高中数学 第二章 数列 由递推公式求通项公式教案 新人教A版必修5

由递推公式求通项公式
一、教学目标：
1. 掌握由递推公式求通项公式的各种方法。

二、教学重点：掌握观察分析法、累加法、累乘法、待定系数法等求数列的通项公式。

三、教学难点：待定系数法求数列的通项公式。

四、教学过程：
1、累加法
一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解；
（1）若)(n f 为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则d n a a n )1(1-+=.
（2）若)(n f 为n 的函数时，用累加法.方法如下：由 )(1n f a a n n +=+得：当n>1时，有 )1(1-+=-n f a a n n
)2(21-+=--n f a a n n
…………………
)2(23f a a +=
)1(12f a a +=
所以各式相加得)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=-
例1、已知数列{}n a 中,n a a a n n +==-11,1,求数列{}n a 的通项公式。

答案：2
)1(+=n n a n 例2、（资料例3（1）题）在数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，求通项a n 。

例3、已知数列{}n a 中, n a a a n n n -=-=+2,111,求数列{}n a 的通项公式。

小结：已知,)(,11n f a a a a n n +==+,其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

练习：根据下列条件，求数列通项公式n a .
（1）n a a a n n 2,111+=-=+（答案：12--=n n a n ）
（2）n
n a a a n n ++==+2111,21（答案：n a n 123-=）
2、累乘法
对于型如：n n a n f a ∙=+)(1类的通项公式，当)()2()1(n f f f ∙的值可以求得时，宜采用此方法。

（1） 当)(n f 为常数，即：q a a n
n =+1（其中q 是不为0的数），此时，数列为等比数列，11-=n n q a a 。

（2） 当)(n f 为n 的函数时，用累乘法。

由)(1n f a a n n =+得1>n 时，)1(1
-=-n f a a n n 111
2211)1()1()(a f n f n f a a a a a a a a n n n n n ∙∙∙-∙=∙∙∙∙=
--- 例4、 例5、（资料训练3）设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.
分析: 本题是关于n a 和1+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到n a 和1+n a 的更为明显的关系式，从而求出 练习：根据下列条件，求数列通项公式n a .
（1）n n a n
n a a 2,411+==+（答案：n n a n 222+=） （2）n n n a a a 2,111==+（答案：2)1(2
-=n n n a ）
3、辅助数列法（构造法或待定系数法） 这种方法类似于换元法, 主要用于形如),0(11a a p q pa a n n =≠+=+的已知递推关系式求通项公式。

（1）若1=p 时，数列{}n a 为等差数列;
（2）若0=q 时，数列{}n a 为等比数列;
（3）若1≠p 且0≠q 时，数列{}n a 为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求. 方法1：待定系数法
设)(1m a p m a n n +=++,得m p pa a n n )1(1-+=+, 与题设q pa a n n +=+1,比较系数得: q m p =-)1(，所以有：1-=
p q m )1(11-+=-+-p q a p p q a n n 因此数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧
-+1p q a n 构成以 1
1-+p q a 为首项，以p 为公比的等比数列. 11 {},1,,1{}.n n n n a n a a a n a +==+例已知数列中求数列的通项公式
所以11)1(1--+=-+n n p p q a p q a ，即1
)1(11---+=-p q p p q a a n n . 方法2：
q pa a n q
pa a n n n n +=≥∴+=-+112时，当 ， 两式相减得 )(11-+-=-n n n n a a p a a
所以 p a a a a n n n n =---+1
1 所以数列{}n n a a -+1是以12a a -为首项，以p 为公比的等比数列. 2121)(---=-n n n p a a a a
31221)(----=-n n n p a a a a
41232)(----=-n n n p a a a a
p a a a a )(1223-=-
1212a a a a -=- 累加可得p p a a p
p a a a a n n n ---=++-=---11)()1)((1122121 方法三：迭代法
例1、 已知数列{}n a 中，32,311+==+n n a a a ,求数列的通项公式. 答案：3261-⨯=-n n a
练习：（资料【例3】） 在数列{a n }中，
(2)若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________. 例2、设二次方程0112=+-+x a x a n n ，有两根βα,，满足3626=+-βαβα，若11=a ，求数列{}n a 的通项公式．
4、形如)0,0,1,(1≠≠≠++=+a p p a p b an pa a n n 为常数，的数列，令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++与b an pa a n n ++=+1比较出系数y x ,构造出等比数列. 例3、已知数列{}n a 中，122
1,311-+=
=+n a a a n n ,求数列的通项公式.
5、形如n n n q pa a +=+1)0,0,1,(≠≠≠q p p q p 为常数，
例4、已知数列{}n a 中，11123,1+++==n n n a a a ,求数列的通项公式. 答案： 11235+--⨯=n n n a .
6、形如q pa ma a n n n +=+1，其中q p m ,,为常数，用取倒数方法转化成为m
p a m q a n n +=+111的形式，再利用前面的方法来解决. 例5、已知数列{}n a 中，2
2,31111+===-n n n a a a a ,求数列的通项公式. 练习：已知数列{}n a 中，13,111+=
=+n n n a a a a ,求数列的通项公式. 例6、
已知数列{}n a 中，03,1!11=-+=++n n n n a a a a a ,求数列的通项公式. 答案： 五：课堂练习，定时训练：（已含在例题后方。

）
六：课堂点拨，归纳提升：
七、板书设计：
1、已知数列{}n a 中，1112,1--∙==n n n a a a ,求数列的通项公式.
2、已知数列{}n a 中，0)1(,3111=+-=
+n n a n na a ,求数列的通项公式. 3、已知数列{}n a 中，3
132,3111+==+n n a a a ,求数列的通项公式. 4、已知数列{}n a 中，n n n n n a a a a a a ∙=-≠=++1112,0,2,求数列的通项公式.
5、已知数列{}n a 中，42,3,11221=+-==-+n n n a a a a a ,求数列的通项公式. 1
43n a n
∴=-。