区间dp知识点总结
区间动态规划
区间动态规划区间 DP是指在⼀段区间上进⾏的⼀系列动态规划。
对于区间 DP 这⼀类问题，我们需要计算区间 [1,n] 的答案，通常⽤⼀个⼆维数组 dp 表⽰，其中 dp[x][y] 表⽰区间 [x,y]。
有些题⽬，dp[l][r] 由 dp[l][r−1] 与 dp[l+1][r] 推得；也有些题⽬，我们需要枚举区间 [l,r] 内的中间点，由两个⼦问题合并得到，也可以说 dp[l][r] 由 dp[l][k] 与 dp[k+1][r] 推得，其中 l≤k<r。
对于长度为 n 的区间 DP，我们可以先计算 [1,1],[2,2]…[n,n] 的答案，再计算 [1,2],[2,3]…[n−1,n]，以此类推，直到得到原问题的答案。
⼀道经典例题：NOI 1995 ⽯⼦合并题⽬描述在⼀个圆形操场的四周摆放N堆⽯⼦,现要将⽯⼦有次序地合并成⼀堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的⼀堆，并将新的⼀堆的⽯⼦数，记为该次合并的得分。
试设计出1个算法,计算出将N堆⽯⼦合并成1堆的最⼩得分和最⼤得分.输⼊输出格式输⼊格式：数据的第1⾏试正整数N,1≤N≤100,表⽰有N堆⽯⼦.第2⾏有N个数,分别表⽰每堆⽯⼦的个数.输出格式：输出共2⾏,第1⾏为最⼩得分,第2⾏为最⼤得分.输⼊输出样例输⼊样例#1：44 5 9 4输出样例#1：4354分析我们利⽤动态规划的思想，将问题不断分为⼦问题，为了求出最终最⼩的代价，我们只要求两堆的最⼩代价，再求出三堆的最⼩代价，以此类推得出最终的最⼩代价。
我们⽤ dp[i][j] 来表⽰合并 i 到 j 区间⾥的⽯⼦的最⼩代价。
然后我们写出下⾯的公式：dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j])+sum[j]−sum[i−1]显然通过这个式⼦，我们可以按区间长度从⼩到⼤的顺序进⾏枚举来不断让⽯⼦进⾏合并，最终就能获得合并成⼀堆⽯⼦的最⼩代价。
1 #include <bits/stdc++.h>2using namespace std;3const int MAXN = 500 + 10;4int n, stone[2*MAXN], mi[2*MAXN][2*MAXN], mx[2*MAXN][2*MAXN], s[2*MAXN];5int main()6 {7 cin >> n;8for (int i = 1; i <= n; i++)9 cin >> stone[i], stone[i+n] = stone[i];10for (int i = 1; i <= 2*n; i++)11 s[i] = s[i-1] + stone[i];12for (int i = 2*n-1; i >= 1; i--)13 {14for (int j = i+1; j < n+i; j++)15 {16 mi[i][j] = 0x3F3F3F3F;17for (int k = i; k < j; k++)18 {19 mi[i][j] = min(mi[i][j], mi[i][k]+mi[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);20 mx[i][j] = max(mx[i][j], mx[i][k]+mx[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);21 }22 }23 }24int ans1 = 0x3F3F3F3f, ans2 = 0;25for (int i = 1; i <= n; i++)26 ans1 = min(ans1, mi[i][i+n-1]), ans2 = max(ans2,mx[i][i+n-1]);27 cout << ans1 << endl << ans2 << endl;28return0;29 }。
dp入门
dp[j] = max(dp[j], dp[j - c[i]] + v[i]);
}
}
i\j
j=0
i=0
0
j=1 j=2 j=3 j=4 j=5 j=6
0
00000i=10
3
6
9
12 15 18
i=2
0
3
6
10
13 16 20
17
多重背包
有n种物品，每种最多可以取x[i]个，每个物品有大小和价值，问总大小不超过m的情况下能取到最大的 价值是多少 代码如下： for (int i = 1; i <= n; ++i) {
} } 注意此时j一定是倒序产生
16
完全背包
有n种物品，每种最多可以取无数个，每个物品有大小和价值，问总大小不超过m的情况下能取到最大 的价值是多少
01背包中第二维改成正向即可：
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = c[i]; j <= m; ++j) {
}
10
数字三角形
线性DP解法 for(int i=m-1;i>0;i--) {
for(int j=0;j<=i;j++) { a[i-1][j]+=max(a[i][j],a[i][j+1]);
} }
11
数字三角形
暴力递归搜索解法： int dfs(int i, int j) {
if (i == n) return a[i][j]; return max(dfs(i+1,j), dfs(i+1,j+1)) + a[i][j]; }
区间知识点总结
区间知识点总结一、区间的概念区间是数轴上的一段连续的数的集合，通常用两个数来表示，这两个数分别称为区间的端点，通常含左不含右，即端点本身不属于区间。
区间又可以分为闭区间和开区间。
闭区间：包含端点的区间称为闭区间，用[ ]表示，例如[1, 5]表示从1到5的区间，包含1和5；开区间：不包含端点的区间称为开区间，用( )表示，例如(1, 5)表示从1到5的区间，不包含1和5。
二、区间的表示方法1. 集合表示法：用{}来表示，例如区间(3, 7) 可以写成{ x | 3 < x < 7}，表示x是大于3小于7的实数；2. 不等式表示法：用不等式符号来表示，例如对于闭区间[3, 7] 可以表示为3 ≤ x ≤ 7；3. 坐标表示法：对于二维平面上的区间，可以用坐标轴上的两个点坐标来表示，例如(3, 7)表示x轴上从3到7的区间。
三、区间的运算1. 包含关系：一个区间包含另一个区间的情况可以分为以下几种情况：- 若两个区间的交集为空，则称它们是不相交的；- 若两个区间的交集不为空，且其中一个区间的端点属于另一个区间，则称它们是相交的； - 若一个区间包含另一个区间的所有元素，则称后者是前者的子集。
2. 并集和交集：- 两个区间的并集就是包含这两个区间的所有元素；- 两个区间的交集就是同时属于这两个区间的所有元素。
3. 补集：对于给定的全集U，U中减去区间A中的所有元素所得到的区间称为A的补集，用U-A表示。
四、区间的性质1. 区间的长度：对于区间[a, b]，其长度等于b-a；2. 区间的包含关系：如果区间A包含区间B，那么A的端点肯定在B内，即A的左端点小于等于B的左端点，A的右端点大于等于B的右端点；3. 无穷区间：当一个区间的端点为无穷大时，则称该区间为无穷区间，例如[1, +∞)表示从1开始一直到正无穷的区间。
五、常用的区间集合1. 实数集合R：实数集合R是指所有的实数所构成的集合，通常用R表示；2. 自然数集合N：自然数集合N是指大于0的整数所构成的集合，通常用N表示；3. 整数集合Z：整数集合Z是指包括正整数、零和负整数所构成的集合，通常用Z表示；4. 分数集合Q：分数集合Q是指所有可表示为分数形式的实数所构成的集合，通常用Q表示；5. 有理数集合：有理数是指所有可以表示为有理分数形式的实数，通常用Q表示；6. 无理数集合：无理数是指不能表示为有理分数形式的实数。
新高一数学区间知识点汇总
新高一数学区间知识点汇总数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，而区间则是数学中一个重要的概念。
新高一学生将接触到更多深入的数学知识，包括区间。
本文将汇总新高一数学中与区间相关的知识点，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
一、区间的定义区间是数学中一个基础而重要的概念。
在数轴上，一个区间可以表示为一个连续的线段，其中包含了无限个实数。
在数学中，常见的区间有闭区间和开区间两种形式。
闭区间包含了区间的两个端点，用方括号表示；开区间则不包含端点，用圆括号表示。
例如，[a, b]表示一个闭区间，其中a是左端点，b是右端点；(a, b)表示一个开区间，不包含a和b。
二、区间的运算除了基本的区间定义，我们还需要了解区间的运算。
常见的区间运算有并集、交集和补集。
1. 并集：两个区间的并集是这两个区间中所有元素的集合。
例如，[a, b] ∪ [c, d]表示区间[a, b]和区间[c, d]的并集，包含了[a, b]和[c, d]中的所有元素。
2. 交集：两个区间的交集是这两个区间中共有的元素组成的集合。
例如，[a, b] ∩ [c, d]表示区间[a, b]和区间[c, d]的交集，包含了[a, b]和[c,d]中共有的元素。
3. 补集：一个区间的补集是指该区间在全集中的补集，即全集中不属于该区间的元素所组成的集合。
例如，[a, b]的补集是指不属于[a, b]的所有元素所组成的集合。
三、不等式表示的区间除了用区间表示法表示区间，我们还可以使用不等式表示法表示区间。
1. 大于或等于：表示一个数大于或等于某个数。
例如，x ≥ a表示x 大于或等于a。
2. 小于或等于：表示一个数小于或等于某个数。
例如，x ≤ b表示x 小于或等于b。
3. 大于：表示一个数大于某个数。
例如，x > a表示x大于a。
4. 小于：表示一个数小于某个数。
例如，x < b表示x小于b。
通过不等式表示法，我们可以表示出一个数的取值范围，从而描述区间。
Dp状态设计与方程总结
Dp状态设计与方程总结1. 不完全状态记录 (2)<1>青蛙过河问题： (2)<2>利用区间dp (3)2.背包类问题 (4)<1> 0-1背包，经典问题 (4)<2>无限背包，经典问题 (4)<3>判定性背包问题 (4)<4>带附属关系的背包问题 (5)<5> + -1背包问题 (5)<6>双背包求最优值 (7)<7>构造三角形问题 (9)<8>带上下界限制的背包问题 (10)3.线性的动态规划问题 (13)<1>积木游戏问题 (13)<2>决斗（判定性问题） (13)<3>圆的最大多边形问题 (14)<4>统计单词个数问题 (14)<5>棋盘分割 (14)<6>日程安排问题 (15)<7>最小逼近问题(求出两数之比最接近某数/两数之和等于某数等等) (15)<8>方块消除游戏(某区间可以连续消去求最大效益) (15)<9>资源分配问题 (15)<10>数字三角形问题 (16)<11>漂亮的打印 (16)<12>邮局问题与构造答案 (17)<12>最高积木问题 (19)<13>两段连续和最大 (19)<14>2次幂和问题 (20)<15>N个数的最大M段子段和 (20)<16>交叉最大数问题 (20)4.判定性问题的dp(如判定整除、判定可达性等) (22)<1>模K问题的dp (22)<2>特殊的模K问题，求最大(最小)模K的数 (22)<3>变换数问题 (24)5.单调性优化的动态规划 (25)<1>1-SUM问题 (25)<2>2-SUM问题 (26)<3>序列划分问题(单调队列优化) (27)6.剖分问题(多边形剖分/石子合并/圆的剖分/乘积最大) (28)<1>凸多边形的三角剖分问题 (28)<2>乘积最大问题 (28)<3>多边形游戏(多边形边上是操作符,顶点有权值) (29)<4>石子合并(N^3/N^2/NLogN各种优化) (29)7.贪心的动态规划 (31)8.状态dp (33)<1>牛仔射击问题(博弈类) (33)<2>哈密顿路径的状态dp (35)<3>两支点天平平衡问题 (35)<4>一个有向图的最接近二部图 (36)9.树型dp (38)<1>完美服务器问题(每个节点有3种状态) (38)<2>小胖守皇宫问题 (40)<4>树中漫游问题 (41)<5>树上的博弈 (42)<6>树的最大独立集问题 (42)<7>树的最大平衡值问题 (42)<8>树的限制节点数坎边问题 (43)1.不完全状态记录<1>青蛙过河问题：由于河的长度十分长，达到10^9，所以不可能用dp[i]表示在坐标i时踩到的最少石头数，需要换种状态记录方式来压缩。
括号序列（区间dp）
括号序列（区间dp）括号序列（区间dp）输⼊⼀个长度不超过100的，由"("，")"，"["，")"组成的序列，请添加尽量少的括号，得到⼀个规则的括号序列。
如有多解，输出任意⼀个序列即可。
括号序列是这样定义⽽成的：空序列是括号序列如果S是括号序列，那么(S)和[S]也是正规括号序列如果A和B都是正规括号序列，那么AB也是正规括号序列。
所以，只要⼀个括号序列不是空序列，我们⼀定可以把它从两端剥开，或者把它划分成两个⼩括号序列。
设f[i][j]表⽰字串s[i][j]⾄少要添加⼏个括号，那么f[i][j]⼀定可以转移到f[i][k]+f[k][j]。
如果s[i]=s[j]，那么也可以转移到f[i+1][j-1]。
由此可见，区间dp的必要条件是划分后解会不同。
#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn=105;int T, f[maxn][maxn], n;char s[maxn];//函数能使语义更清晰bool match(int x, int y){ return s[y]-s[x]>0&&s[y]-s[x]<=2; }void print(int l, int r){ //[l,r]if (l>r) return;if (l==r){if (s[l]=='('||s[l]==')') printf("()");else printf("[]"); return; }int ans=f[l][r];if (match(l, r)&&f[l+1][r-1]==ans){putchar(s[l]); print(l+1, r-1); putchar(s[r]);return; }for (int k=l; k<r; ++k)if (f[l][k]+f[k+1][r]==ans){print(l, k); print(k+1, r); return; }}int main(){scanf("%d", &T);while (T--){fgets(s, maxn, stdin);fgets(s, maxn, stdin);n=strlen(s)-1;for (int i=0; i<n; ++i) f[i+1][i]=0, f[i][i]=1;for (int i=n-2; i>=0; --i)for (int j=i+1; j<n; ++j){f[i][j]=n;if (match(i, j)) f[i][j]=f[i+1][j-1]; //[i,j]for (int k=i; k<j; ++k)f[i][j]=min(f[i][j], f[i][k]+f[k+1][j]);}print(0, n-1); puts("");}return 0; //忘记return 0了！！}Processing math: 0%。
区间的知识点总结
区间的知识点总结区间是数学中重要的概念，它是一段连续的数轴上的某些数的集合。
在数学分析、代数、几何以及其他数学领域中，区间都有着重要的应用。
本文将从区间的定义、性质、加法、乘法、补集等方面进行详细的总结。
一、区间的定义区间的定义是指在数轴上，某一段连续的区域所包含的所有实数。
在数学中，根据区间的长度和端点的性质，区间可以被分为以下几种类型：1. 闭区间：包含了区间的两个端点，用[a, b]表示，表示所有大于等于a且小于等于b的实数。
2. 开区间：不包含区间的两个端点，用(a, b)表示，表示所有大于a且小于b的实数。
3. 半开区间：一个端点包含在区间内，一个端点不包含在区间内，如[a, b)或(a, b]。
4. 无界区间：包含正无穷或负无穷的区间，如[a, +∞)或(-∞, b)。
二、区间的性质区间的性质是指对于区间中的元素，其满足的一些基本条件和规律。
区间的性质主要包括以下几点：1. 存在性：任意两个实数a、b，都可以构成一个区间。
2. 传递性：如果x属于区间I，且区间I包含在区间J中，则x也属于区间J。
3. 交集和并集：区间之间可以进行交集和并集的运算，得到新的区间。
4. 包含关系：对于两个区间，可以判断它们之间的包含关系。
三、区间的加法和乘法在数学运算中，区间之间存在着加法和乘法的运算规则。
具体来说，对于相同类型的区间，可以进行如下的加法和乘法运算：1. 加法：对于[a, b]和[c, d]两个闭区间，在数轴上就是两个区间[a, b]和[c, d]之间的并集。
2. 乘法：对于[a, b]和[c, d]两个闭区间，在数轴上就是两个区间[a, b]和[c, d]之间的交集。
这些运算规则对于区间之间进行运算提供了便利，使得我们可以在数学分析、代数等领域更方便地进行计算和推导。
四、区间的补集区间的补集是指给定一个区间，找出其对应的补集。
在数学中，补集是指和原集合不相交的所有元素的集合。
区间的补集可以通过以下几种方式给出：1. 对于闭区间[a, b]，其补集为两个开区间(-∞, a)和(b, +∞)的并集。
区间dp
存储输入的数据，有
：
#include <iostream> using namespace std; int a, b; int q[101][101], p[101][101]; int DBS(int x, int y){ int t = 1; if(p[x][y]) return p[x][y]; if(q[x][y] > q[x-1][y] && x <= a && y <= b && x > 1 && y >= 1 && t < DBS(x-1, y) + 1){ t = DBS(x-1, y) + 1;} if(q[x][y] > q[x+1][y] && x < a && y <= b && x >= 1 && y >= 1 && t < DBS(x+1, y) + 1){ t = DBS(x+1, y) + 1;} if(q[x][y] > q[x][y+1] && x <= a && y < b && x >= 1 && y >= 1 && t < DBS(x, y+1) + 1){ t = DBS(x, y+1) + 1;} if(q[x][y] > q[x][y-1] && x <= a && y <= b && x >= 1 && y > 1 && t < DBS(x, y-1) + 1){ t = DBS(x, y-1) + 1;} p[x][y] = t; return t; } int main(){ int i, j; while (cin >> a >> b){ for(i=1; i<=a; i++){ for(j=1; j<=b; j++) { cin >> q[i][j]; p[i][j] = 0; } } int t = -1; for(i=1; i<=a; i++) { for(j=1; j<=b; j++) { if(DBS(i, j) > t) t = DBS(i, j); } } cout << t << endl; }
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区间dp知识点总结
区间动态规划以区间为基本单位，将区间问题分解为子区间问题，并通过子问题的优化解
来求解原问题的最优解。
在区间动态规划中，我们通常会先对区间进行预处理，然后进行
状态转移和最优解的计算，最终得出整个区间的最优解。
本文将介绍区间动态规划的基本概念、相关术语、常用技巧和应用场景，并以具体的例题
进行解析，希望能够帮助读者更好地理解并掌握区间动态规划的相关知识。
一、基本概念
1. 区间
在区间动态规划中，区间通常是指一段连续的序列，可以是数组、字符串或其他数据结构。
如有一个长度为n的数组，通常我们可以将数组的某个子区间[i, j]表示为数组的一段连续
元素，其中i和j分别为区间的左右边界。
2. 状态
在区间动态规划中，状态通常用来表示问题的解空间，它是问题的一个关键要素。
状态的
选择不同，可能会导致不同的算法解法。
3. 状态转移方程
区间动态规划的核心是状态转移方程，它描述了问题的状态如何转移，以及如何通过子问
题的最优解来求解原问题的最优解。
状态转移方程通常包括两个方面：状态之间的转移关
系和状态的初始值。
4. 最优解
区间动态规划通常是要求解区间范围内的最优解问题。
最优解可能是指区间的最大值、最
小值、最长子序列等。
二、相关术语
1. 最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）
最长上升子序列是指一个序列中各个元素都严格递增的子序列，且该子序列的长度最大。
在区间动态规划中，求解最长上升子序列的长度是一个常见的问题。
2. 最大子段和（Maximum Subarray Sum）
最大子段和是指一个序列中连续元素的和中最大的值。
在区间动态规划中，求解最大子段
和也是一个常见的问题。
3. 背包问题
背包问题是一类经典的组合优化问题，它包括 0-1 背包问题、多重背包问题、分组背包问
题等。
在区间动态规划中，背包问题的求解也是一个重要的应用场景。
4. 字符串处理
字符串处理是区间动态规划中一个重要的应用场景，常见的问题包括编辑距离、最长公共
子序列、最长回文子串等。
三、常用技巧
1. 区间预处理
对区间进行预处理是区间动态规划中常用的技巧之一，它可以大大减小问题的规模，简化
状态转移方程的求解过程。
2. 区间合并
区间合并是指将相邻或重叠的区间进行合并，以简化问题的求解过程。
在一些问题中，优
先考虑将区间合并为一个更大的区间，这样可以减小问题的规模。
3. 离散化
离散化是将原始数据映射到一个连续有序的整数集合中，以便于区间动态规划的求解。
离
散化可以帮助我们快速地定位数据范围，并简化问题的求解过程。
4. 状态压缩
状态压缩是一种用来优化动态规划空间复杂度的技巧，它通过将高维数组转换为低维数组
的方式，来减小动态规划表的大小。
5. 区间代价
区间代价是区间动态规划中一个重要的概念，它可以帮助我们在求解问题时更加灵活地处
理区间的边界和范围。
四、应用场景
1. 求最大子段和
最大子段和是一个经典的区间动态规划问题，它要求在一个序列中找到一个连续的子序列，使得子序列的和最大。
常见的解法有Kadane算法和分治法。
2. 求最长回文子串
最长回文子串是指一个字符串中最长的回文子串，它是一个经典的字符串处理问题。
通常
可以通过将字符串翻转后求最长公共子序列来求解。
3. 求最长上升子序列
最长上升子序列是一个经典的区间动态规划问题，它要求在一个序列中找到一个严格递增
的子序列，并且子序列的长度最大。
常见的解法有动态规划和二分查找。
4. 求编辑距离
编辑距离是指将一个字符串转换成另一个字符串所需的最小操作次数。
通常可以通过动态
规划来求解编辑距离。
5. 求背包问题
背包问题是一类经典的组合优化问题，它包括 0-1 背包问题、多重背包问题、分组背包问
题等。
区间动态规划常常应用于背包问题的求解过程。
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五、例题解析
以下通过具体的例题进行解析，以帮助读者更好地理解区间动态规划的相关知识。
例题1. 求数组的最大子段和
给定一个长度为n（1<=n<=10^5）的整数序列a1, a2, ..., an，求其最大子段和，即序列中
连续元素的和中最大的值。
解析：
最大子段和是一个经典的区间动态规划问题，通常可以通过Kadane算法来求解。
Kadane
算法的关键点在于状态转移方程的设计，通常可以如下定义状态：
dp[i]表示以第i个元素结尾的最大子段和。
状态转移方程如下：
dp[i] = max(dp[i-1] + a[i], a[i])。
通过依次求解dp数组的值，然后找出其中的最大值即为最终的最大子段和。
例题2. 求数组的最长上升子序列
给定一个长度为n（1<=n<=10^5）的整数序列a1, a2, ..., an，求其最长上升子序列的长度。
解析：
最长上升子序列是一个经典的区间动态规划问题，可以通过动态规划和二分查找来求解。
其中动态规划的状态转移方程可以定义如下：
dp[i]表示以第i个元素结尾的最长上升子序列的长度。
状态转移方程如下：
dp[i] = max(dp[j]+1)，其中j<i且a[j]<a[i]。
通过依次求解dp数组的值，然后找出其中的最大值即为最终的最长上升子序列的长度。
例题3. 求解背包问题
给定一个背包的容量C和n个物品，每个物品的重量分别为w1, w2, ..., wn，每个物品的价值分别为v1, v2, ..., vn，求解将物品放入背包中，使得放入的物品总价值最大。
解析：
背包问题是一类经典的组合优化问题，可以通过动态规划来求解。
常见的背包问题包括0-1背包问题、多重背包问题、分组背包问题等。
其中最常见的是0-1背包问题，可以定义如下状态：
dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中的最大价值。
状态转移方程如下：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])。
通过填充dp表格并求出最终的dp[n][C]值即可得到最终的最大价值。
以上是对区间动态规划的基本概念、相关术语、常用技巧和应用场景的介绍，以及通过具体的例题进行解析。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解并掌握区间动态规划的相关知识，提高对区间动态规划问题的解决能力。