导数计算(2)

（理）1.2 导数的计算1.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（文）3.2 导数的计算3.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则［素养目标］1．能利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求解导函数，培养数学运算的核心素养。

2．导数的应用让学生进一步理解导数的几何意义及其应用，达成逻辑推理的核心素养。

【课前·预习案】[问题导学]知识点1. 导数的运算法则【思考1】一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？ 【提示】能．〖梳理〗导数的运算法则 设两个函数f (x )，g (x )可导，则 (1)和(差)的导数符号表示：[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)积的导数符号表示：[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．特别地，当g (x )＝c (c 为常数)时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)商的导数符号表示：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f′(x )g (x )－f (x )g′(x ) g 2(x ) (g (x )≠0)．（理）知识点2. 复合函数的导数 【思考2】如何求y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的导数．【提示】令u ＝g (x )＝3x －π4，y ＝f (u )＝cos u ，∴y ＝f (u )＝f (g (x ))＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4.〖梳理〗复合函数的导数复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′· u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [达标自评]1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．( )(2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商. ( )(3)(x 2cos x )′＝－2x sin x ．( )解析：(1)正确.和、差的导数就是导数的和、差；（2）错.根据导数的运算法则知积的导数不是导数的积，商的导数也不是导数的商；（3）错. (x 2cos x )′＝ (x 2)′·cosx+x 2·(cos x )′=2x cos x －x 2sin x ．答案：（1）√ （2）× （3）× 2．已知函数f(x)＝cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( )A ．1－sin 1B ．1＋sin 1C ．sin 1－1D ．－sin 1解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋1x，所以f ′(1)＝－sin 1＋11＝1－sin 1.答案：A3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos2x ＋sin2xB ．y ′＝cos2x －sin2xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：y ′＝(sin x ·cos x)′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x)＝cos2x －sin2x.答案：B4．若f(x)＝(2x ＋a)2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f(x)＝4x2＋4ax ＋a2， ∵f ′(x)＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1. 答案：15．设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：∵f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4′＝6cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋π4＝－6.答案：－6【课堂·探究案】探究一 导数的四则运算法则的应用 【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5－43x 3＋3x ＋2；(2)y ＝(3x 5－4x 3)(4x 5＋3x 3)； (3)y ＝33x 4＋4x 3.【分析】这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用导数的四则运算法则进行求导．解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5－43x 3＋3x ＋2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5′－⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 3′＋(3x )′＋(2)′＝x 4－4x 2＋3.(2)法1：y ′＝(3x 5－4x 3)′(4x 5＋3x 3)＋ (3x 5－4x 3)(4x 5＋3x 3)′＝(15x 4－12x 2)(4x 5＋3x 3)＋(3x 5－4x 3)(20x 4＋9x 2)＝60x 9－48x 7＋45x 7－36x 5＋60x 9－80x 7＋27x 7－36x 5＝120x 9－56x 7－72x 5.法2：∵y ＝12x 10－7x 8－12x 6 ∴y ′＝120x 9－56x 7－72x 5. (3)y ′＝(33x 4＋4x 3)′＝(3x 43)′＋(4x 32)′＝4x 13＋6x 12＝43x ＋6x .【方法总结】1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．【跟踪训练1】求下列函数的导数．(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1.解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋xcos 2x.(2)解法1：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11；解法2：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11；(3)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12；解法2：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝2x ＋12.答案：(1)y ′＝sin x cos x ＋xcos 2x (2)y ′＝3x 2＋12x ＋11 (3)y ′＝2x ＋12（理）探究二 复合函数的导数 【例2】求下列函数的导数： (1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3.【分析】对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．解：(1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x＝(1－2x )－12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u －32·(－2)＝(1－2x )－32＝11－2x1－2x；(3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3)．(4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.【方法总结】 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． 【跟踪训练2】求下列函数的导数． (1)y ＝(2x ＋3)3； (2)y ＝e －0.05x ＋1； (3)y ＝sin(πx ＋φ)．解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看成函数y ＝u 2，u ＝2x ＋3的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(2x ＋3)′＝2u ·2＝4(2x ＋3)＝8x ＋12.(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看成函数y ＝e u 和函数u ＝－0.05x ＋1的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05 e －0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看成函数y ＝sin u ，u ＝πx ＋φ的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(πx ＋φ)′＝cos u ·π ＝π cos(πx ＋φ)． 探究三 导数的应用命题角度一 与切线方程有关的应用 [例3](1)（2018高考全国高考I 卷）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ）A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =(2)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切线l 的方程．（理）（3）求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．解析：(1) ∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即1a =，∴3()f x x x =+，∴'(0)1f =，∴切线方程为：y x =. 答案：D解：(2)∵f (x )＝13x 3－2x 2＋ax ，∴f ′(x )＝x 2－4x ＋a .由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根．∴Δ＝16－4(a ＋1)＝0，∴a ＝3.∴f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1可化为x 2－4x ＋4＝0.解得切点横坐标为x ＝2， ∴f (2)＝13×8－2×4＋2×3＝23，∴切线l 的方程为y －23＝(－1)×(x －2)，即3x ＋3y －8＝0.∴a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0. （3）∵y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1， ∴y ′|12x =-＝2，∴曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程为y －1＝2(x ＋12)，即2x －y ＋2＝0.【互动探究】 题(2)的条件改为“f (x )＝13x3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，且f ′(1)＝5”，求曲线在(1，f (1))处的切线方程．解：∵f ′(x )＝x 2－4x ＋a ，∴f ′(1)＝1－4＋a ＝5，∴a ＝8， ∴f (x )＝13x 3－2x 2＋8x ，∴f (1)＝193，则切线方程为y －193＝5(x －1)，即15x －3y ＋4＝0.【方法总结】求曲线切线的关键是正确求函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法． 【跟踪训练3】(1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B.12 C ．－22D.22(2)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．（理）（3）曲线y ＝e sin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．解析：（1）y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin xsin x ＋cos x 2＝1sin x ＋cos x2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.答案：B（2）由题意得，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ， ∴f ′(0)＝b ＝0.由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知⎩⎨⎧f 0＝c ，y |x ＝0＝1，即c ＝1.综上所述，b ＝0，c ＝1.（3）设u ＝sin x ，则y ′＝(e sin x )′＝(e u )′(sinx )′.＝cos x e sin x .y ′|x ＝0＝1.则切线方程为y －1＝x －0， 即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.命题角度二 与最值有关的应用[例4]在抛物线y ＝－x 2上求一点，使之到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小． 【素养解读】 信息提取 信息转换 素养达成在抛物线y ＝－x 2上求一点，使之到直转化为求与直线4x ＋3y －8＝0平逻辑推理：抛物线上到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小的点，线4x ＋3y －8＝0的距离最小.行，且与抛物线y ＝－x 2相切的直线. 转化为平行于直线4x ＋3y －8＝0且与抛物线相切的直线与抛物线y ＝－x 2的切点．数学运算：导数的运算；解方程.设切点，解关于切点的横坐标的方程.解：如图所示，由题意知作与4x ＋3y －8＝0平行的直线l ，当l 与y ＝－x 2相切时，切点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小．设切点为(x 0，－x 20)，又y ′＝(－x 2)′＝－2x ，∴－2x 0＝－43，∴x 0＝23，y 0＝－x 20＝－49，∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，即抛物线y ＝－x 2上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49到直线的距离最小．【方法总结】导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在．(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题．可以结合导数的几何意义分析．【跟踪训练4】已知点P是曲线y＝x2－ln x 上一点，求点P到直线y＝x－2的最小距离．解：过P作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－ln x相切，设P(x0，x20－ln x0)，则k＝y′|x＝x0＝2x0－1x 0＝1，∴x0＝1或x0＝－12(舍去)，∴p的坐标为(1,1)，∴d min＝|1－1－2|1＋1＝ 2.【本节小结】【课时作业】【基础巩固】1．（2018•山西太原市期中）已知函数f（x）=sinx﹣x，则f′（0）=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2解析：f′（x）=cosx﹣1，∴f′（0）=cos0﹣1=1﹣1=0．答案：A2．（2018•四川资阳雁江区期中）下列运算正确的个数为（）A．B．（3x）'=3x log3eC．（lgx）′=D．（x2cosx）'=﹣2xsinx解析：根据题意，依次分析选项：对于A ，）′==，正确；对于B，（3x）'=3x ln3，错误；对于C，（lgx ）′=，错误；对于D，（x2cosx）'=（x2）′cosx+x2（cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，错误；答案：A3.（2018•河南商丘市期中）已知函数f（x）=（x3﹣2x）e x，则的值为（）A．﹣e B．1 C．e D．0解析：∵f（x）=（x3﹣2x）e x，∴f′（x）=（x3+3x2﹣2x﹣2）e x，∴=f′（1）=（1+3﹣2﹣2）e=0．答案：D4.（2018•福建三明三元区月考）某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度（单位：℃）为f （x ）=x3﹣x2+8（0≤x＜5），那么原油温度的瞬时变化率的最小值为（）A．8 B ．﹣C．﹣1 D．﹣8解析：由题意，f′（x）=x2﹣2x=（x ﹣）2﹣，∵0≤x≤5∴x=时，f′（x ）的最小值为﹣，即原油温度的瞬时变化率的最小值是﹣.答案：B5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝( ) A．e－1 B．－1C．－e－1 D．－e解析：∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(e)＋1x，∴f′(e)＝2f′(e)＋1e，解得f′(e)＝－1e.答案：C6．(2018•高考全国高考II卷）曲线2lny x=在点(1,0)处的切线方程为__________．解析：由()2lny f x x==，得()2f xx'=，则曲线2lny x=在点()1,0处的切线的斜率为()12k f='=，则所求切线方程为()021y x-=-，即22y x=-．答案：y=2x–27．(全国大纲卷改编)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.解析：y′＝4x3＋2ax，因为曲线在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，所以y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.答案：－6（文）8．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________.解析：∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a ＝2，解之得a ＝12ln2. 答案：12ln2（理）8．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.解析：f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋5π6.若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )． 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.答案：π69．求下列函数的导数(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6；(2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；（理）(3)y ＝ln(2x 2＋x )；（理）(4)y ＝x ·2x －1.解：(1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′ ＝5x 4－9x 2－10x .(2)方法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9. 方法二∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6，∴y ′＝18x 2－8x ＋9.(3)设u ＝2x 2＋x ，则y x ′＝y u ′·u x ′ ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x . (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.先求t ＝2x －1的导数． 设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t x ′＝t u ′·u x ′＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1.10.已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值．解：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x x ＋12－bx2，由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)， 故⎩⎨⎧f 1＝1，f ′1＝－12，即⎩⎨⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.【能力提升】11．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1. ∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3. 答案：D12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2017(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析： f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2017(x )＝f 1(x )＝cos x .答案：C（文）13.已知直线x －y －1＝0与抛物线y＝ax 2相切，则a 的值为________． 解析：设切点为P (x 0，y 0)． 则f ′(x 0)＝2ax 0，即2ax 0＝1.又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，联立以上三式，得⎩⎨⎧2ax 0＝1，y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，解得a ＝14.答案： 14（理）13．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P的坐标为________.解析：设f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝1，因此曲线f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即y ＝x ＋1；设g (x )＝1x (x ＞0)，则g ′(x )＝－1x2，由题意可得g ′(x P )＝－1，解得x P ＝1，所以P (1,1)． 答案：(1,1)14．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.解析：f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋.精选文档 [(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212. 答案：212 【创新探究】 15．已知曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程． 解：∵y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′ ＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y ′|x ＝0＝2，∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设适合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ， 根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.。