【B版】人教课标版高中数学选修1-1导学案：函数的平均变化率-新版
新人教B版高中数学(选修1-1)3.1.1《函数的平均变化率》
2019/2/12
3
3V . 4
当空气容积V从 0增加到1 L时, 气球半径增加了 r 1 r 0 0.62cm , r 1 r 0 气球的平均膨胀率为 0.62dm / L . 10 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了r 2 r 1 0.16dm , r 2 r 1 气球的平均膨胀率为 0.16dm / L . 21 可以看出, 随着气球体积逐渐变大, 它的平均膨 胀率逐渐变小了. 思考 当空气的容量从 V1 增加到V2时, 气球的平 均膨胀率是多少 ?
1.1变化率与导数
丰富多彩的变化率问题随处可见. 让我们从其中的两个问题, 开始变 化率与导数的学习吧!
2019/2/12
1.1.1函数的平均变化率
2019/2/12
问题1 气球膨胀率 很多人都吹过气球 .回忆一下吹气球的过程 , 可以发现, 随着气球内空气容量的 增加, 气球 的半径增加得越来越慢 .从数学的角度, 如何 描述这种现象呢? 我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是 V r r , 3 如果把半径r表示为体积V的函数, 那么
x是一个整体符号 , 而不是与 x相乘.
可把x 看作是相对于x1 的一个" 增量" , 可用 x1 x代替x2 ; 类似地, f f x2 f x1 . f 于是, 平均变化率可表示为 . x
2019/2/12
y
y f x f x 2 f x 1 f x2 f x1
2019/2/12
问题 2 高台跳水 人们发现 , 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水 面的高度 h 单位 : m 与起跳后的时间t 单位 : s 2 存在函数关系 h t 4.9t 6.5t 10. 如果我们用运动员某段 时间内的平均速度 v描 述其运动状态 , 那么 在0 t 0.5这段时间里 , h0.5 h0 v 4.05 m / s ; 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h2 h1 v 8.2 m / s . 21
高二数学(选修-人教B版)-函数的平均变化率-1教案
教案（复习坡度的概念）实际上，山坡一般都是弯曲的，我们该如何刻画它的陡峭程度呢？（三）以直代曲思想的理解即使是弯曲不平的山坡，我们也可以将它划分为许多小段，每一段山路都近似地看成“平直”的．为什么可以把“不平直”的山路看成“平直”的呢？下面是一个曲线的一个局部图形，你能判断它是直的还是弯曲的吗？如果显示出网格线，能否判断呢？这个图的全貌其实是这样的：如果我们用一个“高倍显微镜”来看曲线的一个局部，都可以近似地把它看成直线段．所以，我们也可以把弯曲的山路看成许多平直的小段组成．概念的形成（四）构造数学模型表示山坡陡峭程度假设下图是一座山的剖面示意图．爬山者上升的高度y可以看成水平行进距离x的函数，这座山的山坡剖面图则可以看作函数y=f(x)的图象，建立平面直角坐标系如图所示．我们把山路分成许多近似平直的小段．对于AB这一段平直的山路，放大如下图：坡度为：1010tany y yx x xθ-∆==-∆.对于CD这一段弯曲的山路，可以分成许多段，比如第一小段CD1可以近似地看成直线段，于是这一段山路的陡峭程度可表示为：结合函数的概念，以函数图象表示山坡的剖面图，将实际问题数学化．用数学语言表达山路的陡峭程度．OyxD1x3接这一段的始点与终点的直线的斜率，即点11(())x f x ，与点00(())x f x ，连线的斜率，亦即曲线()f x 的割线的斜率．这是函数平均变化率的几何意义，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势．AB k ＝y B －y A x B －x A ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝ΔyΔx ＝tan θ.函数1y x=在 1 到 1＋△x 之间的平均变化率为11x-+∆． 所以，它们在 1 到 1＋△x 之间的平均变化率的大小关系为：②＞①＞③． 【思考】（请同学们自行思考）（1）如果10x -<∆<，它们的大小关系如何？你能结合函数的图象来解释吗？（2）与y x =的平均变化率比较，它们的大小关系如何呢？例 两工厂经过治理，污水的排放流量(W )与时间(t )的关系，如图所示．试指出哪一个厂治污效果较好？分析：这是一个应用问题．读图的关键点是“治污效果”用什么量来刻画——考查函数的平均变化率的应用． 解：甲、乙两厂在相同的时间内都将污水排放流量治理到标准要求．甲厂原来的排放流量较大，因而平均变化率较大，所以甲厂的治污效果较好．本节课学习的主要内容是函数的平均变化率．学习过程从生活情境到数学情境，再到数学概念以及几何意义，初步体会了“以直代曲”的思想和数形结合的方法．。
高中数学平均变化率教案新课标人教B版选修1-1
平均变化率学案一、学习目标通过实例的分析，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，理解平均变化率的意义及其几何意义，能够解释生活中的现象并会求函数的平均变化率，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
B 案课前自主学习[情境1]下图是一段登山路线。
（图形见课本）[问题1] 同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力。
想想看，为什么？[问题2] “陡峭” 是生活用语，如何量化线段BC 的陡峭程度呢？[情境2] 镇江市2004年3月18日到4月20日期间的日最高气温记载.[问题3] 你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？[问题4]如果将上述气温曲线看成是函数y = f(x) 的图象, 则函数y = f(x)在区间[1，34]上的平均变化率为__________在区间[1， x 1]上的平均变化率为__________在区间[x 2，34]上的平均变化率为__________。
你能据此归纳出 “函数f(x)在区间[x 1,x 2]上的平均变化率”的一般性定义吗？[问题5] 如图，请分别计算气温在区间[1，32]和区间[32，34]上的平均变化率。
[实验班补充问题]：如图，分别计算曲线在区间[1，2]和[2，4]上的平均变化率。
[结论] 平均变化率的绝对值越大，曲线越陡峭，变量变化的速度越快。
[归纳总结]：C 案合作探究〖例1〗某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。
[练习1] 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts 后容器甲中水的体积t t V 1.025)(-⨯=（单位：3cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率。
[思考] 容器甲中水的体积V的平均变化率是一个负数, 它的实际意义是什么？〖例2〗已知函数f（x）=2x+1，g（x）= -2 x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f（x）及g（x）的平均变化率。
高中数学新人教B版选修1-1课件：第三章导数及其应用3.1.1函数的平均变化率(第1课时)
1．如果物体的运动规律是 s＝s(t)，那么物体在 t 到 t＋Δt 这段 时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速率，即 v ＝ Δs Δt.
2．解答此类题目，首先要明确自变量与函数值的实际意义， 然后利用定义求平均变化率，并结合题意回答有关问题．
一质点作直线运动，其位移 s 与时间 t 的关系为 s(t)＝t2＋1， 该质点在 2 到 2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于 5，求 Δt 的取值 范围．
题目类型二、平均变化率的比较
试比较正弦函数 y＝sin x 在 x＝0 和 x＝π2附近的平均变 化率的大小．
【思路探究】 先求出 y＝sin x 在 x＝0 和 x＝π2附近的平均变 化率，再作差比较．
【自主解答】 当自变量从 0 变到 Δx 时，函数的平均变化率
为
k1＝sin
Δx－sin Δx
2．函数 f(x)＝2x 在 x1＝1 到 x2＝1＋Δx 的平均变化率怎样计算 呢？
【提示】 fxx22－ －fx1x1＝f11＋＋ΔΔxx－ －1f1＝21＋ΔΔxx－2×1＝2.
已知函数 y＝f(x)在点 x＝x0 及其附近有定义，令 Δx＝x－x0； Δy＝y－y0＝ f(x)－f(x0) ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) ，则当 Δx≠0 时，比 值fx0＋ΔΔxx－fx0＝ΔΔyx叫做函数 y＝f(x)在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均 变化率.
2．求函数 f(x)的平均变化率的步骤： (1)求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)计算平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1.
1．下列说法错误的是( ) A．函数的平均变化率可以大于零 B．函数的平均变化率可以小于零 C．函数的平均变化率可以等于零 D．函数的平均变化率不能等于零 【解析】 根据比值：fx0＋ΔΔxx0－fx0，当 Δx0≠0 时，f(x0＋Δx) －f(x0)可以为零，所以函数的平均变化率可以等于零． 【答案】 D
2018-2019学年人教B版选修1-1函数的平均变化率教案
函数的平均变化率学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率(1)定义式：Δx Δy ＝x2－x1f(x2.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δx Δy ＝x2－x1f(x2表示割线P 1P 2的斜率．思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？[提示] Δx ≠0，Δy ∈P .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率(1)定义式：lim Δx →0 Δx Δy ＝lim Δx →0 Δx f(x0＋Δx .(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δx Δy ＝lim Δx →0Δx f(x0＋Δx .[基础自测]1．思考辨析(1)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零． ( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( )(3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0. ( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1D [Δ＝Δt Δs ＝ 2.1－23＋2.12－(3＋22＝4.1.][合 作 探 究·攻 重 难]求函数的平均变化率2则Δx Δy＝( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图311，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为__________．图311(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________．[解] (1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－(2×12－1)＝2(Δx )2＋4Δx∴Δx Δy＝2Δx ＋4，故选C.(2)由题意知，＝k OA ，＝k AB ，＝k BC .根据图象知<<.(3)Δv ＝34π×23－34π×13＝328π.∴Δr Δv ＝328π.[答案] (1)C (2)<< (3)328π1．(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δx Δy ＝________.(1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3 [(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为(x0＋Δx f(x0＋Δx＝Δx ＋2＝Δx 6x0·Δx ＋3(Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.(2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－[－(－1)2＋(－1)]＝－(Δx )2＋3Δx ，∴Δx Δy ＝Δx －(Δx＝－Δx ＋3.]求瞬时速度若一物体的运动方程为s ＝3t2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度；(2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] (1)先求Δs ，再根据＝Δt Δs求解．(2)先求Δt Δs ，再求lim Δx →0 Δt Δs . [解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δt Δs ＝248＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)，所以Δt Δs ＝Δt 3(Δt ＝3Δt －12(m/s)， 则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δx →0 Δt Δs＝lim Δx →0 (3Δt －12)＝－12(m/s)．2．质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.[解] v ＝lim Δx →0 Δt s(2＋Δt ＝lim Δx →0Δt 2×(2＋Δt ＝lim Δx →0 (2Δt ＋8)＝8(cm/s)， ＝3－1s(3＝22×32＋3－(2×12＋3＝8(cm/s)．求函数在某点处的导数求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．(1)函数y ＝在x ＝1处的导数为__________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值Δt Δy；②求t 1＝4时的导数．[思路探究] (1)→Δx Δy →Δy Δx(2)①→Δt Δy②→Δt Δy →Δy Δt[解析] (1)Δy ＝－1，Δx Δy ＝Δx 1＋Δx －1＝＋11，lim Δx →0 ＋11＝21，所以y ′|x ＝1＝21.[答案] 21(2)①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 12·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，Δt Δy＝48.120 1.②lim Δx →0 Δt Δy ＝lim Δx →0 [3t 12＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 12＝48，故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48，即y ′|t 1＝4＝48.3．求函数y ＝x －x 1在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－1＋Δx 1－11＝Δx ＋1＋Δx Δx ，∴Δx Δy ＝1＋Δx ＝1＋1＋Δx 1.当Δx →0时，Δx Δy→2，∴f ′(1)＝2，即函数y ＝x －x 1在x ＝1处的导数为2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δx Δy 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2 C [Δx Δy ＝Δx f(1＋Δx ＝Δx 2(1＋Δx ＝4＋2Δx .]2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt －4C ．4D ．－2Δt 2－4ΔtB [＝Δt 4－2(1＋Δt ＝Δt －4Δt －2(Δt ＝－2Δt －4.]3．一质点按规律s (t )＝2t 2运动，则在t ＝2时的瞬时速度为__________. 8 [s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )2－2×22＝2(Δt )2＋8Δt .∴lim Δt →0 Δt s(2＋Δt ＝lim Δt →0 Δt 2(Δt ＝lim Δt →0 (2Δt ＋8)＝8.]4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.2 [f ′(1)＝lim Δt →0 Δx f(1＋Δx ＝lim Δt →0 Δx a(1＋Δx ＝a ，又∵f ′(1)＝2，∴a ＝2.]5．求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．[解] Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δx Δy ＝Δx 2(Δx ＝2Δx ＋16.y ′|x ＝3＝lim Δt →0 Δx Δy ＝lim Δt →0 (2Δx ＋16)＝16.。
人教B版高中数学选修函数的平均变化率学案
§3.1.1变化率问题【学习目标】了解平均变化率的定义。
理解公式并会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
【自学点拨】[问题1] 已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x 的___________.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=___________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f __________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________[问题2] 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________ 当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________ 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_______________[问题3]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________在21≤≤t 这段时间里，v =_________________在21t t t ≤≤这段时间里，v =_________________ [问题4]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的_______的差。
（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步。
[问题5] 平均变化率=∆∆x f12)()(x x x f x f --表示什么?【课前练习】1、函数()2x x f =在区间[]3,1-上的平均变化率是（ ） x 2 AA 、4B 、2C 、41D 、43 2、经过函数22x y -=图象上两点A 、B 的直线的斜率（1,5.1==B A x x ）为_______;函数22x y =在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________3、如果质点M 按规律23t s +=运动，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______【课后练习】1、 已知函数1)(2+-=x x f ，分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率 （1）[1，1.01] (2)[0.9,1] (3)[0.99,1] (4)[1,1.001]2、 已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。
2017-2018学年高一数学选修1-1全册同步导学案含答案【人教B版】
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．
3．存在量词与存在性命题
思考3如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
3.3.2利用导数研究函数的极值
3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用
1.1命题与量词
预习导航
课程目标
学习脉络
1.了解命题的定义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．会判断全称命题与存在性命题的真假.
1．命题
思考1数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨(1)并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
(2)有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
判断下列命题的真假：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形
(2)0是最小的自然数
(3)0既不是奇数，也不是偶数
(4)空集是任何非空集合的真子集
答案：(1)假(2)真(3)假(4)真
类题演练3
(2)疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.
(3)是假命题，数0既不是正数也不是负数.
(4)是假命题，没有考虑到“在两个三角形中，其他两边对应相等”的情况.
人教版高中选修(B版)1-13.1.1函数的平均变化率课程设计
人教版高中选修(B版)1-13.1.1函数的平均变化率课程设计前言函数是数学中非常重要的一个概念，平均变化率是研究函数变化的重要工具。
这篇课程设计将以人教版高中选修(B版)1-13.1.1函数的平均变化率为主题，介绍课程设计的目的、方法和实施步骤。
课程设计目的本课程设计旨在：1.复习和巩固函数的概念和性质；2.学习和掌握函数的平均变化率的概念、计算方法和实际应用；3.发展学生的数学思维和解决实际问题的能力；4.拓宽学生的数学知识应用领域，提高学生的综合素质。
课程设计方法本课程设计采用“课堂讲授+小组讨论+实际应用”的教学方法。
1.课堂讲授：介绍函数的平均变化率的概念、计算方法和实际应用；2.小组讨论：分组进行实践操作，解决实际问题；3.实际应用：引导学生运用所学知识解决实际问题。
课程设计实施步骤本课程设计共包括以下步骤。
步骤一：回顾函数的概念和性质在学习函数的平均变化率前，首先需要回顾函数的概念和性质。
通过讲解和练习，巩固学生对函数常用性质的理解和掌握，包括：1.函数的定义；2.函数的定义域、值域和图像；3.奇偶性、单调性和周期性等函数的性质；4.复合函数和反函数的概念和性质。
步骤二：介绍函数的平均变化率的概念和计算方法介绍函数的平均变化率的概念和计算方法，包括：1.平均变化率的定义；2.平均变化率的计算公式；3.平均变化率的几何意义和实际应用。
步骤三：小组讨论将学生分成小组，让学生进行实践操作，解决实际问题。
例如，给出一个具体的实际问题，比如一架汽车在一个路程内的速度变化；学生需要通过观察汽车的行驶路线和时间，来计算汽车在这段路程内的平均速度变化率和平均加速度。
步骤四：实际应用引导学生运用所学知识解决实际问题。
例如，选择一份合适的文献、数据或文章，让学生进行分析解读，从中找到需要用到平均变化率的实际问题，并对其进行解决。
总结通过本课程设计，学生可以更好地理解平均变化率的概念、计算方法和实际应用，更加深入地理解函数的性质和应用。
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3.1.1变化率问题
【学习目标】了解平均变化率的定义.
理解公式并会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率.
【自学点拨】
[问题1]已知函数()x f ，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数()x f 从1x 到2x 的___________.习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=___________,可把x ∆看做是相对于1x 的一个“增量”，可用+1x x ∆代替2x ，类似有=∆)(x f ________________,于是，平均变化率可以表示为___________________
[问题2] 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为_______ ___；当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为______________；当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_______________.
[问题3]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单
位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )=
-4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v
粗略地描述其运动状态?
在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________
在21≤≤t 这段时间里，v =_________________
在21t t t ≤≤这段时间里，v =_________________
[问题4]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的_______的差.（2）平均变化率公式中,分子、分母中同为被减数的是右端点，减数是左端点，一定要同步.
[问题5] 平均变化率
=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么?
f (x 2)
x 2
【课前练习】
1、函数()2x x f =在区间[]3,1-上的平均变化率是（ ）
A 、4
B 、2
C 、41
D 、4
3 2、经过函数22x y -=图象上两点A 、B 的直线的斜率（1,5.1==B A x x ）为_______;函数22x y =在区间[1，1.5]上的平均变化率为________________
3、如果质点M 按规律23t s +=运动，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______
【课后练习】
1、已知函数1)(2+-=x x f ，分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率
（1）[1，1.01] (2)[0.9,1] (3)[0.99,1] (4)[1,1.001]
2、已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，
2），试求此一次函数的表达式.
3、已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求
x
y ∆∆.
4、将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的体积增量
()________________)(34)(432+∆+∆=∆R R R V ππ。