因式分解(3完全平方公式法)导学案
因式分解学案用完全平方公式分解学案
因式分解学案：用完全平方公式进行因式分解学案导语因式分解是数学中的重要内容之一，它有助于我们研究多项式的性质和解决实际问题。
在因式分解中，完全平方公式是一项非常有用的工具。
本学案将重点介绍如何使用完全平方公式进行因式分解，并结合一些实际例子来帮助学生更好地理解和掌握。
一、什么是完全平方公式完全平方公式是一种用于因式分解的工具，它能够将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积。
完全平方公式的一般形式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$其中，$a$和$b$为任意实数。
二、应用完全平方公式进行因式分解的步骤使用完全平方公式进行因式分解的步骤如下：1. 首先，观察多项式是否符合完全平方公式的形式。
即判断多项式中是否存在两个项的和的平方。
2. 如果存在两个项的和的平方，将多项式化简为完全平方形式。
3. 将多项式因式分解为两个完全平方的乘积。
下面通过具体的例子来详细说明应用完全平方公式进行因式分解的步骤。
例子1：将多项式$x^2+6x+9$进行因式分解。
解：观察多项式，我们发现其中的三项的和构成了一个完全平方。
$x^2+6x+9$可以化简为$(x+3)^2$。
因此，多项式$x^2+6x+9$的因式分解为$(x+3)(x+3)$。
例子2：将多项式$x^2-10x+25$进行因式分解。
解：观察多项式，我们发现其中的三项的和构成了一个完全平方。
$x^2-10x+25$可以化简为$(x-5)^2$。
因此，多项式$x^2-10x+25$的因式分解为$(x-5)(x-5)$。
通过以上两个例子，我们可以发现，完全平方公式能够帮助我们将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积，从而简化计算和分析的过程。
三、完全平方公式在实际问题中的应用完全平方公式不仅仅是一种数学工具，它也有着广泛的应用。
下面通过一个实际问题来展示完全平方公式的应用。
问题：一块长方形的草坪，长为$x+5$米，宽为$x$米。
假设整个草坪是用来修剪的，修剪时只修剪草坪周边的一段宽度为$x$米的土地。
教版八年级数学上册 14 3 2运用完全平方公式因式分解 导学案(无答案)
课题：14.3.2 运用完全平方公式因式分解班别：姓名：学号：自评：第一部分预习导案一、学习目标：1、理解并掌握用完全平方公式分解因式．2、灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．二、学习重难点：1、重点：掌握用完全平方公式分解因式；2、难点：灵活用各种方法分解因式三、知识链接：完全平方和（a+b）2=_____________,完全平方差（a-b）2=_______________四、预习导学1、阅读教材P117，因式分解的完全平方公式：1）__________________2）____________________，文字叙述为_______________________________________________ ______.2、把_____ _________的等号两边互换位置得到用于分解因式的公式，这种用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式的方法叫做_______ _____.五、预习检测1、下列式子为完全平方式的是( )A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2 C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12、如果x2－6x+N是一个完全平方式,那么N是( )A . 11 B. 9 C. －11 D. －93、因式分解：(1) a2－4a＋4(2)4a2＋12ab+9b2 (3)－3a2x2＋24a2x－48a2(4)(a2＋4)2－16a24、简便计算：(1)1002－2×100×99+99²(2)342＋34×32＋1625、已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．六、预习过程中我的疑惑：___________________________________________第一部分 课堂检测1、如果22y 49kxy x 100++可以分解成()2y 7x 10-，则k 的值为 。
2、如果16mx x 2++是一个完全平方式，则m 的值为 。
15.4.3因式分解
（3）ax²+2a²+a³；（4）—3x²+6xy — 3y²；
总结：分解因式的步骤：当多项式的各项有公因式时，先，然后再考虑.
例2、填空
（1） （）+ =（ - ；（2） = ；
（3） ；（4） ；（5） ；
（3）——（5）题要求组成 的形式
三、重点练习承德三中八年级数学科导学案主备人丁玉波房哲学审核人刘玉鹏审批领导授课时间编号1518
课题
15.4.3因式分解—公式法（二）
课型
自学互学展示课
学习目标
1、能够熟练应用完全平方公式分解因式；2、了解因式分解的一般步骤
重点
熟练分解因式
难点
整式乘法与因式分解的联系和区别
学习环节
1、预习检测及明标（）2、牵手互助（）3、小组展示（）4当堂检测（）
5、总结完全平方式：a²+2ab+b²=______________________；
a²—2ab+b²=______________________；
文字叙述：________________________________________________________；
2、试一试
例1、分解因式
学法建议
课堂设计
学习过程
1、学一学（自学教材169—170页）
1、回忆填空：
（1）ma+mb+mc=_____________；（2）a²—b²=_____________________；
2、填空：
（1）分解因式： ；
（2）分解因式： ；
（3）已知x2－y2=－1，x+y= ，则x－y=.
14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》教案
学科：数学授课教师：年级：八年级总第课时课题14.3.2《因式分解--公式法--完全平方公式》课时教学目标知识与技能用完全平方公式分解因式过程与方法1．理解完全平方公式的特点．2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．情感价值观通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力.教学重点用完全平方公式分解因式．教学难点灵活应用公式分解因式．教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高媒体资源多媒体投影教学过程教学流程教学活动学生活动设计意图复习提问1、分解因式：（1）－a2＋b2（2）2a－8a22、把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2思考解答复习引入完全平方公式1、把整式乘法的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2a b＋b2（a－b）2＝a2－2a b＋b2反过来，得到：a2＋2a b＋b2＝（a＋b）2a2－2a b＋b2＝（a－b）2注：（1）形如a2±2a b＋b2的式子叫做完全平方式，说出它们的特点。
（2）利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。
（3）上面两个公式用语言叙述为：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
尝试独立完成然后与同伴交流总结掌握完全平方公式分解因式特点例题练习1、分解因式：（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y22、练习：P119页：练习：1、2：（1）--（4）3、分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2-12（a+b）+364、练习：P119页：练习：2：（5）（6）5下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a2－2a＋1 （2）a2－4a＋4 （3）a2＋2ab－b 2（4）a2＋ab＋b2（5）9a2－6a＋1 （6）a2＋a＋1/4 思考动手板演归纳总结巩固知识因式分解的一般步骤1、把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？（1）44yx-；（2）33abba-；（3）22363ayaxyax++；（4）22)()(qxpx+-+；（5）4x2+20（x-x2）+25（1-x）22、分解因式的一般步骤：（1）先提公因式（有的话）；（2）利用公式（可以的话）；（3）分解因式时要分解到每个多项式因式不能再分解为止．3、练一练：把下列多项式分解因式：（1）6a-a2-9；（2）-8ab-16a2-b2；（3）2a2-a3-a；课堂小结1、完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
第一轮导学案2013-4因式分解
课时4．因式分解【考点链接】1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式．注意：分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2. 因式分解的方法：⑴ ，⑵ ，3. 提公因式法：=++mc mb ma __________ _________.4. 公式法: ⑴ =-22b a ⑵ =++222b ab a ， ⑶=+-222b ab a .5. 因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）．6．易错知识辨析（1）注意因式分解与整式乘法的区别；（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式.（3）分解因式时，没有分解到不能分解为止。
如：3y 2－27=3(y 2－9)【典例精析】例1 分解因式：⑴（08聊城）33222ax y axy ax y +-=__________________.⑵（08宜宾）3y 2－27＝___________________.⑶（08福州）244x x ++=_________________.⑷ (08宁波) 221218x x -+= ．例2 已知5,3a b ab -==，求代数式32232a b a b ab -+的值.【巩固练习】1. （2012湖北恩施3分）a 4b ﹣6a 3b+9a 2b 分解因式得正确结果为【 】A ．a 2b （a 2﹣6a+9）B ．a 2b （a ﹣3）（a+3）C ．b （a 2﹣3）2D ．a 2b （a ﹣3）22. （2012广东深圳3分）分解因式：=-23aba 3．若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则．4. 简便计算：2200820092008-⨯ ＝ .【中考演练】一．选择：1． 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A ．x 2－xyB ．x 2＋xyC ．x 2－y 2D ．x 2＋y 22．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A ．bx ax b a x -=-)(B ．222)1)(1(1y x x y x ++-=+-C ．)1)(1(12-+=-x x xD ．c b a x c bx ax ++=++)(二．填空：（将下列各式因式分解）3．（2012湖北随州4分）分解因式．4x 2—9= .4．（2012广东省4分）分解因式：2x 2﹣10x= ．5．（2012广西北海3分）因式分解：－m 2＋n 2＝ 。
用完全平方公式因式分解教案
用完全平方公式因式分解教案一、教学目标1、学生能正确理解并使用完全平方公式因式分解原理；2、能熟练掌握并使用完全平方公式因式分解；3、能够正确使用完全平方公式因式分解解决实际问题。
二、教学重点1、教育学生正确理解并使用完全平方公式因式分解原理；2、让学生熟练掌握并使用完全平方公式因式分解；3、让学生能够正确使用完全平方公式因式分解解决实际问题。
三、教学内容1、完全平方公式因式分解的概念：完全平方公式因式分解是指把已知的式子按照公式的形式进行因式分解，它将一个多项式分解成多个完全平方式，可以利用此方法减少复杂的运算，求出更简单的表达式，便于解题。
2、完全平方公式因式分解的原理：完全平方公式因式分解的原理是把一个多项式按完全平方的方式分解，因为是平方的变化，所以可以得到输出的式子乘积比输入的式子中的幂次（未分解之前的）总数要少，因而也能得到不那么复杂的结果，更便于进行解答。
3、完全平方公式因式分解的步骤：（1）将多项式分开化简；（2）查看乘积中对称的字母数量；（3）如果有两个就可以分解出平方根；（4）如果只有一个就可以把它们包装成一个平方；（5）将结果拆分成平方根；（6）最后将项按照完全平方的左右结构组合，即完成完全平方公式因式分解。
四、教学方法主要采用讲授法、示范法、讨论法等，使学生运用完全平方公式因式分解解决实际问题，即“先上一道习题，把学生教会讲解，通过几道练习让学生自己解决，通过交流方式归纳总结，使得学生由解答变为分析，从而更好的掌握完全平方公式因式分解的知识。
五、教学设计（1）课前准备：准备若干相关的实际问题供学生讨论解答；（2）课前检测：通过一些随机出的习题，检测学生对完全平方公式因式分解的现有知识水平；（3）概念讲解：讲解完全平方公式因式分解的定义、特征及原理；（4）实例讲解：以实例分析演示完全平方公式因式分解的步骤和思想；（5）讨论练习：准备一些重难点习题，学生分组分析，练习完全平方公式因式分解；（6）总结归纳：学生就讨论的情况发表自己的看法，总结归纳完全平方公式因式分解的方法。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了完全平方公式的推导、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对完全平方公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3完全平方公式（教案）
一、教学内容
北师大版八年级数学下册第四章因式分解4.3节，主要围绕完全平方公式展开教学。本节课内容如下：
1.探索完全平方公式的推导过程，掌握完全平方公式：（a±b）^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
2.学会运用完全平方公式分解因式，解决实际问题。
其次，对于完全平方公式的应用，我发现学生们在解决具体问题时，有时会忽略符号的判断。在讲解过程中，我特别强调了“同号得正，异号得负”的规律，并通过大量练习帮助学生加深记忆。但在实际操作中，仍有个别学生会出现错误。为此，我考虑在今后的教学中，增加一些关于符号判断的专项训练，以提高学生们的准确率。
此外，在学生小组讨论环节，我发现学生们能够积极参与，主动提出自己的观点和想法。但在讨论过程中，部分学生可能会偏离主题，讨论一些与完全平方公式无关的内容。为了提高讨论效率，我计划在今后的教学中，明确讨论主题，并在讨论过程中适时引导，确保学生们围绕主题展开讨论。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式的推导和运用这两个重点。对于难点部分，如符号判断，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与完全平方公式相关的实际问题。
《因式分解》导学案
《因式分解》导学案【复习目标】1．了解因式分解的意义。
2．区别因式分解与整式乘法。
3．掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法（直接用公式不超过两次），十字相乘法，分组分解法。
4．能选择适当方法实行因式分解。
【复习难点】能选择适当方法实行因式分解【教学过程】一、课前热身1、计算①a(x+y+z) ②(a+b)(a-b)2、分解因式①ax+ay+az ②a2-b2二、旧知回顾1、分解因式①3a2-a ②3x2-6x2y+3xy ③(x+y)2-3(x+y)2、分解因式①a2-4 ②(x-1)2-9 ③（a+b）2-6（a+b）+93、分解因式①x2-2x-8 ②x2-5x+6 ③x2+3x-184、分解因式①x2+7x-xy-7y ②a2-b2-2a+1 ③m2-n2+2m-2n 三、归纳总结。
因式分解的一般步骤：一、因式分解1、因式分解：2、因式分解与整式乘法的关系二、因式分解的方法1、提公因式法公因式：2、公式法①平方差公式②完全平方公式3、十字相乘法4、分组分解法四、反馈检测（一）填空题：1、分解因式：16x 2 -9y 2 =2、分解因式：a 3 +2a 2 +a = （二）选择题3、下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是( ) A a(x +y) = ax + ay B x 2 -4x + 4 = x(x -4) +4 C 10x 2 -5x =5x(2x -1) D x 2 -16 +3x = (x +4)(x -4) +3x 5．下列各式中，能用提公因式法分解因式的是( ) A x 2 -y B x 2 +2x C x 2 +y 2 D x 2 -xy +y 2 （三）解答题 6、分解因式（1）2m(a-b)-3n(b-a) （2）x 3-9x .（3）a 2+a+ 41(4) 3（x －y ）3－6（y －x ）2（5）22()()a x y b x y --- （6）x 4 – 2x 2+1（7）x 2－7xy ＋12 y 2 （8）x 2- 2xy + y 2+ 2x - 2y + 17、已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，试判断此三角形的形状。
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a、b 各表示 什么
表示（a+b）2 或 （a－b）2
⑴提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) ⑵运用公式法： ①a2-b2=(a+b)(a-b)
x2 6x 9
练习 把下列各式分解因式 ① ax4 ax2 ② x4-16
4y2 4y 1 1 4a2
2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？ 完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么？
（3）提高计算：
9(a b)2 12(a 2 b2 ) 4(a b)2
（1） 25x2 10 1
(2)9a2 6ab b2
) 3ax2 6axy 3ay2
(3)49a 2 b2 14ab
（4） a2 10a 25
(y2 x2 )2 4x2 y2
(a 1)2 2(a 2 1) (a 1)2
判断因式分解正误，并写出正确过程
(1） -x2-2xy-y2= -(x-y)2
（2）级
（7） x 2 12 xy 36 y 2
学生
(8)16a4 24a2b2 9b4
五、总结与反思：
1:、整式乘法的完全平方公式是：a b2 a2 2ab b2 2:、利用完全平方公式分解因式的公式是：a2 2ab b2 a b2
（5） a3b 2a2b3 ab3
（6） 9 12(a b) 4(a b)2
（4）已知 x2+4x+y2-2y+5=0,求 x-y 的值
-2-
)2
（6）4x2+4xy+(
=(a-b) 2
=(
)2
) 2=(
)2
例题（先观察再因式分解） ① x2＋14x＋49 ② (m n)2 6(m n) 9 ③ 3ax2＋6axy＋3ay2
④ -x2-4y2＋4xy
⑤ 4a2 12ab 9b2 ⑥ 16x4-8x2＋1
预习笔记
-1-
涌泉初中 数学 学科导学案
3.情感、态度与价值观：在探索中进行新旧知识的比较，体会事物之间互相转化的辨证思想，从而初步接受对立统一观点.
学习重点：因式分解的完全平方公式公式的理解，用公式进行因式分解.
学习难点：因式分解的完全平方公式公式的熟练应用.
预习笔记
自主学习 一、旧知回顾 1、分解因式学了哪些方法?
多项式
是否是 完全平方
涌泉初中 数学 学科导学案
年级 八 班级
学生
课题：因式分解（公式法：完全平方公式）
章节：第十二章第 5 节（3）
学习目标 1.知识与技能：理解因式分解的过程，会用公式法进行因式分解.
2.过程与方法：经历探索公式法因式分解的过程，培养学生合作、观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透逆向思维的数学思想方法.
3:、完全平方公式特点： ①含有三项；②有两项是平方项，且两平方项的同号；（首平方尾 平方）③首尾 2 倍中间项（二倍乘积在中央）.
六、检测与提高
1、知识检测：
2、知识提高：
（1）若 x2-8x+m 是完全平方式,则 m=
（2） 若 9x2+axy+4y2 是完全平方式,则 a=(
A. 6 B. 12 C. ±6 D. ±12
x2 1 x 1 24
a2 2ab b2 a b2
x2 4x 4y2
a2 2ab b2 a b2
4 y2 12 xy 9x2
a2 ± 2 a • b + b2 = （ a ± b ）2
(首项) 2 ± 2 (首项) • (尾项) + (尾项)2 = (首项)±(尾项)2
仔细观察，试着发现以上式子所具有的特征： 从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数
(或整式)的乘积的 2 倍. 从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾 2 倍中间 项） 二、讨论探究： 填一填
(a b)2 2(a b) 1
四、四、巩固提高
练习填空：
（1）a2+
+b2=(a+b)2 （2）a2-2ab+
（3）m2+2m+
=(
) 2 （4）n2-2n +
（5）x2-x+0.25=(