矩形的性质与判定三
矩形的判定和性质
矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；ADCB 图1F E练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。
二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积S=长×宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1 矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =。
求证：ABE ∆≌CDF ∆。
【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．43【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 。
【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠= 。
FED CBA考点2 矩形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。
求证：四边形ADCE 是矩形。
【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。
ODC BAD EFCAB【变式6】如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F 。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
矩形的判定和性质
矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900；4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
例3：如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，内角∠BAD的角平分线与边BC 交于点E．试求BE与CE的长度．练习1：如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点．试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF＝BE．求证：DE＝CF；AD CB图1F E练习1：如图，矩形ABCD中，E为AD中点，∠BEC为直角，矩形ABCD的周长是20，求AD、AB的长。
1.2 矩形的性质与判定(三)
课堂小结
1、说说你的收获。 2、说说你的困惑。 3、说说你的方法。
独立 作业
▪课本: P 18-19页
▪预习： P20-21
1 、 2、 3
如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、 H分别是AD，BD， BC，AC的中点。 （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； （2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形 EFGH是矩形？并证明你的结论。
复习导入
2. 如图2，四边形ABCD是平行四边形，添加一 有一个角是直角 个条件 ，可使它成为矩形。
例3 如图1-14，在矩形ABCD中，AD=6，对角线 AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE. 求AE的长. 解∵ 四边形ABCD是矩形， 1 ∴AO=BO=DO= 2 BD （矩形的对角线相等且互相平分）. ∠BAD=90°（矩形的四个都是直角）. ∵ED=3BE，∴BE=OE. 又∵ AE⊥BD，∴AB=AO. ∴AB=AO=BO.
1 2
例4 如图1-15，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC 的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线， CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形. 证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， 1 ∴∠CAD= 1 ∠BAC，∠CAN= ∠CAM. 2 2 ∴∠DAE=∠CAD +∠CAN 1 = 2 （∠BAC+∠CAM） 1 = 2 ×180° =90°.
第一章 特殊平行四边形
1.2 矩形的性质
矩形对边平行且相等；
B
C
角
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且平分；
对角线
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
1.2矩形的性质与判定第3课时(教案)
在上完这节关于矩形的性质与判定的课程后，我对自己教学过程中的优点和不足之处进行了一些思考。首先，我觉得在引入新课的部分，通过提问学生日常生活中的例子，成功引起了他们的兴趣，这有助于提高学生们在课堂上的参与度。然而，我也发现有些学生在理解矩形判定方法时遇到了困难，这让我意识到需要针对这部分内容进行更深入的解释和练习。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调矩形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如矩形的证明和判定方法的选择，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与矩形相关的实际问题，如矩形的桌面如何计算面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器测量矩形物体的边长和角度，验证矩形的性质。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是一种特殊的平行四边形，具有对边平行且相等，对角相等，四个角都是直角的特点。它是平面几何中非常重要的一种图形，广泛应用于日常生活和建筑等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析矩形桌面，了解矩形的性质如何帮助我们计算桌面的面积和周长。
在理论介绍环节，我尝试用简洁明了的语言阐述矩形的概念和性质，并通过案例进行分析，使学生能够更好地理解矩形在实际中的应用。但在讲授过程中，我发现自己可能过于注重性质的记忆，而忽略了让学生通过实际操作来感受这些性质。在未来的教学中，我打算增加更多动手操作的环节，让学生在实践中学习和理解。
实践活动的设计原本是为了让学生们将理论知识应用到实际中，但在执行过程中，我发现学生们的讨论并不充分，可能是因为我对讨论主题的引导不够明确。在接下来的课程中，我会尝试提供更具指导性的问题，帮助学生更深入地进行讨论。
矩形的定义性质与判定
矩形的定义性质与判定
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．矩形的性质
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：
①边的性质：对边平行且相等．
②角的性质：四个角都是直角．
③对角线性质：对角线互相平分且相等．
④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
3．矩形的判定
判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．
判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．。
矩形的性质与判定(第3课时)
二．课堂检测：
1.下列关于矩形的说法中正确的是：（）
A.矩形的对角线互相垂直平分
B.矩形的对角线相等且互相平分
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线互相平分的四边形是矩形
2.矩形具有而菱形不具有的性质是（）
A.两组对边分别平行B.对角线相等
C.对角线互相平分D。两组对角分别相等
3.课本18页习题1.6的第一题
南大里初中初三学案（1课时）
执教者
学科
学习内容
时间
4.课本19页习题ห้องสมุดไป่ตู้.6的第3题。
柴江丽
数学
矩形的判定与性质（第3课时）
2015.09．11
【学习目标】：1.理解矩形的定义，掌握矩形的性质与判定。（重点）
2．能运用矩形的性质和判定进行简单的计算与证明．（难点）。
【学习过程】：：
一．复习旧知：矩形有哪些性质？（学生回答）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.2矩形的性质与判定（3）
学习目标:
1.对矩形的性质与判定定理进行巩固应用。
2.提升学生应用能力和证明能力。
3.重点性质定理和判定定理的正确使用。
学习内容：
一、知识梳理
1.矩形的定义：
2. 矩形的性质： 边： 角： 对角线：
对称性：
3. 矩形的判定：
4.如图1，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知∠AOD=
120°，AB=2.5cm ，则∠DAO= ,AC= cm ，
ABCD S 矩形_______。
5. 如图2，四边形ABCD 是平行四边形，添加一个条
件 ，可使它成为矩形。
二、典例分析：
例1. 如图1-14，在矩形ABCD 中，AD=6，对角线AC
与BD 交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED=3BE.求AE 的长.
变式：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
过A点做BD的垂线，垂足为E，∠EAD=3∠BAE.求∠EAO
的度数
例2 如图1-15，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.
证明：
三、拓展延伸
在例题2中，若连接DE，交AC于点F（如图1-16）
（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论. （2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.
四、巩固练习：
1.已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的等边三角
形ABD和CBD组成，M、N分别是BC和AD的中点.
求证：四边形BMDN是矩形.
2.在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠ACB=300,BD=4. 求矩形ABCD 的面积。
3.在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE
是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
五、课堂小结:
说说你的收获、困惑。
六、当堂检测：
1.矩形的面积是60，一边长为5，则他的一条对角线长为。
2.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12.则斜边上的中线等于
3.矩形的一条对角线长为8cm，两条对角线的一个夹角为1200，则矩形的面积为，矩形的周长为
4.矩形的周长为14cm，对角线长为5cm，则它的面积为
5.（提高题）在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不
与A和D 重合的一个懂点，过点P分别做AC和BD的垂
线，垂足为E、F。
求PE+PF的值。
七：布置作业：必做同步P12 1.2.3.4.
以下选做：P13 5.6
如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别
是AD，BD， BC，AC的中点。
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论。
课后反思：
1．灵活处理教材，在精不在多
对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，应该视各班学生情况而定，对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华。
也不应加大习题量，题目在精不在多，扎实的讲解和学习比大量练习要有效果的多。
把关注学生能力的培养提到首位，达到本节课所要完成的真正目标。
2．分层次教学
对于不同层次的学生，在课堂上的要求要有所不同。
在同一题目中，通过一题多问或者一题多解等形式，可以使优生有所突破，也可以让学困生受到关注，获得解题的成就感，这就对我们的备课和选题提出了更高的要求。
3．充分给学生以时间
本课时，是综合运用的一节课，应给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能让教师发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的。