随机过程引论课件3

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随机过程论(第3版)PPT完整全套教学课件

在独立增量过程中有一类很重要的特例一稳定过程，它满足条件:存在a>0(a称为此稳定过程的阶)，使对∀c>0恒有
04 马氏过程
马氏过程
定义14(马氏过程)
成立。式(1.17)又称为马氏性。特别地，
马氏过程
命题1.2
成立。
证明当
时，式(1.17)显然蕴含式(1.18);另外，用测度论典型
证明
可见Y是一元正态分布。
Gauss 系
命题1.6
证明
Gauss 系
命题1.7
令
Gauss 系
命题1.7
于是这就可得到于是
Gauss 系
命题1.8
于是这就可得到于是这就证明了 (a)，(b)可采用同样的方法证明。
Gauss 系
命题1.9
于是这就可得到而式(1.28)左侧等于
Gauss 系
第二章
鞅论初步
随机过程论
上鞅、下鞅的概
01 念、简单性质与
分解定理
1.概念与简单性质
设在概率空间
上有一个非降的σ-代数族
和实随机过程
条件2’)还蕴含证明1)令
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2)证明P( · )在δ上是完全可加的。
1° 为书写方便，我们先定义以下m-步转移概率测度。设
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
及
再令由
马氏过程
定理1.3(Tulcea定理)
2° 用归纳法来证明存在由于
当K=-1时，式(1.27)可写成
Kolmogorov定理给出了由有限维联合分布族构造(Ω,ƒ)上测度P的方法。
1.Kolmogorov定理

第3-4讲随机过程孙应飞

j

(i
,
1)

,
i 1 i0
其中为该周期内到达的顾客数。
记第 n 个周期开始的顾客数为 X n ，则 X n1 ( X n 1) n ，其中
a ˆ max{a,0}，根据马氏链的定义，可知{X n , n 0}是一马氏链。
由此推出：
P(m) P P (m1) (1) (P)m Pm
其中： P(1) P 由此可知：对于齐次马氏链，如果知道了它的初始分布 (0) 和一步转移矩
阵 P ，就可以求得 X (n) 的所有有限维概率分布。即有：
P{X (n1) i1, X (n2 ) i2 ,, X (nk ) ik }

m1

n

j 2

i
,
m2

n
j 2

i
中国科学院大学 2019～2020 第一学期随机过程讲稿孙应飞
n ji n ji n ji
C p q , (n)
2
2
2
n
p ij
0 ,
(n j i 是偶数) (n j i 是奇数)
p(n) ii

n
即上面式子的右边与时刻 n 无关，则称此马氏链为齐次（或时齐的）马氏链。对于齐次马氏链，我们记 P ( pi j ) ，称矩阵 P 为齐次马氏链的一步转移概
中国科学院大学 2019～2020 第一学期随机过程讲稿孙应飞
率矩阵，简称为转移矩阵。
注 3：对于马氏链{X (n); n 0} ，我们有： P{X (0) i0 , X (1) i1,, X (n) in} P{X (n) in X (0) i0 , X (1) i1,, X (n 1) in1}

随机过程第三章

随机过程的概率密度函数
概率密度函数
对于连续随机过程，其概率密度函数描述了随机过程在各个时间点或位置上的取值的可能性密度。
联合概率密度函数
对于多个连续随机过程的组合，其联合概率密度函数描述了这些随机过程在各个时间点或位置上的取值的联合可能性密度。
03
随机过程的数字特征
均值函数
总结词
描述随机过程中心趋势的数字特征
泊松过程
定义
泊松过程是一种随机过程，其中事件的发生是相互独立的，且以恒定的平均速
率在时间上均匀地发生。
应用
在物理学、工程学、生物学等领域都有应用，如放射性衰变、电话呼叫等。
性质
泊松过程具有无记忆性，即两次事件发生的时间间隔与它们是否同时发生无关。
扩展
泊松过程可以推广为更复杂的过程，如非齐次泊松过程和条件泊松过程。
随机过程第三章
目录
• 随机过程的基本概念 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的数字特征 • 随机过程的平稳性和遍历性 • 马尔科夫链和泊松过程 • 随机过程的应用
01
随机过程的基本概念
随机过程的定义
01
随机过程：一个随机过程是一个定义在概率空间上的
参数集的集合，这个集合的元素是随机变量。
02
马尔科夫链和泊松过程的比较
关联性
马尔科夫链和泊松过程都是随机过程，但它们的性质和应用场景有所不同。
时间连续性
马尔科夫链可以适用于连续时间，而泊松过程通常适用于离散时间。
ABCD
状态转移
马尔科夫链关注的是状态之间的转移，而泊松过程关注的是事件的发生。
应用领域
马尔科夫链在社会科学和生物科学中应用广泛，而泊松过程在物理学和工程学中更为常见。

随机过程_课件---第三章

随机过程_课件---第三章第三章随机过程3.1 随机过程的基本概念1、随机过程定义3-1 设(),,F P Ω是给定的概率空间，T 为一指标集，对于任意t T ∈，都存在定义在(),,F P Ω上，取值于E 的随机变量()(),X t ωω∈Ω与它相对应，则称依赖于t 的一族随机变量(){},:X t t T ω∈为随机过程，简记(){}tX ω，{}tX 或(){}X t 。

注：随机过程(){,:,}X t t T ωω∈Ω∈是时间参数t 和样本点ω的二元函数，对于给定的时间是()00,,t T X t ω∈是概率空间(),,F P Ω上的随机变量；对于给定样本点()00,,X t ωω∈Ω是定义在T 上的实函数，此时称它为随机过程对应于0ω的一个样本函数，也成为样本轨道或实现。

E 称为随机过程的相空间，也成为状态空间，通常用""t X x =表示t X 处于状态x 。

2、随机过程分类：随机过程t X 按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列。

3、有穷维分布函数定义3-2 设随机过程{}t X ，在任意n 个时刻1,,n t t 的取值1,,nt tX X 构成n 维随机向量()1,,n t t XX ，其n 维联合分布函数为：()()11,,11,,,,nnt t nt t nF x x P X x Xx ≤≤其n 维联合密度函数记为()1,,1,,n t tn f x x 。

我们称(){}1,,11,,:1,,,nt t n n Fx x n t t T ≥∈ 为随机过程{}t X 的有穷维分布函数。

3.2 随机过程的数字特征1、数学期望对于任何一个时间t T ∈，随机过程{}t X 的数学期望定义为()()tX t t E X xdF x μ+∞-∞==?()t E X 是时间t 的函数。

2、方差与矩随机过程{}t X 的二阶中心矩22()[(())],tX t t t Var X E X E X t T σ==-∈称为随机过程{}t X 的方差。

《随机过程》课件

f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
4
● 随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 (x1, x2 ;t1,t2 , ) P (t1) x1, (t2 ) x2
● 随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2
(x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 ) x1 x2
Dξ t Eξ 2 t 2atξ t a2 t
E[ξ 2 (t)] 2at Eξ t a2 (t)
E[ξ 2 (t)] a2 (t)
于
均
值
所以 a(t
，) 的方偏差离等程于x度2均f。1方(
x值,
t与)d均x值平[a方(t之)]差2
，
它
表
示
随
机
过
程
在
时
刻
t
对
均方值
均值平方
8
● 相关函数
在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。
13
● 2.2 各态历经性 ● 问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? ● 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。 ● 下面，我们来讨论各态历经性的条件。
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t2 )]

《数学随机过程》PPT课件

所以X与Y不相关。故 (X,Y )=0 X与Y不相关
几何直观意义
3.3 随机分析初步
附注C—关于赋范线性空间概念的回顾
设V是一个线性空间，若 V，存在一个实数|| ||与
之对应，且具有下列性质：
(1) || ||0 , 且|| ||=0 =0 ； (2) ||c· ||= |c|·|| || , 特别 ||- ||= || ||； c R (3) || + || || ||+ || ||； V 则称|| || 为V中元素的范数(norm)(模、长度)，此时线
CXX (t1, t2 ) cov{ X (t1), X (t2 )} E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} | CXX (t1, t2 ) |2 | cov{ X (t1), X (t2 )} |2 | E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} |2 {E | [ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )] |}2 E | X (t1) mX (t1) |2 E | X (t2 ) mX (t2 ) |2 D[ X (t1)]D[ X (t2 )]
3.3 随机分析初步
附注A—关于线性空间概念的回顾
设V是一个非空的集合，K是一个数域，又设
(a)在V中定义加法： , V : + V ; (b)在V中定义数乘： V, k K: k · V ; 且 , , V , k,l K , 满足 (1) k ,l K, , V : (2) +( +)= ( + )+ ; (3) + = + ; (4)0V, V: +0= ; (5) V, V: +=0 (6) 1 K: 1· = ; (7) k ,l K, V: (kl)· =k·(l) ; (8)k ,l K, V: (k+l) = k +l ; (9) k K, , V : k( + )= k + k .

《随机过程教程》PPT课件幻灯片PPT

主要教学成果
编写出版了教材?通信与信息工程中的随机过程? 开设的?随机过程?课程2002年12月被评为江苏省优秀研究生课程至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位，目前正在指导13名硕士研究生协助指导5名博士研究生获得博士学位指导本科毕业设计20名
教学理念
教者方面认真、尽职教的过程也是学的过程学者方面 “贤良、喜悦、勤奋〞可使学习者臻于完善的境地共同方面互换角度、互相尊重互相配合、互相理解、互相学习
科研方向
主要科研方向
无线通信中的各种信号处理问题无线通信系统中的无线资源管理问题
具体涉及的研究领越
DS/CDMA通信系统中的多用户检测智能天线技术 MIMO系统中的空时编码技术 HSDPA技术无线网络规划
完成的科研工程
1997年1月到12月，作为工程负责人完成了国家863高技术开展工程“多址干扰抑制技术〞 1998年4月到2001年3月，作为工程技术负责人，完成了本室与芬兰NOKIA移动公司的国际合作工程“移动通信中的新方法〞 2001年7月到2002年5月，作为工程负责人，完成了深圳华为公司的委托工程 “WCDMA/HSDPA系统仿真分析〞
科研方向主要科研方向?无线通信中的各种信号处理问题?无线通信系统中的无线资源管理问题具体涉及的研究领越?dscdma通信系统中的多用户检测?智能天线技术?mimo系统中的空时编码技术?hsdpa技术?无线网络规划完成的科研项目1997年1月到12月作为项目负责人完成了国家863高技术发展项目多址干扰抑制技术1998年4月到2001年3月作为项目技术负责人完成了本室与芬兰nokia移动电话公司的国际合作项目移动通信中的新方法2001年7月到2002年5月作为项目负责人完成了深圳华为公司的委托项目wcdmahsdpa系统仿真分析2001年4月至今作为项目技术负责人负责本室与芬兰nokia移动电话公司的国际合作项目3g以后系统的基带算法研究2003年1月至今作为项目负责人正在进行深圳华为公司委托的开发项目hsdparrm调度算法建模和网络规划的建模2003年2月至今作为项目负责人正在进行和中国移动集团总公司的委托研究项目ngsobsss卫星系统和地面wcdma系统的干扰分析2002年9月至今作为项目副组长负责国家863高技术发展项目新型天线和分集技术研究的基带研究部分在研的科研项目主要教学成果编写出版了教材通信与信息工程中的随机过程开设的随机过程课程2002年12月被评为江苏省优秀研究生课程至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位目前正在指导13名硕士研究生协助指导5名博士研究生获得博士学位指导本科毕业设计20名教学理念教者方面?认真尽职?教的过程也是学的过程学者方面?贤良喜悦勤奋可使学习者臻于完善的境地共同方面?互换角度互相尊重?互相配合互相理解互相学习一张去年的照片内容提要教者简介所教内容简介教学方式约定考核方式劝勉勤奋学习随机过程的内容随机对象

第3章_随机过程

偶函数
2013-8-1
通信原理
19
第3章随机过程
3.2 平稳随机过程
3.2.1定义
1.狭义平稳随机过程
假设一个随机过程ξ(t)，如果它的任何n维分布或概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的t 和τ，随机过程ξ(t) 的n 维概率密度函数满足 fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn） =fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ）则称ξ(t)是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。

记为（t） 2

x 2 f1 ( x，t )dx [a (t )]2
称为随机过程ξ(t)的方差。－－相对于均值的振动程度。
2013-8-1
通信原理
13
第3章随机过程
4.协方差与相关函数－－随机过程不同时刻取值之间的相互关系衡量随机过程ξ(t)在任意两个时刻t1和t2上获得的随机变量 ξ(t1)和ξ(t2)的统计相关特性时，常用协方差函数B(t1，t2)和相关函数R(t1，t2)来表示。（1）相关函数 ξ(t1)和ξ(t2)的二阶原点混合矩
概率论：随机变量分析－－分布函数和概率密度
2013-8-1
通信原理
6
第3章随机过程
3.1.1 随机过程的分布函数
１. 分布函数和概率密度（1）一维描述 ●一维分布函数随机过程ξ(t)任一时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，则随机变量ξ(t1)小于等于某一数值 x1的概率 F1（x1，t1）=P[ξ(t1) ≤x1] 叫做随机过程ξ(t)的一维分布函数。（3.1.1）
2013-8-1
通信原理
7

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随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
补例2. 设随机过程X=X t Acost ,t 0，其中随机变量A有分布律：
P( A i ) 1 , i 1,2,3. 3
试求 (1)随机过程X的一维分布函数F (x)
4
(2)随机过程X的二维分布函数
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
正态分布 X～N(µ, σ2),密度函数为
f (x)
1
e
(
x ) 2 2
2
,

x

, ,
(
0)常数
2
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q)n
k 0
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随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
泊松分布
P(X k ) k e ,
k!
(1) 特征函数总是存在的. 对任意实数u,有|ejux|=1.故E[ejux]总存在.
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随机过程引论
Introduction to Stochastic Process

P( A x1) P( A 2x2 )
x1 2x2 x1 2x2
0,

1
,

3 2
,
3
x1 1
1 x1 2 (x1 2x2 ) 或 2 x1 3
2x2 1 1 2x2 2 2 2x2 3
1, x1 3
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
三. 有限维分布函数族
定义2.3.1 设 X Xt ,t T是定义在概率空间（,F,P）上取实值的随机过程.对任意的自然数 n 0,及任意的 t1 ,t2 ,L ,tn T 和实数 x1 ,x2 ,L ,xn R, 称n维随机变量（Xt1 , Xt 2 ,L , Xtn）的联合分布函数
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
二项分布
P (X

k)

C
k n
p
k
q
n

k
,
k=0,1,…,n.0<p<1,q=1-p.
则特征函数
( e ju p ) k
n
(u ) E [e juX ]
e
juk C
k n
p
k
q
nk

( pe ju
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随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
补例1.设随机过程 X=X t Vcost ,t ,R 其中为常数，
（）对（1，2，L ,n）的任一个排列（k1 ,L ,kn ）,有 Ft1 ,L ,tn(x1 ,L , xn ) Ftk1 ,L (x ,tkn k1 ,L , xkn )
若自然数m<n, 则有 Ft1 ,L ,tm(x1 ,L , xm ) Ft1 ,L ,tm ,,tm1 ,L ,tn(x1 ,L , xm ,+ ,L ,+)
b
( u ) E [ e juX ] e jux f ( x ) d x
eb jux 1 d x
1
(e jbu e jua )
a ba
jt(b a )
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则称函数集F为随机过程X的n维分布函数族。
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随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
有限维分布函数族具有以下相容性条件
(u) E[e juX ]
u
为随机变量X的特征函数.
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随机过程引论
特征函数的几点说明
Introduction to Stochastic Process
（2）若X与Y相互独立,Z=X+Y,则
Z (u ) X (u ) Y (u )
(可推广到n个相互独立随机变量)
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随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
（3）设随机变量X的n阶原点矩(即E[Xn])存在,
则 ( u ) 存在k (k≤n) 阶导数, 且有
(k)(0) jkE X k , k n
EX k (k)(0) , k n
jk
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2x2 3
( x1 2x2 )
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随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
定义2.3.3 设 X=Xt ,t T 是定义在概率空间 ,F,P 上取实值的随机过程.对任意的自然数 n 0 及任意的 t1 ,t2 ,L ,tn T , 称
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随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
利用随机变量的函数的概率密度计算公式，得
f 3
4
(x)

随机变量V服从[0,1]上的均匀分布.分别计算当
t 3 和t 时,随机过程X的一维分布函数.
4
2
解：
t 3 时， 4
Xt
V cos 3 4

2V 2
由于函数 x 2 V 的反函数为 2
V h( x ) 2x, 其导数为 h( x ) 2,
A

x1,
A 2

x2
)
P( A x1, A 2x2 )
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随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
Introduction to Stochastic Process
则X的一维分布函数为
x
F3 (x) - fX3 (t)dt
4
4

0，

x 2 2

x
- 22
2dt，

2 x0 2
0
- 22
2dt， x 0

0，
x 2 2

为随机过程X的有限维特征函数族.
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随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
关于随机变量的特征函数的回顾
定义设随机变量X的分布函数F(x),则称
fV
(h(x)) 0
h(x)
0 h(x) 1 其它

2
0
0 2x 1 其它

2
0
2 x0 2 其它
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随机过程引论
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随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
均匀分布 r.v.X～U(a,b],密度函数为
则特征函数
f
(x)

b
1
a 0,