专题2.弹簧问题

弹簧类问题的难点、要点：
轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是命题的重点。

解决此类问题应注意：
1. 弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。

当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应。

在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化。

2. 因弹簧形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变。

因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。

3. 在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：W k = -（
21kx 22-21kx 12），弹力的功等于弹性势能增量的负值。

弹性势能的公式E p =2
1kx 2，高考不作定量要求，可作定性讨论。

因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。

【例题1】（1996年全国）如图所示，劲度系数为k 1的轻质弹簧两端分别与质量为
m 1、m 2的物块1、2拴接，劲度系数为k 2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面
上（不拴接），整个系统处于平衡状态.现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个
弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块2的重力势能增加了____________，物块1
的重力势能增加了____________。

【类似】（1999年全国）如图所示，两木块的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的
劲度系数分别为k 1和k 2，上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡
状态。

现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧。

在这过程中下面木块移动的
距离为（ ）
A . m 1g k 1
B .m 2g k 1
C .m 1g k 2
D .m 2g k 2
【例题2】甲、乙、丙三个物体用不可伸长的轻线通过轻滑轮连接，甲与地面用
轻弹簧连接，如图所示。

物体乙与物块丙之间的距离和物体丙到地面的距离相等。

已
知物体乙与物块丙的质量均为m ，物体甲的质量大于m ，但是小于2m ；弹簧的劲度系
数为k 。

物体在运动过程中不会与滑轮相碰，且不计一切阻力。

（1）若将乙与丙间的线剪断，甲下降多大距离时它的速度最大？
（2）若将弹簧剪断后，要保证物块乙在运动过程中不会着地，求这种情形之下
甲物体的质量等于多少？
【例题3】A 、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A 、B 质量分别为
0.42 kg 和0.40 kg ，弹簧的劲度系数k =100 N/m ，若在木块A 上作用一个竖直向上的力F ，
使A 由静止开始以0.5 m/s 2的加速度竖直向上做匀加速运动（g =10 m/s 2）.
（1）使木块A 竖直做匀加速运动的过程中，力F 的最大值；
（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A 、B 分离的过程中，弹簧的弹性势能减
少了0.248 J ，求这一过程F 对木块做的功.
【总结】1.弹簧问题首先应分析清楚初、末状态弹簧形变的情况，这是解决问题的关键；
2.应明确，若弹簧形变量相同，无论压缩还是拉伸，弹簧具有相同的弹性势能；
3.牵扯到弹簧弹力做功问题，因弹簧弹力为变力，故一般用动能定理求解。

若初、末状态形变量
弹簧的形变量相同，则全过程弹簧弹力做的总功为零；若初、末状态弹簧的形变量不同，应结
合产生势能的力做功和势能变化的关系利用动能定理列方程求解。

【巩固练习】
1.斜面上等高处，静止着两个相同的物块A 和B. 两物块之间连接着一个轻质弹簧，劲度系数为k ，斜面的倾角为θ，两物块和斜面间的摩擦因数均为μ，则弹簧的最大伸长量是（ ）
A.
B.
C. D.
2. 如图所示，A 、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑斜面上，B 、C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，C 球固定在放在地面的力传感器上（图中未画出）。

现用手控制住A ，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。

已知A 的质量为4m ,，B 、C 的质量均为m ，重力加速度为g ，细线与滑轮之间的摩擦不计。

开始时整个系统处于静止状态；释放A 后，A 在斜面运动。

当A 球速度最大时，传感器示数为零。

求： （1）斜面倾角α； （2）A 球运动的最大速度。

3. （2005年江苏）如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L ，
左端接有阻值为R 的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B 的匀强磁场
中，质量为m 的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的
电阻均可忽略．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的
初速度v 0.在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良
好接触．
(1) 求初始时刻导体棒受到的安培力．
(2) 若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为E p ，则这一过程中安培力所做的功W 1和电阻R 上产生的焦耳热Q 1分别为多少?
(3) 导体棒往复运动，最终将静止于何处?从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R 上产生的焦耳热Q 为多少?
4.（2013年新课标I ）水平桌面上有两个玩具车A 和B ，两者用一轻质细橡皮筋相连，在橡皮筋上有一红色标记R 。

在初始时橡皮筋处于拉直状态，A 、B 和R 分别位于直角坐标系中的（0，2l ）、（0，－l ）和（0，0）点。

已知A 从静
止开始沿y 轴正向做加速度大小为a 的匀加速运动；B 平行于x 轴朝x 轴正向匀
速运动。

在两车此后运动的过程中，标记R 在某时刻通过点（l ，l ）。

假定橡皮筋
的伸长是均匀的，求B 运动速度的大小。

5.（2005年高考24）如图，质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上
的质量为m 2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态。

一条
不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。

开始时各段绳
都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。

现在挂钩上升一质量为m 3的物体
C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升。

若将C 换成另
一个质量为(m 1+m 3)的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离
地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g .
6.（1997年全国）质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在
地上。

平衡时，弹簧的压缩量为x 0，如图所示。

一物块从钢板正上方距离为3x 0的A
处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。

它们到达最低点后
又向上运动。

已知物块质量也为m 时，它们恰能回到O 点。

若物块质量为2m ，仍从
A 处自由落下，则物块与钢板回到O 点时，还具有向上的速度。

求物块向上运动到达
的最高点与O 点的距离。

7. （2012年江苏）某缓冲装置的理想模型如图所示,劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连,轻杆可在固定的槽内移动,与槽间的滑动摩擦力恒为f . 轻杆向右移动不超过l 时,装置可安全工作. 一质量为m 的小车若以速度v 0 撞击弹簧,将导致轻杆向右移动l/4。

轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,且不计小车与地面的摩擦.
（1）若弹簧的劲度系数为k,求轻杆开始移动时,弹簧的压缩量x ;
（2）求为使装置安全工作,允许该小车撞击的最大速度v m ;
（3）讨论在装置安全工作时,该小车弹回速度v’和撞击速度v 的关系.
【参考答案】
1.D
2. （1）α=30° （2）k
m g v 52= 3.（1）220B L v F R
=安培力方向：水平向左 （2）21012p Q mv E =- （3）2012Q mv = 4. 14 6al 5. v
6. l ＝12 x 0
7.(1) x = f/k （2
）m v = （3
）当v <'v v = ；
v ≤
'
v
=。