严格递增子序列
C语言实现最长递增子序列问题的解决方法
C语⾔实现最长递增⼦序列问题的解决⽅法本⽂实例展⽰了C语⾔实现最长递增⼦序列问题的解决⽅法。
分享给⼤家供⼤家参考。
具体⽅法如下：问题描述：给定⼀个序列，找出其最长递增⼦序列长度。
⽐如输⼊ 1 3 7 5输出 3算法解决思路：利⽤动态规划的思想，以序列的每个点最为最右端，找出每个点作为最右端时的⼦序列长度的最⼤值，即问题的求解。
因此，在计算前⾯的每个点的时候，将其结果保存下来，后⾯的点与前⾯的点的数值进⾏⽐较，如果⼤，则在其长度基础上加1，并且找出所有可能情况下最长的保存为当前点的长度。
形成递归。
具体实现代码如下：#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#define MAXDATA 10000int main(){int data[MAXDATA]; /*数据序列*/int lgs[MAXDATA]; /*最长⼦序列长度*/int n,temp,k; /*n 序列长度 temp ⼦序列长度中间变量 */scanf("%d",&n);if(n>10000){return 0;}for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&data[i]);}for(int i=0;i<MAXDATA;i++){lgs[i]=1; /*给每⼀个序列点作为右端时的最⼤序列长度为1*/}for(int i=1;i<n;i++){temp=1;for(int j=0;j<i;j++){ /*与其前⾯的每⼀个进⾏⽐较*/if(data[i]>data[j]){ /*如果数据⽐前⾯的某⼀个的值⼤*/if(lgs[i]+lgs[j]>temp){ /*找出该点的最⼤⼦序列长度*/temp=lgs[i]+lgs[j];}}}lgs[i]=temp;}temp=lgs[0];for(int i=1;i<n;i++){if(lgs[i]>temp){temp=lgs[i];}}printf("%d",temp);system("pause");}希望本⽂所述对⼤家C程序算法设计的学习有所帮助。
最长递增子序列vue3diff算法
最长递增子序列vue3diff算法Vue.js是一款流行的前端框架，它的最新版本Vue 3引入了一种新的diff算法，称为最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）算法。
本文将详细介绍Vue 3中的diff 算法，并探讨它的优势和应用。
在前端开发中，diff算法用于比较两个虚拟DOM树的差异，并将这些差异应用于实际的DOM树上，从而实现高效的页面更新。
Vue 3的diff算法采用了最长递增子序列算法来优化比较过程，提高了性能和效率。
最长递增子序列算法是一个经典的动态规划算法，用于寻找给定序列中最长的递增子序列。
在Vue 3中，这个算法被应用于比较虚拟DOM树的过程中，以减少比较的次数，从而提高性能。
在传统的diff算法中，通常会使用深度优先遍历的方式比较两个DOM树的每个节点。
这种方式的效率较低，尤其是当节点数量较多时，比较的时间复杂度会很高。
而采用最长递增子序列算法，可以将比较的次数减少到最少。
最长递增子序列算法的核心思想是，将待比较的序列转化为一个新的序列，使得新序列的最长递增子序列的长度最大。
在Vue 3中，这个新序列就是由虚拟DOM节点的唯一标识符组成的序列。
通过比较这个新序列的最长递增子序列，可以确定哪些节点需要进行更新，哪些节点可以保持不变。
采用最长递增子序列算法的diff过程如下：1. 遍历新旧虚拟DOM树的所有节点，为每个节点生成唯一标识符。
2. 将新旧虚拟DOM树的节点按照唯一标识符的顺序进行排序。
3. 使用最长递增子序列算法比较排序后的节点序列，得到最长递增子序列。
4. 根据最长递增子序列确定哪些节点需要更新，哪些节点可以保持不变。
5. 将需要更新的节点进行更新操作，将不需要更新的节点保持不变。
通过采用最长递增子序列算法，Vue 3的diff过程可以大大减少比较的次数，提高了性能和效率。
尤其是在页面更新频繁的情况下，这种优化效果更为明显。
区间dp知识点总结
区间dp知识点总结区间动态规划以区间为基本单位，将区间问题分解为子区间问题，并通过子问题的优化解来求解原问题的最优解。
在区间动态规划中，我们通常会先对区间进行预处理，然后进行状态转移和最优解的计算，最终得出整个区间的最优解。
本文将介绍区间动态规划的基本概念、相关术语、常用技巧和应用场景，并以具体的例题进行解析，希望能够帮助读者更好地理解并掌握区间动态规划的相关知识。
一、基本概念1. 区间在区间动态规划中，区间通常是指一段连续的序列，可以是数组、字符串或其他数据结构。
如有一个长度为n的数组，通常我们可以将数组的某个子区间[i, j]表示为数组的一段连续元素，其中i和j分别为区间的左右边界。
2. 状态在区间动态规划中，状态通常用来表示问题的解空间，它是问题的一个关键要素。
状态的选择不同，可能会导致不同的算法解法。
3. 状态转移方程区间动态规划的核心是状态转移方程，它描述了问题的状态如何转移，以及如何通过子问题的最优解来求解原问题的最优解。
状态转移方程通常包括两个方面：状态之间的转移关系和状态的初始值。
4. 最优解区间动态规划通常是要求解区间范围内的最优解问题。
最优解可能是指区间的最大值、最小值、最长子序列等。
二、相关术语1. 最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）最长上升子序列是指一个序列中各个元素都严格递增的子序列，且该子序列的长度最大。
在区间动态规划中，求解最长上升子序列的长度是一个常见的问题。
2. 最大子段和（Maximum Subarray Sum）最大子段和是指一个序列中连续元素的和中最大的值。
在区间动态规划中，求解最大子段和也是一个常见的问题。
3. 背包问题背包问题是一类经典的组合优化问题，它包括 0-1 背包问题、多重背包问题、分组背包问题等。
在区间动态规划中，背包问题的求解也是一个重要的应用场景。
4. 字符串处理字符串处理是区间动态规划中一个重要的应用场景，常见的问题包括编辑距离、最长公共子序列、最长回文子串等。
0011算法笔记——【动态规划】最长公共子序列问题(LCS)
问题描述：一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。
确切地说，若给定序列X= { x1, x2,…, x m}，则另一序列Z= {z1, z2,…, z k}是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列{i1, i2,…, i k}，使得对于所有j=1,2,…,k有X ij=Z j。
例如，序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。
给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
例如，若X= { A, B, C, B, D, A, B}和Y= {B, D, C, A, B, A}，则序列{B,C,A}是X和Y的一个公共子序列，序列{B,C,B,A}也是X和Y的一个公共子序列。
而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。
给定两个序列X= {x1, x2, …, x m}和Y= {y1, y2, … , y n}，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
问题解析：设X= { A, B, C, B, D, A, B},Y= {B, D, C, A, B, A}。
求X，Y的最长公共子序列最容易想到的方法是穷举法。
对X的多有子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列。
由集合的性质知，元素为m的集合共有2^m个不同子序列，因此，穷举法需要指数级别的运算时间。
进一步分解问题特性，最长公共子序列问题实际上具有最优子结构性质。
设序列X={x1,x2,……x m}和Y={y1,y2,……y n}的最长公共子序列为Z={z1,z2,……z k}。
则有：(1)若x m=y n,则z k=x m=y n,且z k-1是X m-1和Y n-1的最长公共子序列。
(2)若x m!=y n且z k!=x m，则Z是X m-1和Y的最长公共子序列。
动态规划-最长单调递增子序列（dp）
动态规划-最长单调递增⼦序列（dp）解题思想：动态规划1.解法1(n2) 状态：d[i] = 长度为i+1的递增⼦序列的长度 状态转移⽅程：dp[i] = max(dp[j]+1, dp[i]);分析：最开始把dp数组初始化为1，然后从前往后考虑数列的元素，对于每个aj，如果a[i] > a[j]，就⽤dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)进⾏更新，再从dp数组中找出最⼤值即为结果举例：abklmncdefg dp[0] = 1; dp[1] = 2; dp[2] = 3; dp[3] = 4; dp[4] = 5; dp[5] = 6; dp[7] = 3; dp[8] = 4; dp[9] = 5; dp[10] = 6; dp[11] = 7; 最⼤值为7 代码：1 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cstring>4using namespace std;5const int MAX_N = 10005;6int n;7char a[MAX_N];8int dp[MAX_N];9int main() {10int n;11 cin >> n;12while(n--) {13int ans = 0;14 fill(dp, dp+MAX_N, 1);15 cin >> a;16int len = strlen(a);17for(int i = 0; i < len; i++) {18for(int j = 0; j < i; j++) {19if(a[j] < a[i]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);20 }21 ans = max(ans, dp[i]);22 }23 cout << ans << endl;24 }25return0;26 }View Code2.解法2(n2) 状态：d[i] = 长度为i+1的递增⼦序列中末尾的最⼩值(不存在就是INF) 分析：最开始⽤INF初始化dp数组的值，然后从前往后考虑数列的元素，对于每个aj，如果i = 0或者a[j] >= a[i]，使得a[j] = a[i]并且break出来，最后第⼀个dp数组中值为INF的下标即为结果 举例：abklmncdefg a; ab; abk; abkl; abklm; abklmn; abclmn; abcdmn; abcden; abcdef; abcdefg; 第⼀个INF的下标为7 代码：1 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cstring>4using namespace std;5const int MAX_N = 10005;6const int INF = 127;7int n;8char a[MAX_N];9char dp[MAX_N];10int main() {11int n;12 cin >> n;13while(n--) {14 fill(dp, dp+MAX_N, INF);15 cin >> a;16int len = strlen(a);17for(int i = 0; i < len; i++) {18for(int j = 0; j < len; j++) {19if(!i || dp[j] >= a[i]) {20 dp[j] = a[i]; break;21 }22 }23 }24int ans = 0;25while(dp[ans] != INF) ans++;26 cout << ans << endl;27 }28return0;29 }View Code3.解法3(nlogn) 分析：思路与解法2⼀样，但是解法2可以进⼀步优化，在解法2中dp数组是单调递增的，每次要从头到尾找到第⼀个⼤于等于a[i]的值，这是o(n2)的，既然是顺序的可以使⽤⼆分查找进⾏改进， 这样可以在o(nlogn)时间内求出结果，这⾥利⽤到了STL中的lower_bound(dp, dp + n, a[i])，找出dp数组中⼤于等于a[i]的最⼩的指针，upper_boundlower_bound(dp, dp + n, a[i])，找出dp数组中⼤于a[i]的最⼤的指针代码：1 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cstring>4 #include<algorithm>5using namespace std;6const int MAX_N = 10005;7const int INF = 127;8int n;9char a[MAX_N];10char dp[MAX_N];11int main() {12int n;13 cin >> n;14while(n--) {15 fill(dp, dp+MAX_N, INF);16 cin >> a;17int len = strlen(a);18for(int i = 0; i < len; i++) {19 *lower_bound(dp, dp+len, a[i]) = a[i];20 }21 cout << lower_bound(dp, dp+len, INF) - dp << endl;22 }23return0;24 }View Code。
最长不下降子序列nlogn算法详解
最长不下降⼦序列nlogn算法详解今天花了很长时间终于弄懂了这个算法……毕竟找⼀个好的讲解真的太难了，所以励志我要⾃⼰写⼀个好的讲解QAQ这篇⽂章是在懂了这个问题n^2解决⽅案的基础上学习。
解决的问题：给定⼀个序列，求最长不下降⼦序列的长度（nlogn的算法没法求出具体的序列是什么）定义：a[1..n]为原始序列，d[k]表⽰长度为k的不下降⼦序列末尾元素的最⼩值，len表⽰当前已知的最长⼦序列的长度。
初始化：d[1]=a[1]; len=1; （0个元素的时候特判⼀下）现在我们已知最长的不下降⼦序列长度为1，末尾元素的最⼩值为a[1]，那么我们让i从2到n循环，依次求出前i个元素的最长不下降⼦序列的长度，循环的时候我们只需要维护好d这个数组还有len就可以了。
关键问题就是怎么维护？可以看出我们是要⽤logn的复杂度维护的。
实际上利⽤了d数组的⼀个性质：单调性。
（长度更长了，d[k]的值是不会减⼩的）考虑新进来⼀个元素a[i]： 如果这个元素⼤于等于d[len]，直接让d[len+1]=a[i]，然后len++。
这个很好理解，当前最长的长度变成了len+1，⽽且d数组也添加了⼀个元素。
如果这个元素⼩于d[len]呢？说明它不能接在最后⼀个后⾯了。
那我们就看⼀下它该接在谁后⾯。
准确的说，并不是接在谁后⾯。
⽽是替换掉谁。
因为它接在前⾯的谁后⾯都是没有意义的，再接也超不过最长的len，所以是替换掉别⼈。
那么替换掉谁呢？就是替换掉那个最该被它替换的那个。
也就是在d数组中第⼀个⼤于它的。
第⼀个意味着前⾯的都⼩于等于它。
假设第⼀个⼤于它的是d[j]，说明d[1..j-1]都⼩于等于它，那么它完全可以接上d[j-1]然后⽣成⼀个长度为j的不下降⼦序列，⽽且这个⼦序列⽐当前的d[j]这个⼦序列更有潜⼒（因为这个数⽐d[j]⼩）。
所以就替换掉它就⾏了，也就是d[j]=a[i]。
其实这个位置也是它唯⼀能够替换的位置（前⾯的替了不满⾜d[k]最⼩值的定义，后⾯替换了不满⾜不下降序列） ⾄于第⼀个⼤于它的怎么找……STL upper_bound。
java算法最长连续递增子序列
java算法最长连续递增⼦序列给定⼀个顺序存储的线性表，请设计⼀个算法查找该线性表中最长的连续递增⼦序列。
例如，(1,9,2,5,7,3,4,6,8,0)中最长的递增⼦序列为(3,4,6,8)。
输⼊格式:输⼊第1⾏给出正整数n（≤105）；第2⾏给出n个整数，其间以空格分隔。
输出格式:在⼀⾏中输出第⼀次出现的最长连续递增⼦序列，数字之间⽤空格分隔，序列结尾不能有多余空格。
输⼊样例：1. 152. 1 9 2 5 7 3 4 6 8 0 11 15 17 17 10输出样例：3 4 6 8import java.io.BufferedReader;import java.io.IOException;import java.io.InputStreamReader;public class Main {public static void main(String[] args) throws IOException {BufferedReader sr = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));int n=Integer.parseInt(sr.readLine());int[] res=new int[n];String s[] = sr.readLine().split(" ");for(int i=0;i<n;i++)res[i]=Integer.parseInt(s[i]);int max=0,count=0,ss=0,x=0,y=0;for(int i=0;i<n-1;i++) {y=i+1;//判断是否递增，是的话count++;if(res[i+1]>res[i]) {count++;if(count>max) {max=count;ss=x;}}else {count=0;x=y;//不连续递增，则索引改变为下⼀个⽬标}}for(int i=ss;i<=ss+max;i++) {if(i==(ss+max)) {System.out.print(res[i]);}else {System.out.print(res[i]+" ");}}}}实现⼆：public class Sample {public static void main(String[] args) {int []nums = {1,3,4,5,6,7,2,8,9,10};for (int[] lu : findAllLowUpIndex(nums)) {System.out.printf("下标:%d, 上标:%d, 长度%d\n", lu[0], lu[1], lu[1]-lu[0]);}}public static List<int[]> findAllLowUpIndex(int[] nums) {Map<Integer, int[]> map = new HashMap<>(); //map的key是长度，value是数组的上下标for (int i=0, j=0; i<nums.length-1; i++) {for (j=i+1; j<nums.length && nums[j-1]<nums[j]; j++) {map.put(j-i, new int[] {i, j}); //j-i就是长度，i是下标，j是上标，相同长度的返回较⼤的index，所以后来的index直接覆盖之前的信息}}return map.entrySet().stream().sorted((e1,e2)->e1.getKey().compareTo(e2.getKey())) //这⾥是为了按长度排序.map(e->e.getValue()).collect(Collectors.toList()); //这⾥是去掉长度信息只保留上下标信息 }}实现三：public class Test3 {public static void main(String[] args) {int[] nums = new int[]{5, 6, 7, 0,1, 2, 3, 8, 4, 5, 7, 9, 21};calc(nums);}public static void calc(int[] nums) {int[] max = null;int start = 0;int end = 0;for (int i = 1; i < nums.length; i++) {int pre = nums[i - 1];int cur = nums[i];if (cur > pre) {end = i;}if (cur <= pre || i == nums.length - 1) {if (max == null || max[1] - max[0] <= end - start) {max = new int[]{start, end};}start = i;}}System.out.println(String.format("[%s,%s]", max[0], max[1]));}}实现四：public class Sample {public static void main(String[] args) {int []nums = {1,3,4,5,6,7,2,8,9,10,3,4,5,6,7,1,8,6,5};for (int[] lu : findAllLowUpIndex(nums)) {System.out.printf("y:%d=>%d\n", lu[0], lu[1]);}}public static List<int[]> findAllLowUpIndex(int[] nums) {List<int[]> result = new ArrayList<>();for (int i=0, j=0; i<nums.length-1; i=j) {for (j=i+1; j<nums.length && nums[j-1]<nums[j]; j++);if (j-1>i) { //长度为2以上则保存结果result.add(new int[] {i, j-1});}}return result;}}。
最长单调递增子序列问题
最长单调递增子序列问题最长单调递增子序列问题是一个经典的动态规划问题，它需要找出给定序列中最长的单调递增子序列的长度。
在解决这个问题之前，我们首先来了解一下什么是单调递增子序列。
单调递增子序列是指在给定序列中，选取若干元素组成新的序列，使得新序列中的元素逐个递增。
例如，对于序列[1, 3, 2, 5, 4, 6]，其最长的单调递增子序列为[1, 2, 4, 6]，长度为4。
解决最长单调递增子序列问题的一个常用方法是动态规划。
我们可以定义一个长度与给定序列相同的数组dp，其中dp[i]表示以第i 个元素结尾的最长单调递增子序列的长度。
初始时，所有元素的最长单调递增子序列长度都为1，即dp[i]=1。
然后，我们可以通过遍历给定序列的每个元素，计算dp[i]的值。
具体的计算方法是，对于给定序列中的第i个元素，我们可以从第1个元素到第i-1个元素中选择一个小于第i个元素的元素，将其加入到以第i个元素结尾的最长单调递增子序列中，从而得到一个长度加1的递增子序列。
我们选择其中长度最长的递增子序列，将其长度加1作为dp[i]的值。
通过这种方法，我们可以依次计算出dp[1]、dp[2]、...、dp[n]的值，其中n为给定序列的长度。
最终，最长单调递增子序列的长度即为dp数组中的最大值。
下面，我们以一个具体的例子来说明这个算法的过程。
假设给定序列为[1, 3, 2, 5, 4, 6]。
初始化dp数组为[1, 1, 1, 1, 1, 1]，因为每个元素本身就构成一个长度为1的递增子序列。
然后，从第2个元素开始遍历给定序列。
对于第2个元素3，我们可以选择第1个元素1作为它的前一个元素，得到长度为2的递增子序列[1, 3]。
因此，更新dp[2]的值为2。
接下来，对于第3个元素2，我们可以选择第1个元素1作为它的前一个元素，得到长度为2的递增子序列[1, 2]。
因此，更新dp[3]的值为2。
对于第4个元素5，我们可以选择第1个元素1或者第3个元素2作为它的前一个元素，得到长度为2的递增子序列[1, 5]或者[2, 5]。
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严格递增子序列
概述
严格递增子序列是指在一个序列中，选取若干个元素，使它们的值按照严格递增的顺序排列。
这个问题可以用于求解一些实际问题，例如最长递增子序列问题和最长上升子序列问题。
本文将详细介绍严格递增子序列的定义、性质、求解方法以及应用。
定义
给定一个序列，例如 [1, 3, 2, 4, 5, 1, 6]，我们可以选取其中的若干个元素形成一个子序列。
如果选取的子序列中的元素按照严格递增的顺序排列，那么这个子序列就是严格递增子序列。
在上述例子中，[1, 2, 4, 5, 6] 就是一个严格递增子序列。
性质
严格递增子序列具有以下性质：
1.长度最长：在一个序列中，可能存在多个严格递增子序列，但长度最长的严
格递增子序列只有一个。
2.元素唯一：严格递增子序列中的元素是唯一的，即不能包含重复的元素。
3.子序列位置：严格递增子序列中的元素在原序列中的位置是不连续的，可以
跳过一些元素。
求解方法
求解严格递增子序列的问题有多种方法，下面介绍两种常用的方法：动态规划和贪心算法。
动态规划
动态规划是一种常用的求解最优化问题的方法。
对于严格递增子序列的问题，可以使用动态规划来求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）。
动态规划的思想是将原问题分解为若干个子问题，通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。
对于求解最长递增子序列的问题，可以定义一个状态数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长递增子序列的长度。
具体的动态规划算法如下：
1.初始化状态数组 dp，将所有元素初始化为 1。
2.对于每个元素 nums[i]，遍历它前面的所有元素 nums[j]（0 <= j < i），
如果 nums[i] 大于 nums[j]，则更新 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。
3.遍历状态数组 dp，找到最大的 dp[i]，即为最长递增子序列的长度。
贪心算法
贪心算法是一种简单而高效的求解问题的方法。
对于严格递增子序列的问题，可以使用贪心算法来求解最长上升子序列（Longest Ascending Subsequence，简称LAS）。
贪心算法的思想是每次选择当前最优的解，通过局部最优解的选择来获得全局最优解。
对于求解最长上升子序列的问题，可以使用一个辅助数组 tail，其中 tail[i] 表示长度为 i+1 的上升子序列的最后一个元素的最小值。
具体的贪心算法如下：
1.初始化辅助数组 tail，将第一个元素 nums[0] 放入 tail[0]。
2.遍历原序列中的每个元素 nums[i]（1 <= i < n），如果 nums[i] 大于
tail 中的最后一个元素，将 nums[i] 放入 tail 的末尾；否则，在 tail
中找到第一个大于等于 nums[i] 的元素，将其替换为 nums[i]。
3.遍历完整个原序列后，tail 的长度就是最长上升子序列的长度。
应用
严格递增子序列的问题在实际中有许多应用。
以下列举几个常见的应用场景：
1.最长递增子序列：求解一个序列中最长递增子序列的长度，可以应用动态规
划或贪心算法来解决。
2.最长上升子序列：在一个序列中，求解最长上升子序列的长度，可以使用贪
心算法来解决。
3.最长公共子序列：在两个序列中，求解最长公共子序列的长度，可以将其中
一个序列进行排序，然后求解排序后的序列和另一个序列的最长递增子序列
的长度。
4.最长摆动子序列：在一个序列中，求解最长摆动子序列的长度，可以应用动
态规划来解决。
总结
严格递增子序列是指在一个序列中，选取若干个元素，使它们的值按照严格递增的顺序排列。
本文介绍了严格递增子序列的定义、性质、求解方法以及应用。
通过动态规划和贪心算法，可以有效地求解严格递增子序列的问题。
严格递增子序列的问题在实际中具有广泛的应用，例如求解最长递增子序列、最长上升子序列、最长公共子序列和最长摆动子序列等。
掌握了严格递增子序列的概念和求解方法，可以更好地解决相关的问题。