3 计算导数

§3 计算导数
第八课时 计算导数（一）
一、教学目标：
1、能根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数)(x f y =在0x 处的导数的步
骤；
2、理解导函数的概念，并能用它们求简单函数的导数。

二、教学重点：根据导数的定义计算一般函数)(x f y =在0x 处的导数；
教学难点：导数的定义运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）复习导入新课
导函数的定义
.)()()()()(''''0y x f x f x x f x x f x x x f 或的导函数，记作为的一个函数，我们称它便是化时，变
当是一个确定的数，那么到处求导数的过程可以看在从求函数= x x f x x f y x f x ∆-∆+==→∆)()(lim
)(0''即
注 意 .
)(1'量的比值的极限，不是变变量该变量该点的函数该变量与自是一个定值，是函数在数）函数在某一点处的导（x f .2而言的一区间内任一点）函数的导数：是指某（x
那么，如何利用导数的定义求函数的导数？从而导入新课。

（二）、探析新课
计算函数)(x f y =在0x x =处的导数的步骤如下：
（1）通过自变量在0x 处的Δx ，确定函数在0x 处的改变量：)()(00x f x x f y -∆+=∆；
（2）确定函数)(x f y =在0x 处的平均变化率：x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； （3）当Δx 趋于0时，得到导数x x f x x f x f x ∆-∆+=
'→∆)()()(0000lim 。

例1、求函数x x
x f y +==2)(在下列各点的导数
（1）0x x =； （2）1=x ； （3）2-=x 。

解：（1）∵x x x x x x x x x x x x f x x f y ∆+∆+∆-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-∆++∆+=
-∆+=∆020********)(2)()(. ∴122020020+∆+-=∆∆+∆+∆-=∆∆x
x x x x x x x x x y 。

∴当Δx 趋于0时，得到导数1212)(20020000lim lim +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+∆+-=∆∆='→∆→∆x x x x x y x f x x 。

（2）由（1）可知当1=x 时有：1112)1(2
-=+-='f 。

（3）由（1）可知当1=x 时有：211)2(2)2(2=+--
=-'f 。

一般地：如果一个函数)(x f y =在区间[a ，b ]上的每一点x 处都有导数，导数值记为)(x f '：
x
x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()()(lim 0 则)(x f '是关于x 的函数，称)(x f '为)(x f 的导函数，通常也简称为导数。

例2、求x x x f y -==23)(的导函数)(x f '，并利用导函数)(x f '求)1(f '，)2(-'f ，)0(f '。

解：∵()
x x x x x x x x x x x f x x f y ∆-∆+∆=--∆+-∆+=-∆+=∆6)(33)()(3)()(220200. ∴1636)(32-+∆=∆∆-∆+∆=∆∆x x x
x x x x x y 。

∴当Δx 趋于0时，得到导函数16)163()(lim lim 0
0-=-+∆=∆∆='→∆→∆x x x x y x f x x 。

分别将1=x ，2-=x ，0=x 代入)(x f '，可得
5116)1(=-⨯='f ，131)2(6)2(-=--⨯=-'f ，1106)0(-=-⨯='f 。

（二）、小结：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，利用导数的定义计算函数)(x f y =在0x x =处的导数的步骤如下：
（1）通过自变量在0x 处的Δx ，确定函数在0x 处的改变量：)()(00x f x x f y -∆+=∆；
（2）确定函数)(x f y =在0x 处的平均变化率：x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； （3）当Δx 趋于0时，得到导数x
x f x x f x f x ∆-∆+=
'→∆)()()(0000lim （三）、练习：课本40P 练习：1、2. （四）、作业：课本41P 习题2-3：A 组1、2、4
（五）
、课外练习：求函数()y f x ==
因为()()y f x x f x x x x
∆+∆-==∆∆∆
=
=
所以0lim
lim x x y y x ∆→∆→∆'===∆五、教后反思：
感谢您的阅读，祝您生活愉快。