高中数学第一章立体几何初步1.1简单旋转体学案北师大版必修212250513

高中数学第一章立体几何初步1.1简单旋转体学案北师
大版必修212250513
[学习目标] 1.通过实物操作，增强直观感知． 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类． 3.会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征． 4.会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类.
【主干自填】
几种简单旋转体
【即时小测】
1．思考下列问题
(1)铅球和乒乓球都是球吗？
提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义．
(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆吗？
提示：它们的底面都不是圆，而是圆面．
2．用一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )
A．圆柱B．圆锥
C．球D．圆台
提示：C 由球的性质可知，用平面截球所得截面都是圆面．
3．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
提示：D 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．
例1 有下列说法：
①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；
②球的直径是球面上任意两点间的连线；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．
其中正确的序号是________．
[解析]球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离等于定长的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．
[答案]①
类题通法
透析球的概念
(1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体，球体与球面是两个不同的概念，用一个平面截球得到的是圆面而不是圆．
(2)根据球的定义，篮球、排球等虽然它们的名字中都有一个“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义．
[变式训练1]下列命题：
①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
②球面上任意三点可能在一条直线上；
③空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球面．
其中正确的命题序号为________．
答案③
解析①中作球的截面，在截面圆周上任取四点，则这四点在同一平面内，所以①错；
②球面上任意三点一定不能共线，所以②错；③由球的定义可知③正确.
例2 下列命题：
①用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱的任意两条母线平行；
④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体叫圆锥．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析]本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的概念，关键理解它们的形成过程．①用平行
于圆锥底面的平面去截圆锥才能得到一个圆锥和一个圆台；②以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转一周可得到圆台；③、④显然都正确．
[答案] C
类题通法
透析几种旋转体的概念
解决此类问题一般是利用有关旋转体的定义，所以必须对各种旋转体的概念在理解的基础上熟记．
圆柱、圆锥、圆台它们都是由平面图形旋转得到的，圆柱和圆台有两个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆面，圆台的两个底面是半径不等的圆面，圆锥只有一个底面．
[变式训练2]下列命题中：
①圆台的母线有无数条，且它们长度相同；②圆台的母线延长后一定相交于一点；③圆台可以看作直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面围成的几何体；④圆绕其直径所在直线旋转半周形成的曲面围成的几何体是球．正确命题的序号是________．
答案①②③④
解析由圆台与球的定义可知①②③④都对.
例3 如下图，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．
[解]如图，设圆台的母线长为y cm，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x cm,4x cm，根据相似三角形的性质得
33＋y ＝x 4x
， 解此方程得y ＝9，
因此，圆台的母线长为9 cm. 类题通法
处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素的关系，常利用相似三角形去寻找等量关系.
[变式训练3] 圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________．
答案
3，2
解析 设正三角形的边长为a ，则34
a 2
＝3，∴a ＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为3
2
a ＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.
易错点⊳空间位置关系考虑不全导致漏解
[典例] 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，试求这两个截面间的距离．
[错解] 如图(1)，设球的球心为O ，C ，D 分别为两截面圆的圆心，AB 为经过C ，O ，D 的球的直径，
由题意知两截面圆的半径分别为6和8. 在Rt △COE 中，OC ＝102
－62
＝8. 在Rt △DOF 中，OD ＝102
－82
＝6. 所以CD ＝OC －OD ＝8－6＝2. 故这两个截面间的距离为2.
[错因分析] 错解中由于考虑问题不全面而导致错误．
事实上，两个截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧．
[正解]如图(1)(2)，设球的球心为O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D的球的直径，
由题意知两截面圆的半径分别为6和8.
当两截面在球心同侧时，
CD＝OC－OD＝102－62－102－82＝2.
当两截面在球心两侧时，
CD＝OC＋OD＝102－62＋102－82＝14.
所以这两个截面间的距离为2或14.
课堂小结
1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.
3.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.
1．图1是由哪个平面图形旋转得到的( )
答案 D
解析图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．
2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成( )
A ．一个圆台和两个圆锥
B ．两个圆台和一个圆锥
C ．两个圆柱和一个圆锥
D ．一个圆柱和两个圆锥 答案 D
解析 把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体．
3．给出下列四个命题：
①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体； ②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ③通过圆台侧面上一点，有无数条母线． 其中正确命题的序号是________． 答案 ②
解析 ①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)；②正确，如图(2)；③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．
4．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________．
答案 9π
解析 如下图，
把圆台还原成圆锥，设截面⊙O 1的半径为r ，因为圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，所以上底面半径为1，下底面半径为4，所以
SO SO 2＝1
4
.设SO ＝x ，则SO 2＝4x ，从而OO 2＝3x .因为OO 1∶O 1O 2＝2∶1，所以OO 1＝2x ，则SO 1＝SO ＋OO 1＝3x .在△SBO 1中，1r ＝SO SO 1＝x
3x ，
所以r ＝3，因此截面的面积是9π.。