3-03-泰勒展开定理
泰勒展开式的计算
泰勒展开式的计算泰勒展开式是一种将一些函数表示为无穷级数的方法，可以用来近似计算函数的值。
它是由苏格兰数学家布鲁赫·泰勒（Brook Taylor）在18世纪初提出的，被广泛应用于微积分、物理学、工程学和计算机科学等领域。
泰勒展开定理的表述如下：设函数f(x)在区间[a,b]内无限次可导，则对于[x,a]或[x,b]内的任意实数x，存在一个点c，使得f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+f'''(c)(x-c)³/3!+...其中f'(c)、f''(c)、f'''(c)分别表示f(x)在点c处的一阶、二阶和三阶导数。
这个公式就是泰勒展开式，它可以将函数f(x)在一些特定点c处展开成一个无穷级数。
泰勒展开式给出了一个函数在一些点附近的近似表达式，通过截取其中的有限项，我们可以近似地计算函数在该点的值。
泰勒展开式是基于导数的定义得出的。
根据导数的定义，函数在一些点处的导数可以看作函数在该点处的瞬时变化率。
因此，泰勒展开式的思想是用一阶导数去近似函数在给定点的变化，二阶导数去近似近似一阶导数的变化，以此类推，直到我们达到了所需的精度。
为了更好地理解泰勒展开式，我将以一个简单的例子来说明。
我们将以指数函数e^x展开为例。
指数函数e^x是一个非常重要的函数，在数学和物理学中有着广泛的应用。
我们知道，e^x的泰勒展开式可以表示为：e^x=1+x/1!+x²/2!+x³/3!+...这个展开式可以无限地继续下去。
然而，我们通常会截取其中的前几项进行计算，以获得一个足够精确的近似值。
例如，如果我们希望计算e的近似值，我们可以取x=1，然后计算出前几项的和。
根据泰勒展开式，我们得到：e≈1+1/1!+1²/2!+1³/3!+...计算前几项的和，我们可以得到一个近似值：泰勒展开式在实际计算中有着广泛的应用。
泰勒展开定理及应用
泰勒展开定理及应用泰勒展开定理是数学分析中的重要定理之一，它描述了一个函数在某点附近的局部表达方式。
通过泰勒展开定理，我们可以将一个光滑函数在某一点处的值以及若干阶导数的信息用一个无穷级数来表示。
泰勒展开定理的应用非常广泛，例如在物理、工程、计算机图形学等领域中都有重要的应用。
下面我将介绍泰勒展开定理的推导及其应用。
泰勒展开定理的最常见形式是泰勒级数的形式：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots\]其中，\(f(x)\)是要展开的函数，\(f(a)\)是函数在点\(a\)处的值，\(f'(a)\)是函数在点\(a\)处的一阶导数，\(f''(a)\)是函数在点\(a\)处的二阶导数，依此类推。
泰勒展开定理的推导基于函数的幂级数展开，即将一个函数表示成幂函数的和。
这里我们只给出泰勒展开定理的简单推导过程。
首先，我们假设函数\(f(x)\)可以无限次求导，并且它的幂级数展开是收敛的，即存在一个区间\((a-r, a+r)\)使得对于这个区间内的任意\(x\)，级数\(\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\)收敛到\(f(x)\)，其中\(c_n\)是级数的系数。
我们可以定义一个新的函数\(E(x) = f(x) - \sum_{n=0}^N c_n(x-a)^n\)，其中\(N\)是一个任意的正整数。
如果我们选择\(N\)足够大，能够使得\(E(x)\)在区间\((a-r, a+r)\)内的导数都为零，那么\(E(x)\)就是一个常数。
由于\(E(x)\)是一个零导数的函数，我们可以得到\(E'(x) = 0, E''(x) = 0, E'''(x) = 0\)等等。
泰勒展开常用公式
泰勒展开常用公式摘要：一、泰勒展开简介1.泰勒展开的定义2.泰勒级数的重要性二、泰勒展开公式1.泰勒展开的通项公式2.泰勒级数的收敛性3.泰勒级数的性质三、泰勒展开在数学中的应用1.近似计算2.求解微分方程四、泰勒展开在实际生活中的应用1.物理学2.工程学3.经济学正文：一、泰勒展开简介泰勒展开，又称泰勒级数，是数学上一种用于描述一个可微函数在某点附近的近似值的方法。
泰勒展开将函数展开为一个无穷级数，该级数的每一项都与该点的各阶导数有关。
泰勒级数在数学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
1.泰勒展开的定义给定一个可微函数f(x)，我们可以将其在点x附近的值近似表示为：f(x) ≈ f(x) + f"(x)(x-x) + (f""(x)(x-x)^2)/2! + ...+ (f^n(x)(x-x)^n)/n!其中，f"(x)、f""(x) 等表示函数f(x) 在点x 的各阶导数，n! 表示n 的阶乘。
2.泰勒级数的重要性泰勒级数提供了一种将复杂函数简化为多项式的方法，这有助于我们更容易地研究和分析函数的性质。
同时，泰勒级数还可以用于近似计算、求解微分方程等问题。
二、泰勒展开公式1.泰勒展开的通项公式泰勒展开的通项公式为：T_n(x) = f(x) + f"(x)(x-x) + (f""(x)(x-x)^2)/2! + ...+ (f^n(x)(x-x)^n)/n!其中，T_n(x) 表示泰勒级数的前n 项和，f"(x)、f""(x) 等表示函数f(x) 在点x的各阶导数。
2.泰勒级数的收敛性泰勒级数的收敛性取决于函数f(x) 在点x处的各阶导数的收敛性。
如果f(x) 在x处的各阶导数都有限，那么泰勒级数是收敛的。
3.泰勒级数的性质泰勒级数具有以下性质：- 泰勒级数是唯一的；- 泰勒级数可以扩展到整个定义域；- 泰勒级数的每一项都与点x的各阶导数有关。
泰勒展开与泰勒公式的原理及应用
泰勒展开与泰勒公式的原理及应用在数学领域中，泰勒展开和泰勒公式是非常重要的概念。
它们不仅仅是数学的基本理论，还有广泛的应用，涉及到数学、物理、工程等各个领域。
本文将对泰勒展开和泰勒公式的原理和应用进行详细的讲解。
一、泰勒展开的原理泰勒展开是将一个函数在某点进行展开，使得该函数在该点处的函数值等于其展开式中前几项的和。
具体来说，泰勒展开的原理是利用函数的导数来逼近函数的值。
泰勒展开公式如下：$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+…$其中，$f(x)$表示要展开的函数，$a$表示展开点，$f'(a)$表示$f(x)$在$a$点的一阶导数，$f''(a)$表示二阶导数，$f'''(a)$表示三阶导数，$…$表示高阶导数。
展开式总共有无限项，即展开式中包含了函数的所有导数。
如果只取展开式中的前$n$项，则可以得到如下式子：$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$这就是泰勒展开的$n$阶近似公式。
二、泰勒公式的原理泰勒公式是将一个函数在某个区间内进行展开，使得该函数在这个区间内的函数值可以用展开式中的前几项来近似表示。
具体来说，泰勒公式的原理是通过多项式逼近原函数。
泰勒公式与泰勒展开的区别在于，泰勒公式是在一个区间内进行展开，而泰勒展开一般是在某一点进行展开。
泰勒公式可以表示为：$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$其中，$f(x)$表示要展开的函数，$n$表示要展开的级数，$x_0$表示展开的中心点，$R_n(x)$表示余项，表示展开式与原函数之间的误差。
泰勒展开公式
泰勒展开公式引言：泰勒展开公式是数学中一个重要的概念，它在计算机科学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
此公式是由苏格兰数学家布鲁斯·泰勒在18世纪提出的，用于将一个函数在某个点附近展开成无穷级数的形式。
这个展开的级数可以作为近似计算函数在该点附近的值的工具，也可以用于研究函数的性质和行为。
泰勒展开公式的基本形式：给定一个函数f(x)，如果该函数在某个点a处具有充分多的导数，那么泰勒展开公式可以使用无穷级数的形式来表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数f(x)在点a处的二阶导数，依此类推。
在公式中的每一项，都是函数在点a处对应的导数与(x-a)的幂的乘积，通过不断将(x-a)的幂次方增加，就可以得到该函数在点a处附近的无穷项级数展开。
泰勒级数和阶数：根据泰勒展开公式，我们可以选择不同的阶数来逼近原函数。
当阶数越高，计算结果越接近原函数在该点附近的真实值。
在实际应用中，我们往往根据需要选择合适的阶数进行计算。
一般而言，泰勒级数的阶数越高，计算精度也就越高，但计算量也相应增加。
泰勒展开的应用：泰勒展开公式在科学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 近似计算：泰勒展开公式常用于近似计算函数在某个点附近的值。
通过将函数进行泰勒展开，我们可以利用少数几个项来逼近函数在该点的值，从而加快计算速度。
这在数值分析和计算机模拟中非常有用，特别是当函数的解析表达式难以求得时。
2. 函数性质研究：泰勒展开公式也可以用于研究函数的性质和行为。
通过对函数在特定点的展开，我们可以推导出函数的一些重要性质，比如函数的凸性、最大值和最小值等。
这对于优化问题、最优化算法以及数值计算的收敛性分析都具有重要意义。
数学中的泰勒展开
数学中的泰勒展开泰勒展开是数学中一种重要的近似方法，它能够将一个函数在某一点附近用无穷级数来表示。
这种展开在数学的众多分支中具有广泛的应用，包括微积分、物理学、工程学等等。
本文将介绍泰勒展开的原理和应用，并探讨其在实际问题中的意义。
一、泰勒展开的原理泰勒展开是基于泰勒公式的推导而来，泰勒公式可表述为：\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots.\]其中，f(x)是待展开的函数，a是展开点，f'(a)表示f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在点a处的二阶导数，以此类推。
上述无穷级数的每一项都是函数在点a处的导数与自变量（x-a）的乘积，再除以相应的阶乘。
二、泰勒展开的应用1. 函数逼近泰勒展开可以将一个复杂的函数近似表示为一个无穷级数，从而可以通过求取级数中的有限项来逼近原函数的值。
这在研究分析函数的性质、计算函数的值等方面都具有重要的意义。
2. 极限计算通过适当地选择展开点，可以用泰勒展开来计算一些复杂函数的极限。
例如，当x趋于0时，sin(x)可以用其在0处的泰勒展开来逼近，得到sin(x)的极限为x。
3. 函数求值对于一些复杂的函数，直接求解其值可能会十分困难。
而通过使用泰勒展开，可以将此函数在一个已知点附近近似表示为无穷级数，从而可以通过有限项的计算得到函数的近似值。
三、泰勒展开的意义1. 研究函数性质泰勒展开能够将函数在某一点附近用简洁的无穷级数表示，这使得我们能够更好地研究函数在这一点的性质。
例如，通过观察级数的奇偶性、收敛性等特征，可以推断函数的对称性、收敛域等。
2. 解决实际问题泰勒展开在实际问题的求解中具有重要的应用价值。
例如，在物理学中，我们经常需要对复杂的函数进行近似计算，而泰勒展开提供了一种有效的工具。
泰勒函数展开公式
泰勒函数展开公式泰勒函数展开是一个用于将函数在一些点附近进行近似的方法。
它基于泰勒级数，由苏格兰数学家詹姆斯·格雷戈里·泰勒在18世纪提出。
泰勒函数展开可以将一个光滑的函数在一些点处展开成一系列的无穷项幂级数，从而可以近似表示该函数在该点附近的性质。
首先，我们假设函数f(x)在x=a处可导，并且有定义。
那么，泰勒级数展开给出了一个函数f(x)在x=a处的无穷阶导数所确定的多项式序列的和。
泰勒级数展开可以使用下面的泰勒公式来表示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...在这个公式中，f(a)表示函数在x=a处的函数值，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a处的二阶导数，以此类推。
公式的右侧的后续项表示函数在x=a处的高阶导数在差值(x-a)的幂的影响。
泰勒函数展开的目的是通过使用较低阶的近似项来近似表示函数f(x)在一些点a附近的行为。
一般来说，通过增加级数中的项数，我们可以得到更精确的近似。
然而，在实际应用中，通常只需要使用前几项来获得足够准确的近似。
接下来，我们将通过一个具体的例子来说明泰勒函数展开的应用。
假设我们要近似计算函数f(x) = sin(x)在x=0附近的行为。
我们首先计算f(x)在x=0处的函数值和导数值。
在x=0处，sin(x)的函数值为0，一阶导数为cos(0)=1，二阶导数为-din(0)=-1，三阶导数为-sin(0)=0，以此类推。
根据泰勒公式，我们可以得到近似展开：sin(x) = sin(0) + cos(0)(x-0)/1! + (-sin(0))(x-0)²/2! + 0(x-0)³/3! + ...将具体的数值代入公式，我们可以得到简化形式的泰勒展开函数：sin(x) ≈ x - x³/3!这个近似展开函数表示了在x=0附近的sin(x)的近似行为。
泰勒展开定理的内容
泰勒展开定理的内容泰勒展开定理（Taylor Series Theorem）是一类由英国数学家泰勒于1797年研究发明的函数展开定理。
它把一类可展开的复杂函数通过不断地展开若干次，用更加简单的函数近似表示出来，其代表展开式也被成为泰勒级数展开式。
泰勒展开定理的基本内容是：任意在某一闭区间[a,b]内可连续展开的函数f(x)，可用其在某一点x=x0近似的泰勒级数展开式，来表示它在该闭区间所有点的值。
由此可知，泰勒级数展开式是一种形式比较复杂的函数近似展开系数表示法，通过高次（指定次数）的展开矩阵，将不可分拆解的函数表示成可以计算机求解的一系列多项式形式组合。
一般来说，泰勒级数展开式可以把一个函数看成是多项式函数的一个近似，用它表示某一函数f(x)，可用形式：f(x)=a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 +…+ a_n(x-x_0)^n+…式中x=x_0是近似点，a_i（i=0,1,2,3…）是系数，n为次数，满足微元积分解：a_n=1/n! * (f^(n))(x_0)其中(f^(n))(x_0)表示函数f(x)的n次导数在点x_0的值。
若在区间（a,b）上对函数f(x)展开，即x_0在区间（a,b）上，将在此区间内的任意可展开的函数投影到一条n次多项式上，此时将分别用适当的系数替代a_i中的系数，则可得到此区间特定的多项式表示。
这一定理有一定的几何意义，即是椭圆函数的展开式。
因为椭圆函数也是连续可导的函数，这意味着它可以经过泰勒级数展开来表示它的曲线，即：当x_1在[a,b]区间内任取一点时，函数f(x)展开后的多项式就是椭圆的曲线，那么在x_1点处，曲线就是最接近函数f(x)的。
总之，泰勒展开定理是将复杂函数通过多项式拆分为一系列多项式函数，可以在一定范围内准确地近似表示可展开函数f(x)，具有重要的应用价值。
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观察 sinx 与一个多项式函数 f (x)
f ( x) x
1 3!
x
3
1 5!
x
5
1 7!
x
7
1 9!
x
9
1 3 1 5 1 7 y x x x x 3! 5! 7! 3 x y x 3!
6 4 2
[ f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]
例如, 当 x 很小时, e 1 x , ln(1 x ) x
x
（如下图）
y ex
y ex
y x
y ln(1 x )
y 1 x
o o
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计.
( x)
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n1 (在x0与x之间) n 1!
f ( k ) ( x0 ) Pn ( x ) ( x x0 )k k 0 k! 称为 f ( x ) 按( x x0 )的幂展开的 n 次近似多项式
n
f ( k ) ( x0 ) f ( x) ( x x 0 ) k Rn ( x ) k 0 k! 称为 f ( x ) 按( x x0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式
x
( n) x 解 f ( x) f ( x) f ( x) e ,
( n) f ( 0) f ( 0) f ( 0) f ( 0) 1
注意到 f ( n1 ) (x ) e x
2 n x
代入公式,得
x
x x e e 1 xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x n1 2! n! ( n 1)!
Taylor公式
Maclaurin 公式
(n) f (0) 2 f (0) n f ( x) f (0) f (0) x x x 2! n! ( n 1) f ( x) n 1 x (0 1) (n 1)!
简单的应用
例 1 求 f ( x ) e 的n 阶麦克劳林公式.
2
n
误差 Rn ( x ) f ( x ) Pn ( x )
Pn 和 Rn 的确定
分析:
近 似 程 度 越 来 越 好
1.若在 x0 点相交
y
y f ( x)
Pn ( x0 ) f ( x0 )
2.若有相同的切线
Pn( x0 ) f ( x0 )
3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
2 3 n1 n n1
x x x n sin x x ( 1) o( x 2 n 2 ) 3! 5! ( 2n 1)!
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n! f ( n 1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) n 1 ( 在x0与x之间) n 1!
问题: 寻找函数 P n ( x) , 使得 f ( x) P n ( x)
误差
R( x) f ( x) Pn ( x)
可估计
设函数 f ( x ) 在含有 x0 的开区间 (a , b ) 内具有直到
( n 1) 阶导数, Pn ( x) 为多项式函数
Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) an ( x x0 )
o
x0
x
假设
Pn( k ) ( x0 ) f ( k ) ( x0 ) k 1,2,, n
1 a1 f ( x0 ),
(n) n 0
a0 f ( x0 ),
2!a 2 f ( x0 )
, n!a f ( x ) 1 (k ) 得 ak f ( x0 ) ( k 0,1,2,, n) k!
2. Taylor 定理说明用一个多项式近似表 示一函数，“以曲代曲”可以获得较好 的精确度，但是要求函数有高阶导数 。
3. 凡是用一元微分学中的定理、技巧能解决的问 题，大部分都可以用Taylor 定理来解决。掌握了 Taylor 定理以后，回过头来看前面的那些理论， 似乎一切都在你的掌握之中了，你或许会有一种 “会当凌绝顶，一览众山小” 的感觉！从这个意 义上来讲，说“Taylor 定理是一元微分学的顶峰” 并非妄言。
如此下去,经过( n 1) 次后,得
( n 1 ) Rn ( x ) Rn ( ) n 1 n 1! ( x x0 ) (在x0与 n之间 ,也在 x0 与x 之间)
Pn( n1) ( x ) 0,
则由上式得
R
( n 1 ) n
( x) f
( n 1 )
f ( x0 ) Pn ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) n ( x x0 ) n!
代入 Pn ( x ) 中得
泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x ) 在含有 x0 的某个开区间( a , b ) 内具有直到( n 1) 阶的导数 , 则 当 x 在( a , b ) 内时, f ( x ) 可以表示为( x x 0 ) 的一个 n 次多项式与一个余项 Rn ( x ) 之和:
Rn ( x ) Rn ( x ) Rn ( x0 ) n1 ( x x0 ) ( x x0 ) n 1 0 (1 ) Rn ( n 1)(1 x0 )n (1在x0与x之间)
n1
( x ) 及( n 1)( x x0 ) 在以 x0 及 两函数 Rn
f (0) 2 f ( x) f (0) f (0) x x 2! n o( x ) Maclaurin 1698-1746 英国
f
(0) n x n!
注 意:
1.当 n 0 时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式
f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
1 2 3 或者 =1-x x x 1 x
1 2 3 =1-x x x 1 x
(-1) x +Rn ( x)
n n
(-1) x +o( x )
n n n
常用简单函数的麦克劳林公式
2 n1 x3 x5 x sin x x ( 1) n o( x 2 n 2 ) 3! 5! ( 2n 1)! 2n x2 x4 x6 n x cos x 1 ( 1) o( x 2 n ) 2! 4! 6! ( 2n)!
n n
对于我们初学者来说，在给出函数的 Taylor展开式或者Maclaurin展开式时，我们 要知道有一个余项存在，也就是说一个一般 的函数不与一个n 次多项式函数完全相等，两 者有些差别，差别用余项来体现。但是余项 具体的表达式我们现在可以不用考虑太多。 比如，给出函数
1 1 x
的Maclaurin展开式
( n 1 )
证明: 由假设, Rn ( x ) 在(a , b ) 内具有直到( n 1) 阶
导数,且
(n) ( x 0 ) Rn ( x 0 ) Rn Rn ( x 0 ) Rn ( x0 ) 0
两函数 Rn ( x ) 及 ( x x0 ) 在以 x0 及 x 为端点 的区间上满足柯西中值定理的条件,得
0 2 4 6
6
4
2 2 4
问题的提出
1.设 f ( x ) 在 x 0 处连续,则有
以切直代曲 以平直代曲
f ( x ) f ( x0 )
[ f ( x ) f ( x0 ) ]
2.设 f ( x ) 在x0 处可导,则有
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )
n
1 为端
点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
(1 ) (1 ) Rn ( x0 ) Rn Rn n ( n 1)(1 x0 ) ( n 1)(1 x0 )n 0 ( 2 ) Rn n( n 1)( 2 x0 )n1 ( 2在x0与1之间)
M ( x x0 ) n 1 n 1!
即 Rn ( x ) o[( x x0 )n ].
n
皮亚诺形式的余项
( x0 ) f ( x) ( x x0 )k o[( x x0 )n ] k! k 0 皮亚诺形式的余项用于极限计算
f
(k )
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
f ( ) ( x x0 )n1 ( 在 x 0 与 x 之间). 其中 Rn ( x ) ( n 1)!
n
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n1 (在x0与x之间) n 1!
拉格朗日形式的余项
f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 ) n 1 n 1! Rn ( x ) 及 lim 0 n x x0 ( x x ) 0
x x x ln(1 x ) x ( 1) o( x ) 2 3 n1 1 1 x x 2 x n o( x n ) 1 x m ( m 1) 2 m (1 x ) 1 mx x 2! m ( m 1)( m n 1) n x o( x n ) n!