力之间的关系，解决结构的力学问题。
位移法的分析步骤通常包括以下几个方面：1.建立结构的整体位移函数。
位移函数是位移法分析的基础，通过解结构的运动方程建立结构的位移与自由度之间的关系。
2.应用边界条件。
根据边界条件，确定结构的支座的位移和转角值。
支座的位移和转角值可以由结构的约束条件和外力产生的位移计算得出。
3.构建位移方程组。
将结构的整体位移函数带入到结构的平衡方程中，得到位移方程组。
位移方程组是未知反力系数的线性方程组。
4.解位移方程组。
通过解位移方程组，求解未知反力系数。
可以使用高斯消元法、克拉默法则或矩阵方法等解方程的方法求解。
5.求解反力和应力分布。
通过已知的位移和未知的反力系数，可以计算出结构的反力和应力分布。
这些反力和应力分布可以进一步用于结构的设计和评估。
位移法的优点是适用范围广泛，适合复杂结构的分析。
它可以处理线性和非线性的结构，包括静力学和动力学的分析。
同时，位移法具有较高的精度和准确度，在结构的分析和设计中得到广泛应用。
然而，位移法也存在一些限制。
首先，位移法假设结构是刚性的，忽略了结构的变形和位移过程中的非线性效应。
其次，位移法需要建立适当的位移函数，对于复杂结构来说，这是一个复杂和困难的任务。
此外，位移法在处理大变形和非线性结构时可能会遭遇困难。
综上所述，位移法是结构力学中一种重要的分析方法。
它通过计算结构的位移和变形，推导出结构的反力和应力分布，为结构的设计和评估提供基础。
然而，位移法也存在一些限制，需要在具体的分析问题中谨慎应用。
结构力学位移法
R2
R1=0 R2=0
ql
C D
Z1 R1
l
四.位移法典型方程
ql
q
l/2 B
ql
C D
ql B
A r22
q
R2 Z1
R1=0
ql C D
Z2=1
l/2 A
EI=常数
R2=0 R1 R1 r11 Z1 r12 Z 2 R1 P 0
l
C
r21
R2 r21 Z1 r22 Z 2 R2 P 0
r11
3i 3i
EI
r
11
=6i
R1P
ql 2 / 8
R1P
q
R1 P ql 2 / 8
Z1 ql / 48i ql 2 8 MM Z M 1 1 P
2
MP
ql2 / 16
r11
3i
Z1=1 3i
M1
Z1
M
位移法求解过程:
1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 5)解方程 6)作弯矩图
A
Z1
B
Z1
q
B
C
=
A
B
+
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
Z1
q
A
EI
B
Z1
EI
C
----刚臂,限制转动的约束 R1=0 R1=r11 Z1+ R1P =0
R1
q
A
EI
B
EI
C
r11
3i
B B
ql 8
2
3i
r
结构力学第七章位移法
10
§7-3 位移法基本结构与未知量数目
二 位移法基本结构 1 附加刚臂 控制结点转动 2 附加链杆 控制结点线位移
ΔC C θC
ΔD θD
D
基本结构
将原结构结点位移锁住，所得单跨梁的组合体
11
三 位移法基本结构与未知量数目
ΔC
ΔD
Z1
θD
C θC
D
Z2 Z3
基本结构
结点角位移的数目=刚结点的数目=附加刚臂的数目 独立结点线位移的数目=附加链杆的数目
B
15i 16
6
0(2)
位移法方程实质上平衡方程 33
2i
3i/2Z2=1
A
D
2i
k 21
FQ BA
FQ CD
3i 2
B
C k22
FQBA
FQCD
3i
i2
3i/2
k 22
i
3i 4
3i 16
15i 16
B i
0
FQ BA
3i 4
C FQCD i
3i 2
M1
3i 4
A
FQ CD
3i 16
3i/2
D 3i/4 26
4
B
C F2P
3kN/m 3kN/m
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
▪ 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
▪ 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
结构力学中的位移法
结构力学中的位移法
位移法是基于以下假设的：结构单元之间的约束全部通过边界条件来
体现，结构中的材料是线弹性材料，结构中的每个单元之间是相互独立和
互不干扰的。
位移法的基本思想是首先假设结构的位移场，然后利用位移场的表达
式和边界条件，推导出结构的应力、应变和位移等信息。
具体步骤如下：
1.确定结构的约束条件：根据结构的平衡条件，确定结构各部分之间
的约束关系。
一般包括边界条件和连接条件等。
2.建立位移场：通过将结构的变形分解为一系列位移函数的线性组合，建立位移场。
常用的位移函数包括常数、线性函数、二次函数等。
3.推导位移场的表达式：利用结构的几何关系和材料的力学性质，根
据平衡条件和应力-应变关系，推导出位移场的表达式。
4.边界条件和连接条件：利用结构的边界条件和连接条件，确定位移
场中的待定系数。
5.应力和应变的计算：利用位移场的表达式和应力-应变关系，计算
结构中各点的应力和应变。
6.变形和位移的计算：利用位移场的表达式，计算结构中各点的变形
和位移。
7.校核：通过校核位移场的可行性和合理性，验证所得结果的准确性。
位移法的优点是可以处理各种复杂的边界条件和载荷情况，适用于各
种不规则结构。
但是位移法也存在一些局限性，如要求解一些复杂结构时，可能需要大量的计算和繁琐的推导过程。
总之，位移法是结构力学中一种重要的解决结构问题的方法，通过确定结构的位移场来分析结构的力学性能，具有广泛的应用前景。
在实际工程中，位移法被广泛运用于结构设计和分析中，是一种非常有效的结构分析方法。
结构力学位移法
结构力学位移法结构力学是研究结构物的力学性能和变形规律的科学，位移法是结构力学中常用的一种分析方法。
它通过计算结构物各个节点的位移，进而求解出结构物的应力、应变等力学参数。
下面将详细介绍位移法的原理和应用。
一、位移法的原理位移法是一种基于力的平衡方程和位移的相关性质来计算结构物响应的方法。
它的基本原理是通过建立结构物的整体刚度方程，解这个方程得到各节点的位移，再根据位移计算出相应节点上的应力和应变。
在应用位移法时，首先需要确定结构物的受力状态，即施加在结构物上的外力和边界条件。
然后，根据结构物的几何约束条件和材料特性，建立结构物的整体刚度方程。
这个方程是一个描述结构物节点位移与受力关系的方程，通常表示为[K]{D}={F}，其中[K]是结构物的刚度矩阵，{D}是节点位移矩阵，{F}是节点受力矩阵。
解刚度方程可以得到节点位移矩阵{D}，再通过位移与应力或应变的关系，计算出各个节点上的应力和应变。
常用的位移与应力或应变的关系包括伯努利梁理论、平面假设等。
最后，根据应力或应变条件，判断结构物的安全性和稳定性。
二、位移法的应用位移法广泛应用于各种结构物的力学分析和设计中，特别是对于复杂结构和非线性问题的分析更具优势。
1.梁和框架的分析对于梁和框架结构，可以根据位移法计算出节点上的位移、弯矩、剪力和轴力等力学参数。
通过对结构物的力学性能的准确分析，可以进行合理的结构设计和优化。
2.刚架和刚构的计算在刚架和刚构的计算中，位移法可以用来求解节点刚度，从而得到结构物的受力分布和变形情况。
这对于评估结构物的稳定性和刚度有重要意义。
3.非线性问题的分析位移法还可以应用于非线性结构的分析，如软土地基的承载力计算、非线性材料的应力分析等。
在这些情况下，结构物的刚度和应力等参数会随着受力状态的变化而发生变化，需要通过迭代的方法来求解。
4.动力分析位移法也可以用于结构物的动力分析。
动力分析主要研究结构物在动态载荷下的响应和振动特性。
结构力学位移法
r32=r23= –1/2
（5）计算自由项：R1P、R2P、R3P
4m
4m
5m
4m
2m
A
B
C
D
F
E
i=1
i=1
i=1
i=3/4
i=1/2
q=20kN/m
(1/8) × 20×42=40
(1/12) × 20×52=41.7
R1P=40–41.7= –1.7
R2P=41.7
R3P=0
位移法的基本思路概括为，先离散后组合的处理过程。所谓离散，就是把对整体结构的分析转化对单个杆件系在变形协调一致条件下的杆系分析。所谓组合，是要把离散后的结构恢复到原结构的平衡状态，也就是要把各个杆件组合成原结构，组合条件就是要满足原结构的平衡条件。
◆ 确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
◆确定结构中哪些结点位移作为基本未知量。
（6）建立位移法基本方程：
（7）解方程求结点位移：
（8）绘制弯矩图
A
B
C
D
F
E
M图（kN•m）
18.6
42.8
47.8
26.7
23.8
14.9
5
3.6
8.9
3.97
（9）校核
结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。
由于考虑了结点和杆件的联结以及支座约束情况，所以满足了结构的几何条件，即变形连续条件和支座约束条件
位移法基本结构
位移法中采用增加附加约束，以限制原结构的结点位移而得到的新结构，称为位移法的基本结构
● 在刚结点处附加刚臂，只限制刚结点的角位 移，不限制结 点线位移，用符号“▼”表示刚臂
结构力学 第七章 位移法
表示等截面直杆杆端力与杆端位移及杆上荷载间关系的表达式
B A
Δ
6i F M AB l 6i F M BA 2i A 4i B M BA l 6i 6i 12i F F QAB A B 2 FAB l l l M AB 4i A 2i B
B
4i
1
2i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ =1
B B
3i
3i l
l
2
1 θ =1
B
3i
i
l
0
A
－i
0
三 等截面直杆的载常数 由荷载作用所引起的杆端力（固端力）
单跨超静定梁简图
q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
mAB
B
mBA
ql 2 12
Pl 8
ql 2 12
Pl 8
位移法方程实质上平衡方程
Z1
D i A 2i E
Z2
C 2i
i EI l
4m
EI
i B
A
B
4m
2m
2m
位移法基本体系
解：1 确定位移法基本体系 2 列位移法方程 k11Z1+ k12Z2+ F1P=0 k21Z1+ k22Z2+ F2P=0
３ 计算系数和自由项 Z1=1
4i 4i D i8i A 2i 8i 2i E 2i i B C
M AB 2i B
M BC ql 2 4i B 12
ql 2 ql 2 ql 2 4i 96i 12 24