苏州大学 微积分复习题
微积分(二)期末练习解答
苏州大学 微积分（二） 期末练习答案一、填空题1．92222=-+z y x 2．xy e xzz -或)1(-z y z 3．必要条件 4．481-5．1(,)x y x y e e ⎧⎫≤+≤⎨⎬⎩⎭6. dx ＋dy 7．0 8. 0；9. 收敛 10．0二、解答题1. 求函数3222--=y x z 在闭区域222≤+y x 上的最大值和最小值. 解：02==∂∂x x z 04=-=∂∂y yz 驻点(0,0) 令)2(32),,(2222-++--=y x y x y x F λλ ，求出驻点)0,2(),2,0(±± 1max -=z 7m i n -=z2. 设函数),(y x z z =是由ln x zz y =所确定，求dz 解：设)sin(),,(2z x e z y x F yx +=-)c o s ()s i n (22z x e z x e F y x y x x +++=-- )s i n (22z x e F yx y +-=-)c o s (2z x eF yx z +=-))tan(1(z x x z ++-=∂∂ ，)tan(2z x yz +=∂∂ dy z x dx z x dz )tan(2)tan(1(++++-=3. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x cos sin 2 )20(π≤≤t 平行于平面1y z +=的切线方程.解：切向量}sin ,cos ,2{00t t T -=}1,1,0{⊥T ，求出切点为)22,22,2(π和)22,22,25(--π 切线方程为2222222222--=-=-z y x π和22222222225+=-+=-z y x π4.⎰⎰Dxydxdy ,其中D由1,2y y x ==所围成的区域.解：⎰⎰⎰⎰=23131xDxydy dx xydxdy ＝1083255. 求微分方程20yy y '''-=的通解。
完整word版,苏州大学期末高数样卷(附答案)
苏州大学微积分课程样卷一． 填空题：（每题3分，共30分）1．函数ln y x =+的定义域是 . 2. 极限=→xx x 4sin lim 0 . 3. 已知ln 3y =，则y '= .4. 不定积分=⎰dx x 5sin .5.定积分 12 0e )x dx ⎰= . 6. 设11002A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，13112B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1()AB -= . 7. 已知21,1,()11,1x x f x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩是连续函数，则常数a = .8. 微分3e x d x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 9. 袋中有红、黑二种彩球，已知随机取出一球为黑球的概率是13，且有红球6个，则袋中黑球个数为 .10. 已知随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ，那么(0)P ξ<<+∞= .二．解下列各题：（每题5分，共30分）1．计算极限：03sin 3sin lim x x x x x→-+.2．求2sin 34y x x =+的二阶导数.3．求函数e x y x =-的极值.4．计算不定积分：()2cos sin x x xdx +⎰.5．计算定积分： 1 02⎰.6. 求行列式123231312D =的值.三．（10分）求矩阵1001011001000001A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.四．（ 10分）求由曲线3y x =和直线2y x =围成的图形的面积.五．（10分）用消元法解线性方程组1231231232262435728x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩.六．（10分）已知随机变量ξ的概率密度函数sin,0π, ()20,ax xp x⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，求常数a的值，并计算π(0)2Pξ<<.。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案第一题：求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的极值点和拐点。
解析：首先，我们需要找到函数的极值点。
极值点对应于函数的导数为零的点。
对函数 f(x) 求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
令导数等于零，我们得到一个二次方程 3x^2 - 6x + 2 = 0。
使用求根公式，可以解得这个二次方程的解为x = 1 ± √(2/3)。
所以函数的极值点为x = 1 + √(2/3) 和 x = 1 - √(2/3)。
接下来，我们需要找到函数的拐点。
拐点对应于函数的二阶导数为零的点。
对函数 f(x) 求二阶导数得到 f''(x) = 6x - 6。
令二阶导数等于零，我们得到 x = 1，这是函数的一个拐点。
综上所述，函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 的极值点为x = 1 + √(2/3)和 x = 1 - √(2/3)，拐点为 x = 1。
第二题：已知函数 f(x) = e^x，在点 x = 0 处的切线方程为 y = mx + b，求参数 m 和 b 的值。
解析：切线方程的斜率 m 等于函数在给定点的导数。
对函数 f(x) = e^x 求导得到 f'(x) = e^x。
根据题意，在 x = 0 处求切线，所以我们需要计算函数在 x = 0 处的导数。
将 x = 0 代入函数的导数表达式中，我们得到 f'(0) = e^0 = 1。
所以切线的斜率 m = 1。
切线方程的常数项 b 可以通过将给定点的坐标代入切线方程求解。
由题意知道切线过点 (0, f(0))，即 (0, e^0) = (0, 1)。
将点 (0, 1) 代入切线方程 y = mx + b，我们得到 1 = 0 + b，解得 b = 1。
综上所述，切线方程为 y = x + 1。
第三题：计算函数f(x) = ∫(0 to x) sin(t^2) dt。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。
A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。
A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。
答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。
导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。
2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。
通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。
微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。
四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。
答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。
微积分(一)样卷
苏州大学 微积分（一）课程试卷样卷一. 填空题（每小题3分，共15分）1．设2x π<2．设()y y x =.3．ln y x =−x 4．142121ln 1x x dx x−+−∫ 5．01sin lim()1sin x x x→−+二. 单选题（每小题3分，共15分）1. 设10,()ab f x x<=，则在a x 内使b <<()()()()f b f a f b a ξ′−=−成立的点ξ（ ）. （A ）有两个点 （B ）只有一个 （C ）不存在 （D ）是否存在与之值有关 ,a b 2. 已知曲线的参数方程是L 4(sin )4(1cos )x t t y t =−⎧⎨=−⎩，则曲线上L 2t π=处的切线方程是（ ）. （A ）2x y π+= （B ）2x y 8π−=− （C ）2x y π−= （D ）28x y π+=−3. 设函数()f x 满足关系式，若且，则函数''()'()3()0f x f x f x −+≡0()0,f x >0'()0f x =()f x 在点0x 处（ ）.()A 取得极小值 ()B 取得极大值 某个邻域内单调增加 某个邻域内单调减少()C ()D 4. 曲线r 1θ=从32πθ=到23πθ=一段弧长为（ ）.()A θ ()B θ ()C θ 1()D θ⎛⎞⎜⎟⎝⎠ 5. 极限lim(x x →∞（ ）.(A) 0 (B) (C) −∞+∞ (D)不存在三. 试解下列各题：1．（8分）设2ln(1)1arctan x t y t t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(0t ≠)，求dy dx 和22d y dx . 2. （8分）求极限sin tan lim ln x xx e e x ππ→−. 3．（8分）求.4. （8分）若'()f u 在[0上连续，计算,1]()()20sin sin 'sin cos f x x f x x d πx ⎡⎤−⎣⎦∫. 5．（8分）计算0π∫.四. （10分）求由曲线sin ,cos (02y x y x x π==≤≤与直线0,2x x π==所围图形分别绕,x y 轴旋转一周而成的旋转体的体积.五．（10分）设函数()f x 在[,上正值连续，求证在[,上存在一点]a b ]a b ξ，使直线x ξ=将曲线与所围的曲边梯形的面积二等分.()y f x =,,x a x b y ===0六．（10分）求解x x y y x ln =−′，2|==e x y .。
苏州大学高等数学题库
2
5．
∫ xydx + x
L
2
ydy 其中 L 是沿抛物线 y = 1 − x 2 从点 A(1, 0) 到点 B (−1, 0) 的一段弧.
三． （A 类题，5 分）计算 ∫L yds ，其中 L 是曲线 y = x 2 上点 (0, 0) 到 ( 2 , 2) 之
间的一段弧.
（B 类题，10 分） ∫∫ ( x 2 + y )dσ , D : x 2 + y 2 ≤ a 2
1
2．设函数 z = z ( x, y ) 是由 e
x−2 y
sin( x + z ) = 0 所确定，求 dz .
3．设 z = yf ( 2 x, ) ，其中 f (u , v) 是可微函数，求
y x
∂z ∂z , . ∂x ∂y
4．
∫∫ (2 x + y)dσ ，其中 D 由 y
D
2
= x 和 x = 1 所围成的平面区域.
L
P( x, y ), Q( x, y ) 在包含 L 的区域内具有一阶连续偏导数.
xn 10、幂级数 ∑ 的和函数为 n = 2 n!
∞
.
二． 解下列各题： （每小题 6 分，共 30 分）
1．求直线
x + 2 y − 2 z +1 与平面 2 x + 3 y + 3z − 8 = 0 的交点. = = 3 −1 2
D
四、 类题，5 分）求 ∑ nx n 的和函数，并写出收敛域 （A
n =1
∞
3
（B 类题，10 分）求级数 ∑ (−1) n
n =1
∞
n +1 的和 (2n + 1)!
微积分复习题
复习题 一：选择题1：如果322sin 3lim0=→x mx x ;则m=A 32,B 23, c 94, D 49. 2: 当x →∞时, 下列变量中是无穷小量的是A 221)1sin(x x x --,B 221sin )1(xx x --, C xx x 2211sin)1(--, Dx x x221sin 11-- 3: 函数fx=0{11--x e11=≠x x 在点x=1处A 连续B 不连续, 但有右连续.C 不连续, 但有左连续.D 左,右都不连续4: 设fx=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+b x x ax x 1sin sin 1000>=<x x x 在x=0处, 不一定正确的结论是 (A) 当a=1时fx 左连续, B 当a=b 时fx 右连续, C 当b=1时fx 必连续, D 当a=b=1时fx 必连续 5: 若),1()1(2-=-x x x f 则fx=A 2)1(+x x , B 2)1(-x x , C )1(2+x x , D )1(2-x x 6: 函数21)(x x f --= 0<x<1 的反函数)(1x f -A 21x - B-21x - C21x --1<x<0 D -21x --1<x<07: 下列函数y=fu,u=φx 中能构成复合函数y=f φx 的是 A 1)(,11)(2+-==-==x x u u u f y ϕBy=fu=lg1—u, u=φx=12+x Cy=fu=arcsinu, u=φx= 22+x Dy=fu=arccosu, u=φx= 22+-x8: 设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=00)(312x xx x x f 则fx 在x=0处A 左导数不存在, 右导数存在B 右导数不存在, 左导数存在C 左, 右导数都存在D 左, 右导数都不存在9: 在曲线y=lnx 与直线x=e 的交点处, 曲线y=lnx 的切线方程是 A 0=-ey x B 02=--ey x C 0=-y ex D 0=--e y ex10: 设fx=⎪⎩⎪⎨⎧01cos 2xx 0=≠x x 则fx 在点x=0处 A 极限不存在, B 极限存在但不连续 C 连续但不可导 D 可导 11`:设fx=⎩⎨⎧≥<00x xex xx 在点x=0处, 下列结论错误的是A 连续B 可导C 不可导D 可微12: 函数3123)(x x x f -=在下列区间上不满足垃格朗日定理条件是A0,1 B--1,1 C0,27/8 D--1,0 13: 求下列极限, 能直接使用洛必达法则的是Ax x x sin lim ∞→ B x xx sin lim 0→ C x x x 3sin 5tan lim 2π→D x x x x sin 1sin20lim →14: 设函数fx 在开区间a,b 内有0)('<x f 且,0)("<x f 则y=fx 在a,b 内 A 单调增加, 图形上凹 B 单调增加, 图形下凹 C 单调减少, 图形上凹 D 单调减少, 图形下凹15:fx=||31x , 点x=0是fx 的A 间断点B 极小值点C 极大值点D 拐点16：关于函数231)(xx x f -=的结论错误的是 A 有一个零点 B 有两个极值点 C 有一个拐点 D 有两条渐近线 17下列函数中有一个不是xx f 1)(=的原函数, 它是 AFx=ln|x| BFx=ln|Cx| C 不为零且不为1的常数CFx=Cln|x| C 不为零且不为1的常数 DFx=ln|x|+C C 是不为零的常数 18若C xdx x f +=⎰2)(,则⎰=-dx x xf )1(2A C x +-22)1(2 B C x +--22)1(2 C C x +-22)1(21 D C x +--22)1(2119=+⎰dx x x 10)1(AC x ++10)1(111 B C x x +++112)1(11121 C C x x ++-+1112)1(111)1(121 D C x x ++++1112)1(111)1(121 20: 若sinx 是fx 的一个原函数, 则⎰=dx x xf )('Axcosx---sinx+C Bxsinx+cosx+C Cxcosx+sinx+C Dxsinx---cosx+C 21设x e f x+=1)(', 则fx=A1+lnx+C Bxlnx+C C C x x ++22Dxlnx---x+C 22⎰=-20|sin 21|πdx x A14-π B 4π- C 1123--πD0 23⎰+-=xdt t t y 02)2()1(则==0x dx dyA---2 B2 C---1 D1 24 已知Fx 是fx 的原函数, 则=+⎰xadt a t f )(AFx---Fa BFt —Fa CFx+a —Fx —a DFx+a___F2a 25已知广义积分⎰+∞+01kxdx收敛于1k.>0, 则k= A 2πB 22πC 2πD 42π26对于级数nn n na )1(1∑∞=+ a>0 下列结论中正确的是 Aa>1时, 级数收敛 Ba<1时, 级数发散 Ca=1时, 级数收敛 Da=1时级数发散27幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域是A-1,1 B--1,1 C-1,1 D-1,1 28设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R0<R<+∞则n nx a )2(∑的收敛半径为 A2R B2R CR D R229设函数z=fx,y 在点),(00y x 处存在对x,y 的偏导数, 则=)(0,0'y x f xAxy x f y x x f x ∆-∆-→∆),(),2(00000limBxy x x f y x f x ∆∆--→∆),(),(00000limCxy x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(00000limD00),(),(limx x y x f y x f x x --→30设区域D 是单位园122≤+y x 在第一象限的部分, 则二重积分⎰⎰=Dxyd σA⎰⎰--221010x y xydy dx B ⎰⎰-yxydy dx 1010C ⎰⎰-2101y xydx dyD ⎰⎰102202sin 21dr r d θθπ31⎰⎰-=xdy y x f dx 101),(A ⎰⎰-1010),(dx y x f dy xB⎰⎰-xdx y x f dy 1010),(C⎰⎰101),(dx y x f dy D⎰⎰-ydx y x f dy 101),(32:⎰⎰-2201),(x x dy y x f dx=A:⎰⎰--211010),(y dx y x f dy. B:⎰⎰-+2111),(y dx y x f dy .C:⎰⎰--11112),(y dx y x f dy. D:⎰⎰-+--2211111),(y y dx y x f dy33:⎰⎰⎰⎰-+xx dy y x f dxdy y x f dx 202110),(),(=A:⎰⎰-yydx y x f dy22),(.B:⎰⎰-yydx y x f dy21),(C:⎰⎰⎰⎰-+y y dx y x f dydx y x f dy 20211),(),(. D:⎰⎰-xxdx y x f dy 210),(34关于微分方程xe y dx dy dxy d =++222的下列结论: 1 该方程是齐次微分方程 2 该方程是线性微分方程3 该方程是常系数微分方程 3 该方程是二阶微分方程 其中正确的是A 2 3 B1 4 2 C1 3 4 D 2 3435：微分方程0)(22'"=-y yy 的通解是 A x C C y 211-=B xC C y 211-= C x C y -=1D Cxy -=1136. 21sin(1)lim 1x x x →-- =37. 下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是 38. 若03sin()2lim23x mx x →=, 则m =39. 下列结论正确的是2. 21sin(1)lim 1x x x →-- =40. 下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是 41. 若03sin()2lim23x mx x →=, 则m =42. 下列结论正确的是 43. 设1cos ,00,0(){x x x x f x ≠==,则()f x 在点0x 处()A 极限不存在 ()B 极限存在但不连续()C 连续但不可导 ()D 可导 44. 下列结论错误的是()A 若函数()f x 在 0x x =处连续,则()f x 在0x x =处可导 ()B 若函数()f x 在 0x x =处可导,则()f x 在0x x =处连续()C 若函数()f x 在 0x x =处不连续,则()f x 在0x x =处不可导()D 若函数()f x 在 0x x =处不可导,则()f x 在0x x =处也可能连续45. “''0()0f x =”是()f x 的图形在点0x 处有拐点的()A 必要非充分条件 ()B 充分非必要条件()C 充分必要条件 ()D 既非必要条件又非充分条件 46. 设'(ln )1f x x =+,则()f x = 47.21|sin |2x dx π-⎰=()C112π- ()D 0二: 计算题1: 确定函数的定义域225151sinxx acr y -+-=2已知函数⎩⎨⎧+=22)(x x x f 4,220≤<≤≤x x 求).1(-x f3xxx f -=1)( 求)]}([{)],([x f f f x f f 4设⎪⎩⎪⎨⎧=101)(x f 000>=<x x x 求).1(,,),1(2-+x f x f5求证: 如果A x f x x =→)(lim 0而且A>0, 则总存在一个正数δ, 使当δ<-<||00xx 时fx>06求证y 以A 为极限的充分必要条件是: 变量y 可以表示为A 与个无穷小量的和. 7: 求x x x )21(lim +∞→ 8设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=241)(22x x x x f 2;10;1≠>≠≤x x x x 求函数的间断点, 并判断其类型.9用定义讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=01sin)(x x x f00=≠x x 在点x=0处的连续性与可导性 10讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=421121)(2x x xx x f x x x x <≤<≤<≤221100在点x=0, x=1, x=2处的连续性与可导性.11求曲线x x x 223=+在点1,1 处切线方程与法线方程 12求)1(arcsin xf y =,求其导数 13xxx x y +++=3333 求其导数 14xyy x arctan ln22=+确定y 是x 的函数, 求函数y 的导数15设fx=sinx, 20π≤≤x ,求满足垃格朗日公式的ξ值16求)ln 11(lim 1xx x x --→= =+-→)]11ln([2lim x x x x 17求函数3223)(x x x f -=的单调增减区间和极值以及凹向与拐点181作函数2221)(x ex -=πϕ的图形 2 作函数axbe cy -+=1 a, b, c 均为大于0的常数的图形19求下列极限1x arc x x cot )11ln(lim +∞→ 2x x x 10)sin 1(lim +→ 32)1ln(sin 1tan 1lim x x x x x x -++-+→ 20求下列不定积分 1⎰-dx x x 322⎰+32xx dx 3⎰xdxx arctan 4⎰+--dxx x x 65122211求]sin [2⎰x x tdt dx d 2求极限⎰→x t x dt e xsin 001lim3 设fx ⎩⎨⎧++=2112x x 4,22||≤<≤x x 求k 的值, 使⎰=3340)(k dx x f 4dx x xe 21)(ln 12⎰5⎰+∞∞-+21x dx 6⎰-112x dx 7dx e x xr ⎰+∞--01λ 22求抛物线4, (22)-==x y x y 所围成的图形的面积23求曲线2211,2xy x y +==与直线3,3-==x x 所围成的图形的面积 24求椭园1222=+by a x 分别绕x 轴与y 轴旋转产生的旋转体体积 251求级数∑∞=1n n n n x 的收敛半径和收敛域 2 求级数∑∞=+1)12(n nn x 的收敛半径和收敛域26求幂级数∑∞=-11n n nx的收敛域及和函数, 并求级数∑∞=12n nn的和271求2223xy y x z -+=的各二阶偏导数 2 求yye x z 2=的各二阶偏导数 28要造一个容量一定的长方体箱子,问选择怎样的尺寸,才能使所用的材料最少 29计算二重积分⎰⎰-Ddxdy y x )2(,其中D 是由直线y=1,2x —y+3=0与x+y —3=0围成的图形30计算二重积分⎰⎰+Dd y x σ22, 其中D 是园y y x 222=+围成的区域,31；计算1x x x x x sin tan lim 20-→ 2 12x 32x lim 1x +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x 3)0(x ＞x y x =4已知⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,求22dx yd ．5 dx x x ⎰+)ln 21(1 6；)0＞( 22a dx x a ⎰- 7⎰21arcsin xdx 8⎰+∞∞-+231x dx 9 )1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x xx x100)＞(ln lim 0n x x nx +→ 11)0(sin x ＞x y x= 12已知⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,求22dx yd 13 dx x x x x ⎰+++)1(122 14)0＞( 22a dx x a ⎰- 15 ⎰-π053sin sin dx x x 16 ⎰+∞∞-+21x dx 1721lim[ln(1)]x x x x→∞-+ 18方程2sin()0y xe y π-=确定隐函数()y y x =,求'0,1|x y y ==-;1920cos 2x xdx π⎰ 202ln xdx x ⎰四证明及综合题1指出函数14123223+-+=x x x y 的单调区间、凹凸区间、极值点及拐点． 2指出函数123+--=x x x y 的单调区间、凹凸区间、极值点及拐点 3证明方程3520x x --=在区间(,)-∞+∞内只有一个正根;．4设()f x 在[0,]a 上连续(0)a ≠,在(0,)a 内可导,且()0f a =,证明存在一点ξ,使得'()()0f f ξξξ+=5用极限的定义证明211lim21=--→x x x 6如果fx 在a ,b 上连续,在a ,b 内可导,则在a ,b 内至少存在一点ξ a ＜ξ＜b , 使等式fb －fa =f •'fξb －a 成立．7.用极限定义证明当0＞0x 时,00limx x x x =→8.如果fx 及Ｆx 在a ,b 上连续,在a ,b 内可导,且对于任一x ∈a,b,F ′x ≠0, 则在a ,b 内至少存在一点ξ a ＜ξ＜b ,使等式)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--成立．。
微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
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微积分一复习题(第一章-第三章)
1.求函数6
712arcsin
2−−−=x x x y 的定义域. 2.求].ln )1[ln(lim n n n n −−∞
→ 3.求)
1()34(lim 22
x x x x −+∞→.
4.lim x →+∞
5.n n n n 31
212(lim −+∞→ 6.)1(13
21211[lim +++×+×∞→n n n L
7.n →∞+++L
8.0lim tan x x x
→ . 9.3
0arcsin 22arcsin lim x x x x →− 10.)1ln(1
0)(cos lim x x x x +→ 11.22020sin lim x
x t x te dt →∫ 12.]cos 1[cos lim x x x −++∞
>− 13.已知2)3(=′f ，求0(3)(3)lim 2h f h f h
→−−. 14.已知()[]01
13lim 21=−−+−+→x x B A x x ，求常数,A B 之值. 15.设函数()f x 在x e =处有连续的一阶导数，且2()f e e ′=
，求0lim (x d f e dx +→. 16.设()f x 在0[,)+∞上连续，且1lim ()x f x →+∞=，求0lim ()x x x x e e f x dx −→+∞∫.
17.设当0x →时，求a 为何值量,23()a x x +与2sin x 是等价无穷小.
18.设⎩⎨⎧≤+>+=0
,0,1)(x b x x e x f x 在x =0处连续，求常数b .
19.设21cos sin ,0()1,
0x x x f x x
x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩ ，讨论函数在0x =处的连续性. 20.求曲线()1sin 0y x x x
=>的水平渐近线和垂直渐近线. 21.试确定常数a 、b 之值，使函数(1sin )20()01ax b x a x f x x e +++≥⎧=⎨
<−⎩处处可导，并求()f x ′。
22.设sin x y e =，求y ′.
23.设cos ln y x =，求dy .
24.设sin x y x =，求y ′.
25.求()()2ln sin x d e d x ⎡⎤⎣
⎦ 26.设,ln 3⎩⎨⎧==t
y t x 求22,dy d y dx dx . 27.设方程arctan x y y +=决定的函数为y ，求22,dy d y dx dx
. 28.设)()()(x a x x f ϕ−=，)(x ϕ在a x =处有连续的一阶导数，求)(a f ′、)(a f ′′. 29.设()f x 在0x =处二阶可导，且()0lim
1cos x f x A x →=−，求()()()0,0,0f f f ′′′. 30. 求函数21
x y x x =+−的单调区间，极值点. 31. 求曲线43341y x x =−+的凹凸区间和拐点.
32. 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0f x ′<，令
1()(),x a
F x f t dt a x b x a =<<−∫，证明：()F x 在(,)a b 内单调减少. 33.求函数2
0()(2)x t f x t e dt −=−∫的最大值、最小值.
34.设()x f 在[]b a ,上连续，且()a a f <，()b b f >，试证在()b a ,内至少存在一点ξ，
使()ξξ=f .
35.设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，且()()0f a f b ==，求证：存在(),a b ξ∈ 使()()0f f ξξ′+=成立.
36.证明:当01x <<ln(1)arcsin x x +<. 37.证明: 当01x <<时, ln(1).1x x x x
<+<+ 38.设()f x 在[],a b 上连续, 在(),a b 上可导,且()()f a f b =,证明,存在(),a b ξ∈,使
得()()()f a f f ξξξ′−=.。