第六章弯曲应力1

=
y

= y (1)

o
——横截面上各点的纵向线应变
与各点到中性轴的距离成正比
A
b a o
A
b dx
中性轴
d c
o1
Ｂ
d
中 性 层 曲 率 半 径
中性层
y
d
o1 y
B
y
y
A1
B1
4、纵向线应变的变化规律
（纵向线段的变化规律）

=
y

...... (1)
（二）物理关系：
由纵向线应变的变化规律 正应力的分布规律。
πd 4 64
z
Wz
= Wy
=
Iz d /2
=
Iy d/2
=
πd 3 32
y
几种简单截面的抗弯截面系数
Wz
=
Iz ymax
⑶ 空心圆截面
( ) I z
= Iy
=
π 64
D4
−d4
( ) = πD4 1− 4 64
O
z
式中 = d / D
( ) Wz
=
Iz D/2
=
πD3 32
1− 4
= Wy
A

y 2 dA
A
=
E

Iz
=
M
1= M
EIZ
——弯曲变形计算的基本公式
M Z
M
s
=
E
=
Ey

y
（三）、静力学条件
z
dA
sdA
x
由横截面上的弯矩和正应力的关系
→ 正应力的计算公式。
y
中性轴 z 轴为形心主惯性轴
1= M
EIZ
——弯曲变形计算的基本公式 EI z 梁的抗弯刚度。
s = My
第六章 梁的应力
§6-1 梁横截面的正应力和正应力强度条件 §6-2 梁横截面的切应力和切应力强度条件 §6-3 薄壁截面梁弯曲切应力的进一步分析 §6-4 提高梁承载能力的措施
§6-1 梁横截面的正应力和正应力强度条件
一、 纯弯曲和横力弯曲的概念
剪力“Fs”——切应力“t ”；
C
弯矩“M”——正应力“s ”
90kN
(+)
M ql2 / 8 = 67.5kN m b
x
s max
=
M max WZ
67.5 103 = 6.4810−4
h
z
= 104.17MPa
y
q=60kN/m
A
FAY 1m FS 90kN
(+)
C
l = 3m
B
x
FBY
(−) x
90kN
x
(+)
M ql2 / 8 = 67.5kN m b
１.纯弯曲
梁的横截面上只有弯矩而无 Fs
剪力的弯曲（横截面上只有正应
力而无切应力的弯曲）。
F a
A
F
2.横力弯曲（剪切弯曲）
梁的横截面上既有弯矩又有 剪力的弯曲（横截面上既有正应 M
Fa
力又有切应力的弯曲）。
F a D
B
F
x
x
二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式
（一）变形几何关系： 由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。
sdA =
A
E y dA = E
A

A
ydA
=
E

Sz = 0 Sz = 0
（中性轴 z 轴为形心轴）
(2)
My =
sdAz =
A
E y zdA = E
A

A
yzdA
=
E

I yz
=
0
I yz
=
0
（y 、z 轴为形心主轴）
(3)
Mz =
ysdA =
A
E y ydA = E
M max ycmax Iz
[s c]
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
ytmax = [s t] ycmax [s c]
弯曲正应力强度条件
s max s
s max
= M max Wz

s
s t max
M =(
yt max Iz
) max

st
s cmax
M =(
1、观察实验：
2、变形规律： (1)、纵向线：由直线变为曲线，
ac
仍保持平行；上部的纵向线缩
短，下部的纵向线伸长。
bd
(2)、横向线：仍为直线并
M
与纵向线保持垂直，只是转
ac
M
动了一个角度，且梁横截面
四边的四条横向线变形后仍 是一个平面内的直线。
b
d
3、假设：
（1）弯曲平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，仍垂直于变 形后的轴线，各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。
z
a
166
s max = 160 MPa
560 − 21
sa
=
ya y max
s max
=
2 560
160 MPa = 148 MPa
2
例：求图示悬臂梁的最大拉、压应力。已知：l = 1 m, q = 6kN/m
q
0.5ql 2
解：1）画弯矩图
y1 y2
z
b
| M |max = 0.5ql2 = 3 kNm
y
对比一下，扭转圆轴的抗扭截面系数是？
D d
(4) 型钢截面：参见型钢表
三、纯弯曲理论的推广
纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式 s = My
Iz
横力弯曲时
1、由于切应力的存在，梁的 横截面发生翘曲；
2、横向力还使各纵向线之间 发生挤压。
平面假设和纵向线之间 无挤压的假设都不再成立。
A
B
还能用吗？
1m
FAy = 90kN
x
90kN
FBy = 90kN
2. C 截面上的内力
(+)
MC = 901− 6010.5 = 60kN m
M
ql2 / 8 = 67.5kN m
3. C 截面上K点的正应力
b
hK
z
sK
=
MC yK IZ
=
60 103 (180 − 30) 10−3 2
FBY
y
C 截面弯矩
FS 90kN
MC = 60kN m
(+)
(−) x
90kN
IZ = 5.83210−5 m4
sC max
=
M C ymax
(+)
M ql2 / 8 = 67.5kN m
x
IZ
60 103 180 10−3
=
2 5.832 10−5
b
= 92.55MPa
hK
置，合理吗？
y
z
s c max
=
=
M max Iz
y2
25.6 10−8
=
3000 25.6
3.28 10 −6
= 178 MPa = 384 MPa
stmax = 178 MPa, scmax = 384 MPa
四、梁的弯曲正应力强度条件
s max s
s
中性轴为横截面对称轴的等直梁
中性层
sc max
z
y
中性轴的位置？ 梁变形后中性层的曲率 1 = ？

st max
M Z
y zdAsdA x
M
s = E = Ey
（三）、静力学关系
由横截面上的弯矩和正应力的关系
→ 正应力的计算公式。
y 梁横截面上内力已知：FN = 0, M y = 0, M z = M
(1)
FN =
y №10槽钢 2）查型钢表：
b = 4.8cm, Iz = 25.6cm4, y1 = 1.52 cm
y2 = 4.8 −1.52 = 3.28cm
M
stmax
3）求最大拉、压应力：
y1 y2
z b
s t max
=
M max Iz
y1
3000 1.52 10−2
y
scmax
思考一下：若将槽形截面梁倒
yc max Iz
) max

sc
1、强度校核—— smax s ；
2、设计截面尺寸——Wz

Mmax
s
3、确定外载荷—— Mmax Wz s ;
例：矩形截面梁 b= 60 mm、h=120mm，[s ]=160MPa, 求：Fmax
h
z
材料的许用弯曲正应力
M max s
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
M s t max
=
M max Iz
yt max
[s t ]
ycmax
O
z
s c max
=
M max Iz
yc max
[sc ]
ytmax
y
s t max=
M max ytmax Iz
[s t]
s = cmax
险截面上的最大正应力smax 和同一横截面上翼缘与腹板交界 处a点处的正应力sa 。
F A
5m
C
FA
10 m
12.5
B
z
FB
a
166