用函数的观点看方程组与不等式 - 威客中国
用函数的观点看方程(组)与不等式
北京四中用函数的观点看方程（组）与不等式撰稿：徐长明审稿：谷丹责编：孙景艳一、目标认知学习目标：1. 理解一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与一元一次不等式的关系、一次函数与二元一次方程组的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次方程、一元一次不等式的求解问题；会用图象法解二元一次方程组。
2. 学习用函数的观点看待方程（组）与不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。
重点：一次函数与一元一次方程的关系的理解；一次函数图象确定一元一次不等式的解集；对应关系的理解及实际问题的探究建模。
难点：一次函数与一元一次方程的关系的理解；一次函数与一元一次不等式的关系的理解；二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解二、知识要点梳理知识点一：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系要点诠释：1、一次函数与一元一次方程由于一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a、b为常量，a≠0)的形式，所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。
从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），确定它与x轴交点的横坐标的值.2、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+ｂ＞0或ax+ｂ＜0或或（a、ｂ为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.3、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等式时对应方程的解。
知识点二：一次函数与二元一次方程（组）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。
从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。
用函数观点看方程与不等式
§11．3 用函数观点看方程与不等式课时安排：３课时从容说课用函数观点看方程（组）与不等式是数形结合思想的又一体现，它教给我们从另一个方位来思考方程（组）与不等式的问题，让人耳目一新，让我们领略了数学思维的多元性，进一步体验了数形结合思想的重要性．本节课首先从一次函数与一元一次方程开始．思考解方程ax+b=0与求一次函数自变量x为何值时，y=ax+b的值为0的关系？通过实例进而确认两者关系．接着探究一次函数与一元一次不等式关系．进一步得到解不等式ax+b>0与求自变量x•在什么范围内，一次函数y=ax+b的值大于0的关系，发现一次函数．•一元一次方程与一元一次不等式之间的联系，对继续学习数学很重要．进而归纳图象法解二元一次方程组的具体方法，学会用函数思维解决实际问题，并知道了方程（组）、不等式与函数都是基本的数学模型．它们之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来．解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把这些数学模型结合起来使用．本节重点是用函数的观点重新认识方程（组）、不等式，从而能把它们统一起来．解决有关问题时，又能根据具体情况灵活、有机地应用这些方法．所以在数学过程中，应特别注意学生对关系、规律的认识与理解程度．§11．3．1 一次函数与一元一次方程第八课时教学目标（一）教学知识点１．用函数观点认识一元一次方程．２．用函数的方法求解一元一次方程．３．加深理解数形结合思想．（二）能力训练目标１．培养多元思维能力．２．拓宽解题思路．３．加深数形结合思想的认识与应用．（三）情感与价值观要求１．经过活动，会从不同方面认识事物本质的方法．２．培养学生实事求是，一分为二的分析思维习惯．教学重点１．函数观点认识一元一次方程．２．应用函数求解一元一次方程．教学难点用函数观点认识一元一次方程．教学方法自主─合作─探究归纳─总结─应用．教具准备多媒体演示．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境我们来看下面两个问题：１．解方程2x+20=0２．当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？这两个问题之间有什么联系吗？我们这节课就来研究这个问题，并学习利用这种关系解决相关问题的方法．Ⅱ．导入新课我们首先来思考上面提出的两个问题．在问题１中，解方程2x+20=0，•得x=•-10．解决问题２就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时，所对应的自变量x为何值．这可以通过解方程2x+20=0，得出x=-10．因此这两个问题实际上是一个问题．从函数图象上看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标（-10，0），这也说明函数y=2x+20值为0对应的自变量x为-10，即方程2x+20=0的解是x=-10．[活动一]活动内容设计：由上面两个问题的关系，大家来讨论思考，归纳概括出解一元一次方程与求自变量x 为何值时，一次函数y=kx+b的值为0有什么关系？活动设计意图：通过上述活动，逐步学会从特殊到一般的归纳概括能力，进一步认识函数与一元一次方程的内在联系．教师活动：引导学生从特殊事例中寻求一般规律．进而总结出一次函数与一元一次方程的内在联系，从思想上真正理解函数与方程的关系．学生活动：在教师引导下，通过自主合作，分析思考，找出这两个具体问题中的一般规律，从而经过讨论，归纳概括出较完整的关系，还要从思想上正确理解函数与方程关系的目的．活动过程与结论：规律：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，•即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．[师]大家总结得很好！我们来试着看个问题，如何用函数的观点解决它．[例]一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？ [解]方法一：设再过x秒物体速度为17m/s．由题意可知：2x+5=17解之得：x=6．方法二：速度y（m/s）是时间x（s）的函数，关系式为：y=2x+5．当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17得到x=6．方法三：由2x+5=17可变形得到：2x-12=0．从图象上看，直线y=2x-12与x轴的交点为（6，0）．得x=6．总结：这个题我们通过三种方法，从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答．它是数与形的完美结合，结果是相同的，这就是特途同归．[活动二]活动内容设计：利用图象求方程6x-3=x+2的解．活动设计意图：通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程的问题，进而加深对数形结合思想的认识与理解．教师活动：引导学生通过解决问题掌握方法，提高认识，从思想上真正理解数形结合的重要性．学生活动：在教师引导下用不同的思维方法来解决这一问题，从思想上理清数与形的有机结合．活动过程与结论：方法一：我们首先将方程6x-3=x+2整理变形为5x-5=0．然后画出函数y=5x-5的图象，看直线y=5x-5与x轴的交点在哪儿，•坐标是什么，由交点横坐标即可知方程的解．由图可知直线y=5x-5与x轴交点为（1，0），故可得x=1．方法二：我们可以把方程6x-3=x+2看作函数y=6x-3与y=x+2在何时两函数值相等，•即可从两个函数图象上看出，直线y=6x-3与y=x+2的交点，•交点的横坐标即是方程的解．由图象可以看出直线y=6x-3与y=x+2交于点（1，3），所以x=1．Ⅲ．随堂练习1．2x-3=x-2． 2．x+3=2x+1．[解]１．把2x-3=x-2整理变形为x-1=0．从函数y=x-1的图象与x•轴交点坐标上即可看出方程的解．由图象上可以看出直线y=x-1与x轴交点为（1，0）．∴x=1．２．我们可以把x+3=2x+1看作函数y=x+3与y=2x+1在自变量x取何值时函数值相等，反映在图象上即直线y=x+3与y=2x+1的交点横坐标．由下图可知交点为（2，5）．∴x=2．[师]从上面活动及练习可以看出，用一次函数图象解方程未必简单．但是，从函数角度看问题，我们可以发现一次函数与一元一次方程之间的联系，这种数与形的转化与结合在以后学习中有很重要的作用．Ⅳ．课时小结本节课从解具体一元一次方程与当自变量x为何值时一次函数的值为0这两个问题入手，发现这两个问题实际上是同一个问题，进而得到解方程kx+b=0与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b值为0的关系，并通过活动确认了这个问题在函数图象上的反映．经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法．虽然用函数解决方程问题未必简单，但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用．Ⅴ．课后作业习题11．3─1、2、5、8题．Ⅵ．活动与探究某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司其中一家签让合同．设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y元，应付给出租车公司的月费用是y元，y、y分别是x之间函数关系如下图所示．每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同，是多少元？答案：每月行驶1500km时，租两车费用相同．此时费用为2000元．板书设计备课资料用图象法解下列方程：（1）3x+5=x-1 （2）7x+9=3x+1答案：。
从函数的观点看方程及不等式
从函数的观点看方程及不等式数学是研究现实世界的量的关系的学科——恩格斯。
由于数学概念、理论和方法都源于实际,是从现实世界的材料中抽象出来的。
数学内容之间相互联系,充满运动变化和对立统一的辨证关系。
函数和方程(方程组)及不等式的这种对应关系正是这种辨证关系的真实写照。
一、函数与方程的关系(一)从关系式上看。
一次函数的关系式为:y=ax+b(a≠0),一元一次方程的一般形式为:ax+b=0(a≠0)从形式上可以看出,当把一次函数关系式中的因变量y改写为整数0就可将函数式转化为方程式;反之,把一元一次方程一般式等号右边的0改写为一个变量y就可将方程式转化为函数式。
同理,二次函数的关系式为y=ax2+bx+c(a≠0),一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),当把二次函数关系式中的因变量y改写为整数0就可将函数式转化为方程式;将方程式右边的0换成一个变量y则方程式变为函数式。
(二)从函数的图象与方程的解来看。
一次函数的图象是一条直线,这条直线必与x轴相交,其交点坐标为(-,0),也就是当因变量y=0时其自变量x=-,这个x的值就是方程ax+b=0(a≠0)的解,换句话说,方程ax+b=0(a≠0)的解就是相对应函数的图象直线y=ax+b上无数个点中的与x 轴相交的那一点的横坐标;二次函数的图象是一条抛物线,这条抛物线与x轴的位置关系有三种情况:当抛物线与x轴有一个交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就有两个相等的实数根x1=x2=-,当抛物线与x轴有两个交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就有两个不相等的实数根x1=,x2=,当抛物线与x轴没有交点时,相对应的方程ax2+bx+c=0(a≠0)就没有实数根。
换句话说,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解就是相对应抛物线上无数个点中的与x轴相交的那一点或两点的横坐标。
二、函数与二元一次方程组的关系当把二元一次方程组中每个方程右边的0改写成变量y,就可将方程组转化为两个一次函数式。
用函数观点看方程与不等式
例1．如图1所示，直线y=kx+b 经过A （－2，－1）和B （－3，0）两点，则不等式组12x<kx+b<0的解集为___－3<x<－2 ____．图1 图2 图3 例2．如图2，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于__20_____． 例3．如图3所示，L 甲，L 乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s 与时间t 的关系，观察图像并回答下列问题：（1）乙出发时，与甲相距_10_____km ；（2）走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为__1___h ； （3）乙从出发起，经过__3___h 与甲相遇；（4）甲行走的路程s 与时间t 之间的函数关系式___s=10+203t ____； （5）如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过__1.2____h 与甲相遇，相遇处离乙的出发点_18___km ．并在图中标出其相遇点．例4 已知二次函数y ax bx c =++2，且a a b c <-+>00，，则一定有（ ）A. b ac 240->B. b ac 240-=C. b ac 240-<D. b ac 240-≤分析：由a <0，可知抛物线开口向下，又当x =-1时，y a b c =-+>0，所以抛物线有在x 轴上方的图象，必与x 轴有两个交点，则方程有两个不等实根，∆=->b ac 240，故选（A ）。
解：Θy ax bx c =++2中a <0， ∴抛物线的开口向下又当x =-1时，y a b c =-+>0， ∴抛物线有在第二象限的点。
它的示意图如图。
（3）根据已知条件求出x 的取值范围．根据一次函数的性质可知在此范围内，两村运费之和是如何变化的，进而可求出相应的值． 【解答】（1）C D总计A xt（200－x ）t 200tB（240－x ）t （60+x ）t300t 总计 240t260t500ty A =－5x+5000（0≤x≤200），y B =3x+4680（0≤x≤200）． （2）当y A =y B 时，－5x+5000=3x+4680，x=40； 当y A >y B 时，－5x+5000>3x+4680，x<40； 当y A <y B 时，－5x+5000<3x+4680，x>40．∴当x=40时，y A =y B 即两村运费相等；当0≤x<40时，y A >y B 即B 村运费较少；当40<x≤200时，y A <y B 即A 村费用较少．（3）由y B ≤4830得 3x+4580≤4830． ∴x≤50．设两村运费之和为y ，∴y=y A +y B ， 即：y=－2x+9680．又∵0≤x≤50时，y 随x 增大而减小，∴当x=50时，y 有最小值，y 最小值=9580（元）．答：当A 村调往C 仓库的柑橘重为50t ，调运D 仓库为150t ，B 村调往C 仓库为190t ，调往D 仓库110t 的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元． 例8 已知抛物线y=x 2－mx+22m 与抛物线y=x 2+mx －43m 2在平面直角坐标系中的位置如图26－2－1,其中一条与x 轴交于A 、B 两点．图26－2－1（x3，0），与y轴相交手点D．（1）求证：11x+21x=31x，y1y2＝b2；（2）当B为DC的中点时，求ab的值；（3）取a＝1，当 AD∶DB＝2∶1时，求b的值．解（1）证明：∵A、B是直线y=-x+b与抛物线的交点，∴（x1，y1），（x2，y2）是方程组⎩⎨⎧=+-=2,axybxy的解，故x1，x2是方程ax2+x-b＝0的两根，由根与系数的关系得：x1+x2= -a1, x1·x2= -ab,又直线y＝-x＋b与x轴交于点C（x3，0），∴x3＝b，∴11x+21x=2121xxxx•+= -a1/-ab=b1=31x；y1y2=ax12·ax22=a2·(x1·x2)2=a2·(-ab)2=b2.（2）作BE⊥x轴于E，∵DB=BC, ∴21OD=BE,OE=21OC，∵D(0,b),C(b,0)∴B(21b,21b). 又点B在抛物线y＝ax2上，∴21b＝a·（21b）2⇒ab＝2．（3）过A点作AF⊥x轴于F，∵AD∶DB＝2：1，∴OF∶OE＝2∶1．∴x1∶x2＝-2∶1，又x1+x2= -a1= -1. ∴x1= -2,x2=1, ∴b=-x1·x2=2。
第十四章第三节用函数观点看方程(组)与不等式
2011-2012学年八年级数学（人教版上）同步练习第十四章第三节用函数观点看方程(组)与不等式【本讲教育信息】一. 教案内容：1. 一次函数与一元一次方程的内在联系。
2. 一次函数与一元一次不等式的内在联系。
3. 一次函数与二元一次方程（组）。
二. 知识要点：1. 一次函数与一元一次方程将一次函数y＝kx＋b中的y值看作0，则kx＋b＝0即为一元一次方程，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图像上看，相当于求已知直线y＝kx＋b与x轴的交点的横坐标的值。
例如，解方程2x－4＝0，相当于求当y＝2x－4的函数值为0的自变量的值，也相当于确定y＝2x－4与x轴交点的横坐标的值。
也就是说，求得2x－4＝0的解为x＝2，就求得y ＝2x－4的函数值为0时自变量的值为2，也就知道y＝2x－4与x轴交点的横坐标为2。
反过来，要求y＝2x－4的函数值为0时自变量的值，就是求直线y＝2x－4与x轴的交点的横坐标，就相当于解方程2x－4＝0。
2. 任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以，解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
例如，解不等式2x－4＞0，相当于求使y＝2x－4的函数值大于0的自变量取值范围，也相当于y＝2x－4在x轴上方部分对应的自变量取值范围。
也就是说，求得2x－4＞0的解集为x＞2，就得出当x＞2时，函数y＝2x－4的值大于0，也就得出当x＞2时这条直线上的点在x轴的上方。
如图所示。
反过来，求使y＝2x－4函数值大于0的自变量的取值范围，要求y＝2x－4在x轴上方部分对应的自变量的取值范围，都相当于解不等式2x－4＞0。
3. 二元一次方程与一次函数由于任意一个二元一次方程都可以转化为y＝kx＋b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。
用函数观点看方程(组)与不等式
用函数观点看方程（组）与不等式一、知识归纳1、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程都可以转化为ax＋b=0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。
从图象上看，相当于已知直线y=ax＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值。
2、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围。
3、规律总结一次函数y=kx＋b与一元一次方程kx＋b=0及一元一次不等式的关系：函数y=kx＋b的图象在x轴上方的点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b=0的解；在x轴下方的点所对应的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集。
4、一次函数与一次方程（组）（1）以二元一次方程ax＋by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数的图象相同。
（2）二元一次方程组的解可以看成是两个一次函数的图象的交点。
5、一次函数与方程（组）的应用在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程（组）求解。
二、典型例题例1、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.57元计费；每月用电超过100千瓦时，前100千瓦时仍按原标准收费，超过部分按每千瓦时0.50元计费。
（1）设月用x千瓦时电时，应交电费y元，当x≤100和x>100时，分别写出y (元)关于x (千瓦时)的函数关系式；（2）小王家第一季度交纳电费情况如下：问：小王家第一季度用电多少千瓦时？分析：（1）当x≤100时，费用为0.57x元，当x>100时，前100千瓦时应交电费100×0.57=57(元)，剩下的(x－100)千瓦时应交电费0.50 (x－100)元。
怎样教“用函数的观点看方程(组)与不等式”
怎样教“用函数的观点看方程(组)与不等式”?作者：向利平曾辉来源：《湖南教育·下》2012年第01期人教版初中教材用三个课时的篇幅安排了“用函数的观点看方程（组）与不等式”的内容。
该教学内容的安排，有利于学生进一步体会函数的价值，整体上理解方程、不等式与函数的联系，构建统一的知识体系。
但一些老师由于没能很好地领会教材安排这一教学内容的意图，对本教学内容的教育价值理解不够，在教学该内容时，把目标仅定位在“估计方程、不等式解”的结果上，而对学习“用函数的观点看方程（组）与不等式”的必要性渗透不够，对估计解的过程及过程中隐含的数学思想和方法挖掘、提炼不够，致使实际操作中往往是蜻蜒点水、草草收场，给习题课让路。
本文试图从“教学内容分析”、“教学难点分析”两个方面阐述该教学内容的地位和作用，通过具体的教学案例说明该教学内容应该教什么和怎么教，以求引发更深层次的思考：在数学教学中，除了知识和技能以外，我们还应该教给学生些什么？一、教学内容分析看似简单的教学内容实际上蕴含丰富的教育价值。
“用函数的观点看方程（组）与不等式”这一教学内容从函数的角度对学过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组重新进行了分析。
这种认识不是原来水平上的回顾与复习，而是站在更高的起点上的动态分析，用函数把三个不同的数学模型有机地结合和统一起来。
揭示三个不同数学模型间的内在联系，有利于学生从整体上把握数学知识间的联系，体会数学知识、研究方法的发展过程，进而提高学生的数学素养。
用函数的观点看方程（组）与不等式，实质上就是借助函数的图像（几何图形）研究方程（组）的解和不等式的解集。
这一教学内容是渗透数形结合思想、使学生体会数学的和谐美等方面很好的教学素材。
用函数的观点看方程（组）与不等式是后续学习用二次函数的观点看一元二次方程，高中阶段函数的零点、二分法求方程的近似解、一元二次不等式的解法、线性规划、曲线与方程等内容的基础。
初中数学知识点精讲精析 用函数观点看方程(组)与不等式知识讲解
14·3 用函数观点看方程（组）与不等式要点精讲14·3·1 一次函数与一元一次方程由于任何一元一次方程都可以化为ax ＋b ＝0（a 、b 为常数，a 0）的形式，所以解一元一方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图像上，这相当于已知直线y ＝ax ＋b ，确定它与x 轴交点的横坐标的值.例如，解方程2x －4＝0，相当于求当y ＝2x －4的函数值为0的自变量的值，也相当于确定y ＝2x －4与x 轴交点的横坐标的值.也就是说，求得2x －4＝0的解为x ＝2，就求得y ＝2x －4的函数值为0时自变量的值为2，也就知道y ＝2x －4与x 轴交点的横坐标为2.反过来，要求y ＝2x －4的函数值为0时自变量的值，就是求直线y ＝2x －4与x 轴的交点的横坐标，就相当于解方程2x －4＝0.典型例题例1．利用函数图像解出x （1）3x －2＝x ＋4； （2）5x －3＝7x ＋1；分析：先将方程化为ax ＋b ＝0的形式，再在坐标系中画出函数y ＝ax ＋b 的图像，然后观察出直线y ＝ax ＋b 与x 轴的交点坐标，从而取定所求x 的值.图1解答：（1）由3x －2＝x ＋4得2x －6＝0由图1看出直线y ＝2x －6与x 轴的交点（3，0） 所以x ＝3（2）由5x－3＝7x＋1，得－2x－4＝0由图2看出直线y＝－2x－4与x轴的交点为（－2，0）所以x＝－2图2评析：利用函数图像解一元一次方程，一般需将方程变形为ax＋b＝0的形式，然后通过观察直线y＝ax＋b与x轴的交点坐标确定方程的解.例2．如图3将一个边长为1的正方形纸片，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个在按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察下列图形和所给表格中的数据后回当所操作的次数为多少时，得到的正方形的个数为25个？图3分析：可设未知数列方程解答.解答：解法1：设经过x次的操作后能得到的正方形的个数为25个，则依题意：3x＋1＝25解得x＝8解法2：设经过x次操作后，能得到y个正方形，依题意得：y＝3x＋1令y＝25，则有3x＋1＝25，即3x－24＝0.由图4可看出直线y＝3x－24与x轴的交点为（8，0），得x＝8.图4评析：虽然像这样用一次函数图像来解方程未必简单，但是从函数的角度看问题能发现一次函数与一元一次方程的联系，这种用函数的观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要.14·3·2 一次函数与一元一次不等式由于任何一元一次不等式都可以转化为ax ＋b>0或ax ＋b<0（a 、b 为常数，a 0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围例如，解不等式2x －4＞0，相当于求使y ＝2x －4的函数值大于0的自变量取值范围，也相当于y ＝2x －4在x 轴上方部分对应的自变量取值范围.也就是说，求得2x －4＞0的解集为x ＞2，就得出当x ＞2时，函数y ＝2x －4的值大于0，也就得出当x ＞2时这条直线上的点在x 轴的上方.如图所示.反过来，求使y ＝2x －4函数值大于0的自变量的取值范围，要求y ＝2x －4在x 轴上方部分对应的自变量的取值范围，都相当于解不等式2x －4＞0.典型例题例3．画出函数y ＝2x ＋1的图像，利用图像求： （1）方程2x ＋1＝0的根； （2）不等式2x ＋10的解集； （3）当y 3时，求x 的取值范围； （4）当－33时，求x 的取值范围；分析：此题必须先画出图像，再根据图像求解，通过解方程或不等式也能得到准确答案，但不符合题意要求，本题主要考察观察函数图像的能力.解答：函数y ＝2x ＋1是一次函数，取两点连结A （0，1）、B （，0）两点，如图5，直线AB 就是函数y ＝2x ＋1的图像.≠≥≤≤≤y ∴2-图5（1）直线AB 与x 轴的交点是B （，0）从图像可以看出当x ＝－时，y ＝0即2x ＋1＝0. －就是方程2x ＋1＝0的解.（2）从图像上可以看到，射线BA 在x 轴的上方，它上面的点的纵坐标都不小于零，即y ＝2x ＋10.射线BA 上点的横坐标满足x， 不等式2x ＋10的解集是.（3）过点（0，3）引平行于x 轴的直线CC ’，交直线AB 于C ，C 的坐标为（1，3），直线CC’上点的纵坐标y 均等于3，直线下方的点的纵坐标y 均小于3，射线CD 上点的横坐标满足x 1.y 时，x 的取值范围为x .（4）过（0，－3）点作平行于x 轴的直线，交直线AB 于D （－2，－3）. 从图像中可见，线段DC 上的点的纵坐标满足，而横坐标满足.评析：本例（3）（4）也可以将y ＝2x ＋1代入中求相应的x 的值与取值范围，这个事实说明：当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式.14·3·3 一次函数与二元一次方程（组）由于任意一个二元一次方程都可以转化为y ＝kx ＋b 的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.例如，二元一次方程2x －3y －6＝0可以化为y ＝23x －2，所以方程2x －3y －6＝0对应直线y ＝23x －2.一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；21-21∴21≥ 21-≥∴≥21-≥x ≤∴3≤1≤33≤≤-y 12≤≤-x 33,3≤≤-≤y y从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.典型例题例4．利用函数图像解方程组.分析：由于二元一次方程的解可以看作是y 关于x 的一次函数图像上的点的坐标，所以方程组的解为两个一次函数图像的交点坐标，从而可通过画出两个一次函数图像，从图像上观察出交点坐标，得到方程组的解.解答：由x ＋2y ＝－3得；由2x －y ＝－1得.在同一直角坐标系内作出一次函数的图像和y ＝2x ＋1的图像，如图所示：观察图像的交点为P （－1，－1）.所以方程组的解是.评析：准确地将方程整理为函数解析式是基础；用两点确定直线的方法画一次函数图像，方程组的解直观地体现在图像上是关键.例5.如图所示，直线在直角坐标系内的交点坐标为（0，2）.试问（0，2）的横、纵坐标可看作是怎样的方程组的解中x 、y 的值？分析：用待定系数法求出直线的函数解析式，即可知道是怎样的方程组. 解答：如图所示经过点（0，2）和（2，0），经过点（0，2）和（－3，0），从而⎩⎨⎧-=--=+1232y x y x 2321--=x y 12+=x y 2321--=x y 1l 2l 21,l l ⎩⎨⎧-=--=+1232y x y x ⎩⎨⎧-=-=11yx 21l l 、21l l 、1l 2l由一次函数解析式的求解方法得的解析式为y ＝－x ＋2，的解析式为所以（0，2）的横、纵坐标可看作方程组的解中x 、y 的值.例6.设一次函数y ＝x ＋1与的交点为P ，它们与x 轴的交点分别为B 、A.试求ABC 的面积.分析：由于方程组的解与一次函数交点的坐标只是形式上不同，本质上是一样的，故可以由二元一次方程组的解来确定两个一次函数交点坐标，再结合三角形的性质可求出ABC 的面积.解答：P 点的坐标为方程组的解，解得如图所示，一次函数与x 轴交于A （4，0），直线y ＝x ＋1与x 轴交于B （－1，0）.所以AB ＝4－（－1）＝5，过P 点作PC ⊥AB 于C ，PC ＝＝5.所以1l 2l .232+=x y ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-2232y x yx 221-=x y ∆∆⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2211x y x y ⎩⎨⎧-=-=56y x 221-=x y 5-225552121=⨯⨯=⋅=∆PC AB S APB例7.某中学的校长准备在暑假带领该校的一些“市级三好学生”去北京旅游.甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”.乙旅行社说：“包括校长在内，全体人员均按全票的6折优惠”.若苏州到北京的全票单价为1000元. （1）设学生人数x 人，甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元，分别写出两家旅行社的收费表达式；（2）就学生人数x ，讨论哪家旅行社更优惠？分析：先求出与的表达式，在分别令＝，<，>三种情况讨论甲、乙两旅行社哪家更优惠.解答：（1）＝1000＋500x ，＝600（x ＋1） ， 其中x 是正整数.（2）令＝，得1000＋500x ＝600（x ＋1），解得x ＝4.令<，得1000＋500x<600（x ＋1），解得x>4.令>，得1000＋500x>600（x ＋1），解得x<4.答：若学生人数为4人，两家优惠程度相同；若学生人数超过4人，甲旅行社更优惠；若学生人数不足4人，乙旅行社更优惠.例8.兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m ，然后自己才开始跑.已知弟弟每秒跑3m ，哥哥每秒跑4m.列出函数关系式，画出函数图像，观察图像回答下列问题： （1）何时弟弟跑在哥哥前面？ （2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）谁先跑过20m ，谁先跑过100m? （4）你是怎样求解的？解答：分别构造哥哥、弟弟赛跑时每个人所跑的距离y （m ）与时间x （s ）之间的关系式：设距离分别为（哥哥）、（弟弟），从哥哥跑开始计时，时间为x ，则＝4x ，甲y 乙y 甲y 乙y 甲y 乙y 甲y 乙y 甲y 乙y 甲y 乙y 甲y 乙y 甲y 乙y 甲y 乙y 1y 2y 1y 2y＝9＋3x ，画出它们的图像，从图像上观察可得： （1）9s 前弟弟跑在哥哥前； （2）9s 后哥哥跑在弟弟前；（3）弟弟先跑过20m 处，哥哥先跑过100m 处.例9.如图所示，是某校一电热淋浴器水箱的水量y （L ）与供水时间x （min ）的函数关系式. （1）求y 与x 的函数关系式；（2）求（1）的条件下，经过多少时间水箱有水100L.分析：（1）由图像可知：y 是x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ，当x ＝10时，y ＝50；x ＝50时，y ＝150.代入y ＝kx ＋b 中构建二元一次方程组，可求出k 、b ；（2）把y ＝100代入（1）中的解析式y ＝kx ＋b ，建立关于x 的方程即可求出.解答：（1）设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx ＋b ，由图像知x ＝10时，y ＝50；x ＝50时，y ＝150.解之得 y ＝2.5x ＋25（2）当y ＝100时，2.5x ＋25＝100， x ＝30 故30min 时，水箱有水100L.评析：一元一次方程与一次函数的联系是：从“数”的方面来看，当一次函数的值为0时，相应的自变量的值即为方程的解；从“形”的方面来看，函数与x 轴交点的横坐标，解为方程的解.⎩⎨⎧=+=+∴150505010b k b k ⎩⎨⎧==255.2b k ∴∴。
143用函数观点看方程(组)与不等式.pptx
利用图像法求方程6x-3=x+2的解 方法一： 将方程6x-3=x+2变形为5x-5=0
画出y=5x-5的图像
由图像可知y=5x-5与x轴的交点为（1，0） 所以x=1
y=5x-5 1 -5
利用图像法求方程6x-3=x+2的解
方法二： 方程6x-3=x+2可以转化为y=6x-3与y=x+2在自变量x 何值时函数相等
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
y=2x-1 6
方法三：由于2t+5=17可变形为：2t-12=0从图象上看，直 -12 线y=2t-12与x轴的交点为（6，0）得x=6
由于任何一元一次方程都可转化为 kx+b=0(k、 b是常数，k≠0)的形式所 以解一元一次方可以转化为：当一次 函数值为0时，求相应的自变量的值。
从图象上看，这相当已知直线y= kx+b 确定它与x轴交点的横坐标。
即从图象上可以看出y=6x-3与y=x+2的交点的 交点的横坐标就是方程6x-3=x+2的解
由图像可以看出y=6x-3与y=x+2的 交点的坐标是（1，3）
用函数观点看方程(组)与不等式
年级初二学科数学编稿老师王玉起课程标题用函数观点看方程（组）与不等式一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破一次函数与许多知识有着密切的联系，特别是某些代数内容，如：一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组，它们的表达式的结构特征与一次函数的解析式有很大的相似性.因此它们之间的某些内容可以互相验证、互相解释、互相转化.在中考试题中，会以填空题或选择题的形式对它们之间的一些相互关系进行考查.其在中考试题中约占4分左右。
二、重难点提示重点掌握以下几方面的联系：①一次函数的图象与x轴的交点的横坐标及相应的一元一次方程的解②一次函数的图象与x轴交于一点，图象上交点两侧的部分对应的x的取值范围与相应的一元一次不等式的解集③两个一次函数的图象的交点的坐标与相应的方程组的解上述相互关系是本讲研究的重点内容。
一、知识脉络图二、知识点拨万事万物都处于普遍联系之中，数学的各知识间也是如此。
运用联系的观点来认识一次函数、方程（组）和不等式，对于提高同学们对这些知识的认知水平和解题能力是大有裨益的。
1. 一次函数和一元一次方程的联系任何一个一元一次方程都可以化简成ax ＋b ＝0（a≠0，a ，b 为常数）的形式，其解恰好就是一次函数y ＝ax ＋b （a≠0，a ，b 为常数）的函数值为0时，自变量x 的取值，反映在图象上，就是直线y ＝ax ＋b 与x 轴的交点的横坐标。
2. 一次函数和一元一次不等式的联系任何一个一元一次不等式都可以化简成ax ＋b>0（或 ax ＋b<0）（a≠0，a ，b 为常数） 的形式， 其解恰好就是一次函数y ＝ax ＋b （a≠0，a ，b 为常数）的函数值大于（或小于0）时，自变量x 的取值范围，反映在图象上，就是直线y ＝ax ＋b 在x 轴上方的部分（或x 轴下方的部分）对应的自变量x 的取值范围。
3. 一次函数和二元一次方程组的联系任何一个二元一次方程都可以看作一次函数，反过来，任何一个一次函数解析式都是二元一次方程，从而一次函数图象上的点的坐标就是二元一次方程的解；进一步说，任何一个二元一次方程组都对应两个一次函数，亦即对应两条直线。
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图A
x -3 0
1、讨论“解方程ax+b=0,（a、b为常数）”与“求自变
量为x时，一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系？ （一样的做法）
2、讨论从哪些地方可以看出是一样的做法？
（又图象看一元一次方程的 解）
直线y=kx+b与x轴交点的横坐标-b/k 就是一元一次方程kx+b=0的解
2x+3=0的解为x=-3/2
x-1=0的解为x=1
例1： 一个物体现在速度是5米/秒，其速度每秒增加2米，
再过几秒它的速度为17米/秒？
分析：（1）这是一个匀加速问题，
设什么为未知数最好？
（设再过x秒） （2）这道题的增量关系是什么？ （V开始+V增加=17） 解法一：设再过x秒物体的速度为17米/秒， 列方程为： 2x+5=17 x=6
● 理解一次函数与一元一次方程的关系，会根据一次函数 的图像来解决一元一次方程的求解问题。 ● 学习用函数的观点看待方程方法，初步感受用全面的观 点处理局部问题思想。 ● 经历方程与函数的探究过程，学习用联系的观点看待数 学问题的辨证思想
问：1、一次函数的一般形式？
y=kx+b
（在一般形式中两个变量y、x之间 符合一定的关系而相互依存）
（1）P129习题14.3第1、2题 （2）根据下列图象的解你能写出哪些一元一次方程的解？
y y=4x -2 0 x 0 x 0 y y=x+2 5/2 x y=-5/2x+5 0 3 x y y y=x-3
（3）已知方程ax+b=0的解为-2，下列图象肯定不是直线
y=ax+b的是（ ）
y -2 -2 0 x 0 x y y -2 0 x 0 x y
解法二： 速度y是时间x的函数： y=2x+5 把y=17代入直线y=2x+5得 2x+5=17 2x-12=0 x=6
y y=2x-12
0
6
x
-12
从数的角度看：
求ax+b=0（a≠0）的解 x为何值时y=ax+b的值为0
从行的角度看：
求ax+b=0（a ≠0）的解
确定直线y=ax+b与x轴的横坐标
• 3、 课堂练习
（1）解方程：3x-2=0 当x为何值时，直线y=3x-2的值为0 解方程：8x+16=0 当x为何值时，直线y=8x+16的值为0 （2）根据下列图象直接写出方程的解
y y=-3x y=-x+2 y y y=2x+3 y
y=x-1
0
x
0
x
0
x
0
x
-3x=0的解为x=0
-x+2=0的解为x=2
2、把一次函数中的变量y换为0，
那么函数变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ了什么？
一元一次方程
那么我们接下来就来研究它们的关系吧。
1、解方程：3x+9=0
（x=-3） （x=-3）
2、自变量x为何值时函数y=3x+9的值为0？
（1）一次函数的图像是什么？ （2）几点可以确定一条直线？
（一条直线） （两点）
（3）如图A我们已经确定函数与x轴的交点，那么再找 哪个点就可以画出一次函数y=3x+9的图像？ （直线与y轴的交点） y
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