数学模型的作用、特点与分类
各个模型的作用
时间序列模型1.时间序列模型是用于做预测的，其中包含多种预测模型：1）加法模型2）乘法模型3）混合模型2.移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法（趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变）化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。
2．指数平滑法：一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等（在第7页）一次指数平滑法虽然克服了移动平均法的缺点。
但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法进行预测，仍存在明显的滞后偏差。
因此，也必须加以修正。
修正的方法与趋势移动平均法相同，即再作二次指数平滑，利用滞后偏差的规律建立直线趋势模型。
这就是二次指数平滑法。
当时间序列的变动表现为二次曲线趋势时，则需要用三次指数平滑法3. 差分指数平滑法：一阶差分指数平滑法、二阶差分指数平滑模型（14）4.自适应滤波法：以时间序列的历史观测值进行某种加权平均来预测的，它要寻找一组“最佳”的权数，其办法是先用一组给定的权数来计算一个预测值，然后计算预测误差，再根据预测误差调整权数以减少误差5. 趋势外推预测方法，推测出事物未来状况的一种比较常用的预测方法。
利用趋势外推法进行预测，主要包括六个阶段：（a）选择应预测的参数；（b）收集必要的数据；（c）利用数据拟合曲线；（d）趋势外推；（e）预测说明；（f）研究预测结果在进行决策中应用的可能性。
趋势外推法常用的典型数学模型有：指数曲线、修正指数曲线、生长曲线、包络曲线等。
（22）6. 平稳时间序列模型：自回归模型（Auto Regressive Model）简称AR 模型，移动平均模型（MovingAverage Model）简称MA 模型，自回归移动平均模型（Auto Regressive Moving AverageModel）简称ARMA 模型（23）1.插值1、可用于预测问题，观察相应散点的变化，预测被插值点的函数值2、主要方法有：一维插值法，二维网格插值和散点插值（contour）3、要求所求通过所有给定的点拟合1、线性拟合：一般都先画出散点图，用plot命令，然后再进行观察拟合，polyfit得系数，polyval在相关点的值。
数学模型与数学建模
数学模型与数学建模数学模型数学模型（Mathematical Model）是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。
它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。
一、建立数学模型的要求：1、真实完整。
1）真实的、系统的、完整的,形象的映客观现象；2）必须具有代表性；3）具有外推性，即能得到原型客体的信息，在模型的研究实验时，能得到关于原型客体的原因；4）必须反映完成基本任务所达到的各种业绩，而且要与实际情况相符合。
2、简明实用。
在建模过程中，要把本质的东西及其关系反映进去，把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉，使模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，数据易于采集。
3、适应变化。
随着有关条件的变化和人们认识的发展，通过相关变量及参数的调整，能很好的适应新情况。
根据研究目的，对所研究的过程和现象(称为现实原型或原型)的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，所谓“数学化”，指的就是构造数学模型．通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法．简称为MM 方法。
数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。
数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。
在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。
如经调查统计．现代的世界级短跑运动健将模型为身高1.80米左右、体重70公斤左右，100米成绩10秒左右或更好等。
数学模型和物理模型在动力学仿真中的比较分析
数学模型和物理模型在动力学仿真中的比较分析数学模型和物理模型在动力学仿真中都起着非常重要的作用，它们都用来描述和预测复杂系统的运动行为。
然而，它们之间存在一些显著的区别，可以通过比较分析来更好地理解它们在动力学仿真中的作用和适用情况。
一、数学模型和物理模型的定义和特点数学模型是一种用数学语言和符号描述系统行为和特性的模型。
它通常以方程或者图形的形式表示，能够精确描述系统的运动规律，提供了对系统的定量分析和预测能力。
数学模型的特点是抽象性强，可以忽略系统的具体物理结构和机制，着重于描述系统的数学关系和规律。
物理模型是一种用物理理论和实验数据建立的模型，它通过对系统的物理结构和特性进行建模，描述系统的运动和行为。
物理模型常常是通过实验数据和物理定律得到的，更直观地反映了真实系统的性质和特征。
物理模型的特点是具体性强，能够直观地展现系统的物理特性和行为。
二、数学模型和物理模型在动力学仿真中的作用和应用数学模型在动力学仿真中具有重要的作用，它能够通过建立数学方程来描述系统的动力学行为，并进行数值计算和仿真分析。
例如，在机械系统动力学仿真中，可以利用牛顿运动方程和拉格朗日方程建立机械系统的数学模型，对系统的运动轨迹和受力情况进行仿真分析。
数学模型能够提供对系统的精确描述和深入分析，具有广泛的应用领域和灵活的建模方法。
物理模型在动力学仿真中也扮演着重要的角色，它能够通过对系统实际物理结构和特性的建模来进行仿真分析。
例如，在流体动力学仿真中，可以利用纳维-斯托克斯方程建立流体系统的物理模型，对流场和压力场进行仿真分析。
物理模型能够直观地展现系统的物理特性和行为，具有较强的可视化效果和直观性。
三、数学模型和物理模型的优缺点比较分析数学模型的优点包括：1.精确性高：数学模型能够提供对系统的精确描述和深入分析，能够准确预测系统的行为和性能。
2.灵活性强：数学模型具有灵活的建模方法和丰富的数学工具，能够适应不同系统的建模需求和仿真分析。
数学模型复习知识点
内在规律，做出一些必要的简化假设，还用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2.数学模型的一般步骤：模型准备、模型假设、模型的构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
3.数学建模的过程描述：表述、求解、解释、验证几个阶段。
并且通过这些阶段阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实兑现的循环。
4.量纲其次原则：以若干物理量为基本量纲，运用物理学公式，对相关的物理问题求解，用数学公式表示一些物理量之间的关系时，公式等号两端必须有相同的量纲。
5.量纲分析：就是利用量纲其次原则建立的物理量之间的数学模型。
6.层次分析法的基本步骤：建立层次结构模型、构造成对比较矩阵、计算权向量并做一致性检验、计算组合权向量并做组合一致性检验。
7.模型的逼真性：即为根据客观事物的特性，作出能真实反映其内部机理，较直观模型的可行性：即根据内部机理的数量规律，通过对数据的测量和统计分析，按照一定准侧做出的与数据拟合最好的模型。
模型的逼真性和可行性相辅相成，只有相互依存，才能使模型构成的更好。
8.（效用函数）无差别曲线：描述甲对物品x和y的偏爱程度，如果占有x1数量的x和y1数量和占有x2的x和y2的y，对甲某来说是同样满足的话，称p2和p1对甲是无差别的。
9.无差别曲线的特点：无差别曲线有无数条、无差别曲线是下凸的、单调的、互不相交的。
10.对无差别曲线做下凸形状作如下解释：当人们占有的x较少时，人们宁愿用较多的△y 换取较少的△x，当人们占有较多的△x时，人们愿意用较多的△x换取较少的△y满足这种特性的曲线是下凸的。
11.数学规划模型属于多元函数的条件极值问题的范围，其决策变量个数n和约束条件个数一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，数学规划是解决这类问题的有效方法。
分类：①线性规划②非线性规划③整数规划12.数学建模的重要意义：①在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。
②在高新技术领域，数学模型几乎是必不可少的工具。
数学建模概述
• 在国民经济中的数学模型：
产品的设计与制造 系统的控制与优化 质量控制 预报与决策
• 数学模型和数学技术 ：
资源环境 其它：气象预报等
在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具 数学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术。 高技术本质上是一种数学技术。
课程简介
1 现状： •数学建模是一门新兴的学科，20世纪70年代 初诞生于英、美等现代工业国家。在短短几十 年的历史瞬间辐射至全球大部分国家和地区。 •80年代初，我国高等院校也陆续开设了数学 建模课程，随着数学建模教学活动（包括数学 建模课程、数学建模竞赛(1992,每年9月)和数 学（建模）试验课程等）的开展，这门课越来 越受到重视。
从智力游戏到数学建模 ——人、狗、鸡、米过河问题
问题： 某人要带狗、鸡、米过河，但小船除需 要人划外，最多只能载一物过河，而当人不 在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如 何过河才能将狗、鸡和米都带过河。
第1章 数学建模概述
1.1 数学建模介绍 1.2 数学建模的一般步骤 1.3 数学建模示例
根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学建模（Mathematical Modeling)：
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等） 现实对象的 信息
证验 解释 表述
数学模型
求 解
（ 演 绎 ）
（归纳）
现实对象的 解答
数学模型的 解答
现实对象与数学模型的关系
§1.3 数学建模示例
我们通过一些最简单的实例来说明微分方程建 模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分 方程是十分常用的数学工具之一。
我们来建立如下的一些问题的模型：
数学建模简介1
数学建模的方法和步骤
模型假设
在明确建模目的，掌握必要资料的基础上， 通过对资料的分析，根据对象的特征和建 模目的，找出起主要作用的因素，对问题 进行必要的、合理的简化，用精确的语言 提出若干符合客观实际的合理假设。
数学建模的方法和步骤
模型假设
作出合理假设，是建模至关重要的一步。 如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是 一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超 的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判 断力 ，善于辨别主次，而且为了使处理方 法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
看谁答得快
1、某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下 午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下 山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中 的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？
2、两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反 的两所学校上学，每天同时放学后分别以4千米/ 小时和2千米/小时的速度步行回家，一小狗以6千 米/小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔 向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多 少路程？
四、模型的特点：
逼真性和可行性 渐进性 强健性 可移植性 非预测性 条理性 技艺性 局限性
五、建模能力的培养：
具有广博的知识（包括数学和各种实际知 识）、丰富的经验、各方面的能力、注意 掌握分寸。
具有丰富的想象力和敏锐的洞察力
类比法和理想化方法
直觉和灵感
实例研究法
学 习 、 分 析 别 人 的 模 型 亲 手 去 做
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
什么是数学建模
什么是数学模型？
简单地说：数学模型就是对实际问题的一种 数学表述。
具体一点说：数学模型是以部分现实世界为某 种研究目的的一个抽象的、简化的数学结构。 这种数学结构可以是数学公式、算法、表格、 图示等。
1模型简介
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万） 百万） 美国人口数据（单位 百万
1860 1870 31.4 38.6 1880 50.2 …… 1960 …… 179.3 1970 1980 204.0 226.5 1990 251.4
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 年 人口(亿 10 20 30 40 50 60 人口 亿) 5 中国人口增长概况 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 年 人口(亿 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 人口 亿) 3.0 4.7 研究人口变化规律 控制人口过快增长
r s = xm
r~固有增长率 很小时 固有增长率(x很小时 固有增长率 很小时)
人口容量（ xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） 人口容量 资源、环境能容纳的最大数量）
r (xm ) = 0
x r ( x ) = r (1 − ) xm
阻滞增长模型( 模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) 模型
求解
x =20 y =5
船速每小时20千米 小时. 千米/ 答：船速每小时 千米/小时.
航行问题建立数学模型的基本步骤 航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）； 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用符号表示有关量（ 表示船速和水速 表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 用物理定律（ 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 求解得到数学解答（ ）； • 回答原问题（船速每小时 千米 小时）。 回答原问题（船速每小时20千米 小时）。 千米/小时
数学模型概论
人工智能与数学建模结合
人工智能算法和数学建模将进一步结 合，利用机器学习和深度学习技术进 行模型优化和预测。
面临的挑战与问题
模型的可解释性
多尺度建模
随着深度学习等黑箱模型的普及，模型的 可解释性成为关注焦点，如何解释模型决 策过程是亟待解决的问题。
多尺度现象在许多领域中普遍存在，如何 建立多尺度模型以描述不同尺度间的相互 作用是挑战之一。
供需关系
通过建立数学模型分析市场供需关系， 预测商品价格和供求量，为企业制定 生产和销售策略提供依据。
社会领域
人口预测
利用数学模型预测人口数量和结构变化 ，为政府制定人口政策和规划提供依据 。
VS
社会网络分析
通过建立数学模型分析社会网络结构，研 究人际关系、信息传播等社会现象。
生物领域
生态平衡
数学模型在生态学中的应用，如种群动态、生态平衡等，用于研究生态系统的行为和演化。
模型验证与修正
总结词
模型验证是确保模型准确性和可靠性的重要 步骤，而修正则是在模型出现问题时的必要 措施。
详细描述
验证方法包括对比实验、历史数据拟合等， 通过对比实际数据和模型预测结果，可以评 估模型的精度和误差。当模型出现偏差或异 常时，需要进行修正，这可能涉及到参数调 整、变量替换或模型结构修改等。修正后的 模型需要重新验证以确保其准确性和适用性
控制问题
总结词
数学模型在控制问题中起到核心作用，通过建立控制 系统的数学模型，可以实现有效的控制和调节。
详细描述
控制问题是指通过一定的控制手段，使系统达到预期的 状态或性能指标。数学模型可以建立控制系统的动态方 程和性能指标，通过分析和设计控制算法，实现系统的 稳定性和性能优化。例如，在机械系统中，数学模型可 以描述机械的运动状态和受力情况，设计控制器使得机 械系统能够稳定运行并达到预期的运动轨迹。