高一数学寒假作业补充练习答案
徐州市高一数学寒假作业-补习题精选(含答案) (12)
徐州市高一数学寒假作业-补习题精选12一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合A ={x |0＜x ＜3}，，则A ∩B =（ ）A. [0，3）B. （1，3）C. （0，1]D. （0，1） 2. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则其母线与底面半径之比为（ ）A. 1B.C.D. 23. 设ln 2x -ln x -2=0的两根是α、β，则log αβ+log βα=（ ）A. B.C. D.4. 设x ，y ，z 为大于1的正数，且log 2x =log 3y =log 5z ，则，，中最小的是（ ）A. B. C. D. 三个数相等5. 已知：f （x ）=ax 3+bx +2，若f （-2）=3，则f （2）=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 如图所示，△A 'B 'C '是水平放置的△ABC 的直观图，则在△ABC 的三边及线段AD 中，最长的线段是（ ） A. AB B. AD C. BC D. AC 7. 已知矩形ABCD ，AB =4，BC =3．将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ的二面角B -AC -D ，则折叠后形成的四面体ABCD 的外接球的表面积是（ ）A. 9πB. 16πC. 25πD. 与θ的大小有关8. 已知原点到直线l 的距离为1，圆（x -2）2+（y -）2=4与直线l 相切，则满足条件的直线l 有多少条？（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条9. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则异面直线AF 和D 1E 所成角的大小为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 10. 已知函数，且a +b ＞0，b +c ＞0，c +a ＞0，则f （a ）+f （b ）+f （c ）的值（ ）A. 恒为正B. 恒为负C. 恒为0D. 无法确定11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（）A. 4B.C.D.12.已知函数，且g（x）=f（x）-mx+2m在（-1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.ln（2x-1）＜0的解集为______．14.若直线l过点（2，1），且在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程为______．15.已知函数（0≤x≤2）的图象与函数f（x）=log2x及函数g（x）=2x的图象分别交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则的值为______．16.已知函数f（x）=x2+bx，若函数y=f（f（x））的最小值与函数y=f（x）的最小值相等，则实数b的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m-2）x+3y+2m=0，求：（1）若l1⊥l2，求m的值；（2）若l1∥l2，求m的值．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA=AC，∠PAD=∠DAC．（1）求证：AD⊥PC；（2）若△PAD为等边三角形，PA=2，平面PAD⊥平面ABCD，求四棱锥P-ABCD 的体积．19.（1）利用函数单调性定义证明：函数，是减函数；（2）已知当x∈[-2，-1]时，函数y=4x-m2x+5的图象恒在x轴的上方，求实数m的取值范围．20.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别为AC和A1D上的点，且EF⊥AC，EF⊥A1D．（1）求证：EF∥BD1；（2）求证：BE、D1F、DA三条直线交于一点．21.已知二次函数y=x2-4x+3的图象与x轴、y轴共有三个交点，（1）求经过这三个交点的圆C的标准方程；（2）当直线y=2x+m与圆C相切时，求实数m的值；（3）若直线y=2x+m与圆C交于M、N两点，且|MN|=2，求此时实数m的值．22.已知函数f（x）=log2x，x∈（0，+∞）（1）解不等式：f2（x）+3f（x）≥4；（2）若函数F（x）=f2（x）+3f（x）-m在区间[1，2]上存在零点，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）的反函数为G（x），且G（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，试比较g（-1）与h（-1）的大小．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵1-x≥0，∴x≤1，∴B={x|x≤1}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{x|x≤1}={x|0＜x≤1}，故选：C．求解定义域简化集合B，然后直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，考查了定义域的求法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴由已知可得2πr=πl，∴l=2r，故其母线与底面半径之比为：．故选：D．由已知可得2πr=πl，从而l=2r，由此能求出其母线与底面半径之比．本题考查圆锥的母线与底面半径之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．3.【答案】D【解析】解：ln2x-ln x-2=0的两根是α、β，∴lnα和lnβ是方程t2-t-2=0的两个根，则lnα+lnβ=1，lnα•lnβ=-2；∴logαβ+logβα=+====-．故选：D．根据方程的根以及根与系数的关系，求得lnα+lnβ和lnα•lnβ的值，再利用换底公式计算logαβ+logβα的值．本题考查了方程的根以及根与系数的关系应用问题，也考查了换底公式应用问题，是基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用．令log2x=log3y=log5z=k（k＞0），则，，，，，，能求出结果．【解答】解：令log2x=log3y=log5z=k（k＞0），则x=2k，y=3k，z=5k，所以，，则，，，∴最小．故选：C．5.【答案】A【解析】解：∵f（-2）=3；∴-8a-2b+2=3；∴8a+2b=-1；∴f（2）=8a+2b+2=-1+2=1．故选：A．根据f（-2）=3即可得出8a+2b=-1，从而可求出f（2）=8a+2b+2=1．考查奇函数的定义，已知函数求值的方法．6.【答案】D【解析】解：，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC中，AB⊥BC，AC为斜边，AD为三角形内部的一条线段，AC的长度最长，即最长的线段是AC；故选：D．根据题意，分析可得：在△ABC中，AB⊥BC，AC为斜边，进而可分析出△ABC的三边及中线AD中，最长的线段．本题考查平面图形的直观图的作法，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，属于简单题．7.【答案】C【解析】解：∵矩形ABCD，AB=4，BC=3．将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为θ的二面角B-AC-D∴根据矩形特性，对角线上的交点到四个顶点的距离相等，∴矩形ABCD对角线AC、BD的交点即为折叠后形成的四面体ABCD的外接球的球心，∴折叠后形成的四面体ABCD的外接球的半径R=AC==，∴折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积：S=4=25π，故选：C．根据矩形特性，对角线上的交点到四个顶点的距离相等，从而矩形ABCD对角线AC、BD的交点即为折叠后形成的四面体ABCD的外接球的球心，折叠后形成的四面体ABCD的外接球的半径R=AC，由此能求出折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积．本题考查四面体外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆的切线方程，本题解题的关键是得出满足条件的直线l即为圆x2+y2=1和圆（x-2）2+（y-）2=4的公切线．由题意，满足条件的直线l即为圆x2+y2=1和圆（x-2）2+（y-）2=4的公切线，利用这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，即可得出结论．【解答】解：由已知，直线l满足到原点的距离为1，到点（2，）的距离为2，满足条件的直线l即为圆x2+y2=1和圆（x-2）2+（y-）2=4的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线．故选：C．9.【答案】D【解析】解：以点D为空间直角坐标系的原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，DA长为单位长度，则A（1，0，0），F（0，，0），D1（0，0，1），E（，1，0），所以=（-1，，0），1=（-，-1，1），设，1的夹角为θ，则cosθ==0，即，即异面直线AF和D1E所成角的大小为90°，故选：D．由空间角及运算：建立空间直角坐标系，列点，求坐标运算即可：A（1，0，0），F（0，，0），D1（0，0，1），E（，1，0），所以=（-1，，0），1=（-，-1，1），设，1的夹角为θ，则cosθ==0，即，即异面直线AF和D1E所成角的大小为90°，得解本题考查了空间角及运算，属中档题．10.【答案】A【解析】解：若x＞0，则-x＜0，则f（-x）=lg=-lg（1+x）=-f（x），若x＜0，则-x＞0，f（-x）=lg（1-x），f（x）=lg=-lg（1-x），则f（-x）=-f（x），f（0）=lg1=0，综上f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=lg（x+1）为增函数，∴f（x）在R上单调递增的函数，由a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0可得a＞-b，b＞-c，c＞-a，所以f（a）＞f（-b），f（b）＞f（-c），f（c）＞f（-a），即f（a）+f（b）＞0，f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0，等式两边相加得，所以2[f（a）+f（b）+f（c）]＞0，所以f（a）+f（b）+f（c）＞0，故选：A．根据条件判断函数f（x）的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质，进行转化求解即可．本题主要考查分段函数的应用，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查了常见几何体的结构特征与三视图，属于中档题．几何体为四棱锥，作出直观图，计算棱长即可得出答案．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥S-ABCD，如图所示：由侧视图可知棱锥底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面ABCD上的射影M为CD的中点，由主视图可知SM=，∴AM=，SA==2．由对称性可知SB=SA=2．∴几何体最长的棱长度为2．故选：B．12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，属于中档题．g（x）=f（x）-mx+2m在（-1，1]内有且仅有两个不同的零点，即函数f（x）和h（x）=m（x-2）的图象在（-1，1]内有两个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意，函数，g（x）=f（x）-mx+2m在（-1，1]内有且仅有两个不同的零点，即函数f（x）和h（x）=m（x-2）的图象在（-1，1]内有两个交点，分别作出函数f（x）和h（x）=m（x-2）的图象，如图所示：由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点P（2，0）的直线，当h（x）过（1，1）时，m=-1，此时两个函数有两个交点，当h（x）=m（x-2）经过B（0，）时，有1个交点，此时m=-，所以要使函数f（x）和h（x）=m（x-2）的图象在（-1，1]内有两个交点，则m∈[-1，），故选：C．13.【答案】（，1）【解析】解：不等式ln（2x-1）＜0化为0＜2x-1＜1，＜x＜1，∴不等式的解集为．故答案为：．根据对数函数的定义与性质，求解即可．本题考查了对数函数的定义与性质的应用问题，是基础题．14.【答案】x-2y=0或x+y-3=0【解析】解：当直线过原点（0，0），可设方程为y=kx，代入（2，1）可得k=，故直线方程为y=x，即x-2y=0；当直线不过原点，可设方程为，代入（2，1）可得a=3，故直线方程为，即x+y-3=0，故答案为：x-2y=0或x+y-3=0．【分析】当直线过原点（0，0），可设方程为y=kx；当直线不过原点，可设方程为，分别代入点的坐标可求．本题考查直线的截距式方程和化为一般式方程的能力，体现了分类讨论的思想．15.【答案】4【解析】解：∵f（x）=log2x及函数g（x）=2x的图象关于y=x对称，∴由图象知A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x对称，则有y1=x2，y2=x1，则=x12+y12，∵A在函数（0≤x≤2）的图象，∴x12+y12=4，故答案为：4．结合同底的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于y=x对称，进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用互为反函数的图象关于y=x对称，利用数形结合是解决本题的关键．16.【答案】{b|b≥2或b≤0}．【解析】解：由于f（x）=x2+bx+2，x∈R．则当x=-时，f（x）min=-，又函数y=f（f（x））的最小值与函数y=f（x）的最小值相等，则函数y必须要能够取到最小值，即-≤-，得到b≤0或b≥2，所以b的取值范围为{b|b≥2或b≤0}．故答案为：{b|b≥2或b≤0}．首先这个函数f（x）的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是大于等于它的最小值．y=f（f（x））它的图象只能是函数f（x）上的一段，而要这两个函数的值域相同，则函数y必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要f（x）的最小值小于-本题考查函数值域的简单应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）m=0时，两条直线不垂直，舍去．m≠0时，∵l1⊥l2，∴-×=-1，解得m=．综上可得：m=．（2）由m（m-2）-3=0，解得：m=3或-1．经过验证m=3时两条直线重合，舍去．∴m=-1时，l1∥l2．【解析】本题考查了直线平行与垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（1）对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．（2）由m（m-2）-3=0，解得：m=3或-1．经过验证m=3时两条直线重合，舍去．18.【答案】解：（1）证明：作PE⊥AD于E，连结CE，∵PA=AC，∠PAD=∠DAC，AE是公共边，∴△PAE≌△CAE，∴∠PEA=∠CEA，∵PE⊥AD，∴CE⊥AD，又PE⊂平面PEC，CE⊂平面PEC，且PE∩CE=E，∴AD⊥平面PEC，又PC⊂平面PEC，∴AD⊥PC；（2）∵平面PAD⊥平面ABCD平面PAD∩平面ABCD=AD，又PE⊥AD，PE⊂平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，又△PAD为等边三角形，PA=2，∴，易知△PAD≌△CAD，故平行四边形ABCD为有一个角为60°的边长为2的菱形，∴故四棱锥P-ABCD的体积．【解析】（1）作PE⊥AD，连接EC，利用全等，易得线面垂直，进而得证；（2）利用（1）中的PE为高，结合题中条件可知底面为菱形，求解不难．此题考查了线面垂直，棱锥体积等，难度适中．19.【答案】解：（1）证明：任取x1，x2∈．且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1-x2）+=；∵0＜x1＜x2≤，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜5，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴函数在上为减函数；注：不是利用定义证明不得分．…………………………6分（2）解：令t=2x，因为x∈[-2，-1]，所以，则y=t2-mt+5＞0在上恒成立，即在上恒成立．由（1）知………………………………10分故…………………………………………………………12分【解析】（1）利用函数的单调性的定义，化简证明即可．（2）令t=2x，函数化为y=t2-mt+5＞0在上恒成立，即在上恒成立．求解函数的最小值，推出结果即可．本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】证明：（1）连结AB1和B1C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D∥B1C，∵EF⊥A1D，∴EF⊥B1C，又∵EF⊥AC，AC∩B1C=C，∴EF⊥平面AB1C， (3)分又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，BC1∩D1C1=C1，∴B1C⊥平面BC1D1，又BD1⊂平面BC1D1∴B1C⊥BD1，同理可证，B1A⊥BD1，B1A∩B1C=B1，∴BD1⊥平面AB1C，………………………………………………6分故EF∥BD1．…………………………………………………………8分（2）由题意得EF小于BD1（或者D1F和BE不平行），由（1）EF∥BD1知，直线D1F和BE必相交，…………………………………………………………9分不妨设BE∩D1F=G，则G∈平面AA1D1D，G∈平面ABCD，又∵平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，∴G∈AD，故BE、D1F、DA三条直线交于一点．……………………………………12分【解析】（1）连结AB1和B1C，A1D∥B1C，从而EF⊥B1C，EF⊥AC，进而EF⊥平面AB1C，B1C⊥平面BC1D1，B1C⊥BD1，同理可证B1A⊥BD1，从而BD1⊥平面AB1C，由此能证明EF∥BD1．（2）由题意得EF小于BD1（或者D1F和BE不平行），由EF∥BD1知，直线D1F和BE 必相交，设BE∩D1F=G，推导出G∈AD，由此能证明BE、D1F、DA三条直线交于一点．本题考查线线平行的证明，考查三条直线交于一点的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.【答案】解：（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x2-4x+3=0，得x=1或x=3．∴三个交点分别为（0，3），（1，0），（3，0），设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三个点坐标代入得：，解得：，即圆C的方程为x2+y2-4x-4y+3=0，其标准方程为：（x-2）2+（y-2）2=5；（2）由（1）知C（2，2），由题意，解得：m=3或m=-7；（3）设点C到直线y=2x+m的距离为d，则，则，解得：．【解析】（1）求出三个交点的坐标，设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三个点坐标代入求解即可得圆C的标准方程；（2）求出圆心到直线的距离，即可求出实数m的值；（3）点C到直线y=2x+m的距离为d，求解即可实数m的值．本题考查了圆的标准方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是中档题．22.【答案】解：（1）由f2（x）+3f（x）≥4得，f（x）≥1或f（x）≤-4，即log2x≥1或log2x≤-4，因此，不等式的解集为……………………4分（2）令F（x）=0，得m=f2（x）+3f（x），令t=f（x）=log2x，因为x∈[1，2]，所以t∈[0，1]即m=t2+3t，其中t∈[0，1]故m∈[0，4]……………………………………………………8分（3）G（x）=2x，即g（x）+h（x）=2x因此，因为g（x）为奇函数，h（x）为偶函数得，解之得：，…………10分所以，，因此，g（-1）＜h（-1）…………………………………………12分另法：h（-1）-g（-1）=h（1）+g（1）=G（1）=2＞0，所以，g（-1）＜h（-1）【解析】（1）求出函数值的不等式，然后利用对数函数的性质求解即可．（2）利用换元法，结合二次函数的性质转化求解即可．（3）化简函数的解析式利用函数的奇偶性，转化求解即可．本题考查函数与方程的应用，不等式的解法函数的奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力．。
徐州市高一数学寒假作业-补习题精选(含答案) (8)
徐州市高一数学寒假作业-补习题精选8一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x |x +1＞0}，B ={-2，-1，0}，则（∁R A ）∩B =（ ）A. {-2，-1}B. {-2}C. {-1，0，1}D. {0，1} 2. sin300°的值为（ ）A.B. C.D.3. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）A. y =lnB. y =x 3C. y =cos xD. y =2|x |4. 设a =，，，则（ ）A. a ＜b ＜cB. c ＜b ＜aC. c ＜a ＜bD. b ＜a ＜c5. 函数的图象为（ ）A.B.C.D.6. 已知函数,若函数有两个不同的零点,则m 的取值范围( )A.B.C. D.7. 对于函数，给出下列选项其中正确的是（ ）A. 函数f （x ）的图象关于点对称B. 存在，使f （α）=1C. 存在，使函数f （x +α）的图象关于y 轴对称D. 存在，使f （x +α）=f （x +3α）恒成立8. 如图，点A 、B 在圆O 上，且点A 位于第一象限，圆O与x 正半轴的交点是C ，点B 的坐标为，∠AOC =α，若|AB |=1，则sinα的值为（ ）A.B.C.D.9.已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=4x-2，若对任意x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是（）A. B. C. D.10.定义在R上的偶函数f（x）满足：当x＞0时有，且当0≤x≤3时，f（x）=2|x-2|，则函数的零点个数是（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 无数个二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.设集合A={x|y=lg（x2-2x）}，B={y|y=x0.5+1}，则A=______，A∪B=______．12.，且，则=______，=______．13.若函数的周期T=π，则ω=______，且函数y=e f（x）的单调递减区间为______．（e=2.71828……是自然对数的底数）14.函数f（x）=sin|ax+1|的图象恒过定点______，若函数y=f（x）的图象的对称轴为x=1，则非零实数a的值为______．15.已知a＞0，a≠1，若函数在[3，4]是增函数，则a的取值范围是______．16.已知函数，当变化时，f（m2sinθ）+f（1-m2）≥0恒成立，则实数m的取值范围是______．17.已知x，y∈（0，+∞），a∈R，若x3+ln x+2a2=0，，则=______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.计算（1）；（2）．19.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），当时，求函数h（x）=f（x）+g（x）的值域．20.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上．则（1）求的值；（2）已知，，求α-β的值．21.已知函数f（x）=x2+2x tanθ-1，其中．（1）当时，求函数f（x）的最大值与最小值；（2）函数为奇函数，求θ的值；（3）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间上是单调函数．22.函数f（x）=．（1）在区间（0，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）方程f（x）=1有三个不同的实数根，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a使函数f（x）≥x-2a恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为集合A={x|x+1＞0}={x|x＞-1}，所以∁R A={x|x≤-1}，又B={-2，-1，0}，则（∁R A）∩B={-2，-1}，故选：A．根据题意和补集的运算求出∁R A，由交集的运算求出（∁R A）∩B．本题考查补、交、并集的混合运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：sin300°=sin（360°-60°）=-sin60°=-，故选：C．由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：选项A，y=ln为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，故错误；选项B，y=x3为奇函数，故错误；选项C，y=cos x为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减没有单调性，故错误；选项D，y=2|x|为偶函数，当x＞0时，解析式可化为y=2x，显然满足在区间（0，+∞）上单调递增，故正确．故选：D．选项A为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减；选项B，y=x3为奇函数；选项C，y=cos x为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减没有单调性；选项D满足题意．本题考查函数的奇偶性和单调性，属基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查对数函数和指数函数的性质，属于基础题.利用对数函数和指数函数的性质，找到合适中间量即可求解.【解答】解：∵由指、对函数的性质可知：，，∴a＜b＜c故选A．5.【答案】D【解析】解：首先根据定义域：1-x>0,所以x<1，故排除A，B，再根据复合函数的单调性可得，f(x)在定义域上为单调递减函数，故排除C，故选：D．分析：本题考查对数函数的图象与性质，对于选择题，排除法是一种找出正确选项的很6.【答案】A【解析】解：函数f（x）=，画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，∵函数y=f（x）-m有2不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有2交点，由图象可得m的取值范围为（-1，1）．故选：A．画出函数y=f（x）与y=m的图象，由图象可得m的取值范围本题考查了函数的零点的判断及分段函数的应用，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，对称性以及周期的应用，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键，属于中档题．利用辅助角公式将函数f（x）进行化简，结合函数对称性，函数有界性的性质分别进行判断即可．【解答】解：=2（sin x+cos x）=2sin（x+），A．f（）=2sin（+）=2sin=2≠0，即函数f（x）的图象关于点不对称，故A错误，B．若，则α+∈（，），则sin（α+）∈（，1]，2sin（α+）∈（，2]，则f（α）=1错误，故B错误，C．若，则f（x+α）=2sin（x+α+），若f（x+α）的图象关于y轴对称，则α+=+kπ，得α=kπ+，当k=0时，α=满足条件．，故C正确，D．若f（x+α）=f（x+3α）恒成立，则f（x）=f（x+2α），即函数的周期T=2α，∵函数f（x）的周期T=2π，而，2α∈（0，）不满足条件．故D错误，故选C．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及两角差的正弦，是中档题．根据三角函数的定义，结合两角差的正弦求解．解：∵点B的坐标为，设∠BOC的大小为θ．∴sinθ=，cosθ=，∵∠AOC=α，若|AB|=1，∴θ+α=，则α=-θ，则sinα=sin（-θ）=sin cosθ-cos sinθ=．故选：A．9.【答案】C【解析】解：∵g（x）=4x-2，当x≥时，g（x）≥0，又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，∴此时f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（，0）的左面，则，∴-＜m＜0，故选：C．由于g（x）=4x-2≥0时，x≥，根据题意有f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x＞时成立，根据二次函数的性质可求．本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键．10.【答案】B【解析】解：当x＞0时有，∴当x＞3时，f（x）=f（x-3）若3＜x≤6，则0＜x-3≤3，则f（x）=f（x-3）=×2|x-3-2|=|x-5|，若6＜x≤9，则3＜x-3≤6，则f（x）=f（x-3）=|x-3-5|=|x-8|，∵f（x）是偶函数，∴作出函数f（x）的图象如图：由=0得f（x）=-x+，作出函数h（x）=-x+，图象如图：则f（-3）=f（3）=2＜h（-3）=3，则当x≤-3时，两个函数没有交点，由图象知两个函数有7个交点，故函数g（x）的零点个数为7个，故选：B．根据条件求出函数f（x）的解析式，结合函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行判断即可．本题主要考查函数零点个数的判断，结合条件求出函数的解析式，作出两个函数的图象利用数形结合是解决本题的关键．考查学生的转化能力．11.【答案】{x|x＜0或x＞2} {x|x＜0或x≥1}【解析】解：集合A={x|y=lg（x2-2x）}={x|x＜0或x＞2}，B={y|y=x0.5+1}={x|x≥1}，∴A∪B={x|x＜0或x≥1}．故答案为：{x|x＜0或x＞2}，{x|x＜0或x≥1}．利用对数函数的定义域能求出集合A，利用函数的值域能求出集合B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】7【解析】解：∵，且，∴cosα==，∴tanα==，则=tan（）==7．====，故答案为：7；．由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，得到要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．13.【答案】2 [kπ+，kπ+]，k∈Z【解析】解：∵函数的周期T==π，则ω=2．函数y=e f（x）=的单调递减区间，即sin（2x+）的减区间．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故答案为：2，[kπ+，kπ+]，k∈Z．根据正弦函数的周期性求得ω，本题即求函数sin（2x+）的减区间，再利用正弦函数的单调性求得结果．本题主要考查复合函数的单调性，正弦函数、指数函数的性质，属于中档题．14.【答案】（0，sin1）-1【解析】解：若f（x）过定点，则与a无关即当x=0时，f（0）=sin1，即函数f（x）过定点（0，sin1），若y=f（x）的图象的对称轴为x=1，则|1×a+1|=0，即|a+1|=0，得a+1=0，得a=-1，故答案为：（0，sin1），-1根据函数过定点的性质以及对称性进行求解即可．本题主要考查三角函数对称性的应用，结合绝对值对称性的性质是解决本题的关键．15.【答案】1＜a＜3【解析】解：已知a＞0，a≠1，若函数在[3，4]是增函数，若a＞1，则y=x2-ax在[3，4]是增函数且大于零，故有，求得a＜3，∴1＜a＜3．若0＜a＜1，则则y=x2-ax在[3，4]是减函数且大于零，故有，求得a∈∅．综上可得，1＜a＜3，故答案为：1＜a＜3．分类讨论a的范围，利用二次函数、对数函数的性质，求得a的范围．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．16.【答案】-1≤m≤1【解析】解：∵f（x）=a x-（a＞1），∴f（-x）=a-x-=-（a x-），（a＞1），则函数f（x）是奇函数，当a＞1，f（x）=a x-单调递增，当θ∈[0，]变化时，f（m2sinθ）+f（1-m2）≥0恒成立，等价为f（m2sinθ）≥-f（1-m2）=f（m2-1）恒成立，即m2sinθ≥m2-1，当θ=，m2≥m2-1成立，当θ∈[0，）时，m2≤，∴m2≤1，解得-1≤m≤1，故答案为：-1≤m≤1．判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化，利用参数分离法即可得到结论．本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．17.【答案】2【解析】解：∵x，y∈（0，+∞），x3+ln x+2a2=0，4y3+ln+ln+a2=0，∴8y3+ln y+ln2+2a2=0，∴（2y）3+ln（2y）+2a2=0，∴x=2y，∴=2．故答案为：2．根据x3+ln x+2a2=0，，求出x=2y，求出的值．本题考查两数比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的运算性质的合理运用．18.【答案】解：（1）=；（2）==．【解析】（1）进行分数指数幂和对数的运算即可；（2）根据三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式，以及二倍角的正弦公式进行化简即可．考查分数指数幂和对数的运算，三角函数的诱导公式，两角差的余弦公式，以及二倍角的正弦公式．19.【答案】解：（1）∵，∴…（2分）则f（x）=A sin（2x+φ），由五点对应法得2×+φ=π，∴φ=，即f（x）=A sin（2x+）…（4分）又f（0）=A sin=，即A=，则A=2…（6分）∴…（7分）（2）依题意g（x）=2sin2x…（9分）=…（11分）∵，∴2x+∈[，]，∴，∴h（x）的值域为…（15分）【解析】（1）根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值即可（2）根据三角函数的平移关系求出g（x）和h（x）的解析式，结合三角函数的有界性进行求解即可本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．20.【答案】（1）解法一：依题意tanα=2，==．解法二：当α终边在第一象限时，，∴，∴=；当α终边在第三象限时，，∴，∴=．综上：∴=．（2）∵，∴，∵，∴，∴．∴=．∵，，∴，∴，∴．【解析】（1）法一：利用两角和的余弦公式、二倍角公式，求得的值．法二：分类讨论α的范围，分别求得sin2α、cosα的值，可得要求式子的值．（2）先判断β+的范围，再根据cos[α-（β+）]的值，求得α-（β+）的值，可得α-β的值．本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题．21.【答案】解：（1），，∵，∴…（3分）∴．（2），∵g（x）为奇函数∴，∴tanθ=0，∴θ=kπ，k∈Z．（3）函数f（x）的对称轴为x=-tanθ，∵f（x）在区间上是单调函数，∴-tanθ≤-1或即或tanθ≥1∴或【解析】（1）利用二次函数的性质求出最大值和最小值即可（2）结合奇函数的定义建立方程进行求解即可（3）结合二次函数的单调性的性质进行求解本题主要考查二次函数的图象和性质，利用二次函数的对称性和最值，单调性的关系是解决本题的关键．22.【答案】解：（1）依题意∴…（3分）（2）当a≤1时，f（x）在[1，+∞）单调递增，当a≤0f（x）在（0，1）单调递增，要使方程f（x）=1有三个不同的实数根，则a＞0，又当a＞0时，2+a＞1＞1-a恒成立则∴…（9分）（3）解法一：令g（x）=f（x）-（x-2a）=要使函数f（x）≥x-2a恒成立，则g（x）≥0恒成立则g（1）≥0成立，即a≥0当a=0时，符合题意当时，单调递减，单调递增，在（1，+∞）单调递增则当时，g（x）在单调递减，在单调递增，在单调递减单调递增则∴，又∵，∴．当1≤a时，g（x）在（0，1）单调递减，在单调递减单调递增则∴又1≤a∴1≤a≤1+综上∴0≤a≤1+…（15分）解法二：x2-2ax+a≥x-2a，x∈[1，+∞）恒成立令g（x）=x2-（2a+1）x+a≥0，x∈[1，+∞）对称轴，当时，g（x）min=g（1）=a≥0，故，当时，，，故，，x∈（{0，1}）恒成立，转化为：，x∈（0，1）令，设t=1+2x，t∈（1，3），，故a≥0综上，a的取值范围是0≤a≤1+（各解答题其它解法酌情给分）【解析】（1）利用分段函数的单调性，列出不等式组，求解即可．（2）利用函数的单调性，推出当a＞0时，2+a＞1＞1-a恒成立，然后求解即可．（3）解法一：令g（x）=f（x）-（x-2a）=，要使函数f（x）≥x-2a恒成立，则g（x）≥0恒成立则g（1）≥0成立，即a≥0．然后通过a 的范围，转化求解即可．解法二：x2-2ax+a≥x-2a，x∈[1，+∞）恒成立，令g（x）=x2-（2a+1）x+a≥0，x∈[1，+∞），利用二次函数的对称轴以及函数的最小值转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，考查计算能力．。
高一数学寒假作业补充练习答案
高一年级数学寒假作业一答案解析一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合 U = R ，集合{}2|320A x x x =-+>，则U C A =（ ） A. (1,2) B. [1,2 ] C. (-2，-1 ) D. [ -2，-1] 【答案】B ；【解析】因为A ()(),12,=-∞+∞，U = R ,所以U C A =[ 1,2] ．2. 设13331log ,4,log 24a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A. c >a> bB. b> a> cC. c> b> aD. b> c> a 【答案】D ；【解析】0,1,01a b c <><<,所以 b> c> a ．3. 如图，已知点 C 为△OAB 边AB 上一点，且AC=2CB ，若存在实数m ，n ，使得OC mOA nOB =+，则m- n 的值为（ ）．A.13-B. 0C.13D.23【答案】A ；【解析】由等和线定理，易得1233OC OA OB =+，所以m- n =13-.4.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）． A.6πB.6π- C.4π- D.4π【答案】D ；【解析】由图可知，322T π=，所以223T πω==，所以()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为328f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以232382k ππϕπ⨯+=+，解得()24k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以4πϕ=.5. 函数()2211log 113xx f x x -⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭的定义域是 ( ) A. [1,+∞ ) B. (0,1) C. (-1,0 ] D. (−∞ −1] 【答案】C ；【解析】由对数的真数大于 0 ，与二次根式非负，得101x x ->+且21103x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 解得11x -<<且x ≤0，所以定义域为 (-1,0 ]．6. 设a ，b 是实数，已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (a ，1 )，B(-2，b )，且1sin 3θ=，则ab的值为（ ）． A. -4 B.-2 C. 4 D. ±4 【答案】A ；【解析】由三角函数的定义，221314a b==++，且a< 0，解得2,222b a ==-4a b=-. 7. 函数()2sin2xy x x R =∈的图象大致为（ ）．【答案】D ；【解析】由该函数为奇函数，排除选项 A ，B ，由2x π=时，函数值为 0，可排除选项C ，故选D ．8. 若函数()()lg 12f x x =-+，则对于任意的()12,1,x x ∈+∞，()()122f x f x +与122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系是（ ）．A.()()122f x f x +≥122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()()122f x f x +≤122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭C.()()122f x f x +=122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭D.不确定【答案】B ；【解析】观察图象，可得函数“凹凸性”如图，故选 B ．二、多项选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 下列计算结果为有理数的有（ ）．A.23log 3log 2⋅B. lg2 +lg5C.1ln22e - D.5sin6π 【答案】ABCD ；【解析】23log 3log 21⋅=；lg2+ lg5=1；1ln220e -=；51sin62π=， 故选 ABCD ．10. 对于定义在 R 上的函数()f x ，下列判断错误的有（ ）． A.若()()22f f ->，则函数()f x 是 R 的单调增函数 B.若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数 C.若()00f =，则函数()f x 是奇函数D.函数()f x 在区间 (−∞，0]上是单调增函数，在区间 (0,+∞)上也是单调增函数，则()f x 是 R 上的单调增函数【答案】ACD ；【解析】A 选项，由()()22f f ->，则()f x 在 R 上必定不是增函数； B 选项，正确；C 选项，()2f x x =，满足()00f =，但不是奇函数；D 选项，该函数为分段函数，在 x =0 处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误．11. 设 a 为实数，则直线y =a 和函数41y x =+的图象的公共点个数可以是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABC ；【解析】41y x =+是偶函数，且在 [0,+∞ ) 上递增，画出草图，可知y=a 与该函数的交点个数可能为 0，1，2．12. 设函数()f x 的定义域为D ，若对于任意x ∈D ，存在y ∈D 使()()2f x f y C-=（C 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的“半差值”为C ．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是（ ）． A.()31y x x R =+∈ B. ()2x y x R =∈C. ()()ln 0,y x x =∈+∞ D. y=sin2x+1( x ∈R) 【答案】AC ；【解析】即对任意定义域中的 x ，存在 y ，使得f(y)=f(x)-2；由于AC 值域为R ，故满足；对于B ，当x=0时，函数值为1，此时不存在自变量y ，使得函数值为-1，故B 不满足；对于D ，当2x π=-时，函数值为−1，此时不存在自变量y ，使得函数值为−3,故D 不满足，所以选AC ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设m 为实数，若函数()22f x x mx =+-在区间 (−∞,2)上是单调减函数，则m 的取值围是． 【答案】m ≤−4；【解析】()f x 为开口向上的二次函数，对称轴为直线2mx =-,要使得函数在(−∞,2)上递减，则22m-≥，解得4m ≤-. 14. 把函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到图象为1C ；再把1C 上每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象为2C ，则2C 对应的解析式为． 【答案】2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】1C :sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,2C :2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.15. 若()()cos ,1,2cos ,2sin AB AC θθθ=-=，其中θ∈[0,π]，则BC 的最大值为． 【答案】3；【解析】()cos ,2sin 1,BC AC AB θθ=-=+所以()2222cos 2sin 13sin 4sin 2,BC θθθθ=++=++因为[]0,θπ∈，令[]sin 0,1t θ=∈，所以22342,BC t t =++所以当t=1时，取最大值 9，所以BC 的最大值为 3．16. 已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，那么()()3f f =；若存在实数 a ，使得()()()f a f f a =，则a 的个数是．【答案】 1 ；4； 【解析】()()()311;ff f =-=令()f a t =，即满足()f t t =，①t=1，即a=±1时，经检验，均满足题意；②t <1，即 −1 <a <1或 a >1时，()2f t t =，由2t t =，解得t =0或1（舍去）；再由()0t f a ==解得a = 0或 2 ；③t > 1，即a < − 1时，()2f t t =-，由t=2−t ，解得 t = 1 （舍去）； 综上所述：共有 4 个 a ．四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10 分）设 t 为实数，已知向量()()1,2,1,.a b t ==- ⑴若 t = 3，求a b +和a b -的值；⑵若向量a b +与3a b -所成角为 135° ，求 t 的值．【答案】⑴a b += 5，5a b -=；⑵ t = 2；【解析】⑴当 t = 3时，()1,3b =-,()0,5a b +=,()2,1a b -=- 所以a b += 5，5a b -=； ⑵()0,2a b t +=+,()34,23a b t -=-,()()(3223cos135232a b a b t t a b a bt +⋅-+-===-+⋅-+, 平方化简得：23440t t --=，解得1222,.3t t ==- 经检验，当23t =-时，夹角为 45° 舍去，故 t = 2． 18. （12 分）设实数 x 满足 sinx+ cos x= c ，其中 c 为常数． ⑴ 当时，求44sin cos x x +的数值；⑵ 求值：()33443cos cos 2sin cos x x x xππ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-（用含 c 的式子表示）． 【答案】⑴12;⑵212c c +;【解析】⑴，平方得： 1+ 2sinx cosx = 2，所以sinx cosx=12; ()24422221sin cos sin cos 2sin cos 2x x x x x x +=+-=; （2）()()()33334422223cos cos sin cos 1sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x xx x x x ππ⎛⎫+++ ⎪-+⎝⎭==-+-+ 由sinx+ cos x= c ，所以平方得：1+ 2sinx cosx = 2c ，sinx cosx =212c -所以原式=221122c c c c++=. 19. （12 分）设 a 为正实数．如图，一个水轮的半径为a m ，水轮圆心 O 距离水面2am ，已知水轮每分钟逆时针转动 5 圈．当水轮上的点 P 从水中浮现时（即图中点0P ）开始计算时间．⑴ 将点 P 距离水面的高度 h(m )表示为时间 t(s)的函数； ⑵ 点 P 第一次达到最高点需要多少时间．【答案】⑴sin ,0;662a h a t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭⑵ 4s ；【解析】⑴ 如图，以水轮圆心 O 为原点，与水面平行的直线为 x 轴建立直 角坐标系．当t= 0时，点 P 的坐标为3,2a ⎫-⎪⎪⎝⎭，角度为6π-;根据水轮每分钟逆时针转动 5 圈，可知水轮转动的角速度为6πrad / s,所以 t 时刻，角度为66t ππ-;根据三角函数定义，可得sin ,0;662a h a t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭⑵ 当32a h =时，sin 166t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2662t k ππππ-=+，解得t=4+12k ()k N ∈，所以当k= 0时， t = 4，即第一次达到最高点时需要 4s ． 20. （12 分）设向量()11,a x y =,()22,b x y =，其中0a ≠． ⑴ 若//a b ，求证：12210x y x y -=； ⑵ 若12210x y x y -=，求证：//a b ．【解析】()11,a x y =,()22,b x y =，其中0a ≠，所以11,x y 不全为 0，不妨设10x ≠; ⑴ 如果//a b ，则存在实数λ，使得b a λ= ，即()()()221111,,,x y x y x y λλλ==,所以2121x x y y λλ=⎧⎨=⎩,则()()122111110x y x y x y x y λλ-=-=⑵ 反之，如果12210x y x y -=，因为10x ≠，所以()()22221222111111,,,,x xx y y x y x y x y x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ， 令21x x λ=，则b a λ=，所以//a b ． 21. （12 分）⑴ 运用函数单调性定义，证明：函数()31f x x x=-在区间 (0,+∞)上是单调减函数；⑵ 设 a 为实数， 0 <a < 1 ，若 0 <x < y ，试比较33y x a a -和4334x y x y a a ++-的大小，并说明理由．【答案】⑴ 答案见解析；⑵33y x a a -<4334x y x y a a ++- 【解析】⑴ 对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()()222121211212213333121211x x x x x x f x f x x x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫-=---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为210,x x ->22332121120,0x x x x x x ++>>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x > ，所以函数()f x 在区间 (0,+∞) 上是单调减函数；⑵ 因为 0<a<1，所以()x g x a =在R 上是单调减函数， 因为 0< x< y ，所以 0<3x<3y ， 0< 4x+ 3y<3x+4y ， 所以()()33330y x g y g x a a <⇒-< ，且()()4334g x y g x y +>+⇒43340x y x y a a ++->， 所以33y x a a -<4334x y x y a a ++-. 22. （12 分） ⑴ 已知函数()()11,1x f x x x R x -=≠-∈+，试判断函数()f x 的单调性，并说明理由；⑵ 已知函数()()1lg1,1x g x x x R x -=≠±∈+. （i ）判断()g x 的奇偶性，并说明理由；（ii ）求证：对于任意的x ,y ∈R ，且x ≠±1 ，y ≠±1，xy ≠−1都有()()1x y g x g y g xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭①.【答案】⑴()f x 在(−∞，−1)和(-1,+∞)上单调递增；⑵答案见解析； 【解析】⑴ 对任意的()12,,1x x ∈-∞-，且12x x <， 则()()()()()12121212122111111x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， 因为()()12120,110x x x x -<++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间(−∞，−1)上是单调递增，同理可得()f x 在区间(-1,+∞)上单调递增；⑵（i ）()g x 的定义域为()()(),11,11,-∞--+∞，对任意的()()(),11,11,x ∈-∞--+∞，有()()(),11,11,x -∈-∞--+∞，且()()1111lglg lg lg101111x x x x g x g x x x x x ⎛⎫------+-=+=⋅== ⎪+-++-+⎝⎭， 所以()g x 为奇函数，又()()22g g ≠-，所以()g x 不是偶函数； （ii ）对于任意的x,y ∈R ，且x ≠±1 ，y ≠±1，xy ≠−1，因为()()111111lg lg lg lg 111111x y x y x y g x g y x y x y x y ⎛⎫------+=+=⋅=⋅ ⎪++++++⎝⎭， 所以111lg lg lg 1111x yx y x y xy xyg x y xy x y xy xy+-⎛⎫++--+=== ⎪+++++⎝⎭++()()1111x y g x g y x y --⋅=+++； 高一年级数学寒假作业二答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
徐州市高一数学寒假作业-补习题精选(含答案) (11)
徐州市高一数学寒假作业-补习题精选11一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＞2018}，a=2019，则下列关系中正确的是（）A. a∈AB. a∉AC. a⊂AD. a=A2.若cosθ＞0，sinθ＜0，则角θ是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3.已知幂函数f（x）=x n的图象经过点，则f（9）的值为（）A. 3B. ±3C.D.4.已知f（x）=log5x，则对于任意的a，b∈（0，+∞），下列关系中成立的是（）A. f（a+b）=f（a）+f（b）B. f（ab）=f（a）+f（b）C. f（a+b）=f（a）f（b）D. f（ab）=f（a）f（b）5.设a=log0.71.7，b=log0.71.8，c=0.71.8，则（）A. a＜b＜cB. c＜a＜bC. b＜a＜cD. c＜b＜a6.函数f（x）=2x+3x-7的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.7.函数y=（sin x+cos x）（sin x-cos x）的最小正周期是（）A. B. π C. 2π D. 4π8.已知向量=（cosθ，sinθ），=（2，-1），且⊥，则的值是（）A. 3B. -3C.D.9.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度10.已知f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，若f（ln x）＞f（1），则x的取值范围是（）A. （-1，0）∪（0，1）B. （0，e）C. （-e，0）∪（0，e）D.11.若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=x2-2x+1，值域为{0，4，16}的“孪生函数”共有（）A. 4个B. 5个C. 8个D. 9个12.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为（）A. 1500元B. 1550元C. 1750元D. 1800元二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知扇形的圆心角为2弧度，半径为3cm，则该扇形的面积是______cm2．14.已知f（x）=2x+2-x，则f（log23）的值是______．15.“无字证明”（proofwithoutwords）就是将数学命题或公式用简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来．请根据如图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：______．16.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，．若，，则与的夹角的余弦值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量=（1，2），=（-3，4），=（5，k）．（1）若（+）⋅（-）=-10，求实数k的值；（2）若向量满足∥，且，求向量．18.设全集U=R，集合A={x|x2-4x-12＜0}，B={x|（x-a）（x-2a）＜0}．（1）当a=1时，求集合A∩∁U B；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．19.已知函数f（x）=log a（10+x）-log a（10-x）（a＞0，且a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．20.已知函数f（x）=A sin（ω+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）在R上的图象上一个最高点为，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）求f（x）在上的最小值．21.如图，现要在一块半径为r（r＞0），圆心角为60°的扇形纸板POQ上剪出一个平行四边形OABC，使点B在弧PQ上，点A在半径OP上，点C在半径OQ上．（1）求S关于α的函数关系式；（2）求S的最大值及相应的α值．22.阅读下面材料：sin3θ=sin（2θ+θ）=sin2θcosθ+cos2θsinθ=2sinθcos2θ+（1-2sin2θ）sinθ=2sinθ（1-sin2θ）+（sinθ-2sin3θ）=3sinθ-4sin3θ解答下列问题：（1）证明：cos3θ=4cos3θ-3cosθ；（2）若函数在上有零点，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|x＞2018}，a=2019，∴a∈A．故选：A．根据集合A中元素满足的性质x＞2018，a=2019，我们可以判断出元素a与集合A的关系．本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．2.【答案】D【解析】解：由题意，根据三角函数的定义sinθ=＜0，cosθ=＞0∵r＞0，∴y＜0，x＞0．∴θ在第四象限，故选：D．利用三角函数的定义，可确定y＜0，x＞0，进而可知θ在第四象限．本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵幂函数f（x）=x n的图象经过点，∴f（3）=3n=，解得n=，∴f（x）=，∴f（9）=9=3．故选：A．推导出f（x）=，由此能求出f（9）．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵f（x）=log5x，a，b∈（0，+∞）；∴f（ab）=log5（ab）=log5a+log5b=f（a）+f（b）．故选：B．根据对数的运算即可得出f（ab）=f（a）+f（b），从而选B．考查对数的定义，对数的运算性质．5.【答案】C【解析】解：log0.71.8＜log0.71.7＜log0.71=0，0.71.8＞0；∴b＜a＜c．故选：C．容易看出，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数的单调性，减函数的定义，指数函数的值域．6.【答案】C【解析】解：函数f（x）=2x+3x-7是连续增函数，∵f（1）=2+3-7＜0，f（）==2+4.5-7＞0，∴f（1）f（）＜0，故选：C．判断函数的单调性，由零点判定定理判断．本题考查了函数零点的判断，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：函数y=（sin x+cos x）（sin x-cos x）=sin2x-cos2x=-cos2x，故它的最小正周期是=π，故选：B．由题意利用二倍角公式，余弦函数的周期性，得出结论．本题主要考查二倍角公式，余弦函数的周期性，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由=（cosθ，sinθ），=（2，-1），且⊥，得2cosθ-sinθ=0，即tanθ=2．∴=．故选：C．由已知求得tanθ，然后展开两角差的正切求解．本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题．9.【答案】C【解析】解：为了得到函数=-2sin（+）=2sin（+）=2sin（x+）的图象，只要将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，故选：C．由题意利用诱导公式、函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查诱导公式、函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：根据题意，若f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，则f（ln x）＞f（1）⇒|ln x|＜1⇒-1＜ln x＜1，解可得：＜x＜e，即x的取值范围为（，e）；故选：D．根据题意，结合函数的奇偶性与单调性可得f（ln x）＞f（1）⇒|ln x|＜1⇒-1＜ln x＜1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：由题意知y=x2-2x+1=0，则x=1，y=x2-2x+1=4，则x=-1或x=3，y=x2-2x+1=16，则x=-3或x=5，所以孪生函数的定义域分别为{1，-1，-3}，{1，-1，5}，{1，3，-3}，{1，3，5}，{1，-1，3，-3}，{1，-1，3，5}，{1，-3，5，-1}，{1，-3，5，3}，{1，-1，3，-3，5}共有9个，故选：D．由y=x2-2x+1分别等于0，4，16得x的取值，再选择确定定义域．本题考查函数的三要素，属于简单题．12.【答案】A【解析】解：设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元由题可知：y=∵y=50＞25∴x＞1300∴0.1（x-1300）+25=50解得，x=1550，1550-50=1500，故此人购物实际所付金额为1500元．故选：A．设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，可得到获得的折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，结合y=50＞25，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．13.【答案】9【解析】解：由题意可得圆心角大小为α=2，半径为r=3，则扇形的面积为S=r2α=×32×2=9cm2．故答案为：9．利用扇形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵f（x）=2x+2-x，∴f（log23）=+=3+．故答案为：．推导出f（log23）=+，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算能力，是基础题．15.【答案】cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ【解析】解：令AC=1，∠ACB=α，∠BCE=β，在直角三角形ABC中，∵AC=1，∠ACB=α，则BC=cosα，AB=sinα，在直角三角形BCE中，∵BC=cosα，∠BCE=β，则CE=cosαcosβ，EB=cosαsinβ，在直角三角形AFB中，∵AB=sinα，∠ABF=β，则BF=sinαcosβ，AF=sinαsinβ，∴CD=CE-DE=CE-AF=cosαcosβ-sinαsinβ，AD=EF=BF+EB=sinαcosβ+cosαsinβ，在直角三角形ADC中，CD=cos（α+β）•AC=cos（α+β），故cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．AD=sin（α+β）•AC=sin（α+β），故sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．故答案为：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．令AC=1，∠ACB=α，∠BCE=β，然后分别在四个直角三角形中利用锐角三角函数的定义求出边长，根据CD=CE-AF和AD=EB+BF可得结果．本题考查了任意角的三角函数的定义，属中档题．16.【答案】【解析】解：分别以边AB，AD所在的直线为x，y轴，建立如图所示直角坐标系，则：A（0，0），B（4，0），D（0，），设；∴；∵；∴4x=4；∴x=1；∴，且；∴E是BC的中点；∴；∴；∴，；∴=．故答案为：．可根据条件，分别以AB，AD为x轴，y轴，建立直角坐标系，从而得出A，B，D的坐标，并设，根据即可求出x=1，从而得出，进而得出点E 的坐标，从而可求出的坐标，这样即可求出与夹角的余弦值．考查通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的数量积运算，以及向量夹角的余弦公式．17.【答案】解：（1）∵=（1，2），=（-3，4），=（5，k），∴+=（-2，6），-=（-4，2-k），∵（+）⋅（-）=-10，∴-2×（-4）+6（2-k）=0，解可得，k=（2）∵∥，∴==（λ，2λ），∵，∴λ2+4λ2=45，∴λ=±3，∴=（3，6）或（-3，-6）．【解析】（1）由（+）⋅（-）=-10，结合向量的数量积的坐标表示即可求解；（2）由∥，结合向量共线定理可表示==（λ，2λ），然后结合，及向量数量积性质的坐标表示即可求．本题主要考查了向量平行及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．18.【答案】解：（1）A={x|x2-4x-12＜0}={x|-2＜x＜6}，若a=1，则B={x|（x-1）（x-2）＜0}={x|1＜x＜2}．则∁U B={x|x≥2或x≤1}，则A∩∁U B={x|2≤x＜6或-2＜x≤1}．（2）若a=0，则B=∅，满足B⊆A，当a＞0时，B={x|a＜x＜2a}，若B⊆A，则，得0＜a≤3，当a＜0时，B={x|2a＜x＜a}，若B⊆A，则，得-1≤a＜0，综上-1≤a≤3，即实数a的取值范围是[-1，3]．【解析】（1）当a=1时，求出集合A，B的等价条件，解补集和交集的定义进行求解即可．（2）讨论a的范围，根据B⊆A，建立不等式关系进行求解即可本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，根据条件转化为不等式是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）要使函数有意义，则得，即-10＜x＜10，即函数的定义域为（-10，10）．（2）函数的定义域关于原点对称，则f（-x）=log a（10-x）-log a（10+x）=-[log a（10+x）-log a（10-x）]=-f（x），即函数f（x）是奇函数．（3）若f（x）＞0，则f（x）=log a（10+x）-log a（10-x）＞0，即log a（10+x）＞log a（10-x），若a＞1，则，得，得0＜x＜10，若0＜a＜1，则，得，得-10＜x＜0，即当a＞1时，不等式的解集为（0，10），当0＜a＜1时，不等式的解集为（-10，0）．【解析】本题考查对数的性质，函数的定义域，单调性的应用和奇偶性，属于中档题. （1）根据对数函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可；（3）讨论a＞1和0＜a＜1，利用函数单调性进行求解即可．20.【答案】解：（1）函数f（x）=A sin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．则：T=π=，解得：ω=2．在R上的图象上一个最高点为，所以：A=4，，解得：ϕ=．故f（x）=4sin（2x+）．（2）令（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递减区间为：[]（k∈Z）．（3）由于，故：整理得：，故：所以当x=时，函数的最小值为-2．【解析】（1）直接利用函数的周期，最值，最高点，求出函数的解析式．（2）利用整体思想求出函数的单调区间．（3）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最小值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，利用含糊是的定义域求函数的值域，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．21.【答案】解：（1）过点B作BM⊥OP于M，则BM=r sinα，OM=r cosα，OA=OM-AM=r cosα-r sinα设平行四边形OABC的面积为S，则S=OA•BM=（r cosα-r sinα）r sinα=r2（cosαsinα-sin2α）=r2[sin2α-（1-cos2α）]=r2（sin2α+cos2α-）=r2sin（2α+30°）-r2，即S=r2sin（2α+30°）-r2，0＜α＜60°，（2）因为0＜α＜60°，所以30°＜2α+30°＜150°，所以＜sin（2α+30°）≤1．所以当2α+30°=90°，即α=30°时，S的值最大为r2．即S的最大值是r2，相应α的值是30°．（1）过点B作BM⊥OP于M，则BM=r sinα，OM=r cosα，OA=OM-AM=r cosα-r sinα，【解析】即可表示平行四边形的面积，（2）根据三角形的性质即可求求出面积的最值．本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．22.【答案】解：（1）证明：cos3θ=co s（2θ+θ）=cos2θcosθ-sin2θsinθ=（2cos2θ-1）cosθ-2sin2θcosθ=2cos3θ-cosθ+2（1-cos2θ）cosθ=4cos3θ-3cosθ，即cos3θ=4cos3θ-3cosθ．（2）∵f（x）=+m（sin x cos+cos x sin）-5=+m（sin x+cos x）-5=+m（sin x+cos x）-5=4（1-cos x sinx）-3+m（sin x+cos x）-5=m（sin x+cos x）-4sin x cosx-4，令t=sin x+cos x=sin（x+），∵x∈（0，），∴x+∈（，），∴sin（x+）∈（，1]，∴t∈（1，]，又（sin x+cos x）2=1+2sin x cosx，∴sin x cosx=，∴g（t）=mt-2（t2-1）-4=-2t2+mt-2，t∈（1，]，令g（t）=0得m=+2t，∵y=+2t在（1，]上单调递增（可用导数证明），∴+2t∈（4，3]，m∈（4，3]，∴m∈（4，6]．【解析】（1）仿照sin3θ的公式推导；（2）利用sin3x，cos3x的公式化简f（x）=m（sin x+cos x）-3sin x cosx-4，再换元，令t=sin x+cos x∈（1，]，得f（t）=-2t2+mt-2，令f（t）=0得m=+2t，转化为求函数值域可得．本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．。
高一数学寒假作业答案
第1天一、选择题: 1.C 2. D 3.B 4.B 5.B 6.D 7.B 8. D 二、填空题:9. 2a ≤- 10.1 11. ()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2 14. (){}2,3三、解答题: 13: {}AB=2,3,4,5,614: {}A=2,3,,5,7,{}B=2,4,6,8 15:(1): 3m ≥,(2) : 0m ≤ 16: 0p ≥第2天一、选择题: 1.A 2. A 3.C 4.B 5.B 6.A 7.A 8. D 二、填空题: 9. []1,0-,1- 10.(4) 11.12 12. 38或3- 三、解答题: 13:略14: (1) :1,1(),01a g a a a a ⎧≥⎪=⎨⎪<<⎩ (2) : 115: (1) : 1a =- (2) : 11,1()1,01a g a aa a ⎧-≥⎪=⎨⎪-<<⎩ 16: (1) : 2()21f x x x =++ (2) : (][),04,k ∈-∞+∞第3天一、选择题: 1.B 2. D 3.D 4.D 5.C 6.C 7.A 8. D二、填空题: 9.2a ≥- 10. 13- 11. 2 12. 1m >或1m <- 三、解答题: 13:定义法14: []()[]221022,3,61(),3,331022,6,3x x x f x x x x x x ⎧-+-∈⎪⎪=-∈-⎨⎪++∈--⎪⎩ 15:单调增,证明略.16:(1)定义域为R ,值域()1,1- (2)不存在,因为函数为单调增函数 第4天一、选择题: 1.B 2. C 3.B 4.D 5.A 6.C 7.A 8.C二、填空题: 9.1 10.(),0-∞ 11.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12.()4,0-13:(1)2()1f x x x =-+ (2)max ()3f x = min ()3f x = 14:3b =15: (1)非奇非偶 (2)min 3()4f x =16: (1)122c a -<<- (2)提示21AB x x =-=第5天一、选择题: 1.C 2. C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C 8. D 二、填空题: 9.(]1,0- 10.aa a a a a << 11.()()()245 12.(]4,4-三、解答题: 13:1m > 14:[]0,1m ∈ 15:平方作差法16: (1)(0)1f = (2)略 (3)()f x 在R 上为增函数 第6天一、选择题: 1.D 2. D 3.A 4.B 5.B 6.A 7.D 8. A二、填空题: 9.-45 10.()1,0- 11.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭12.(),0-∞和(]0,1三、解答题:13:0a ≠时，A 为有限集。
高一数学(必修一)寒假作业
高一数学（必修一）寒假作业一、选择题：（每题5分，满分60分） 1、下列四个集合中，是空集的是（ ）A }33|{=+x xB },,|),{(22R y x x y y x ∈-=C },01|{2R x x x x ∈=+-D }0|{2≤x x2．设A={a ，b}，集合B={a+1，5}，若A∩B={2}，则A ∪B= （ ）A 、{1，2}B 、{1，5}C 、{2，5}D 、{1，2，5} 3．函数21)(--=x x x f 的定义域为 （ ）A 、[1，2)∪(2，+∞）B 、(1，+∞）C 、[1，2)D 、[1，+∞) 4．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）：则与)]1([g f 相同的是 （ ） A ．)]3([f gB ．)]2([f gC ．)]4([f gD ．)]1([f g5、下图是指数函数○1x a y =、○2 x b y =、○3 x c y =、○4 x d y =的图象，则d c b a ,,,与1的大小关系是（ ）A ．b a d c <<<<1B ．a b c d <<<<1C ．a b d c <<<<1D ．b a d c <<<<16．函数y= | lg （x-1）| 的图象是 （ ）7. 已知3.0log 2=a ，3.02=b ，2.03.0=c ，则c b a ,,三者的大小关系是 （ ） A 、c b a >> B 、c a b >> C 、a c b >> D 、a b c >>8．函数y=ax 2+bx+3在(]1,-∞-上是增函数，在[)+∞-,1上是减函数，则 （ ） A 、b>0且a<0 B 、b=2a<0 C 、b=2a>0 D 、a ，b 的符号不定9．函数]1,0[在xa y =上的最大值与最小值的和为3，则=a （ ）A 、21 B 、2 C 、4 D 、41表1 映射f 的对应法则 原像 1 2 3 4 像 3 4 2 1表2 映射g 的对应法则原像 1 2 3 4 像 4 3 1 210．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧----∈3,2,1,21,31,21,1,2,3α，则使αx y =为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为 （ ）A 、1B 、2C 、3D 、411．已知实数00a b ≥≥，且1a b +=，则2211a b +++（）（）的取值范围为 ( )A ．9[5]2，； B ．9[2∞，+）； C ．9[0]2，； D ．[05]，。
深圳市高一数学寒假作业-补习题精选(含答案) (6)
深圳市高一数学寒假作业-补习题精选06一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|0≤x≤5}，集合B={1，3，5}，则∁A B=（）A. {0，2，4}B. {2，4}C. {0，1，3}D. {2，3，4}2.tan225°的值为（）A. B. -1 C. D. 13.要在半径OA=1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A. 1B. 2C. 3D. 44.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A. y=e xB. y=sin xC. y=2x-2-xD. y=-x35.函数的最小正周期是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知，则tanα=（）A. -6B.C.D. 67.在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则=（）A. -7B.C.D. 78.关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（）A. D（x）的值域是{0，1}B. D（x）是偶函数C. D（x）是奇函数D. 任意x∈R，都有f[f（x）]=19.已知函数，则f（-6）+f（log26）=（）A. 6B. 8C. 9D. 1010.已知向量，，其中||=1，，，则在方向上的投影为（）A. B. C. -2 D. 211.设点A（x，y）是函数f（x）=sin（-x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A. B.C. D.12.已知定义在R上的奇函数，满足f（2-x）+f（x）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=-log2x，若函数F（x）=f（x）-sinπx，在区间[-1，m]上有8个零点，则m的取值范围是（）A. [3.5，4）B. （3.5，4]C. （3，4]D. [3，4）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（-2，3），=（x，1），若⊥，则实数x的值是______．14.已知a=1.010.01，b=ln2，c=log20.5，则a，b，c从小到大的关系是______．15.=______．16.若f（x）=sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数（）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C={x|m-1≤x≤m+3}且A∪C=A，求实数m的取值范围．18.已知sinα=，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）=，β∈（0，），求β的值．19.已知函数f（x）=3．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．20.若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y=g（x）的图象是先将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y=g（x），x∈[0，π]的单调增区间．21.已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f（x1）-x2f（x2）＜0，且f（2）=0．（Ⅰ）判断函数g（x）=xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h （x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．22.某投资人欲将5百万元资金投入甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1=x，y2=，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a=2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y=y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A={0，1，2，3，4，5}；∴∁A B={0，2，4}．故选：A．可解出集合A，然后进行补集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及补集的运算．2.【答案】D【解析】解：tan225°=tan（180°+45°）=tan45°=1．故选：D．直接利用诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由题意可知扇形的弧长l=2，扇形的半径r=OA=1，∴则圆心角∠AOB的弧度数α===2．故选：B．把已知数据代入弧长公式计算可得．本题考查弧长公式，属基础题．4.【答案】C【解析】解：A．y=e x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．B．y=sin x是奇函数，在定义域上不是单调性函数，不满足条件．C．f（-x）=2-x-2x=-（2x-2-x）=-f（x），则f（x）是奇函数，∵y=2x是增函数，y=2-x是减函数，则y=2x-2-x是增函数，故C正确，D．y=-x3是奇函数，则定义域上是减函数，不满足条件．故选：C．根据条件分别判断函数的奇偶性和单调性即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5.【答案】B【解析】解：函数的最小正周期是=2，故选：B．由题意利用正切函数的周期性，得出结论．本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．由已知直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解tanα．【解答】解：由，得，即，解得tanα=6．故选D．7.【答案】B【解析】解：AD是BC边上的中线，∴，则====-故选：B．由已知及向量基本运算可知，，然后结合向量数量积的性质即可求解本题主要考查了平面向量的基本定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．8.【答案】C【解析】解：A．函数的值域为{0，1}，故A正确，B．若x是无理数，则-x也是无理数，此时f（-x）=f（x）=0，若x是有理数，则-x也是有理数，此时f（-x）=f（x）=1，综上f（-x）=f（x）恒成立，故函数f（x）是偶函数，故B正确，C．由B知函数是偶函数，不是奇函数，故C错误，D．当x∈R时，f（x）=1或0都是有理数，则f[f（x）]=1，故D正确，故选：C．根据分段函数的表达式，结合函数值域，奇偶性以及函数值的定义分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的值域，奇偶性以及函数值的判断，利用分段函数的解析式分别进行判断是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：根据题意，函数，则f（-6）=log3[3-（-6）]=log39=2，f（log26）=+1=7，则f（-6）+f（log26）=2+7=9；故选：C．根据题意，由函数的解析式求出f（-6）与f（log26）的值，相加即可得答案．本题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：∵||=1，，，∴16=，4=，解可得，=，||=，则在方向上的投影为=，故选：A．由，，两边同时平方可求，||，进而可求在方向上的投影．本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．11.【答案】D【解析】解：f（x）=sin（-x）=-sin x，（x∈[0，π]）设A（x，-sin x），则A，B关于x=对称，此时B（π-x，-sin x），当0≤x≤时，|AB|=π-x-x=π-2x，当≤x≤π时，|AB|=x-（π-x）=2x-π，则对应的图象为D，故选：D．作出函数的图象，根据对称性求出A，B的坐标关系进行判断即可．本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用三角函数的对称性求出A，B的坐标关系是解决本题的关键．12.【答案】A【解析】解：由f（x）为奇函数，则f（x）=-f（-x），又f（2-x）+f（x）=0，得：f（2-x）=f（-x），即函数f（x）是其图象关于点（1，0）对称，且周期为2的奇函数，又y=sinπx的图象关于（k，0）对称，（k∈Z）其图象如图所示：在区间[-1，m]上有8个零点，则实数m的取值范围为：[3.5，4），故选：A．由方程的根与函数的零点问题的相互转化，结合函数的奇偶性、对称性、周期性，作图观察可得解本题考查了方程的根与函数的零点问题，函数的奇偶性、对称性、周期性，属中档题．13.【答案】【解析】解：∵；∴；∴．故答案为：．根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算．14.【答案】c＜b＜a【解析】解：∵1.010.01＞1.010=1，0＜ln2＜ln e=1，log20.5＜log21=0；∴c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．容易得出，1.010.01＞1，0＜ln2＜1，log20.5＜0，从而可得出a，b，c的大小关系．考查指数函数、对数函数的单调性，以及增函数的定义．15.【答案】1【解析】解：=lg（）-2+1=1．故答案为：1．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】【解析】解：∵f（x）=sin x+cos x=sin（x+）在[0，a]是增函数，∴a+≤，∴a≤，则a的最大值是，故答案为：．利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得a的最大值．本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A=4，ω=2，，函数表达式为．补全数据如下表：。
徐州市高一数学寒假作业-补习题精选(含答案) (17)
徐州市高一数学寒假作业-补习题精选17一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={x∈N|0≤x≤6}，集合A={4，5，6}，则∁U A=（）A. {1，2，3，4}B. {0，1，2，3}C. {x|0≤x≤3}D. {1，2，3}2.已知直线x+my+6=0和（m-2）x+3y+2m=0互相平行，则实数m的取值为（）A. -1或3B. -1C. -3D. 1或-33.若直线与直线x+y-3=0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A. （00，600）B. （300，600）C. （300，900）D. （600，900）4.已知函数f（x）=，则f（-1）•f（）+f（f（））=（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），则f（x）的零点所在的区间是（）A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）6.设x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值与最大值分别为（）A. ，B. 2，C. 4，34D. 2，347.已知圆C与直线2x-y+5=0及2x-y-5=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A. （x+1）2+（y-1）2=5B. x2+y2=5C. （x-1）2+（y-1）2=D. x2+y2=8.某几何体的三视图如图所示，数量单位为cm，它的体积是（）A.B.C.D.9.设x，y满足约束条件，且目标函数z=ax+y仅在点（4，1）处取得最大值，则原点O到直线ax-y+17=0的距离d的取值范围是（）A. （4，17]B. （0，4）C. （，17]D. （0，）10. 已知函数,若方程有四个不同的解,,,,且,则的取值范围为( ) A.B. C. D.11. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′-BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′-BCD 顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. 3π C. D. 2π12. 已知函数，若对任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≥g （x 2），则实数a 的取值范围是（ ）A. a ≤-7B. a ≤-6C. a ≤-3D. a ≤-2 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如果实数x ，y 满足条件那么2x -y 的最大值为______．14. 经过点P （3，-1），且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是______．15. 对于函数f （x ）和g （x ），设α∈{x ∈R |f （x ）=0}，β∈{x ∈R |g （x ）=0}，若存在α，β，使得|α-β|≤1，则称f （x ）与g （x ）互为“零点关联函数”．若函数f （x ）=e x -1+x -2与g （x ）=x 2-ax -a +3互为“零点关联函数”，则实数a 的取值范围为______．16. 已知a ＞0，b ∈R ，当x ＞0时，关于x 的不等式（ax -1）（x 2+bx -4）≥0恒成立，则b +的最小值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x |＞1，x ∈R }，B ={x |x 2-2x -m ＜0}．（Ⅰ）当m =3时，求；A ∩（∁R B ）；（Ⅱ）若A ∩B ={x |-1＜x ＜4}，求实数m 的值．18. 直线L 过定点P 0（4，1），交x 、y 正半轴于A 、B 两点，其中O 为坐标原点．（Ⅰ）当L 的倾斜角为时，△ABO 斜边AB 的中点为D ，求|OD |；（Ⅱ）记直线L在x、y轴上的截距分别为a，b，其中a＞0，b＞0，求a+b的最小值．19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积，求A到平面PBC的距离．20.在△ABC中，已知A（0，3），B（4，0），直线l经过点C．（Ⅰ）若直线l：8x-6y-7=0与线段AB交于点D，且D为△ABC的外心，求△ABC 的外接圆的方程；（Ⅱ）若直线l方程为x+3y+6=0，且△ABC的面积为10，求点C的坐标．21.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PCD；（2）求二面角A-PD-C的正弦值．圆O上的一点．（Ⅰ）求圆O的方程；（Ⅱ）若过点P（0，1）的动直线l与圆O相交于A，B两点．在平面直角坐标系xOy内，是否存在与点P 不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵U={x∈N|0≤x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，∴∁U A={0，1，2，3}．故选：B．首先确定全集，而后由补集定义可得结果．本题考查了集合的补集，熟练掌握补集的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：两条直线x+my+6=0和（m-2）x+3y+2m=0互相平行，∴m（m-2）-3=0，解得m=-1，3．经过验证，m=3时，两条直线相互重合，舍去．∴m=-1，故选：B．两条直线x+my+6=0和（m-2）x+3y+2m=0互相平行，m（m-2）-3=0，解得m．经过验证即可得出．本题考查了直线相互平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：联立两直线方程，解得：x=，y=，∴两直线的交点坐标为（，），∵两直线的交点在第一象限，∴，解得：k，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ，∴θ∈（30°，90°）．故选：C．求出直线的交点坐标，利用交点位于第一象限，求解k的范围，然后求解直线l的倾斜角的取值范围．本题考查根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是中档题．4.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（-1）=3-1=，f（）==-3，f（）=，f（f（））=f（）==，∴f（-1）•f（）+f（f（））=+=-．故选：A．推导出f（-1）=3-1=，f（）==-3，f（）=，f（f（））=f（）==，由此能求出f（-1）•f（）+f（f（））的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：易知函数f（x）=，是定义域上的减函数，f（2）=-1=0；f（3）=1-log23＜0；f（2）f（3）＜0故函数f（x）=，的零点所在区间为（2，3）．故选：C．首先判断函数f（x）=，是定义域上的减函数，再利用函数的零点判断定理判断即可．本题考查了函数的零点的判断，属于基本知识的考查．6.【答案】D【解析】解：由x，y满足约束条件，表示的可行域如图，由，解得A（5，3）．x2+y2的几何意义是点P（x，y）到坐标原点的距离的平方，所以x2+y2的最大值为AO2=25+9=34，x2+y2的最小值为：原点到直线x-y-2=0的距离PO2==2．故选：D．画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，判断最大值与最小值时的位置求出最值即可．本题考查简单的线性规划的应用，表达式的几何意义是解题的关键，考查计算能力．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查两条平行线之间的距离公式，点到直线的距离，求圆的标准方程，属于基础题．先求得圆的半径，设出圆心坐标为P（a，-a），根据点P到两条切线的距离都等于半径，求得a的值，可得圆的标准方程．【解答】解：因为两条直线2x-y+5=0与2x-y-5=0平行，故它们之间的距离为圆的直径，即2r==2，所以r=．设圆心坐标为P（a，-a），则满足点P到两条切线的距离都等于半径，所以==，解得a=0，故圆心为（0，0），所以圆的标准方程为x2+y2=5，故选：B．8.【答案】C【解析】解：三视图复原几何体为四棱锥，如图：它的高为2，底面是直角梯形，长底边为4，上底为2，高为3，棱锥的高垂直底面梯形的高的中点，所以几何体的体积为：=（cm3）故选：C．三视图复原几何体为四棱锥，根据三视图数据求出底面面积，和高，即可求体积．本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵约束条件作出可行域，如右图可行域，∵目标函数z=ax+y仅在点A（4，1）取最大值，当a=0时，z=y仅在y=1上取最大值，不成立；当a＜0时，目标函数z=ax+y的斜率k=-a＞0，目标函数在（4，1）取不到最大值．当a＞0时，目标函数z=ax+y的斜率k=-a，小于直线x+4y-8=0的斜率-，∴a＞．综上，＜a．原点O到直线ax-y+17=0的距离d=＜4则原点O到直线ax-y+17=0的距离d的取值范围是：（0，4）故选：B．作出可行域，由目标函数z=ax+y仅在点（4，1）取最大值，分a=0，a＜0，a＞0三种情况分类讨论经，能求出实数a的取值范围．然后求解O到直线的距离的表达式，求解最值即可．本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意线性规划知识的合理运用．10.【答案】B【解析】解：作函数f（x）的图象如右，∵方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，∴x1，x2关于x=-1对称，即x1+x2=-2，0＜x3＜1＜x4，则|log2x3|=|log2x4|，即-log2x3=log2x4，则log2x3+log2x4=0即log2x3x4=0则x3x4=1；当|log2x|=1得x=2或，则1＜x4≤2；≤x3＜1；故=-2x3+，≤x3＜1；则函数y=-2x3+，在≤x3＜1上为减函数，则故x3=取得最大值，为y=1，当x3=1时，函数值为-1．即函数取值范围是（-1，1]．故选：B．作出函数f（x），得到x1，x2关于x=-1对称，x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力，属于中档题．由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积．【解答】解：平面BD⊥平面BCD，平面BD∩平面BCD=BD，BD⊥CD，CD在平面BCD内，所以CD⊥平面BD，因为B在平面BD内，所以CD⊥B，因为AB=AD=1,，则易知B⊥A′D，又D、CD为平面DC内两条相交直线，所以B⊥平面DC，C在平面DC内，所以B⊥C，由题意四面体-BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△BC都是直角三角形，所以BC的中点就是外接球球心，BC=，球的半径为，所以球的表面积为：=3π．故选：B．12.【答案】C【解析】解：当x∈[1，2]时，f（x）=x2+-3，∴f′（x）=2x-===∴x∈[1，）时，f′（x）＜0，x∈（，2]时，f′（x）＞0；所以f（x）在[1，）上是减函数，在（，2]上是增函数，所以f（x）的最小值为：1，最大值为2，所以f（x）在[1，2]上的值域为[1，2]，当x∈[2，3]时，g（x）=2x+a为增函数，所以g（x）的值域为：[g（2），g（3）]，即为：[4+a，8+a]；因为“对任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），”等价于f（x）min≥g（x）min∴1≥4+a，解得a≤-3，故选：C．问题转化为f（x）min≥g（x）min，只需分别求出f（x）在[1，2]上的最小值，g（x）在[2，3\上的最小值，然后代入即可．本题考查了不等式有解、恒成立问题．属难题．13.【答案】1【解析】解：先根据约束条件画出可行域，当直线2x-y=t过点A（0，-1）时，t最大是1，故答案为：1．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14.【答案】x+2y-1=0或x+3y=0【解析】解：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a=0时，b=0，此时直线l过点P（3，-1），O（0，0），∴直线l的方程为：，整理，得x+3y=0；当a≠0时，a=2b，此时直线l的斜率k=-=-，∴直线l的方程为：y+1=-（x-3），整理，得x+2y-1=0故答案为：x+2y-1=0或x+3y=0．设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a=0时，b=0，当a≠0时，a=2b，由此利用题设条件能求出直线l的方程．本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不要丢解．15.【答案】[2，3]【解析】解：函数f（x）=e x-1+x-2的零点为x=1．设g（x）=x2-ax-a+3的零点为β，若函数f（x）=e x-1+x-2与g（x）=x2-ax-a+3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1-β|≤1，∴0≤β≤2，如图．由于g（x）=x2-ax-a+3必过点A（-1，4），故要使其零点在区间[0，2]上，则，即解得2≤a≤3，故答案为：[2，3]．先得出函数f（x）=e x-1+x-2的零点为x=1．再设g（x）=x2-ax-a+3的零点为β，根据函数f（x）=e x-1+x-2与g（x）=x2-ax-a+3互为“零点关联函数”，及新定义的零点关联函数，有|1-β|≤1，从而得出g（x）=x2-ax-a+3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可．本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用16.【答案】4【解析】解：根据题意，对于（ax-1）（x2+bx-4）≥0，设f（x）=ax-1，g（x）=x2+bx-4，对于f（x）=ax-1，a＞0，在（0，）上，f（x）＜0，在（，+∞）上，f（x）＞0，又由不等式（ax-1）（x2+bx-4）≥0⇒或，对于g（x）=x2+bx-4，必有g（）=+-4=0，即b=4a-，则b+=（4a-）+=4a+，又由a＞0，则b+=4a+≥2=4，当且仅当a=时等号成立，即b+的最小值为4；故答案为：4．根据题意，f（x）=ax-1，g（x）=x2+bx-4，由一次函数的性质分析可得在（0，）上，f （x）＜0，在（，+∞）上，f（x）＞0，进而分析g（）=+-4=0，变形可得b=4a-，据此可得b+=（4a-）+=4a+，由基本不等式的性质分析可得答案．本题考查不等式恒成立问题，注意分析a、b的关系，属于综合题．17.【答案】解：（1）当m=3时，由x2-2x-3＜0⇒-1＜x＜3，∁R B=x≤-1或x≥3，由＞1⇒-1＜x＜5，∴A∩（∁R B）={x|3≤x＜5}；（2）若A∩B={x|-1＜x＜4}，∵A=（-1，5），∴4是方程x2-2x-m=0的一个根，∴m=8，此时B=（-2，4），满足A∩B=（-1，4）．∴m=8．【解析】（1）通过解一元二次不等式求得集合B；（2）解分式不等式求得集合Q，根据A∩B=（-1，4），A=（-1，5）得4是方程x2-2x-m=0的一个根，求得m=8，再验证是否满足条件．本题考查了分式不等式与一元二次不等式的解法，考查了集合的交集运算，体现了数形结合思想．18.【答案】解：（Ⅰ）l：y-1=-（x-4），令y=0，A（5，0），令x=0，B（0，5），|OD|=|AB|==，（Ⅱ）设l：+=1，（a＞0，b＞0），则l：+=1，（a，b＞0），∴a+b=（a+b）（+）=5++≥5+2=9，当a=6，b=3时，a+b的最小值9．【解析】（Ⅰ）由题意可得直线l的方程，即可求出|OD|，（Ⅱ）设l：+=1，（a＞0，b＞0），则l：+=1，再根据基本不等式即可求出．本题考查了直线的截距式、基本不等式的性质、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）证明：设BD与AC的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（2）∵AP=1，AD=，PA⊥平面ABCD，三棱锥P-ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC,又AB⊥BC，PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB∴BC⊥平面PAB，作AH⊥PB交PB于H，∵AH⊂平面PAB∴BC⊥AH，PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC．故AH⊥平面PBC．则,，∴A到平面PBC的距离．【解析】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，为中档题．（1）设BD与AC的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（2）通过AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB交PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．20.【答案】解：（Ⅰ）由已知得，直线AB的方程为，即3x+4y-12=0，联立方程组得：，解得，又|AB|=5，∴△ABC的外接圆的半径为，∴△ABC的外接圆的方程为；（Ⅱ）设点C的坐标为（a，b），由已知得，|AB|=5，AB所在直线方程3x+4y-12=0，C到直线AB的距离，①又点C的坐标为（a，b）满足方程x+3y+6=0，即a+3b+6=0，②联立①②解得：或，∴点C的坐标为（0，-2）或（24，-10）．【解析】（Ⅰ）由已知求得直线AB的方程，联立两直线方程解得D的坐标，结合|AB|=5求得△ABC的外接圆的半径，则△ABC的外接圆的方程可求；（Ⅱ）设点C的坐标为（a，b），由已知得，|AB|=5，AB所在直线方程3x+4y-12=0，由C到直线AB的距离可得a，b的关系式，再由点C满足方程x+3y+6=0得a，b的另一关系式，联立求得点C的坐标．本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，训练了点到直线距离公式的应用，是基础题．21.【答案】（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA．由条件CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．又PC∩CD=C，综上得AE⊥平面PCD；（2）解：过点A作AF⊥PD，垂足为F，连接EF，由（1）知，AE⊥面PCD，故∠AFE是二面角A-PD-C的一个平面角，设AC=a，则AE=a，又由题意，，∴AD=a，PD=a，从而AF==a，∴sin∠AFE===，故二面角A-PD-C的正弦值.【解析】本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，找出二面角A-PD-C的平面角是解题的难点，属于中档题．（1）由PA⊥底面ABCD，可得CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE．证明AE⊥PD，再由AB⊥PD可得PD⊥面ABE．（2）过点A作AF⊥PD，由（1）知，AE⊥面PCD，故∠AFE是二面角A-PD-C的一个平面角，用等面积法求得AE和AF，由sin∠AFE=求得结果．22.【答案】解：（Ⅰ）点M是圆O上的一点，可得圆O的半径为=2，则圆O的方程为x2+y2=4；（Ⅱ）若直线l的斜率为0，可得直线方程为y=1，A（，1），B（-，1），由|PA|=|PB|，可得|QA|=|QB|，即Q在y轴上，设Q（0，m），若过点P（0，1）的动直线l的斜率不存在，设直线方程为x=0，则A（0，2），B（0，-2），由可得||=，解得m=1或4，由Q与P不重合，可得Q（0，4），下证斜率存在且不为0的直线与圆的交点，也满足成立．若直线的斜率存在且不为0，可设直线方程为y=kx+1，联立圆x2+y2=4，可得（1+k2）x2+2kx-3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=-，x1x2=-，由k QA+k QB=+=+=2k-3（+）=2k-3•=2k-3•=0，可得QA和QB关于y轴对称，即成立．综上可得，存在定点Q，点Q的坐标为（0，4）．【解析】（Ⅰ）由圆的定义可得圆的半径r，可得圆的方程；（Ⅱ）讨论直线的斜率为0和不存在，求得定点Q的坐标，验证直线的斜率不为0也成立，设出直线方程，联立圆的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，结合角平分线性质定理即可判断．本题考查圆的方程求法和运用，考查分类讨论思想方法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．。
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高一年级数学寒假作业一答案解析一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合 U = R ，集合{}2|320A x x x =-+>，则U C A =（ ） A. (1,2) B. [1,2 ] C. (-2，-1 ) D. [ -2，-1] 【答案】B ；【解析】因为A ()(),12,=-∞+∞U ，U = R ,所以U C A =[ 1,2] ．2. 设13331log ,4,log 24a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A. c >a> bB. b> a> cC. c> b> aD. b> c> a 【答案】D ；【解析】0,1,01a b c <><<,所以 b> c> a ．3. 如图，已知点 C 为△OAB 边AB 上一点，且AC=2CB ，若存在实数m ，n ，使得OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，则m- n 的值为（ ）．A.13-B. 0C.13D.23【答案】A ；【解析】由等和线定理，易得1233OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以m- n =13-.4.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）． A.6π B.6π- C.4π- D.4π【答案】D ；【解析】由图可知，322T π=，所以223T πω==，所以()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为328f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以232382k ππϕπ⨯+=+，解得()24k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以4πϕ=.5. 函数()21log 1x f x x -=++的定义域是 ( ) A. [1,+∞ ) B. (0,1) C. (-1,0 ] D. (−∞ −1] 【答案】C ；【解析】由对数的真数大于 0 ，及二次根式内非负，得101x x ->+且21103x⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 解得11x -<<且x ≤0 ，所以定义域为 (-1,0 ]．6. 设a ，b 是实数，已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (a ，1 )，B(-2，b )，且1sin 3θ=，则ab的值为（ ）． A. -4 B.-2 C. 4 D. ±4 【答案】A ；【解析】由三角函数的定义，13==，且a< 0，解得,2b a ==-4a b=-. 7. 函数()2sin2xy x x R =∈的图象大致为（ ）．【答案】D ；【解析】由该函数为奇函数，排除选项 A ，B ，由2x π=时，函数值为 0，可排除选项C ，故选D ．8. 若函数()()lg 12f x x =-+，则对于任意的()12,1,x x ∈+∞，()()122f x f x +与122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系是（ ）．A.()()122f x f x +≥122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ()()122f x f x +≤122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭C.()()122f x f x +=122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭D.不确定【答案】B ；【解析】观察图象，可得函数“凹凸性”如图，故选 B ．二、多项选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 下列计算结果为有理数的有（ ）．A.23log 3log 2⋅B. lg2 +lg5C.1ln22e - D.5sin6π 【答案】ABCD ；【解析】23log 3log 21⋅=；lg2+ lg5=1；1ln220e -=；51sin62π=， 故选 ABCD ．10. 对于定义在 R 上的函数()f x ，下列判断错误的有（ ）． A.若()()22f f ->，则函数()f x 是 R 的单调增函数 B.若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数 C.若()00f =，则函数()f x 是奇函数D.函数()f x 在区间 (−∞，0]上是单调增函数，在区间 (0,+∞)上也是单调增函数，则()f x 是 R 上的单调增函数【答案】ACD ；【解析】A 选项，由()()22f f ->，则()f x 在 R 上必定不是增函数； B 选项，正确；C 选项，()2f x x =，满足()00f =，但不是奇函数；D 选项，该函数为分段函数，在 x =0 处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误．11. 设 a 为实数，则直线y =a 和函数41y x =+的图象的公共点个数可以是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABC ；【解析】41y x =+是偶函数，且在 [0,+∞ ) 上递增，画出草图，可知y=a 与该函数的交点个数可能为 0，1，2．12. 设函数()f x 的定义域为D ，若对于任意x ∈D ，存在y ∈D 使()()2f x f y C-=（C 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的“半差值”为C ．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为1的函数是（ ）． A.()31y x x R =+∈ B. ()2x y x R =∈C. ()()ln 0,y x x =∈+∞ D. y=sin2x+1( x ∈R) 【答案】AC ；【解析】即对任意定义域中的 x ，存在 y ，使得f(y)=f(x)-2；由于AC 值域为R ，故满足；对于B ，当x=0时，函数值为1，此时不存在自变量y ，使得函数值为-1，故B 不满足； 对于D ，当2x π=-时，函数值为−1，此时不存在自变量y ，使得函数值为−3 ,故D不满足，所以选AC ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设m 为实数，若函数()22f x x mx =+-在区间 (−∞,2)上是单调减函数，则m 的取值范围是 ． 【答案】m ≤−4；【解析】()f x 为开口向上的二次函数，对称轴为直线2mx =-,要使得函数在(−∞,2)上递减，则22m-≥，解得4m ≤-. 14. 把函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到图象为1C ；再把1C 上每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象为2C ，则2C 对应的解析式为 ． 【答案】2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】1C :sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,2C :2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.15. 若()()cos ,1,2cos ,2sin AB AC θθθ=-=u u u r u u u r，其中θ∈[0,π]，则BC u u u r 的最大值为 ．【答案】3；【解析】()cos ,2sin 1,BC AC AB θθ=-=+u u u r u u u r u u u r所以()2222cos 2sin 13sin 4sin 2,BC θθθθ=++=++u u u r 因为[]0,θπ∈，令[]sin 0,1t θ=∈，所以22342,BC t t =++u u u r 所以当t=1时，取最大值 9，所以BC u u u r 的最大值为 3．16. 已知函数()22,1,1x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩，那么()()3f f = ；若存在实数 a ，使得()()()f a f f a =，则a 的个数是 ．【答案】 1 ；4； 【解析】()()()311;ff f =-=令()f a t =，即满足()f t t =，①t=1，即a=±1时，经检验，均满足题意；②t <1，即 −1 <a <1 或 a >1时，()2f t t =，由2t t =，解得t =0或1（舍去）；再由()0t f a ==解得a = 0或 2 ；③t > 1，即a < − 1时，()2f t t =-，由t= 2−t ，解得 t = 1 （舍去）； 综上所述：共有 4 个 a ．四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10 分）设 t 为实数，已知向量()()1,2,1,.a b t ==-r r⑴ 若 t = 3，求a b +r r 和a b -r r的值；⑵ 若向量a b +r r 与3a b -r r所成角为 135° ，求 t 的值．【答案】⑴a b +r r = 5，a b -=r rt = 2；【解析】⑴ 当 t = 3时，()1,3b =-r ,()0,5a b +=r r ,()2,1a b -=-r r所以a b +r r = 5，a b -=r r；⑵ ()0,2a b t +=+r r ,()34,23a b t -=-r r,()()3223cos13523a b a b t t a b a b +⋅-+-===-+⋅-or r r r r rr r , 平方化简得：23440t t --=，解得1222,.3t t ==- 经检验，当23t =-时，夹角为 45° 舍去，故 t = 2． 18. （12 分）设实数 x 满足sinx+ cos x= c ，其中 c 为常数． ⑴ 当时，求44sin cos x x +的数值；⑵ 求值：()33443cos cos 2sin cos x x x xππ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-（用含 c 的式子表示）． 【答案】⑴12;⑵212c c +;【解析】⑴，平方得： 1+ 2sinx cosx = 2，所以sinx cosx=12; ()24422221sin cos sin cos 2sin cos 2x x x x x x +=+-=; （2）()()()33334422223cos cos sin cos 1sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x x xx x x x ππ⎛⎫+++ ⎪-+⎝⎭==-+-+ 由sinx+ cos x= c ，所以平方得：1+ 2sinx cosx = 2c ，sinx cosx =212c -所以原式=221122c c c c++=.19. （12 分）设 a 为正实数．如图，一个水轮的半径为a m ，水轮圆心 O 距离水面2am ，已知水轮每分钟逆时针转动 5 圈．当水轮上的点 P 从水中浮现时（即图中点0P ）开始计算时间． ⑴ 将点 P 距离水面的高度 h(m )表示为时间 t(s)的函数； ⑵ 点 P 第一次达到最高点需要多少时间．【答案】⑴sin ,0;662a h a t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭⑵ 4s ；【解析】⑴ 如图，以水轮圆心 O 为原点，与水面平行的直线为 x 轴建立直角坐标系．当t= 0时，点 P 的坐标为,2a ⎫-⎪⎪⎝⎭，角度为6π-;根据水轮每分钟逆时针转动 5 圈，可知水轮转动的角速度为6πrad / s,所以 t 时刻，角度为66t ππ-;根据三角函数定义，可得sin ,0;662a h a t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭⑵ 当32a h =时，sin 166t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2662t k ππππ-=+，解得t=4+12k()k N ∈，所以当k= 0时， t = 4，即第一次达到最高点时需要 4s ． 20. （12 分）设向量()11,a x y =r ,()22,b x y =r，其中0a ≠r r ． ⑴ 若//a b r r，求证：12210x y x y -= ；⑵ 若12210x y x y -= ，求证：//a b r r．【解析】()11,a x y =r ,()22,b x y =r，其中0a ≠r r ，所以11,x y 不全为 0，不妨设10x ≠;⑴ 如果//a b r r ，则存在实数λ，使得b a λ=r r，即()()()221111,,,x y x y x y λλλ==,所以2121x x y y λλ=⎧⎨=⎩,则()()122111110x y x y x y x y λλ-=-=⑵ 反之，如果12210x y x y -=，因为10x ≠，所以()()22221222111111,,,,x xx y y x y x y x y x x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ， 令21x x λ=，则b a λ=r r ，所以//a b r r ．21. （12 分）⑴ 运用函数单调性定义，证明：函数()31f x x x=-在区间 (0,+∞)上是单调减函数； ⑵ 设 a 为实数， 0 <a < 1 ，若 0 <x < y ，试比较33y x a a -和4334x y x y a a ++-的大小，并说明理由．【答案】⑴ 答案见解析；⑵33y x a a -<4334x y x y a a ++- 【解析】⑴ 对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()()222121211212213333121211x x x x x x f x f x x x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫-=---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为210,x x ->22332121120,0x x x x x x ++>>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x > ，所以函数()f x 在区间 (0,+∞) 上是单调减函数；⑵ 因为 0<a<1，所以()x g x a =在R 上是单调减函数， 因为 0< x< y ，所以 0<3x<3y ， 0< 4x+ 3y<3x+4y ， 所以()()33330y x g y g x a a <⇒-< ，且()()4334g x y g x y +>+⇒43340x y x y a a ++->， 所以33y x a a -<4334x y x y a a ++-.22. （12 分） ⑴ 已知函数()()11,1x f x x x R x -=≠-∈+，试判断函数()f x 的单调性，并说明理由； ⑵ 已知函数()()1lg1,1x g x x x R x -=≠±∈+. （i ）判断()g x 的奇偶性，并说明理由；（ii ）求证：对于任意的x ,y ∈R ，且x ≠±1 ，y ≠±1，xy ≠−1都有()()1x y g x g y g xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭①.【答案】⑴()f x 在(−∞，−1)和(-1,+∞)上单调递增；⑵答案见解析； 【解析】⑴ 对任意的()12,,1x x ∈-∞-，且12x x <，则()()()()()12121212122111111x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， 因为()()12120,110x x x x -<++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以函数()f x 在区间(−∞，−1)上是单调递增，同理可得()f x 在区间(-1,+∞)上单调递增；⑵（i ）()g x 的定义域为()()(),11,11,-∞--+∞U U ，对任意的()()(),11,11,x ∈-∞--+∞U U ，有()()(),11,11,x -∈-∞--+∞U U ， 且()()1111lglg lg lg101111x x x x g x g x x x x x ⎛⎫------+-=+=⋅== ⎪+-++-+⎝⎭， 所以()g x 为奇函数，又()()22g g ≠-，所以()g x 不是偶函数； （ii ）对于任意的x,y ∈R ，且x ≠±1 ，y ≠±1，xy ≠−1， 因为()()111111lglg lg lg 111111x y x y x y g x g y x y x y x y ⎛⎫------+=+=⋅=⋅ ⎪++++++⎝⎭， 所以111lg lg lg 1111x yx y x y xy xy g x y xy x y xy xy+-⎛⎫++--+=== ⎪+++++⎝⎭++()()1111x y g x g y x y --⋅=+++；高一年级数学寒假作业二答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。