哈工大考研管理运筹学第六章(二)树和最小支撑树
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运筹学——.图与网络分析-最短路
可选择的最短路为
(v5 , v6 ), (v5 , v7 ).
min{ k24, k34, k56, k57} min{9,10,13,14} 9
① 给(v2 , v4 )
划成粗
线②。给v4 标号（9）。
③ 划第5个弧。
v2 (4) 5 v4(9) 9 v6 (13)
4 4
v1 (0)
1
75
v2 (4)
5
v4
9
v6
4
1
v1 (0)
4
75
5
v8
①
64
1
②
v3(6)
7 v5 6
v7
③
3）接着往下考察，有三条路可走：(v1, v3 ), (v2, v4 ), (v2 , v5 ).
可选择的最短路为
min{ k13, k24, k25} min{l13, l12 d24,l12 d25} min{ 6,4 5,4 4} 6
第6章 图与网络分析
本章内容重点
图的基本概念与基本定理 树和最小支撑树 最短路问题 网络最大流
引
言
图论是应用非常广泛的运筹学分 支，它已经广泛地应用于物理学控制论，信 息论，工程技术，交通运输，经济管理，电 子计算机等各项领域。对于科学研究，市场 和社会生活中的许多问题，可以同图论的理 论和方法来加以解决。例如，各种通信线路 的架设，输油管道的铺设，铁路或者公路交 通网络的合理布局等问题，都可以应用图论 的方法，简便、快捷地加以解决。
若已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的残值与 维修费，如表2所示.
项目 购买费 机器役龄 维修费 残值
第1年 11 0-1 5 4
管理运筹学 易错判断题整理
6.2 1 网络图的构成要素：作业，紧前作业，紧后作业，虚工作，事件， 起点事件，终点事件。
2 网络图的线路与关键路线。 3 最早时间，最迟时间，作业的最早开始，最早结束，最迟开始， 最迟结束时间，作业的总时差，自由时差的概念及计算方法。
判断题： 1 在任一图G中，当点集V确定后，树图是G中边数最少的连通图。 √ 2 一个具有多个发点和多个收点的求网络最大流问题一定可以转化为 求具有单个发点和单个收点的求网络最大流问题。
√ 6. 任何线性规划总可用大M单纯形法求解。
√ 7. 凡能用大M法求解也一定可用两阶段法求解。
√ 8. 两阶段法中第一阶段问题必有最优解。
√ 9. 两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量,则原问题有最优 解。
× 10. 人工变量一旦出基就不会再进基。
√ 11. 当最优解中存在为零的基变量时,则线性规划具有多重最优解。 ×
× 5 如果运输问题或者转运问题模型中，Cij 都是产地i到销地j的最小 运输费用，则运输问题同转运问题将得到相同的最优解。
√
第三章：目标规划
主要内容： 1 描述目标规划建模的思路以及他的数学模型同一般线性 数学模型的相同和不同点。 2 解释下列变量：1正负偏差变量 2绝对约束和目标约束 3 优先因子与权系数。 3 目标规划图解法的步骤。 4 目标规划 目标函数特点。 判断题： 1 目标规划模型中，可以不含有绝对约束但是必须含有目 标约束。
1 最优对策中，如果最优解要求一个人呢采取纯策略，则另一个人也必须采取纯策 ×
2 在两人零和对策支付矩阵的某一行或某一列上加上常数k 将不影响双方各自的最优 ×
3 博弈的纳什均衡是博弈双方达到均势平衡的解，也是使博弈双方得到最好结果的 ×
2 网络图的线路与关键路线。 3 最早时间，最迟时间，作业的最早开始，最早结束，最迟开始， 最迟结束时间，作业的总时差，自由时差的概念及计算方法。
判断题： 1 在任一图G中，当点集V确定后，树图是G中边数最少的连通图。 √ 2 一个具有多个发点和多个收点的求网络最大流问题一定可以转化为 求具有单个发点和单个收点的求网络最大流问题。
√ 6. 任何线性规划总可用大M单纯形法求解。
√ 7. 凡能用大M法求解也一定可用两阶段法求解。
√ 8. 两阶段法中第一阶段问题必有最优解。
√ 9. 两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量,则原问题有最优 解。
× 10. 人工变量一旦出基就不会再进基。
√ 11. 当最优解中存在为零的基变量时,则线性规划具有多重最优解。 ×
× 5 如果运输问题或者转运问题模型中，Cij 都是产地i到销地j的最小 运输费用，则运输问题同转运问题将得到相同的最优解。
√
第三章：目标规划
主要内容： 1 描述目标规划建模的思路以及他的数学模型同一般线性 数学模型的相同和不同点。 2 解释下列变量：1正负偏差变量 2绝对约束和目标约束 3 优先因子与权系数。 3 目标规划图解法的步骤。 4 目标规划 目标函数特点。 判断题： 1 目标规划模型中，可以不含有绝对约束但是必须含有目 标约束。
1 最优对策中，如果最优解要求一个人呢采取纯策略，则另一个人也必须采取纯策 ×
2 在两人零和对策支付矩阵的某一行或某一列上加上常数k 将不影响双方各自的最优 ×
3 博弈的纳什均衡是博弈双方达到均势平衡的解，也是使博弈双方得到最好结果的 ×
运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
第六章 图与网络最小支撑树问题运筹学基础及其应用胡运权第五版
§6.2 最小支撑树问题 Ch6 Graph and Network
Minimum Spanning Tree Problem 2020年2月28日星期五 Page 1 of 5
树、支撑树：
无圈的连通图称为树； 若G1是G2的一个支撑子图并且是一棵树， 则称G1是G2的一棵支撑树。
图6－2(a)、6－2(b)都不是树。想一想，为什么？
求最小树是在一个赋权无向连通图G中求一棵最小支撑树。 求最小树问题的应用： • 电信网络（计算机网络、电话专用线网络、有线电视网络等等） 的设计 • 低负荷运输网络的设计，使得网络中提供链接的部分（如铁路、 公路等 等）的总成本最小 • 高压输电线路网络的设计 电器设备线路网络（如数字计算机系统）的设计，使得线路总长 度最短 • 连接多个场所的管道网络设计
2、树图也是最脆弱的连通图。
§6.2 最小支撑树问题 Ch6 Graph and Network
Minimum Spanning Tree Problem 2020年2月28日星期五 Page 3 of 5
2-2 图的最小支撑树
定义：设G＝[V,E,W]是一个赋权无向图，对每一条边ei∈E有 一个权重W(ei) ≥0,G的任意支撑树T各条边的权重之和称为树 T的权重，记为W（T）。权重最小的支撑树称为最小树。
图6－3(a)是一棵树，图6－3(b)是图6－1的一棵支撑树。
v2
e1
e2 e4 v1 e3
e5
v3
e2 v1 v2
e3
e2
v3 v2
v1
v3
e6
e7
e8
e6
e7
e8
v4
v5
图6－1
v5 v4
v5
Minimum Spanning Tree Problem 2020年2月28日星期五 Page 1 of 5
树、支撑树：
无圈的连通图称为树； 若G1是G2的一个支撑子图并且是一棵树， 则称G1是G2的一棵支撑树。
图6－2(a)、6－2(b)都不是树。想一想，为什么？
求最小树是在一个赋权无向连通图G中求一棵最小支撑树。 求最小树问题的应用： • 电信网络（计算机网络、电话专用线网络、有线电视网络等等） 的设计 • 低负荷运输网络的设计，使得网络中提供链接的部分（如铁路、 公路等 等）的总成本最小 • 高压输电线路网络的设计 电器设备线路网络（如数字计算机系统）的设计，使得线路总长 度最短 • 连接多个场所的管道网络设计
2、树图也是最脆弱的连通图。
§6.2 最小支撑树问题 Ch6 Graph and Network
Minimum Spanning Tree Problem 2020年2月28日星期五 Page 3 of 5
2-2 图的最小支撑树
定义：设G＝[V,E,W]是一个赋权无向图，对每一条边ei∈E有 一个权重W(ei) ≥0,G的任意支撑树T各条边的权重之和称为树 T的权重，记为W（T）。权重最小的支撑树称为最小树。
图6－3(a)是一棵树，图6－3(b)是图6－1的一棵支撑树。
v2
e1
e2 e4 v1 e3
e5
v3
e2 v1 v2
e3
e2
v3 v2
v1
v3
e6
e7
e8
e6
e7
e8
v4
v5
图6－1
v5 v4
v5
运筹学胡运权第五版(第6章)ppt课件
即n=k时结论也成立。 综上，n阶树有n-1条边。
.
（3）任何有n个点、n-1条边的连通图是树。
证明（反证法）： 假设n个点，n-1条边的连通图中有圈，则在该圈中去掉一
条边得到的子图仍连通，若子图仍有圈，则继续在相应圈中去 掉一条边，…，直到得到无圈的连通图，即为树。但是该树有 n个点，边数少于n-1,矛盾！
其中
i
dij（1）= min { dir（0）+ drj（0）}
dir（0）
r
r
drj（0）
j
即dij(1)为D(0)中第i行和第j行对应元素之和的最小值
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
V1 0 5 2 7 12 6 ∞
D（1）= V2 5 0 7 2 7 4 10
V3 2 7 0 6 5 4 10
.
最小部分树长Lmin=14
1、最短路问题
*§6.3 最短路问题
从已知的网络图中找出两点之间距离最短（即权和 最小）的路。
2、相关记号
（1）dij表示图中两个相邻点i和j之间的距离（即权）。 易见 dii=0 约定：当i和j不相邻时，dij=∞
（2）Lij表示图中点i和j之间的最短距离（即最小权和）。 易见 Lii=0
V2
7
5 V1
2
2
6
V4
7
2
V3
4
.
3 V7
1 6
V6
* 4、矩阵算法
求任意两点间最短距离的方法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵
记做D(0)= dij(0)
其中dij(0)=dij
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
V1 0 5 2 ∞ ∞ ∞ ∞
.
（3）任何有n个点、n-1条边的连通图是树。
证明（反证法）： 假设n个点，n-1条边的连通图中有圈，则在该圈中去掉一
条边得到的子图仍连通，若子图仍有圈，则继续在相应圈中去 掉一条边，…，直到得到无圈的连通图，即为树。但是该树有 n个点，边数少于n-1,矛盾！
其中
i
dij（1）= min { dir（0）+ drj（0）}
dir（0）
r
r
drj（0）
j
即dij(1)为D(0)中第i行和第j行对应元素之和的最小值
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
V1 0 5 2 7 12 6 ∞
D（1）= V2 5 0 7 2 7 4 10
V3 2 7 0 6 5 4 10
.
最小部分树长Lmin=14
1、最短路问题
*§6.3 最短路问题
从已知的网络图中找出两点之间距离最短（即权和 最小）的路。
2、相关记号
（1）dij表示图中两个相邻点i和j之间的距离（即权）。 易见 dii=0 约定：当i和j不相邻时，dij=∞
（2）Lij表示图中点i和j之间的最短距离（即最小权和）。 易见 Lii=0
V2
7
5 V1
2
2
6
V4
7
2
V3
4
.
3 V7
1 6
V6
* 4、矩阵算法
求任意两点间最短距离的方法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵
记做D(0)= dij(0)
其中dij(0)=dij
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
V1 0 5 2 ∞ ∞ ∞ ∞
运筹学第六章6.2最短路问题
二、最短路算法： 最短路算法：
1． D氏标号法（Dijkstra） 氏标号法（Dijkstra） （1）求解思路 求解思路——从始点出发，逐步顺序 从始点出发， 从始点出发 地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最 地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最 短的。 短的。 （2）使用条件 使用条件——网络中所有的弧权均 网络中所有的弧权均 非负， 非负，即 wij ≥ 0 。
（4） 计算步骤及例：
第三步：若网络图中已无T标号点 标号点， 第三步：若网络图中已无 标号点，停止 计算。否则 令 计算。否则,令
T ( v j0 ) =ຫໍສະໝຸດ min {T ( v )}
v j ∈s j
,
标号改成P 然后将 v j0 的T 标号改成 标号 ，转入第 二步。 二步。 此时，要注意将第二步中的 v1 改为 v j0 。 此时，
2 ,3, L , N ）
使用条件— 使用条件—没有负回路
3. 海斯算法
算法思想： 算法思想： 利用v 利用 vi 到 vj 的一步距离求出 vi 到 vj 的一步距离求出v 的两步距离, 的两步距离 , 再由两步距离求出四步 距离,经有限步迭代即可求得v 距离,经有限步迭代即可求得vi到vj的 最短路线和最短距离。 最短路线和最短距离。
6-2. 最 短 路 问 题
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法 问题的提法——寻求网络中两点间 寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数为最小的通路。 注意： 总权数为最小的通路。（注意：在有向 图中，通路——开的初等链中所有的弧 开的初等链中所有的弧 图中，通路 开的初等链 应是首尾相连 首尾相连的 应是首尾相连的） （2）应用背景 应用背景——管道铺设、线路安排、 管道铺设、线路安排、 管道铺设 厂区布局、设备更新等。 厂区布局、设备更新等。
第6章 图与网络分析02-1-树与支撑树
j
h i
图6.3.1
Ludong University
k l m n
2
2012-10-25
第六章 图与网络分析
图与子图 图的连通性
树与支撑树 树与割集
树及其基本性质
最小树问题 最短有向路问题 最大流问题 最小费用流问题
图的割集
最大对集问题
2012-10-25
Ludong University
图与网络分析
Graph and Network Analysis
Ludong University
引言
在各种各样的图中，有一类结构最简单但又十分重要的图, 这就是树。树在自然科学和社会科学的许多领域都有广泛的应 用。例如乒乓球单打比赛抽签后,可用树来表示相遇情况,如图 6.3.1。
运 动 员
g a b c de f
2012-10-25 Ludong University 11
割集—支撑树
定理 6.3.7 设 T 是连通图 G 的支撑树， e 是 T 的一条边，则 (1)余树 T 不包含 G 的割集； (2) T e 包含 G 唯一的割集。 证 (1)设 是 G 的割集。则 G 不连通，因而它不能包含支撑树 T 。所
图6.3.7
定理 6.3.1 e 是 G 的割边当且仅当 e 不包含在 G 的任何一个圈 中。
2012-10-25 Ludong University 6
树的基本性质
定理6.3.2 设 T N , E 是 | N | 3 的一个树，则它有下列性质。
（1） T 连通且无回路；
v1 v3
2012-10-25
图6.3.5
哈工大集合论习题课-第六章 树及割集 习题课(学生)
的顶点集）之间的顶点。
不妨假设，若某条边关联中的两个顶点，设为和，又因为根据上述
的标记法则，有到的路和到的路。设与离和最近的顶点为，所以，树中
存在回路：，与树中无回路的性质矛盾。所以，任意边只能关联（标记
为1的顶点集）和（标记为0的顶点集）之间的顶点。所以，任意一棵非
平凡树都是偶图。
证2 设是任一棵非平凡树，则无回路，即中所有回路长都是零。而
第六章 树及割集
习题课1
课堂例题 例1 设T是一棵树，T有3个度为3顶点，1个2度顶点，其余均是1度 顶点。则 （1）求T有几个1度顶点？ （2）画出满足上述要求的不同构的两棵树。 分析：对于任一棵树，其顶点数和边数的关系是：且，根据这些性 质容易求解。 解：（1）设该树的顶点数为，边数为，并设树中有个1度顶点。于 是 且，，得。 （2）满足上述要求的两棵不同构的无向树，如图1所示。
在（4），（5）中有三个星形图，但三个星形图是各有两个是
同构的，因而各可产生两棵非同构的树，分别设为和。
在（6）中，有四个星形图，有三个是同构的，考虑到不同的排
列情况，共可产生三棵非同构的树，设为。
在（7）中，有五个星形图，都是同构的，因而可产生1棵树，
设为。
七个顶点的所有非同构的树如图2所示。
T1
零是偶数，故由偶图的判定定理可知是偶图。
例7（1）一棵无向树有个度数为的顶点，。均为已知数，问应为多少？
（2）在（1）中，若未知，均为已知数，问应为多少？
解：（1）设为有个顶点，条边无向树，则，。由握手定理：
，有，即
。
①
由式①可知：
。
（2）对于，由①可知：
。
例8证明：任一非平凡树最长路的两个端点都是树叶。
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一、树的概念(Tree) 无圈的连通图称为树
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、树的性质
性质1 如果树T的点数不小于2，那么至少有两 个悬挂点 性质2 如果一个图G具有n个顶点，那么图G是一 个树的充分必要条件是图G不含圈且恰有n-1条边。 性质3 如果一个图G具有n个顶点，那么图G是一 个树的充分必要条件是图G是连通图且恰有n-1条边 性质4 图G是一个树的充分必要条件是任意两 个顶点恰有一条链
三、图的支撑树(minimum spanning tree)
三、图的最小支撑树 图G权最小的支撑树称为最小支撑树
算法1(避圈法， Kruskal法) 将边按权从小到 大依次添入图中， 若出现圈，则删去 其中最大边，直至 填满n-1条边为止(n 为顶点数)。
1 5
2
3
4
三、图的最小支撑树
算法2(破圈法) 在图中找圈，并 删除其中最大边.如 此进行下去, 直至图 中没有圈止.
二、树的性质
设T是一个点数大于3的树，则下列六个定 义是等价的：
（1）T连通且无回路；
（2）T有条边且无回路； （3）T连通且有条边； （4）T连通且每条边都是割边； （5）T的任两点间都有唯一的路相连；
（6）T无回路，但在任一对不相邻的点间 加连一条边，则构成唯一的一个回路。
三、图的支撑树(minimum spanning tree)
1 5
2
3
4
三、图的最小支撑树
算法3(Prim法) 在图中找圈，并删 除其中最大边.如此进 行下去, 直至图中没有 圈止.
1 5
2
3
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、树的性质
性质1 如果树T的点数不小于2，那么至少有两 个悬挂点 性质2 如果一个图G具有n个顶点，那么图G是一 个树的充分必要条件是图G不含圈且恰有n-1条边。 性质3 如果一个图G具有n个顶点，那么图G是一 个树的充分必要条件是图G是连通图且恰有n-1条边 性质4 图G是一个树的充分必要条件是任意两 个顶点恰有一条链
三、图的支撑树(minimum spanning tree)
三、图的最小支撑树 图G权最小的支撑树称为最小支撑树
算法1(避圈法， Kruskal法) 将边按权从小到 大依次添入图中， 若出现圈，则删去 其中最大边，直至 填满n-1条边为止(n 为顶点数)。
1 5
2
3
4
三、图的最小支撑树
算法2(破圈法) 在图中找圈，并 删除其中最大边.如 此进行下去, 直至图 中没有圈止.
二、树的性质
设T是一个点数大于3的树，则下列六个定 义是等价的：
（1）T连通且无回路；
（2）T有条边且无回路； （3）T连通且有条边； （4）T连通且每条边都是割边； （5）T的任两点间都有唯一的路相连；
（6）T无回路，但在任一对不相邻的点间 加连一条边，则构成唯一的一个回路。
三、图的支撑树(minimum spanning tree)
1 5
2
3
4
三、图的最小支撑树
算法3(Prim法) 在图中找圈，并删 除其中最大边.如此进 行下去, 直至图中没有 圈止.
1 5
2
3
4