变化率问题
合集下载
变化率问题
当空气容量V从1L增加到2L时, 气球的平均膨胀率为
r 2 r 1 2 1 0.16 dm / L .
可见 0.62>0.16
这就说明： 随着气球体积逐渐变大,气球的平均膨胀率 请用用一句话描述得到的结论 逐渐变小。
思考：一般地，当空气容量从V1增加到V2时, 气球的平均膨胀率是多少?
继续观察平均变化率的代数表达式: 由式子你还会想到什么？
f x 2 f x1 x 2 x1
，
几何意义
观察函数f(x)的图 象 f(x y
x
2
) f ( x1 )
y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A f(x1) O
x 2 x1
Y=f(x)
平均变化率 表示：
T (℃) C (34, 33.4) B (32, 18.6)
30
20 （注： 3月18日
为第一天）
10 A (1, 3.5)
2
思考
0
2
10
20
30
34
t(天)
你能从图中观察出各时间段的温度变化情况吗？ 温度快慢的变化情况怎么刻画？
问题二 气球膨胀率
这是一段吹气球的视频，细细体会气球 的膨胀过程，你有什么发现？随着气球内空 气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢. 怎样从数学角度描述这种现象呢?
状态有什么问题吗 ?
四．课堂小结
三个实际变 化率问题
函数的平均变化率
代数表示 意义（实际、
几何）
思想方法
平均速度
从特殊到一般
瞬时速度
如何求瞬时速度， 课下你怎么去做？
五、作 业
应用：
求函数 y 率.
变化率问题(储蓄问题)
巩固
3、初三(2)班的一个综合实践活动小组 去A、B两超市调查去年和今年“五· 一” 节期间是销售情况：两超市去年的销售 额共150万元，今年为170万元；A超市 销售额今年比去年增加15%，B超市销 售额今年比去年增加10%。求两超市去 年“五· 一”期间的销售额。
求两超市今年“五· 一”期间的销售额。
引入
有关概念：
本金：顾客存入银行的钱。 利息：银行付给顾客的酬金。 期数：存入的时间。 利息=本金×利率×期数 本息和：本金与利息的和。
利率：每个期数内的利息与本金的比。
税后利息=本金×利率×期数× （1-20%）
教育储蓄：利息=本金×利率×期数
练笔
（1）某种储蓄年利率5％，存入100元，则 105元 一年后的取出________ 三年后能取________元.
二、实际问题与二元一次方程组
例 某工厂去年的利润为200万，今年总收入比 去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今 年的利润为780万.去年的总收入、总支出各是 多少?
问1：去年总收入、总支出与哪些量有关，是什么关系？ 去年总收入-去年总支出=去年利润 去年总收入 （1+20%）=今年总收入 去年总支出 （1-10%）=今年总支出 问2：今年总收入、总支出、利润是什么关系？ 今年总收入-今年总支出=今年利润 问3：若设去年总收入为x万元，总支出为y万元，请完成 下面表格？
（2）小明把200元存入银行，一年得净利息 为21.6元，问这项储蓄的年利率为多少？ 等量关系：利息＝本金×利率×期数 解：设这项储蓄的年利率为X
200X＝21.6
解得：X＝10.8％
练笔
（3）爸爸为小明存了一个3年期的教 育储蓄(3年期的年利率为2.7 ％),3年后 能取5405元,他开始存入多少元?
课件1：5.1.1 变化率问题
∴ΔΔyx＝－ΔΔxx＋＋242，
∴k＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
－ΔxΔ＋x－242＝－44＝－1.
又 x＝2 时 y＝242＝1，
∴切线方程为 y－1＝－1×(x－2)，即 x＋y－3＝0.
【课堂小结】
1．函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的切线斜率反映了函数在该点处的
瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：
【学以致用】
1．一物体的运动方程是 s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间
内的平均速度是( )
A．0.4
B．2
C．0.3
D．0.2
B [ v ＝s22.1.1－－s22＝4.02－.1 4＝2.]
2．物体自由落体的运动方程为 s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若 v
＝lim Δt→0
率及瞬时速度的概念．(易混点) 及数学运算的核心素养.
1．平均变化率
【新知初探】
对于函数 y＝f (x)，从 x1 到 x2 的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝__x_2－__x_1_. (2)函数值的改变量：Δy＝__f_(_x_2_)－__f_(_x_1)__．
(3)平均变化率ΔΔyx＝
【例 2】 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关
系可用函数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[解] ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3＋Δt)＝3.
5.1.1 变化率问题
学习目标
核心素养
变化率问题举例
三、进行边际分析
【例3】
某厂生产某种产品，总成本c是产量x的函数 c(x)=200+4x+0.05x2,
求产量x=200时的边际成本. 解 因为c′(x)=(200+4x+0.05x2)′
=4+0.1x, 所以，当产量x=200时的边际成本为
c′(x)|x=200=4+0.1×200=24.
三、进行边际分析
变化率问题 举例
一、求非恒定电流的电流强度
由电学知识可知，恒定电流的电流强度是单位时间内通过 导体横截面的电量Q，即i=Q/t,而非恒定电流的电流强度就不 能按上述公式计算.
设非恒定电流通过导体横截面积的电量Q是时间t的函数， 即Q=Q(t),当时间由t0变到t0+Δt时，通过导体的电量由Q（t0） 变到Q（t0+Δt）,此时的平均电流强度为
四、进行弹性分析
【例5】
设某商品的需求函数为Q=eห้องสมุดไป่ตู้p5（其中P是商品的价格 ，Q是商品的需求量），求： （1)需求弹性函数； （2)当P=3，P=5，P=6时的需求弹性，并说明其经济意义
.
四、进行弹性分析
第六节
函数的微分
引例1
一、引例
求自由落体运动中，物 体由时刻t到t+Δt所经过路程 的近似值.
设总成本函数c=c(q)是可导的，其中q表示产量，c表示总 成本，则产量为q的边际成本为
设定某种产品的单位售价为P(P不变)，则总收入函数R(q)=P·q, 总利润函数 L(q)为
L(q)=R(q)-c(q)=P·q-c(q), 上式两边对q求导，有
L′(q)=R′(q)－c(q)=P－c′(q).
三、进行边际分析
5.1.1变化率问题
1)处的切线.
合作探究
曲线割线的斜率
记∆ = − ，则点P的坐标是( + ∆, + ∆ ).
则割线 的斜率
−
+∆ −
=
=
−
+ ∆ −
= ∆ +
合作探究
切线的斜率
−
+ ∆ −
=
=
= ∆ +
=
∆
∆
+ ∆ + − +
=
∆
= + ∆
课堂练习
3 某河流在一段时间 x min内流过的水量为y ，y是x的函数， = =
问：当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
解：
当 x 从 1 变到 8 时，y 关于 x 的平均变化率是
因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
新知讲解
探究
瞬时速度与平均速度有什么关系？
求运动员在 t=1 s 时的瞬时速度？
不断缩短时间间隔，得到如下表格.
设 在 时刻附近某一时间段内
5.1.1 变化率问题
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调
性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的
差异，知道“对数增长”是越来越慢，“指数爆炸”比“直线上升”
快得多.
进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们
合作探究
曲线割线的斜率
记∆ = − ，则点P的坐标是( + ∆, + ∆ ).
则割线 的斜率
−
+∆ −
=
=
−
+ ∆ −
= ∆ +
合作探究
切线的斜率
−
+ ∆ −
=
=
= ∆ +
=
∆
∆
+ ∆ + − +
=
∆
= + ∆
课堂练习
3 某河流在一段时间 x min内流过的水量为y ，y是x的函数， = =
问：当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
解：
当 x 从 1 变到 8 时，y 关于 x 的平均变化率是
因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
新知讲解
探究
瞬时速度与平均速度有什么关系？
求运动员在 t=1 s 时的瞬时速度？
不断缩短时间间隔，得到如下表格.
设 在 时刻附近某一时间段内
5.1.1 变化率问题
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调
性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的
差异，知道“对数增长”是越来越慢，“指数爆炸”比“直线上升”
快得多.
进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们
变化率 问题
y y=f(x) B (x2, f(x2))
(x1, f(x1)) A
x O x1 x2
问题2
这是某市2007年3月18日至4月20日每天最高气温 的变化图，
T (℃ )
C (34, 33.4) 30
20
10
B (32, 18.6)
A (1, 3.5) 10 20 30 34 t(d)
2 0 2
t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
例题讲解
小远从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算小远从出生到第3个月与第6个月到 第12个月体重的平均变化率。 比较这两个时间段小远体重变化的快慢情况。
W(kg)
11 8(月)
例2 在高台跳水运动中,运动
员相对于水面的高度h(单位：
m)与起跳后的时间t（单位：s）
“形” 曲线“陡峭”程度
2.平均变化率的几何意义. 曲线上A、B两点连线的斜率。
“数” 平均变化率
已知函数 f ( x) x 2 ，分别计算 f ( x) 在下列区 间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。
4
3 2.1
2.001
34 t(天)
（1）t=32到t=34这两天的温差达到了多少？
(2)t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
定义:
f ( x2 ) - f ( x1 ) 平均变化率: 式子 x2 - x1
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 分别计算运动员在0到0.5秒时 间段,1秒到2秒时间段,以及 65 时间段内的平均 0到 秒 49 速度. (1)运动员在这段时间里是静止的吗?
(x1, f(x1)) A
x O x1 x2
问题2
这是某市2007年3月18日至4月20日每天最高气温 的变化图，
T (℃ )
C (34, 33.4) 30
20
10
B (32, 18.6)
A (1, 3.5) 10 20 30 34 t(d)
2 0 2
t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
例题讲解
小远从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试分别计算小远从出生到第3个月与第6个月到 第12个月体重的平均变化率。 比较这两个时间段小远体重变化的快慢情况。
W(kg)
11 8(月)
例2 在高台跳水运动中,运动
员相对于水面的高度h(单位：
m)与起跳后的时间t（单位：s）
“形” 曲线“陡峭”程度
2.平均变化率的几何意义. 曲线上A、B两点连线的斜率。
“数” 平均变化率
已知函数 f ( x) x 2 ，分别计算 f ( x) 在下列区 间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。
4
3 2.1
2.001
34 t(天)
（1）t=32到t=34这两天的温差达到了多少？
(2)t=1到t=32与t=32到t=34这两段时间,哪段气温变化大?
定义:
f ( x2 ) - f ( x1 ) 平均变化率: 式子 x2 - x1
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 分别计算运动员在0到0.5秒时 间段,1秒到2秒时间段,以及 65 时间段内的平均 0到 秒 49 速度. (1)运动员在这段时间里是静止的吗?
变化率问题资料课件
详细描述
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性，即在每个周期内，变化率呈现单调性。例如， 正弦函数在每个周期内先增后减，余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具，具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中，变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析，如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析，物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制，为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用，通过分析种群数量的变化率，可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处，函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得，用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得，常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中，变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析，经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势，为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域，通过分析物理量的变化率，可以揭 示物理现象的内在规律和机制。
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性，即在每个周期内，变化率呈现单调性。例如， 正弦函数在每个周期内先增后减，余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具，具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中，变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析，如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析，物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制，为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用，通过分析种群数量的变化率，可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处，函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得，用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得，常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中，变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析，经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势，为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域，通过分析物理量的变化率，可以揭 示物理现象的内在规律和机制。
相关变化率问题题目
相关变化率问题题目
2.一辆汽车以60km/h的速度行驶，在 10 秒后加速到 80km/h，求此过程中汽车的加速度。
3. 已知 y = e^x，求当 x = 1 时，y 的变化率。
4. 求函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 在 x = -1 处的导数和变化率。
5. 一根杆的长度为 10m，下端固定在地面上，上端固定在墙上，当地面与杆之间的距离为 6m 时，墙与杆之间的距离变化的速率是0.2m/s，求地面与杆之间的距离的变化速率。
6. 已知函数 y = x^2 + 2x，求当 x = 3 时，y 的导数和变化率。
7. 一架飞机以 800km/h 的速度飞行，在 5 秒后加速到
1000km/h，求此过程中飞机的加速度。
8. 求函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1 在 x = 0 处的导数和变化率。
9. 已知 y = ln(x)，求当 x = 2 时，y 的变化率。
10. 一张正方形的边长为 5cm，在此正方形的四个角落各铺一只蚂蚁，当蚂蚁开始沿着正方形的边爬行时，正方形的面积的变化率是多少？
- 1 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
x2 x1
思考2：平均变化率有什么几何意义呢？
平均变化率的几何 意义就是 函数f(x)图像上两点 (x1,f(x1)), (x2,f(x2))所 在直线的斜率。
y
fx2 fx1
yfx
B
A
x2 x1
fx2fx1
O
x1
x2
x
观察函数 f x
的图象 图 1 .1 .1 , 平均
变化率
y f x2 f x1
类似 ,当 地 空气1L 容 增量 加 2L时 从 到 ,气球半
增加 r2了 r10.16 dm ,
气球的平r均 22 1 r膨 10胀 .16 d率 m /L.为
可以看,随 出着气球体积逐 ,它渐的变平大均膨
胀率逐渐变 . 小了
思考 当空气的 V1增 容 加 V量 2时 到 ,气 从球的
均膨胀率 ? 是 r 多 rV2少 rV1
x]上的平均变化率逐渐变小,并接近于 2.
例2
题型二：求物体的平均速度 (本题满分 6 分)已知物体自由落体的运动方程为 s ＝12gt2, 求: (1)物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均速度 v;
【思路点拨】 物体在(t0,t0＋Δt)内的平均速 度为 v＝ΔΔst＝s（t0＋ΔΔt）t－s（t0）;
V
V2 V1
问题2 高台跳水
人 们 发,在 现高 台 跳 水,运 动 中 员 相 对 于 水
面 的 高h度 单 位 :m与 起 跳 后 的 t单时位 :间 s
存 在 函 数h关 t系 4.9t26.5t10.
如果我们用运动 时员 间某 内段 的平均 v描速度
述其运动,那 状么 态
在0t 0.5这 段 时,间 里
变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的 工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相 对于另一个变量变化的快慢程度．
姚明身高变化曲线图(部分)
身高
2.26
●
0.8 ●
●
●
●
●
●
●
●
4 7 10 13 16 19 22 年龄
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
解:(1)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12 ＝(Δx)2＋2Δx, ∴ΔΔxy＝（Δx）Δ2x＋2Δx＝Δx＋2. ①当Δx＝2 时,ΔΔxy＝Δx＋2＝4; ②当Δx＝1 时,ΔΔxy＝Δx＋2＝3;
③当Δx＝0.1 时,ΔΔxy＝Δx＋2＝2.1; ④当Δx＝0.01 时,ΔΔxy＝Δx＋2＝2.01. (2)当Δx 越来越小时,函数 f(x)在区间[1,1＋Δ
x
x2 x1
说明： 函数的平均变化率就可以表示为函数的改变量与 自变量的改变量之比
x是一个整,体 而符 不号 是 与x相乘 .
Δx是一个相对于x的变化量,可正可负,但不能为0. 不一定,平均变化率可正、可负、可为零.
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”；
曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
平均变化率为: y f(x2)f(x1)
x
x2 x1
表示什么 ?
图1.11
直线AB的斜率
典题例证•技法归纳
例1 题型一 求函数的平均变化率 求 y＝f(x)＝2x2＋1 在区间[x0,x0＋Δx]
上的平均变化率,并求当 x0＝1,Δx＝12时平均 变化率的值.
【解】 函数 f(x)＝2x2＋1 在区间[x0,x0＋Δ x]上的平均变化率为:f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0） ＝[2（x0＋Δx）2Δ＋x1]－（2x20＋1） ＝4x0＋2Δx. 当 x0＝1,Δx＝12时,
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10
的图像，结合图形可知，h(65) h(0)，
所以，
49 h
h(65) h(0)
v
49 65 0
0(s/ m)
49
O t 65 6 5
t
98 4 9
虽然运动员在
0 t 65 49
这段时间里的平均
速度为 0(s / m) ，但实际情况是运动员仍然
vh00.5.50h04.05m/s;
在1t 2这段时间 , 里
vh221h18.2m/s.
播放
暂停
停止
探究 计算运动员在0 t 65 这段时间 49
里的平均速度,并思考下面的问题 :
1 运动员在这段时间里是静止的吗? 2你认为用平均速 度描述 运动员运动
状态有什么问题吗?
vhht2ht1
t
t2 t1
运动，并非静止，可以说明用平均速度不 能精确描述运动员的运动状态．
思考1：你能给出函数 f (x) 从x1到x2的平均变
化率的定义吗？
函数 f (x) 从x1到x2的平均变化率为
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
• 习惯上：Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为 y f(x2)f(x1)
我 们,气 知球 道的 V单 体 :位 L积 与 半 r(单 径
位 :dm )之 间 的 函 Vr数 4 3关 r3, 系 是
如 果 把r表 半示 径为V的 体函 积,那 数么
rV3 43V .
当空气V容 从0积 增加1L到 时,气球半径增加
r1r00.62cm, 气球的平r均 11 0 r膨 00胀 .62 d率 m /L.为
平均变化率为 4×1＋2×12＝5.
【名师点评】 求平均变化率的步骤: (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率ΔΔxy＝f（x1）x1－－xf（0 x0）.
变式训练 1.(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率,其中Δx 的值为: ①2;②1;③0.1;④0.01; (2)当Δx越来越小时,函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有 怎样的变化趋势？
1.1 变化率与导数
一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现
象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产 生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题 的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物 体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、