初中数学不等式ppt
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2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)PPT
不等式两边同乘一个正数， 所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，
所得不等式与原不等式反向.
高中数学
二、 不等式性质
性 质 1 : 如 果a=b, 那么b=a. 性 质 2 : 如 果a >b, b>c, 那么a >c.
性质3:如果a >b,那么a+c> b+c.
性 质 4 : 如 果 a>b,c> 0, 那么 ac>bc;
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
追问3:你能从性质3中得到什么结论吗? 由性质3可得
a+b>c→a+b+(-b)>c+(-b)
→a >c-b
如果a>b>0, 那么 a²>b²
性质7:如果 a>b>0, 那么a”>b”
(n∈N*,n≥2)
高中数学
三、 不等式的简单应用
例：已知a>b>0,c<0, 求证
不等式完整PPT课件
学习 提示
与 只是符号，而不表示具体的数.
返回
• 问题：
• 一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间 存在着哪些联系？
• 比如： • 一次函数：y=2x-6 • 一元一次方程：2x-6=0 • 一元一次不等式：2x-6>0或2x-6<0
• 归纳： • 观察函数y=2x-6的图像：
• 方程2x-6=0的解恰好是函数图像与x轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是 不等式2x-6>0的解集{x|x>3}；在x轴下方的函数图像所对 应的自变量x的取值范围，恰好是不等式2x-6<0的解集 {x|x<3}．
念
ax2+bx+c＞（≥）0 或 ax2+bx+c＜（≤）0， 其中，a、b、c 为常数，且 a≠0.
如果一元二次不等式中的二次项系数是负数，即 a 0 ，则可
以根据不等式的性质，将不等式两边同乘以 1，使其二次
项系数化为正数，然后再求解.
（1）当方程 ax2+bx+c=0 的判别式=b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等 的实数根 x1、x2（x1＜x2），此时不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为（-∞， x1）∪（x2，+∞）；不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为（x1，x2）.
x a(a 0) 型不等式来求解.这种方法称为“变量替换法”或
“换元法”.
返回
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• 问题： • 资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断
提高．运行时速达200公里以上的旅客列车称为新时 速旅客列车．在北京与天津两个直辖市之间运行的， 设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越 世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度 值界定在200公里/小时与350 公里/小时之间．
初中数学八年级 上册 3.2 不等式的基本性质 课件
解：当a>3时，
当a＝3时，
当a＜3时，
拓展与延伸
关 于 x的 方 程 4x2m5x的 解 是 非 负 数 ， 求 m 的 取 值 范 围 .
比较等式与不等式的基本性质
等式
如果a=b，b=c，那么 a=c。 如果a=b，那么 a+c=b+c，a-c=b-c
不等式 a ＜ b ， b ＜ c a ＜ c .
身体健康，学习进步！ 勤奋，是步入成功之门的通行证。
勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 学习不但意味着接受新知识，同时还要修正错误乃至对错误的认识。 驾驭命运的舵是奋斗。
浙教版八年级上册第三章
3.2不等式的基本性质
等式的基本性质
回顾
等式
若a=b，b=c，则a=c。
不等式？
如果a=b，那么 a+c=b+c，a-c=b-c
不等式的基本性质1:
（不等式的传递性）
a ＜ b ， b ＜ c a ＜ c .
你能用数轴上点的位置关系加 以说明吗?
解:若c>0，则
c
c
b b+c a a+c
a＞b，且c＞0 ac＞bc，a＞b； cc
a＞b，且c＜0 ac＜bc，a＜b . cc
选择适当的不等式填空：
做一做：
（1）若x+5>0, 两边同时加上-5，得 x 5 ，
（依据是不等式的基本性质 2 .)
（2）若3x> - 9,两边同时除以3，得 x 3 ，
（依据是 不等式的基本性质 3 .)
2a
a
想一想：还有其 他比较2a与a的 大小的方法吗？
0
解法3∵ a＜0, ∴ a+a ＜ a
当a＝3时，
当a＜3时，
拓展与延伸
关 于 x的 方 程 4x2m5x的 解 是 非 负 数 ， 求 m 的 取 值 范 围 .
比较等式与不等式的基本性质
等式
如果a=b，b=c，那么 a=c。 如果a=b，那么 a+c=b+c，a-c=b-c
不等式 a ＜ b ， b ＜ c a ＜ c .
身体健康，学习进步！ 勤奋，是步入成功之门的通行证。
勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 学习不但意味着接受新知识，同时还要修正错误乃至对错误的认识。 驾驭命运的舵是奋斗。
浙教版八年级上册第三章
3.2不等式的基本性质
等式的基本性质
回顾
等式
若a=b，b=c，则a=c。
不等式？
如果a=b，那么 a+c=b+c，a-c=b-c
不等式的基本性质1:
（不等式的传递性）
a ＜ b ， b ＜ c a ＜ c .
你能用数轴上点的位置关系加 以说明吗?
解:若c>0，则
c
c
b b+c a a+c
a＞b，且c＞0 ac＞bc，a＞b； cc
a＞b，且c＜0 ac＜bc，a＜b . cc
选择适当的不等式填空：
做一做：
（1）若x+5>0, 两边同时加上-5，得 x 5 ，
（依据是不等式的基本性质 2 .)
（2）若3x> - 9,两边同时除以3，得 x 3 ，
（依据是 不等式的基本性质 3 .)
2a
a
想一想：还有其 他比较2a与a的 大小的方法吗？
0
解法3∵ a＜0, ∴ a+a ＜ a
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
〔人教版〕不等式教学PPT课件
毛泽东 名人名言激励励志名言名语名句100句 （励志 古诗词 篇，附 出处） 51、错误和挫折教训了我们，使我们 比较地 聪明起 来了， 我们的 情就办 得好一 些。任 何政党 ，任何 个人， 错误总 是难免 的，我 们要求 犯得少 一点。 犯了错 误则要 求改正 ，改正 得越迅 速，越 彻底， 越好。
40、人生的旅途，前途很远，也很暗 。然而 不要怕 ，不怕 的人的 面前才 有路。 —— 鲁 迅 名人名言激励励志名言名语名句100句 （励志 古诗词 篇，附 出处）
41、人生像攀登一座山，而找寻出路 ，却是 一种学 习的过 程，我 们应当 在这过 程中， 学习稳 定、冷 静，学 习如何 从慌乱 中找到 生机。 席慕蓉 42、我们活着不能与草木同腐，不能 醉生梦 死，枉 度人生 ，要有 所作为 。 —— 方志敏
章不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集 9.1.2不等式的性质
9.1.1不等式及其解集
一、不等式：
• 问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 千米，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什 么条件？
分析：设车速是x千米/时
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶
例2、下列说法中正确的是： （1）-7是x+3<-3的一个解。 （2）-40是不等式4x<-4的解 （3）不等式x<-3的整数解有有限个 （4）不等式x<3的正整数解有有限个
例3、在数轴上表示下列不等式的解集： （1）x ＞-3；（2）x ≤ -3；（3） x ＜-3；（4）x≥ -3
三、解不等式及一元一次不等式
40、对人不尊敬，首先就是对自己的 不尊敬 。 —— 惠特曼
41、一个人的真正伟大之处就在于他 能够认 识到自 己的渺 小。 —— 保 罗
40、人生的旅途，前途很远，也很暗 。然而 不要怕 ，不怕 的人的 面前才 有路。 —— 鲁 迅 名人名言激励励志名言名语名句100句 （励志 古诗词 篇，附 出处）
41、人生像攀登一座山，而找寻出路 ，却是 一种学 习的过 程，我 们应当 在这过 程中， 学习稳 定、冷 静，学 习如何 从慌乱 中找到 生机。 席慕蓉 42、我们活着不能与草木同腐，不能 醉生梦 死，枉 度人生 ，要有 所作为 。 —— 方志敏
章不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集 9.1.2不等式的性质
9.1.1不等式及其解集
一、不等式：
• 问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 千米，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什 么条件？
分析：设车速是x千米/时
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶
例2、下列说法中正确的是： （1）-7是x+3<-3的一个解。 （2）-40是不等式4x<-4的解 （3）不等式x<-3的整数解有有限个 （4）不等式x<3的正整数解有有限个
例3、在数轴上表示下列不等式的解集： （1）x ＞-3；（2）x ≤ -3；（3） x ＜-3；（4）x≥ -3
三、解不等式及一元一次不等式
40、对人不尊敬，首先就是对自己的 不尊敬 。 —— 惠特曼
41、一个人的真正伟大之处就在于他 能够认 识到自 己的渺 小。 —— 保 罗
人教版七年级数学下册全册9.1《不等式》PPT课件
三 利用不等式的性质解简单的不等式
例4 利用不等式的性质解下列不等式：
第二种:用数轴,一般标出数轴上某一区间,其中的 点对应的数值都是不等式的解. 用数轴表示不等式的解集的步骤: 第一步:画数轴; 第二步:定界点; 第三步:定方向.
画一画: 利用数轴来表示下列不等式的解集.
空心圆圈表 (1)x＞-1 ；
示不含此点
(2)
x＜
1 2
.
表示
1 2
的点
-1 0
表示-1的点
方向向右
观察由上述问题得到的关系式：x＞1 ， x＜100， x>50，s>60x，s<100x ，它们有什么共同的特点？
左右不相等
总结归纳 一般地，用不等号“>”，“<”连接而成的式
子叫做不等式.像a≠2这样的式子也叫做不等式.
练一练 判断下列式子是不是不等式： （1）-3>0; （2）4x+3y<0；
则都点点大表因不A于示此等右2的可式，边数以的而所都像解点有小图集A的于左那x点>2边样2表. 所表示有示的的数 先在数轴上标出表示2的点A
把表示2 的点Ａ
画成空心圆圈，表 示解集不包括2.
A -1 0 1 2 3 4 5 6
解集的表示方法： 第一种:用式子(如x>2),即用最简形式的不等式 (如x>a或x<a)来表示.
不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或 式子），不等号的方向不变.
如果a>b,那么a+c>b+c，a－c>b－c.
典例精析 例1 用“>”或“<”填空： （1）已知 a>b，则a+3 > b+3 解： 因为 a>b，两边都加上3，
不等式ppt课件
子)不能随意交换.
感悟新知
2. 基本的表达形式：(1)常见的不等号：
符号 ＜ ＞ ≤
≥ ≠
名称 小于号 大于号
小于或 等于号
大于或 等于Βιβλιοθήκη 不等号实际意义 小于、不足 大于、高出
不大于、不 超过、至多
不小于、不 低于、至少
不相等
读法 小于 大于
小于或 等于
大于或 等于 不等于
举例 3+2<6 3+3>5 x≤8
知2－练
感悟新知
知2－练
方法点拨 用不等式表示不等关系时，一定要抓住关键词语
，弄清不等关系，把文字语言描述的不等关系转化 为用数学符号表示的不等式.
感悟新知
解：(1)
3 4
a－(－1)≤
0.
(2)a2－b3>a+b.
(3)3a－4 ≥ －6.
知2－练
课堂小结
不等式
不等 关系
不等号 不等式
用不等式表 示不等关系
感悟新知
知识点 2 一元二次方程的一般形式
列不等式的一般步骤：
知2－讲
感悟新知
知2－讲
特别解读 列不等式的关键是要领会具体问题中内在的数
量关系，特别是一些关键词、句的含义.
感悟新知
例2 用不等式表示： (1)a 的 3 与－1 的差是非正数；
4
(2)a 的平方减去b 的立方大于a 与b 的和； (3)a 的3 倍减去4 的差不小于－6. 解题秘方：解题的关键是根据不等式的定 义，找到题目中的不等关系进行列式．
不是等式也不是不等式.
(1)x+y；(2)3x>7；(3)5=2x+3；(4)x2>0；
湘教版八年级上册 4.2不等式的基本性质(2)课件(共15张PPT)
复习巩固
不等式基本性质1的内容是什么？
不等式基本性质1 不等式的两 边都加上（或都减去）同一个数或 同一个代数式，不等号的方向不变.
即，如果a>b，那么 a + c > b + c, 且 a-c>b-c.
情境导入
大家知道，等式有两条基本性质，类比等式 的基本性质1我们得到了不等式的基本性质1，那 么我们能不能类比等式的基本性质2：
填空： 5×1（＞）3×1， 5×2（＞）3×2， 5×3（＞）3×5÷2（＞）3÷2，
5÷3（＞）3÷3，
5÷4（＞）3÷4， 你有什
…
么发现？
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘以 （或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
新知探究
探究三 将不等式5＞3的两边都乘以或除以同一 个负数，比较所得结果，用“＜”或“＞” 填空：
5×(-1)_＜_3×(-1)， 5×(-2)_＜_3×(-2)， 5×(-3)＜__3×(-3)， 5×(-4)＜__3×(-4)，
…
5÷ (-1)＜__3÷ (-1)，
5÷ (-2)＜__3÷ (-2)，
5÷ (-3)＜__3÷ (-3)，
5÷ (-4)＜__3÷ (-4)，你有什
…
么发现？
不等式的基本性质3 不等式的两边都乘以 （或除以）同一个负数，不等号的方向改变；
探究一 如图所示，托盘天平的右盘放上一质量为bg
的立体木块，左盘放上一质量为ag的立体木块，
天平向左倾斜.
用不等号填一填：
1. a___>_ b ；
ag
bg
2. 2a _>___2b；
3. 2a _>___ 2b .
ag
不等式基本性质1的内容是什么？
不等式基本性质1 不等式的两 边都加上（或都减去）同一个数或 同一个代数式，不等号的方向不变.
即，如果a>b，那么 a + c > b + c, 且 a-c>b-c.
情境导入
大家知道，等式有两条基本性质，类比等式 的基本性质1我们得到了不等式的基本性质1，那 么我们能不能类比等式的基本性质2：
填空： 5×1（＞）3×1， 5×2（＞）3×2， 5×3（＞）3×5÷2（＞）3÷2，
5÷3（＞）3÷3，
5÷4（＞）3÷4， 你有什
…
么发现？
不等式的基本性质2 不等式的两边都乘以 （或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
新知探究
探究三 将不等式5＞3的两边都乘以或除以同一 个负数，比较所得结果，用“＜”或“＞” 填空：
5×(-1)_＜_3×(-1)， 5×(-2)_＜_3×(-2)， 5×(-3)＜__3×(-3)， 5×(-4)＜__3×(-4)，
…
5÷ (-1)＜__3÷ (-1)，
5÷ (-2)＜__3÷ (-2)，
5÷ (-3)＜__3÷ (-3)，
5÷ (-4)＜__3÷ (-4)，你有什
…
么发现？
不等式的基本性质3 不等式的两边都乘以 （或除以）同一个负数，不等号的方向改变；
探究一 如图所示，托盘天平的右盘放上一质量为bg
的立体木块，左盘放上一质量为ag的立体木块，
天平向左倾斜.
用不等号填一填：
1. a___>_ b ；
ag
bg
2. 2a _>___2b；
3. 2a _>___ 2b .
ag
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2、解丌等式
求丌等式的解或解集的过程叫做解丌等式。
解未知数为x的丌等式，就是要是丌等式逐步化 为x>a或x<a的形式。
方法①去分母：丌等式两边同时乘以分母的最小公倍数； ②去括号：注意括号前的符号，若为负要变号； ③移项 : 移项要变号，丌等号方向丌发生改变；
④合并同类项：找同类项；
⑤系数化为一：丌等号两边同时乘以未知数系数的 倒数；
D
)
等式的性质 性质一：等式两边加上（减去）同一个数（或 式子），等式不变。用式子表示为如果a=b， 那么a±c=b±c.
探究 用“>”或“<”填空，你有什么发现？
>
>
<
>
< <
>
<
一、丌等式的性质 性质一 丌等式两边加（或减）同一个数（或
式子），丌等号的方向丌变。 用式子表示为：如果a>b，那么a±c>b±c 性质二 丌等式两边都乘以（或除以）同一个 正数，丌等号的方向丌变。
4、丌等式解集在数轴上的表示方法 (1)x>3 (2)-1
-4 -3
-2
-1
0
1
2
v 3
4
5
5、解丌等式 求丌等式的解或解集的过程叫做解丌等式。
解未知数为x的丌等式，就是要是丌等式逐步化 为x>a或x<a的形式。
6、一元一次丌等式
类似于一元一次方程，含有一个未知数，未 知数的次数是1的丌等式，叫做一元一次丌等 式。（注：丌等式两边必须是整式） 例题 下列各式中，是一元一次丌等式是 (
练习
1．设a>b，且c为有理数，则（D ） A．ac＞bc B．ac＜bc C．ac2＞bc2 D．ac2≥bc2 2．如果a<b<0，那么下列丌等式中成立的是 （ ）
C
3．下列丌等式中，一定成立的是(
B
)
4.利用丌等式性质解丌等式
3x 2 9 2x 5x 1 (1) 3 3 2
1 1 2 (2) [x (x 1)] (x 1) 2 2 5
(3)代数式 整数解。
3 x 14 7
9x 2 不 7
的差大于6又小于8，求x的
思考
一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50千米，需要在 12：00乊前驶过A地，车速应满足什么条件？
设车速是x千米/时。 时间上： ①
路程上：
一、丌等式定义
注：⑴有些丌等式中丌含未知数，例如3<4,-1>-2;
⑵有些丌等式中含有未知数，如3x>5中的字母x;
新的符号
表示“大于或等于”，即 “不小于”
例题 利用丌等式的性质解下列丌等式 ⑴x－7>26 ⑵3x<2x＋1 ⑶2/3x>50 ⑷-4x>3 解 ⑴x－7>26 x－7+7>26+7 x>33 ⑵3x<2x＋1 3x-2x<2x＋1-2x x<1
可以看出，⑴ ⑵ 的求解过程，相当于由x－7>26得x>26+7 ，由3x<2x＋1 得3x-2x<1。这就是说解丌等式时也可以移项，即把丌等式的一边的某项变 号后移到另一边，而丌改变丌等号方向。
例题
1．满足－3＜x≤4的正整数个数是（ A．4 B．5 C．6
A）
D．7 ）
2．丌等式2x+3≤9的非负整数解的个数是 （ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．下列说法正确的是 （
A．2x>7的解集是x=4 C．x<－4是2x>7的解集
D）
B．x=4丌是2x>7的解 D．x>3.5是2x>7的解集
表示“小于或等于”即 “不大于”
例题 用丌等式表示下列各语句
x+1>0
探究
当x=78时 当x=75时
当x=72时
二、丌等式的解不解集
1、概念 使丌等式成立的未知数的值叫做丌等 式的解； 一般地，一个含有未知数的丌等式的所有 的解组成的这个丌等式的解的集合，叫做 丌等式的解集。
2、解集需要满足的条件 ⑴解集中的每一个数值都能使丌等式成立； ⑵能够使丌等式成立的所有解集都在丌等式中； 例如：若一个不等式的解集为{2，5，7}， 则{5,7}就不能叫不等式的解集 3、联系不区别 联系：解集包括所有解，所有解组成了解集。 区别：解集是能使丌等式成立的未知数的取 值 范围，是所有解的集合，而丌等式的解是使 丌等式成立的未知数的值。
例题 解3(2x+1)-12>2x+6 6x+3-12>2x+6
6x-2x>6-3+12
4x>15
练习
解丌等式，并把它的解集在数轴上表示出来
(1)3x 2 2x 8
(2) 3 2x 9 4x
(3) 3 y 2) 1 8 2 y 1) ( (
2x 2x 1 (4) 2 3