八年级数学上册第十三章全等三角形专题练习四利用“三线合一”解题课件华东师大版
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八年级数学上册 第13章 全等三角形 13.2 三角形全等的判定 第3课时 课件 (新版)华东师大版
∠DBA=∠CBA
∴△ABD≌△ABC （A.S.A.）
3
B4
C
有两角和它们中的一边对应相等的两个三 角形全等(简写成“角角边”或“A.A.S.”）。
A
A'
几何语言：在△ABE和△A′CD中
AE=A′D（已知 ）
∠A=∠A′ （已知 ）
∠B=∠C（已知 ） ∴ △ABE≌△A′CD
（A.A.S.）
B
ED C
探究点三 判定的运用
1. 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相 交于点O，AB=AC，∠B=∠C。
求证：AD=AE
A
D
E
O
B
C
总结梳理 内化目标
（1）学习了角边角、角角边 （2）注意角角边、角边角中两角与边的区别 （3）会根据已知两角及一边画三角形
达标检测 反思目标
1.下列各组条件，能判定△ABC≌△DEF的C 是( ) A. AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B. ∠A=∠D，∠C=∠F， AC=EF
C. ∠A=∠D，∠C=∠F， AC=DF D. ∠A=∠D，∠B=∠E， ∠C=∠F
2.如图，AB与CD相交于点O，∠=∠B， AO=BO，因为_______=_________，所
以，其理∠由A是OC_____. ∠BOD
A.S.A.
C
B
O
A
D
3.在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若证 △ABC≌△DEF，还需补充一个条件，C 其中补充错误的是 () A. ∠B=∠E B. ∠C=∠F C. BC=EF D. AC=DF
A B
D O
C
编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花心思
八年级数学上册第13章全等三角形单元复习课件新版华东师大版
第13章 全等三角形
单元复习(三) 全等三角形
1．下列命题是真命题的是( )C A．无限小数是无理数 B．相反数等于它本身的数是0和1 C．对顶角相等 D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 2．下列命题及其逆命题是互逆定理的是( )C A．全等三角形的对应角相等 B．若两个角都是直角，则它们相等 C．同位角相等，两直线平行 D．若a＝b，则|a|＝|b|
3．如图，在△ABC 和△GDE 中，点 C，G 在边 BD 上， 边 AC 交边 GE 于点 F.若 AC＝GD，AB＝ED，BC＝GE， 则∠ACB 等于( C ) A．∠EDB B．∠GED
C．12 ∠AFG D．∠AFE
4．(黑龙江中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5， ∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为( )B A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由 ； (2)在方案(Ⅰ)PM＝PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA， PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由．
解：(1)方案(Ⅰ)不可行．缺少证明三角形全等的条件；方案(Ⅱ)可行．
OM＝ON， 证明：在△OPM和△OPN中，PM＝PN， ∴△OPM≌△OPN(SSS)，
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD， 若直接根据“HL”判定，还需添加条件：A_B_＝__A_C___； 若增加条件∠B＝∠C，则可直接根据_A_A__S__来判定.
6．(2019·襄阳)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个： ①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC， 其中不能确定△ABC≌△DCB的是__②__(只填序号).
单元复习(三) 全等三角形
1．下列命题是真命题的是( )C A．无限小数是无理数 B．相反数等于它本身的数是0和1 C．对顶角相等 D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 2．下列命题及其逆命题是互逆定理的是( )C A．全等三角形的对应角相等 B．若两个角都是直角，则它们相等 C．同位角相等，两直线平行 D．若a＝b，则|a|＝|b|
3．如图，在△ABC 和△GDE 中，点 C，G 在边 BD 上， 边 AC 交边 GE 于点 F.若 AC＝GD，AB＝ED，BC＝GE， 则∠ACB 等于( C ) A．∠EDB B．∠GED
C．12 ∠AFG D．∠AFE
4．(黑龙江中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5， ∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为( )B A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由 ； (2)在方案(Ⅰ)PM＝PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA， PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由．
解：(1)方案(Ⅰ)不可行．缺少证明三角形全等的条件；方案(Ⅱ)可行．
OM＝ON， 证明：在△OPM和△OPN中，PM＝PN， ∴△OPM≌△OPN(SSS)，
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD， 若直接根据“HL”判定，还需添加条件：A_B_＝__A_C___； 若增加条件∠B＝∠C，则可直接根据_A_A__S__来判定.
6．(2019·襄阳)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个： ①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC， 其中不能确定△ABC≌△DCB的是__②__(只填序号).
2018年八年级数学上第13章全等三角形13.2三角形全等的判定3边角边导学新版华东师大版精选优质PPT课件
图 13－2－5
13.2 三角形全等的判定
解：(1)如图：
(2)分别以点 A，B 为端点，作射线 AQ，BP，两射线相交于点 C， 同时满足 CP＝CB，CQ＝CA，连结 PQ，测得 PQ 的长即可得出 AB 的长度． 理由：由作图可知 PC＝BC，QC＝AC. 又∵∠PCQ＝∠BCA， ∴△PCQ≌△BCA(S.A.S.)， ∴PQ＝AB.
“啊你没看到他就是负责安排记名 弟子工 作的那 个男的 ，他是 也是记 名弟子 ，不过 已经获 得了修 炼仙法 的资格 ，身穿 黄衣， 长的一 看就不 是啥好 人，跟 个狼崽 子似的 ，我们 私底下 都这么 叫他。 ”张虎 喝了口 水，咬 牙切齿 的解释 道。 王林吃了口甘薯，说道：“我知道 你说的 是谁了 ，今天 看到他 了，和 我说从 明天开 始每天 挑满十 缸水， 否则没 有饭吃 。” 张虎目瞪口呆，盯着王林看了许久 ，忽然 问道： “哥们 ，你是 不是以 前和他 有仇” 王林摇头，问道：“怎么了”
一直到黄昏。他才倒满一缸。若不 是中午 他有甘 薯填饱 肚子。 根本就 没力气 进行余 下地工 作。尽 管如此 。他现 在双腿 双臂已 经酸麻 。一用 力就疼 痛难忍 。 他沉吟少许，拎着半桶水找到一处 无人之 地，谨 慎的在 四周观 察一翻 确定无 人后， 他从怀 里拿出 石珠， 放在水 桶里晃 动一番 ，过了 一会他 捞出珠 子收好 ，侩出 桶里的 水一喝 ，肚子 里顿时 出现一 丝丝暖 洋洋的 感觉， 全身肌 肉的酸 痛感慢 慢消散 。
图13－2－8
13.2 三角形全等的判定
【答案】 不正确．使用“S.A.S.”的前提条件：已知的对应元素(边或角)必须都是两 个三角形中的元素(边或角)，且其中一个三角形中的两边及其夹角与另一个三角形 中的两边及其夹角必须对应相等．本题错误的原因是列的条件和使用的方法不对应， 错用“S.S.A.”来证明全等．
13.2 三角形全等的判定
解：(1)如图：
(2)分别以点 A，B 为端点，作射线 AQ，BP，两射线相交于点 C， 同时满足 CP＝CB，CQ＝CA，连结 PQ，测得 PQ 的长即可得出 AB 的长度． 理由：由作图可知 PC＝BC，QC＝AC. 又∵∠PCQ＝∠BCA， ∴△PCQ≌△BCA(S.A.S.)， ∴PQ＝AB.
“啊你没看到他就是负责安排记名 弟子工 作的那 个男的 ，他是 也是记 名弟子 ，不过 已经获 得了修 炼仙法 的资格 ，身穿 黄衣， 长的一 看就不 是啥好 人，跟 个狼崽 子似的 ，我们 私底下 都这么 叫他。 ”张虎 喝了口 水，咬 牙切齿 的解释 道。 王林吃了口甘薯，说道：“我知道 你说的 是谁了 ，今天 看到他 了，和 我说从 明天开 始每天 挑满十 缸水， 否则没 有饭吃 。” 张虎目瞪口呆，盯着王林看了许久 ，忽然 问道： “哥们 ，你是 不是以 前和他 有仇” 王林摇头，问道：“怎么了”
一直到黄昏。他才倒满一缸。若不 是中午 他有甘 薯填饱 肚子。 根本就 没力气 进行余 下地工 作。尽 管如此 。他现 在双腿 双臂已 经酸麻 。一用 力就疼 痛难忍 。 他沉吟少许，拎着半桶水找到一处 无人之 地，谨 慎的在 四周观 察一翻 确定无 人后， 他从怀 里拿出 石珠， 放在水 桶里晃 动一番 ，过了 一会他 捞出珠 子收好 ，侩出 桶里的 水一喝 ，肚子 里顿时 出现一 丝丝暖 洋洋的 感觉， 全身肌 肉的酸 痛感慢 慢消散 。
图13－2－8
13.2 三角形全等的判定
【答案】 不正确．使用“S.A.S.”的前提条件：已知的对应元素(边或角)必须都是两 个三角形中的元素(边或角)，且其中一个三角形中的两边及其夹角与另一个三角形 中的两边及其夹角必须对应相等．本题错误的原因是列的条件和使用的方法不对应， 错用“S.S.A.”来证明全等．
八年级数学上册第13章全等三角形专题课堂三课件新版华东师大版
【对应训练】 1．(黄冈中考)已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证： ∠B＝∠ANM.
证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAM＝∠DAC ＋ ∠ NAM ， ∴ ∠ BAD ＝ ∠ NAM. 在 △ BAD 和 △ NAM 中 ，
A∠BB＝ADA＝N，∠NAM， ∴△BAD≌△NAM(S.A.S.)，∴∠B＝∠ANM AD＝AM，
分析：在AB上截取AM＝AD，连结EM，可得△AME≌△ADE，再想办法证 △BME≌△BCE，得BC＝BM，即得AB＝AM＋BM＝AD＋BC.
【对应训练】 4．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD，CE分 别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F.求证：AC＝AE＋CD.
∠ACC＝＝A∠BB，，
∴△ACM≌△ABN(A.S.A.)，∴∠M＝∠N
∠CAM＝∠BAN，
分 析 ： (1) 由 S.A.S. 证 明 △ ABD≌△ACE ， 得 出 对 应 边 相 等 即 可 ； (2) 证 出 ∠BAN＝∠CAM，由全等三角形的性质得出 ∠B＝∠C，由A.A.S.证明 △ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．
2．(武汉中考)如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE ＝BF，DF＝AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．
解：CD∥AB，CD＝AB，理由如下：∵CE＝BF，∴CE－EF＝BF－EF，
∴CF＝BE.在△DFC 和△AEB 中，C∠FC＝FBDE＝，∠BEA， DF＝AE，
5．已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝BC. (1)如图①，若E，F分别在线段AD，CD上，且∠EBF＝60°.求证：EF＝ AE＋CF； (2)如图②，若E，F分别在线段AD，DC的延长线上，且∠EBF＝60°，求 证：EF＝AE－CF.
华师大八上数学 第13章全等三角形整理与复习PPT课件
3.知识回顾： 包括直角三角形
一般三角形 全等的条件：
(1)定义（重合）法；
解题 (2)SSS；
中常 (3)SAS；
不包括其它形
用的 4种
(4)ASA；
状的三角形
方法 (5)AAS.
直角三角形 全等特有的条件：HL.
4.回顾知识点：
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成
“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可
逆定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上．
三.练习：
1、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。
c
D
A
B E
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条
• 在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,
称为尺规作图.最基本,最常用的尺规作 图,通常称基本作图.
• 其中,直尺是没有刻度的; • 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组
成的.
五种基本作图
1、作一条线段等于已知线段
2、作一个角等于已知角 3、平分已知角——作图原理是 三角形全等
4、经过一已知点作已知直线的垂线
角
边2
边1
边2 角
角不夹在两边的中间，形成两边
一对角（简称SSA）——不 一定全等
5.方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
（1）：已知两边----
找第三边 (SSS) 找夹角 （SAS) 找是否有直角 (HL)
已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角---
找这边的另一个邻角(ASA)
华东师大版八年级上册第13章《全等三角形》全章精品课件(共285张PPT)
探究活动 1.一个条件可以吗？
(1)有一条边相等的两个三角形 不一定全等 (2)有一个角相等的两个三角形 不一定全等
填空：
公共点 A
D
1、若△AOC≌△BOD， 则AC= BD ，∠A＝ ∠B . C
2、若△ABD≌△ACE， 公共角
E
则BD= CE ,∠BDA=∠CEA.
B
3、若△ABC≌△CDA, 则AB= CD ，∠BAC=∠DCA. A
O
AB D C D
公共边
B
C
A
填一填：
(1)已知△ABC≌△ADE，
距离相等. 前面我们已经学过的，用推理的方法 得到的那些用黑体字表述的图形的性质都 可以作为定理.
反证法 1、概念：
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾, 或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题 不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明 方法叫做反证法.
华师版八年级上学期 第13章 《全等三角形》
1.1—1.2
命题、定理与证明
概念学习：
1、能清楚地规定某一名称或术语的意义 的句子叫做定义。
2、对某一件事情作出正确或不正确的 判断的句子叫做命题。
3、命题由条件和结论两部分组成。
4、命题可以写成“如果...那么...”的形式， 在如果后写条件，在那么后写结论。
A
D
证法二：
1
如图，连接BC. B
2
C
∵在△ABC中, ∠BAC +∠ABC +∠ACB ＝180º
在△BDC中, ∠BDC+∠1+∠2＝180º
又∵∠ABC＝∠ABD+∠1,∠ACB＝∠ACD+∠2
八年级数学上册第十三章全等三角形13.4尺规作图课件新版华东师大版
独立思考
1、已知： ∠AOB
利用尺规作： ∠A′O′B′ 使∠A′O′B′=2∠AOB.
作法一: B′
CB
O
A′ A
∠A′O′B′为所求.
作法二:
B′
O E
D B
C A
C′
O’
A
∠A′O′B′为所求.
☆ 课堂小结 ☆
1、本节课你学到了什么？ 2、还有什么疑惑吗？
一、知识链接：
B 1. 下列属于尺规作图的是( )
☆ 预习导航 ☆
A.用量角器画出∠MBN B.已知∠α，作∠MBN，使∠MBN=2∠α
C.画线段 AB=3cm
D.用三角板作 A等判定方法中的S.S.S.公理.
3.已知：两角分别为 、 ，线段 a，
求作：△ABC，使 AB=a， BAC ，∠ABC= ．
第五步： 经过点D′画射线O′B′． ∠A′O′B′就是所要画的角．
图 24.4.3 注意：几何作图要保留作图痕迹！
☆ 巩固提高 ☆ 画△ABC，使其两边为已知线段 a，b,夹角为 β.（要求：用尺规作图，写出已知、求作； 保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法）
作法：本题转化为两个基本作图 ①作线段等于已知线段（作CB＝a，CA＝b）； ②作一个角等于已知角（作∠C＝∠β）.
a
导读：（认真阅读课本）
1、作一条线段等于已知线段 2、作一个角等于已知角
☆ 合作探究 ☆ 1、已知线段 a，用直尺和圆规准确地画一条线段等于已知线段 a.
作法： 1、画出一条射线， 2、用圆规一射线的端点为圆心，以线段 a 的长为半径截取.
2、已 知角∠MPN，用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角∠MPN.
最新华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形PPT
13.1.1 命题
[备选例题] 下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命 题？
(1)相等的角是对顶角． (2)同位角相等吗？ (3)好美丽的天空！ (4)过一点作已知直线的垂线． 解：(1)是命题，因为它符合命题的定义．(2)是疑问 句，(3)是感叹句，(4)是叙述一个过程的语句，因为它们 都不是判断性语句，所以(2)(3)(4)都不是命题．
13.1.1 命题
[归纳总结] (1)一个语句只要是一种判断就是命题，不管 是肯定的判断还是否定的判断，正确的判断还是错误的判断；
(2) 凡 是 有 “ 如 果 …… ， 那 么 ……” 和 “ 若 …… ， 则……”的语句都是命题；
(3)所有的问句都不是命题．
13.1.1 命题
探究问题二 判断命题的真与假
探究新知
活动1 知识准备
1．下列语句中，命题有( A )
①作∠COD 的平分线；②延长 AB 到点 C；③已知∠AOB
＝80°，求它的补角的度数；④若 x＝y，则 x－2＝y－2.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．命题“直角都相等”的条件是两__个角都是直角__，结
论是_ 这两个角相等
(5)“宇宙中有外星人”是对宇宙中有没有外星人作出 判断，判断结果是__有__，这个判断你认为是正确的还是错 误的？ [答案] 无法确定
你认为对一件事情的判断正确与否会出现几种情况？ ◆知识链接——[新知梳理]知识点一
13.1.1 命题
2．命题的结构 把下列命题改写为“如果……，那么……”的形式，并 判断真假性．然后想一想它们分别是对什么样的事项作 出什么样的判断？ (1)两直线平行，内错角相等．如果 两条直线，平那行 么 内错角．相是等____命题．真
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∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠DEC＝90°
类型之三 证明两线垂直 5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且BD＝BC， DE⊥AB交AC于点E. 求证：CD⊥BE. 证明：∵DE⊥AB，∴∠BCE＝∠BDE＝90°， 在 Rt△BCE 和 Rt△BDE 中 ， ∵ BE ＝ BE ， BC ＝ BD ， ∴Rt△BCE≌Rt△BDE，∴∠CBE＝∠DBE.又∵BD＝BC，∴CD⊥BE(三 线合一)
类型之二 证明线段或角相等 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且BD＝CE.求证： AD＝AE. 证明：如图，过点A作AF⊥BC于点F.∵AB＝AC，∴BF＝CF(三线合一). 又∵BD＝CE，∴DF＝EF.又∵AF⊥BC，∴∠AFD＝∠AFE＝90°.又∵AF ＝AF，∴△AFD≌△AFE， ∴AD＝AE
类型之四 证明角的倍半关系 7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 交 AC 于点 D.求证：∠
DBC＝12 ∠BAC. 证明：作∠BAC 的平分线 AE，分别交 BD，BC 于 F，E 两点．在△ABC
中，∵AB＝AC，由等腰三角形“三线合一”的性质可知 AE⊥BC，∴∠AEB ＝90°，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，而∠BFE＝∠AFD，∴∠DBC＝∠CAE，
类型之六 证明一个角是直角 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝90°.
证明：作 CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE⊥BC 交 BC 于点 E， 则∠ACD＝∠BCD＝12 ∠ACB，∠DEC＝90°，
∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝12 ∠ACB＝∠BCD，即 DB＝DC.又∵DE⊥BC， ∴DE 是 BC 边上的中线，即 E 是 BC 的中点，∴BC＝2EC，又∵BC＝2AC， ∴AC＝ EC，又∵CD＝CD，
6．如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，CF＝DF.求证：AF⊥CD. 证明：如图，连D，∴△ABC≌△AED，∴AC＝AD.又∵CF＝DF，∴AF是等 腰三角形ACD底边CD的中线，∴AF也是CD边上的高，即AF⊥CD
∴∠DBC＝12 ∠BAC
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，EF⊥BC交BC于点F，交 AB于点G，交CA的延长线于点E，且AE＝AG.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC＝∠EFC＝90°，∴AD∥EF， ∴ ∠ AGE ＝ ∠ DAB ， ∠ E ＝ ∠ DAC. 又 ∵ AE ＝ AG ， ∴ ∠ E ＝ ∠ AGE ， ∴∠DAB＝∠DAC，即AD平分∠BAC
类型之五 证明线段的倍半关系 9．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分 ∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF＝2CD.
证明 如图，延长线段BA，CD交于点E.∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，∴BC ＝BE，DE＝DC.又∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF ＝∠DCF，又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE，∴△ABF≌△ACE，∴BF＝ CE，∴BF＝2CD
2 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， ∠ A ＝ 36° ， BD 平 分 ∠ ABC ， DE⊥AB于点E.若CD＝4，且△BDC的周长为24，求AE的长．
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝12 ×(180°－∠A)＝72 °.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝12 ∠ABC＝36°.∴∠A＝∠ABD，∠BDC ＝∠A＋∠ABD＝72°.∴AD＝BD，∠C＝∠BDC，∴BC＝BD.∴△BCD 周长 ＝BD＋CD＋BC＝2BD＋4＝24，∴BD＝10，∴AD＝10，AC＝AD＋CD＝14. 又∵DE⊥AB，∴AE＝12 AB＝12 AC＝7
第十三章 全等三角形
专题练习四 利用“三线合一”解题
类型之一 计算线段的长度或角的度数 1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC于点D，屋 檐AB＝AC.求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数． 解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝(180°－100°)÷2＝ 40°.又∵AD⊥BC，由三线合一，得∠BAD＝∠CAD＝50°
4．如图，在等腰三角形ABC中，CH是底边上的高线，P是线段CH上不 与端点重合的任意一点，连结AP并延长交BC于点E，连结BP并延长交AC 于点F.
求证：(1)∠CAE＝∠CBF； (2)AE＝BF. 证明：(1)∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，∴AC＝BC， ∠ACP＝∠BCP，又∵CP＝CP，∴△ACP≌△BCP，∴∠CAP＝∠CBP， 即∠CAE＝∠CBF (2)在△ACE和△BCF中， ∵∠ACE＝∠BCF，AC＝BC，∠CAE＝∠CBF，∴△ACE≌△BCF， ∴AE＝BF
类型之三 证明两线垂直 5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且BD＝BC， DE⊥AB交AC于点E. 求证：CD⊥BE. 证明：∵DE⊥AB，∴∠BCE＝∠BDE＝90°， 在 Rt△BCE 和 Rt△BDE 中 ， ∵ BE ＝ BE ， BC ＝ BD ， ∴Rt△BCE≌Rt△BDE，∴∠CBE＝∠DBE.又∵BD＝BC，∴CD⊥BE(三 线合一)
类型之二 证明线段或角相等 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且BD＝CE.求证： AD＝AE. 证明：如图，过点A作AF⊥BC于点F.∵AB＝AC，∴BF＝CF(三线合一). 又∵BD＝CE，∴DF＝EF.又∵AF⊥BC，∴∠AFD＝∠AFE＝90°.又∵AF ＝AF，∴△AFD≌△AFE， ∴AD＝AE
类型之四 证明角的倍半关系 7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC 交 AC 于点 D.求证：∠
DBC＝12 ∠BAC. 证明：作∠BAC 的平分线 AE，分别交 BD，BC 于 F，E 两点．在△ABC
中，∵AB＝AC，由等腰三角形“三线合一”的性质可知 AE⊥BC，∴∠AEB ＝90°，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，而∠BFE＝∠AFD，∴∠DBC＝∠CAE，
类型之六 证明一个角是直角 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝90°.
证明：作 CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE⊥BC 交 BC 于点 E， 则∠ACD＝∠BCD＝12 ∠ACB，∠DEC＝90°，
∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝12 ∠ACB＝∠BCD，即 DB＝DC.又∵DE⊥BC， ∴DE 是 BC 边上的中线，即 E 是 BC 的中点，∴BC＝2EC，又∵BC＝2AC， ∴AC＝ EC，又∵CD＝CD，
6．如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，CF＝DF.求证：AF⊥CD. 证明：如图，连D，∴△ABC≌△AED，∴AC＝AD.又∵CF＝DF，∴AF是等 腰三角形ACD底边CD的中线，∴AF也是CD边上的高，即AF⊥CD
∴∠DBC＝12 ∠BAC
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，EF⊥BC交BC于点F，交 AB于点G，交CA的延长线于点E，且AE＝AG.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADC＝∠EFC＝90°，∴AD∥EF， ∴ ∠ AGE ＝ ∠ DAB ， ∠ E ＝ ∠ DAC. 又 ∵ AE ＝ AG ， ∴ ∠ E ＝ ∠ AGE ， ∴∠DAB＝∠DAC，即AD平分∠BAC
类型之五 证明线段的倍半关系 9．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分 ∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证：BF＝2CD.
证明 如图，延长线段BA，CD交于点E.∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，∴BC ＝BE，DE＝DC.又∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF ＝∠DCF，又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE，∴△ABF≌△ACE，∴BF＝ CE，∴BF＝2CD
2 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， ∠ A ＝ 36° ， BD 平 分 ∠ ABC ， DE⊥AB于点E.若CD＝4，且△BDC的周长为24，求AE的长．
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝12 ×(180°－∠A)＝72 °.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝12 ∠ABC＝36°.∴∠A＝∠ABD，∠BDC ＝∠A＋∠ABD＝72°.∴AD＝BD，∠C＝∠BDC，∴BC＝BD.∴△BCD 周长 ＝BD＋CD＋BC＝2BD＋4＝24，∴BD＝10，∴AD＝10，AC＝AD＋CD＝14. 又∵DE⊥AB，∴AE＝12 AB＝12 AC＝7
第十三章 全等三角形
专题练习四 利用“三线合一”解题
类型之一 计算线段的长度或角的度数 1．如图，房屋顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC于点D，屋 檐AB＝AC.求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数． 解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝(180°－100°)÷2＝ 40°.又∵AD⊥BC，由三线合一，得∠BAD＝∠CAD＝50°
4．如图，在等腰三角形ABC中，CH是底边上的高线，P是线段CH上不 与端点重合的任意一点，连结AP并延长交BC于点E，连结BP并延长交AC 于点F.
求证：(1)∠CAE＝∠CBF； (2)AE＝BF. 证明：(1)∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，∴AC＝BC， ∠ACP＝∠BCP，又∵CP＝CP，∴△ACP≌△BCP，∴∠CAP＝∠CBP， 即∠CAE＝∠CBF (2)在△ACE和△BCF中， ∵∠ACE＝∠BCF，AC＝BC，∠CAE＝∠CBF，∴△ACE≌△BCF， ∴AE＝BF