高中物理竞赛解题方法之降维法例题
3.“降维法”求解立体问题1
第三讲 降维法求解立体问题方法概述：所谓“降维法”是指在解题过程中，根据问题的需要，利用特定的观察角度将物理图形的空间维数降低，即将立体转化为平面、平面转化为直线、直线转化为点，从而使研究的对象更为直观、求解的过程更为简捷的方法。
降维法的优点是把不易观察的三维空间物理量的关系在二维图中清晰地表现出来，或者把二维复杂的物理过程用简单的一维物理过程呈现出来，从而找到各物理量之间的关系。
例1、如图所示，有一边长为a 的正方体盒子，在盒子的底部A 处有一只蜘蛛，而在对角的顶点B 处有一只苍蝇，假定苍蝇在B 处不动，蜘蛛才恒定的速率v 沿着盒子的表面爬行，求蜘蛛册捕捉到苍蝇的最短时间。
答案：va t 5min =例2、如图所示,在倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物体,重力为G ,现在用与斜面底边平行的力F=G/2推物体,物体恰能在斜面上斜向下匀速直线运动,则物体与斜面之间的动摩擦因数是多少?答案： 36例4、如图所示，A 、B 为竖直墙壁上等高的两点AO 、BO 为长度相等的两根轻绳，CO 为一根轻杆．转轴C 在AB 中点D 的正下方，AOB 在同一水平面上．∠AOB=90°，∠COD=60°．若在O 点处用轻绳悬挂一个质量为m 的物体，则平衡后绳AO 所受拉力的大小为（ D ）A ．mgB ．mgC ．mgD ．mg例5、 如图所示，静止的圆锥体铅直放置， 顶角为ɑ，有一质量为m 并分布均匀的细炼条圆环水平地套在圆锥体上。
忽略炼条与锥面之间的摩擦力，试求炼条中的张力T 。
答案：2cot 2απmg T =例6、 把一根长为L 的光滑钢丝均匀地绕成一个高为h 的弹簧，现把该弹簧竖直固定在地面上，让一个小环穿在钢丝上，并使其由静止开始下滑，假设整个过程中弹簧的形变不计，小环下滑过程中所用的时间t= 。
ghL t 2=例6、边长为L 的正方形线框abcd 在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕轴OO′匀速转动．初始时刻线框平面与磁场垂直，如图所示．经过t 时间，线框转过120°．求线框转动周期和线框转过120°时感应电动势的瞬时值；答案：线框转动周期和线框转过120°时感应电动势的瞬时值：tBL 332π例7、一根通有电流I 1的长直导线OOʹ竖直放置，另有一矩形导线框abcd 的电流平面放在竖直平面内，通有如图所示得电流I 2。
专题46 割补法、微元法、递推法和降维法(原卷版)
2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练专题46 割补法、微元法、递推法和降维法【特训典例】一、割补法1．如图所示，一个质量为M 的匀质实心球，半径为R ，如果从球中挖去一个直径为R 的小球放在相距为2d R =的地方，则挖去部分与剩余部分的万有引力为（ ）A ．227256GM RB ．2217144GM RC ．227288GM RD ．2223800GM R2．均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。
如图所示，半径为R 的球体上均匀分布着正电荷，在过球心O 的直线上有A 、B 、C 三个点，OB BA R ==，2CO R =。
若以OB 为直径在球内挖一球形空腔，球的体积公式为343V r π=，则A 、C 两点的电场强度大小之比为（ ）A ．9:25B ．25:9C ．175:207D ．207:1753．已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零，电势处处相等．如图所示，正电荷均匀分布在半球面上，Ox 为通过半球顶点与球心O 的轴线．A 、B 为轴上的点，且OA=OB ．则下列判断正确的是（ ）A．A点的电场强度与B点的电场强度相同B．A点的电势等于B点的电势C．在A点由静止开始释放重力不计的带正电粒子，该粒子将做匀加速直线运动D．带正电的粒子在O点的电势能为零二、微元法4．解放前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用，如图所示，假设驴拉磨的力F总是与圆周轨迹的切线共线，运动的半径为R，则驴拉磨转动一周所做的功为()A．0B．FR C．2πFR D．无法判断5．半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。
点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。
将一点电荷q置于OC延长线上距C 点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。
圆环上剩余电荷分布不变，则q为（）A ．正电荷，2Q Lq R π∆= B ．正电荷，9Δ2Q Lq R π= C ．负电荷，2Q Lq Rπ∆=D ．负电荷，9Δ2Q Lq Rπ=6．2006年9月，中国第一座太空娱乐风洞在四川省绵阳市建成并投入运营。
13.降维法
十三、降维法方法简介降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。
由于三维问题不好想像，选取适当的角度，可用降维法求解。
降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。
赛题精讲例1：如图13—1所示，倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物体，物体重为G ，静止在斜面上。
现用与斜面底边平行的力F=G/2推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运动，则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速运动的方向如何？解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力四个力的作用下做匀速直线运动，所以受力平衡。
但这四个力不在同一平面内，不容易看出它们之间的关系。
我们把这些力分解在两个平面内，就可以将空间问题变为平面问题，使问题得到解决。
将重力沿斜面、垂直于斜面分解。
我们从上面、侧面观察，图13—1—甲、图13—1—乙所示。
如图13—1—甲所示，推力F 与重力沿斜面的分力G 1的合力F ′为：G G F F 22212=+=' F ′的方向沿斜面向下与推力成α角， 则 ︒=∴==451tan 1ααFG这就是物体做匀速运动的方向物体受到的滑动摩擦力与F ′平衡，即 2/2G F f ='=所以摩擦因数：3630cos 2/2=︒==G G F f N μ 例2：如图13—2所示，一个直径为D 的圆柱体，其侧面刻有螺距为h 的光滑的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由下落，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽，如图13—2—甲所示，当圆柱体转一周，相当于沿斜槽下降一个螺距h ，当圆柱转n 周时，外侧面上一共移动的水平距离为22122at n D =π①圆弧槽内小球下降的高度为221gt nh =② 解①、②两式，可得，为使螺旋形槽内小球能自由下落，圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为hDga π=例3：如图13—3所示，表面光滑的实心圆球B 的半径R=20cm ，质量M=20kg ，悬线长L=30cm 。
降维法解题
降维法解题
邵琼
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2008(000)012
【摘要】变量的个数称为“维数”，平面是二维空间．《解析几何》课本中两点间距离公式，线段定比分点公式，直线的斜率公式以及点到直线的距离公式，都是通过作点或线段在坐标轴x轴（或y轴）上的射影，将问题转化为只与横坐标（或纵坐标）有关问题，化二维空间的问题为一维空间的问题，
【总页数】3页(P14-16)
【作者】邵琼
【作者单位】福建省晋江二中,362212
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.降维法解题例谈 [J], 谢红
2."降维法"解题的"四化"策略 [J], 姜峰
3.偏最小二乘降维法在粤西层控型铅锌矿床发育区水系沉积物地球化学测量数据分析中的应用 [J], 高乐; 周永章; 王琨; 曾志强; 卢宇彤; 黄勇杰
4.胸腔镜下膨胀萎陷联合立体降维法处理肺段间平面的临床应用 [J], 张雷;李小军;王伟;宋超;耿阳;陈鹏飞
5.基于均值点展开的单变元降维法在EIT不确定性量化研究中的应用 [J], 赵营鸽;李颖;王灵月;崔阳阳;王冠雄
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物理习题中的三维问题的处理方法
图1B物理习题中的三维问题的处理方法湖南省浏阳市一中（410300）张学明同学们一般习惯于解答一维问题（如直线运动）和二维问题（如平抛运动），对于三维问题往往感到比较困难，其原因在于三维问题要求有比较强的空间想象能力。
如何处理三维问题呢？降维法是一种常见的处理方法。
1利用三视图，将三维问题转化为二维护问题三视图是从三个不同的侧面观察和描述立体图形的一种重要手段。
它包括正视图形、侧视图、俯视图。
通过三视图可以将三维问题转化为二维问题。
例1：如图1，一个矩形线圈abcd 绕其对称轴OO ’轴在水平向右的匀强磁场中以角速度ω旋转，已知磁场的磁感应强度为B ，线圈的电阻为R ，ab=L 1,bc=L 2。
线圈的起始位置与磁场方向平行。
当线圈旋转600的角度时，求线圈所受的安培力矩M.解析：为了便于求解，我们采取俯视图（图2） (1)在转到600的位置时，线圈的感应电动势230sin 22101ωL BL v BL E ==, 感应电流RL BL i 221ω=故安培力矩RL L B i L BL L i BL LF M 22222222122121ω====2利用等效法将三维问题二维问题例2：如图，质量为m ，带电量为q 的粒子，从坐标轴原点O沿+y 方向以速度v 匀强磁场，电场强度为E ，磁感应强度为B 。
当带电粒子从原点O 出发到第一次与xoz 平面相交于P 点，OP 间的距离为多大？用运动的分解的等效方法将其转化为二维问题。
粒子在平行于xoy 平面内作匀速圆周运动，内作初速度为0的匀加速运动。
作圆周运动的半径为R =qB m T π2=，粒子到达P 点时，所用的时间qB m t π=，在轴方向的位移为qBmvR x 22==A CBO ’ α在oy 方向的位移2(21qBm m Eq y π=故OP 之间的距离2222222224)2(qB v m q B m E y x OP +=+=π3选择适当的截面图，将三维问题转化为二维问题例3：三个半径为r ,质量相等的球放在一个半球形碗内，现把第四个半径也为r 质量也相同的球放在这三个球的正上方，要使四个球都静止，大的半球形碗的半径应该满足什么条件？解：设A 、B 、C 、D 为四个球的球心，构成一个正四面体。
高中物理竞赛试题解题方法
高中物理竞赛试题解题方法：整体法方法简介整体是以物体系统为研究对象，从整体或全过程去把握物理现象的本质和规律，是一种把具有相互联系、相互依赖、相互制约、相互作用的多个物体，多个状态，或者多个物理变化过程组合作为一个融洽加以研究的思维形式。
整体思维是一种综合思维，也可以说是一种综合思维，也是多种思维的高度综合，层次深、理论性强、运用价值高。
因此在物理研究与学习中善于运用整体研究分析、处理和解决问题，一方面表现为知识的综合贯通，另一方面表现为思维的有机组合。
灵活运用整体思维可以产生不同凡响的效果，显现“变”的魅力，把物理问题变繁为简、变难为易。
赛题精讲例1：如图1—1所示，人和车的质量分别为m和M，人用水平力F拉绳子，图中两端绳子均处于水平方向，不计滑轮质量及摩擦，若人和车保持相对静止，且水平地面是光滑的，则车的加速度为。
解析：要求车的加速度，似乎需将车隔离出来才能求解，事实上，人和车保持相对静止，即人和车有相同的加速度，所以可将人和车看做一个整体，对整体用牛顿第二定律求解即可。
将人和车整体作为研究对象，整体受到重力、水平面的支持力和两条绳的拉力。
在竖直方向重力与支持力平衡，水平方向绳的拉力为2F，所以有：2F = (M + m)a，解得：a =2F M m例2：用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图1—2所示，今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是（）解析：表示平衡状态的图是哪一个，关键是要求出两条轻质细绳对小球a和小球b的拉力的方向，只要拉力方向求出后。
图就确定了。
先以小球a、b及连线组成的系统为研究对象，系统共受五个力的作用，即两个重力(m a + m b)g ，作用在两个小球上的恒力F a、F b和上端细线对系统的拉力T1。
因为系统处于平衡状态，所受合力必为零，由于F a、F b大小相等，方向相反，可以抵消，而(m a + m b)g的方向竖直向下，所以悬线对系统的拉力T1的方向必然竖直向上。
巧用“降维”思想解决物理立体图难题
数理出 解题研究2019年第13期总第434期第(1)个问题是在步骤④中可以减小对下落时间/测量的误差的类型是什么？时间测量自然属于人为操作 快慢和读数问题带来的误差，因此属于偶然误差.第(2)个问题是在本实验要求小钩码的质量m 远远小于重锤的质量M,其目的是什么？给出了四个选项，是 一种判断性的问题,可以通过对自由落体的特征进行分析，因为重力加速度较大，造成下落〃高度的时间较短, 测量时间越短实验误差自然就越大，要使重锤下落的时 间变得更长，就必须采取减小系统下降的加速度，因此小 钩码的质量m 远远小于重锤的质量M.第(3)个问题是探究轮的摩擦阻力会引起实验误差 问题.是一种开放性的问题,本问较为巧妙，也代表着命题的趋势，考生需要弄清减小摩擦阻力变化的原理方法， 橡皮泥粘在什么物体上，其作用的原理是什么,这都需要学生在平时从实验操作中用心体会的，这也是在高考备考中必须具备的物理实验素养.第(4)个问题是根据测量数据(在题干中已经给出)进一步处理，目的是让学生能够通过牛顿第二定律进行思考，通过公式简单的变形和分析得出相应的答案，分析 简单而基础.在2018年江苏的高考物理试卷中类似例3的试题还有许多，如第10题,该题是对测量某干电池的电动势和 内阻的物理实验的考查，属于电学的基本实验，其目的在于考查学生的实验数据处理能力和误差分析能力，在这里就不再一一细说了.通过上述实验案例就可以对今天的备考有清晰的脉络.在注意“双基”的同时，应该去发展学生的物理思维的 方法，比如去分析实验数据、比较不同实验结果、抽象出 实验蕴含的物理规律等等，其中在物理备考过程中，通过 基本实验的提炼让抽象的物理概念形象化，让学生在备考中掌握对物理规律以演绎、归纳与概括的方法，从而达成提升学生物理学科的核心素养.总之，高考备考过程是将物理基本概念、基本规律重新打磨的过程，只有在这个过程中要求学生的勤于思考,通过学生在备考中积极的思考的过程,才能务实的挖掘出物 理概念和原理的内涵与夕卜延，才能在高考中蟾宫折桂.参考文献：［1］ 朱亚军.2017年江苏高考物理试卷评析与2018 年高三物理复习建议［J ］.中学教学参考,2017 (23)： 34 - 37.［2］ 金溢.近五年江苏高考物理实验题的特点分析与复习策略［J ］.中学物理教学参考,2017(23) ：47 -49.［3］ 张丹彤.高考物理实验试题的创意思想对高中物 理实验教学的启示——以江苏省高考物理试题为例［J ］. 物理教师,2015,36(11) ：84 -88.［责任编辑：闫久毅］巧用“降维”思想 解决物理立体图难题钱启明(江苏省启东市第一中学226200)摘要:在高中物理当中，很多题目组成都要用到三维立体图，这就给很多同学理解，分析以及解题造成 了很大的困难，为了让立体图变得更加“亲切”，同学们应该掌握如何将三维图简化的方法，让三维图不再是同 学们解题路上的“拦路虎”.关键词：立体图；降维思想中图分类号:G632 文献标识码：a 文章编号：1008 -0333(2019)13 -0074 -02三维视图问题对学生空间思维能力和综合处理问题 能力要求高，多数同学会觉得问题所描述的情况无法想象，无法熟练的运用知识来解决这类问题.学生在数学中已经了解了三视图的方法，所以需要做的就是引导学生 运用这个方法解决物理问题.一、运动方向一分为二，化繁为简在很多力学问题当中，物体运动除了直线外,会遇到某些特殊的运动轨迹，这样的运动方式让受力分析成为难点，我们不妨换一个思路,将复杂运动分解为若干简单收稿日期:2019-02 -05作者简介:钱启明(1982. 4 -),男，江苏省启东人，本科，中学一级教师，从事高中物理教学研究.—74—2019年第13期总第434期数理化解题研究运动，化繁为简，让复杂运动不再复杂.例1某人骑电动车车在圆筒形内沿着筒壁骑行.电动车加速行驶直到可以在筒壁上以匀速骑行，如图1所示.如果电动车(包括人)的总质量为M,筒壁半径为R,匀速率行驶的速率为”，每行驶一圈上升爪求电动车匀速行驶时的向心力.解析电动车的速度"，可分解为水平分速度v,和垂2直分速度为”2，则向心加速度为a=乍.问题的关键是将运动轨迹展开为一个面，如图2所示，其倾角为a,倾角的余弦为沁=7^帶+产向心加速度为心知~2"*-)，向心力F=Ma=Mv2 V(2tt R)2+h24tt2R (4tt2/?2+/i2)点拨从本题我们可以了解，运动不仅包括直线运动还包括各种复杂运动，而我们要做的就是删繁就简，将复杂问题简单化,在分析当中抽丝剥茧，这就需要同学们掌握数学知识和物理知识，以便从容应对此类问题.二、立体电阻分解，一目了然物理的电磁学当中少不了与电阻打交道，平面的电阻电路图是非常常见的，但是如果遇到立方形的电阻是不是还能从容应对呢，这就需要我们用一定的技巧进行简化，让立体变平面.例2如图3所示，某立方形是用12根阻值均为r的电阻丝构成.求立方形当中4点和G点之间的等效电阻.解析我们看到电路是由立方形组成，现将该立体电路“压平”成平面电路图，如图4所示.D图4由于到D、E、B三点等势,C、F、H三点等势,则立体电路可等效为如图5所示的电路图，所以A点和G点之间总电阻为点拨电磁学问题是物理学的重中之重，掌握电磁学的各种解题方法是非常必要的，但是同学又不能拘泥于物理学当中，这里就非常典型的运用了数学当中的几何知识，是立体变平面的典型问题.三、斜面变平面，信手拈来此问题的图形是三维的,不容易掌握物体的加速度，难度增加•如果我们能通过三视图将三维变成二维，问题就会容易得多.我们可以将立体图用三视图法，将分解成由两个运动轨迹的合体,这样解决起来可谓信手拈来.例3如图6(1)所示光滑带有斜度的平面长为a,宽为b,斜度为a,现有一个圆球在斜面上方P点水平抛出，要想使圆球从Q点离开，则需要圆球的初速度％是解析此题可以分解为两个方向，水平方向(如图6 (3))为匀速直线运动，速度为％.沿斜面向下方向(如图6(2))为初速度为0的匀加速运动，加速度为a=gsina,则a=*gt2sina, b=v o t,联立两个式子解得：％=b点拨三维运动分解为两个或者若干个平面运动，是解决此类问题的关键所在，也是让复杂问题简单化的“黄金钥匙”,深刻理解题意是前提,熟练掌握数学、物理知识是基础，灵活的思维是途径，正确分解图形是“钥匙”.以上三个例题分别介绍了三种“降维”方法，在以后的学习当中还需要同学自己摸索，自己探究，把数学几何思维和物理结合起来，不再让立体图成为难点，化繁为简，数形结合，以发散的思维看问题，这是学习的正确路径之所在.参考文献：［1］王正青.高中物理中解题方法归纳探究［J］.数理化解题研究,2017(22).［2］周杨.关于新课改高中物理解题方法探究［J］.商,2015(5)：277,［责任编辑：闫久毅］—75—。
高中立体几何中球体问题的两类降维方法探究
高中立体几何中球体问题的两类降维方法探究高中立体几何中球体问题的两类降维方法探究吴㊀婷（无锡市第一女子中学，江苏㊀无锡㊀２１４００２）ʌ摘要ɔ高中立体几何有着深厚的数学文化背景，与社会实践息息相关．而立体几何中的球体是现实生活中最常见的数学模型之一．学生通过立体几何球体部分知识的学习能更好地提升数学学科素养，以适应今后的社会发展．然而，在实际教学过程中，不少学生表现出对球体问题的畏难情绪，主要原因在于基础知识概念的模糊㊁空间想象能力不足以及立体几何到平面几何的知识迁移能力不足等．基于此，文章从将球体问题降维至球心所在平面，将球体问题降维至其他辅助平面两个方面指导学生使用 降维思想 ，促使学生利用 降维思想 去解决球体问题．学生掌握这两种降维方法对于掌握立体几何中的球体问题有着重要意义．ʌ关键词ɔ立体几何；球体；降维思想引 言降维思想泛指将一个复杂的数学问题转化为一个相对简单的问题，从而达到简化解决数学问题的思维模式．在处理与球相关的问题时，教师可以指导学生进行立体几何和平面几何知识间的迁移，实现数学上的降空间维度，从而将原本复杂的空间球体问题转化为更容易理解和求解的平面问题．对于高中数学立体几何球体问题的降维策略，教师可尝试指导学生进行以下两大类降维处理方法．一㊁将球体问题降维至球心所在平面过球心的平面截球产生的截面圆即 大圆 ，大圆中涵盖了球的关键要素，所以在进行有关球的计算时，可以将空间问题降维转化至大圆所在平面，即运用转化化归思想实现化球为圆来解决问题．在平面内可以利用相似三角形关系㊁勾股定理㊁正余弦定理等几何原理求解．例１㊀在直角三角形ＡＢＣ中，斜边ＡＢ长为２，绕直角边ＡＣ所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球的表面积为１６π３，则ＡＣ长为（㊀㊀）．Ａ．３２㊀㊀㊀Ｂ．１㊀㊀㊀Ｃ．２㊀㊀㊀Ｄ．３分析㊀本题考查球的表面积公式和圆锥的结构特征，考查学生的空间想象能力．设ＡＣ＝ｍ，则ＢＣ＝４－ｍ２．依题意可得旋转后得到的几何体为圆锥．根据外接球的表面积求出球的半径，设外接球的球心为Ｏ，则球心在直线ＡＣ上，利用勾股定理得到方程，即可求出ｍ．㊀图１解㊀如图１，设ＡＣ＝ｍ，因为ＡＢ＝２，所以ＢＣ＝ＡＢ２－ＡＣ２＝４－ｍ２，绕直角边ＡＣ所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为Ｒ，则４πＲ２＝１６π３，解得Ｒ＝２３３，设外接球的球心为Ｏ，则球心在直线ＡＣ上，所以４－ｍ２＋ｍ－２３３æèçöø÷２＝４３，解得ｍ＝３．故选Ｄ．㊀图２例１变式㊀三星堆古遗址作为 长江文明之源 ，被誉为人类最伟大的考古发现之一．３号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代 天圆地方 观念，是天地合一的体现．如图２，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为１２ｃｍ，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球Ｏ上，则球Ｏ的表面积为（㊀㊀）．Ａ．７２πｃｍ２㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．１６２πｃｍ２Ｃ．２１６πｃｍ２Ｄ．２８８πｃｍ２分析㊀本题以数学传统文化切入，考查球的切㊁接问题，圆柱与正方体的结构特征．由题意可设圆柱９５１底面半径为ｒ，则正方体的棱长为２ｒ，进而可求正方体的外接球半径为３ｒ，再根据圆柱的底面圆在球面上可结合勾股定理构造等量关系式求ｒ，则球半径可求，最后利用球的表面积公式求解．㊀图３解㊀如图３，设圆柱的底面半径为ＡＢ＝ｒ，则正方体的棱长为２ｒ，正方体外接球半径ＯＢ＝Ｒ＝３２ˑ２ｒ＝３ｒ，因为圆柱的高ｈ＝１２ｃｍ，则１２２æèçöø÷２＋ｒ２＝Ｒ２⇒ｒ２＝１８⇒ｒ＝３２，所以外接球半径Ｒ＝３ｒ＝３６，外接球表面积为Ｓ＝４πＲ２＝２１６π（ｃｍ２）．故选Ｃ．点评㊀例１及变式中与球有关的切㊁接等问题，教师可以引导学生通过球心和多面体的特殊点或特殊面作截面，从而实现三维问题至平面问题的转化，紧扣其中的垂直本质，利用勾股定理运算．二㊁将球体问题降维至其他辅助平面另一种降维处理的策略是将球体问题投影到其他辅助平面上，例如球的外接几何体的底面㊁球的内接几何体的对角面㊁小圆所在平面等．在这些平面上，可以使用圆的性质㊁平面向量㊁基本不等式等数学工具解决问题．例２㊀如图４所示，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，Ｏ１，Ｏ２为圆柱两底面的圆心，Ｏ为球心，ＥＦ为底面圆Ｏ１的一条直径，若球的半径ｒ＝２，则（㊀㊀）．图４㊀图５Ａ．球与圆柱的体积之比为２ʒ３Ｂ．四面体ＣＤＥＦ的体积的取值范围为（０，３２］Ｃ．平面ＤＥＦ截得球的截面面积最小值为４π５Ｄ．若Ｐ为球面和圆柱侧面的交线上一点，则ＰＥ＋ＰＦ的取值范围为［２＋２５，４３］分析㊀本题考查圆柱与球的表面积㊁体积以及折线段长度和的最值问题，考查学生的空间思维能力和逻辑推理能力．解㊀由球的半径为ｒ，可知圆柱的底面半径为ｒ，圆柱的高为２ｒ，则球体积为４３πｒ３，圆柱的体积为πｒ２㊃２ｒ＝２πｒ３，所以球与圆柱的体积之比为２３，故Ａ正确．如图５（１），连接ＤＯ１，过Ｏ作ＯＧʅＤＯ１于Ｇ，则由题可得ＯＧ＝１２ˑ２ˑ４２５＝２５５，设Ｏ到平面ＤＥＦ的距离为ｄ１，平面ＤＥＦ截得球的截面圆的半径为ｒ１，则ｄ１ɤＯＧ，ｒ２１＝ｒ２－ｄ２１＝４－ｄ２１ȡ４－４５＝１６５，所以平面ＤＥＦ截得球的截面面积最小值为１６５π，当ｄ１＝０时，平面ＤＥＦ截得球的截面面积最大，为４π，故Ｃ错误．在图４中连接ＤＯ１，ＣＯ１，则由题可知四面体ＣＤＥＦ的体积等于２ＶＥ－ＤＣＯ，点Ｅ到平面ＤＣＯ１的距离ｄɪ（０，２］，又ＳәＤＣＯ＝１２ˑ４ˑ４＝８，所以２ＶＥ－ＤＣＯ＝２３ˑ８ｄɪ０，３２３æèçùûúú，故Ｂ错误．由题可知点Ｐ在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设Ｐ在底面的射影为Ｐᶄ，如图５（２）所示，则ＰＰᶄ＝２，ＰＥ＝２２＋ＰᶄＥ２，ＰＦ＝２２＋ＰᶄＦ２，ＰᶄＥ２＋ＰᶄＦ２＝１６，设ｔ＝ＰᶄＥ２，则ｔɪ［０，４２］，ＰＥ＋ＰＦ＝２２＋ｔ＋２２＋１６－ｔ，所以（ＰＥ＋ＰＦ）２＝（２２＋ｔ＋２２＋１６－ｔ）２＝２４＋２－ｔ２＋１６ｔ＋８０＝２４＋２－（ｔ－８）２＋１４４ɪ［２４＋８５，４８］，所以ＰＥ＋ＰＦɪ［２＋２５，４３］，故Ｄ正确．故选ＡＤ．点评㊀在处理选项中截面圆面积最值时，将面积最值转化成半径的最值，而通过对球问题的扁平化处理，结合圆的知识，不难发现当球心至截面距离最大时，可以取到截面圆面积最小值，从而只需在轴截面ＡＢＣＤ中进行平面几何基本量的运算．在折线段长之和最值选项中，通过 投影 关键几何要素，将异面转化成共面，实现问题平面化㊁图形可视化，最终做到维度降低，化繁为简．例２变式㊀已知球Ｏ的半径为４，球心Ｏ在大小为６０ʎ的二面角α－ｌ－β内，二面角α－ｌ－β的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆Ｏ１，Ｏ２，若两圆Ｏ１，Ｏ２的公共弦ＡＢ的长为４，Ｅ为ＡＢ的中点，四面体ＯＡＯ１Ｏ２的体积为Ｖ，则正确的是（㊀㊀）．Ａ．Ｏ，Ｅ，Ｏ１，Ｏ２四点共圆㊀㊀Ｂ．ＯＥ＝２３Ｃ．Ｏ１Ｏ２＝３Ｄ．Ｖ的最大值为３２０６１分析㊀本题结合二面角模型主要考查了球的几何性质的应用，考查了学生的空间想象㊁运算能力．利用球的几何性质㊁正弦定理㊁余弦定理㊁基本不等式等依次验证每个选项的正误．图６解㊀如图６，因为公共弦ＡＢ在棱ｌ上，连接ＯＥ，Ｏ１Ｅ，Ｏ２Ｅ，Ｏ１Ｏ２，ＯＡ，则ＯＥ＝ＯＡ２－ＡＥ２＝２３，故Ｂ正确．因为二面角α－ｌ－β的两个半平面分别截球面得两个圆圆Ｏ１㊁圆Ｏ２，Ｏ为球心，所以ＯＯ１ʅα，ＯＯ２ʅβ，又Ｏ１Ｅ⊂平面α，Ｏ２Ｅ⊂平面β，所以ＯＯ１ʅＯ１Ｅ，ＯＯ２ʅＯ２Ｅ，故Ｏ，Ｅ，Ｏ１，Ｏ２四点共圆，故选项Ａ正确．因为Ｅ为弦ＡＢ的中点，所以Ｏ１ＥʅＡＢ，Ｏ２ＥʅＡＢ，故øＯ１ＥＯ２即为二面角α－ｌ－β的平面角，所以øＯ１ＥＯ２＝６０ʎ，由正弦定理得Ｏ１Ｏ２＝ＯＥ㊃ｓｉｎ６０ʎ＝３，故选项Ｃ错误．设ＯＯ１＝ｄ１，ＯＯ２＝ｄ２，在әＯＯ１Ｏ２中，由余弦定理可得，Ｏ１Ｏ２２＝９＝ｄ２１＋ｄ２２＋ｄ１ｄ２ȡ３ｄ１ｄ２，所以ｄ１ｄ２ɤ３，故ＳәＯＯＯɤ３３４，所以Ｖ＝１３ＡＥ㊃ＳәＯＯＯɤ３２，当且仅当ｄ１＝ｄ２时取等号，故选项Ｄ正确．故选ＡＢＤ．点评㊀本题Ａ选项的设置为后续选项降维思考提供了台阶．题中对空间想象能力要求较高的选项Ｂ，Ｃ，Ｄ可转化到截面圆圆心㊁弦中点以及球心所构成的四边形内，实现知识的综合运用，降维思想的运用得以促使学生更好地认识球体．例３㊀在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，ＡＢʅＢＣ，ＡＣ＝８，点Ｐ到底面ＡＢＣ的距离为７．若点Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｃ均在一个半径为５的球面上，则ＰＡ２＋ＰＢ２＋ＰＣ２的最小值为．分析㊀本题考查多面体的外接球，求解最值的关键是确定Ｐ的轨迹．由已知可得，Ｐ在与平面ＡＢＣ平行的截面圆上，设Ｐ在平面ＡＢＣ上的射影为Ｑ，ＰＱ＝７，把问题转化为求ＱＡ２＋ＱＢ２＋ＱＣ２的最小值，再由数量积运算求解．解㊀如图７，әＡＢＣ的外接圆的圆心为ＡＣ的中点Ｏ１，点Ｐ到底面ＡＢＣ的距离为７，设Ｐ所在截面圆的圆心为Ｏ２，半径为ｒ，此截面与平面ＡＢＣ平行，球心Ｏ在Ｏ１Ｏ２上，设球半径为Ｒ，则ＯＯ１＝Ｒ２－Ｏ１Ｃ２＝５２－４２＝３，ＯＯ２＝Ｏ１Ｏ２－图７ＯＯ１＝７－３＝４，则ｒ＝Ｏ２Ｐ＝Ｒ２－ＯＯ２２＝３．设Ｐ在平面ＡＢＣ上的射影为Ｑ，则Ｑ在以Ｏ１为圆心，３为半径的圆上，ȵＰＱʅ平面ＡＢＣ，ʑＰＱ与平面ＡＢＣ内所有直线垂直，ＰＱ＝７，ʑＰＡ２＋ＰＢ２＋ＰＣ２＝ＰＱ２＋ＱＡ２＋ＰＱ２＋ＱＢ２＋ＰＱ２＋ＱＣ２＝ＱＡ２＋ＱＢ２＋ＱＣ２＋１４７．而ＱＡ２＋ＱＢ２＋ＱＣ２＝（ＱＯ１ң＋Ｏ１Ａң）２＋（ＱＯ１ң＋Ｏ１Ｂң）２＋（ＱＯ１ң＋Ｏ１Ｃң）２＝３ＱＯ１ң２＋Ｏ１Ａң２＋Ｏ１Ｂң２＋Ｏ１Ｃң２＋２ＱＯ１ң㊃Ｏ１Ａң＋２ＱＯ１ң㊃Ｏ１Ｂң＋２ＱＯ１ң㊃Ｏ１Ｃң＝２７＋１６＋１６＋１６＋２ＱＯ１ң㊃（Ｏ１Ａң＋Ｏ１Ｃң）＋２ＱＯ１ң㊃Ｏ１Ｂң＝７５＋２ＱＯ１ң㊃Ｏ１Ｂң．当ＱＯ１ң，Ｏ１Ｂң反向时，ＱＯ１ң㊃Ｏ１Ｂң取得最小值为－１２．ʑＰＡ２＋ＰＢ２＋ＰＣ２的最小值为１４７＋７５－２ˑ１２＝１９８．故答案为１９８．点评㊀该题通过投影技巧，将三棱锥中线段平方和问题降维至外接球小圆内的线段平方和问题，结合向量方法优化处理，亦可在该小圆所在平面建系实现几何问题代数化．结 语通过以上两种降维策略，学生可以更深刻地理解空间问题平面化 的重要思想，在解决球体问题时更好地理解和应用相关的数学知识．同时这两种降维处理的方法可以帮助学生减少对空间概念的畏惧，更加直观地理解和解决复杂的立体几何问题．因此，在教学中，教师可以通过实际案例和练习来引导学生善于利用动态的思维，根据问题中的关键信息进行加工分析，提高他们解决立体几何球体问题的能力．任何一种思维形态的形成都是始于问题，成于思考，用于实践．教学中的灌溉渗透有利于学生逻辑思维和空间想象能力的发展，能更好地落实立德树人的根本任务．ʌ参考文献ɔ［１］中国高考报告学术委员会．高考试题分析（２０２３）［Ｍ］．北京：现代教育出版社，２０２１．［２］周明墩．谈高中数学解题中的降维思维［Ｊ］．中学数学，２０２１（１９）：５６－５７．［３］季峰．升维思考，降维解题：例谈高考数学中的 高观点 试题［Ｊ］．中学数学，２０２１（３）：３０－３１，３３．１６１。
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十三、降维法方法简介降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。
由于三维问题不好想像，选取适当的角度，可用降维法求解。
降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。
赛题精讲例1：如图13—1所示，倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物体，物体重为G ，静止在斜面上。
现用与斜面底边平行的力F=G/2推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运动，则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速运动的方向如何？ 解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力四个力的作用下做匀速直线运动，所以受力平衡。
但这四个力不在同一平面内，不容易看出它们之间的关系。
我们把这些力分解在两个平面内，就可以将空间问题变为平面问题，使问题得到解决。
将重力沿斜面、垂直于斜面分解。
我们从上面、侧面观察，图13—1—甲、图13—1—乙所示。
如图13—1—甲所示，推力F 与重力沿斜面的分力G 1的合力F ′为：G G FF 22212=+='F ′的方向沿斜面向下与推力成α角， 则 ︒=∴==451tan 1ααF G这就是物体做匀速运动的方向物体受到的滑动摩擦力与F ′平衡，即 2/2G F f ='=所以摩擦因数：3630cos 2/2=︒==G G F f Nμ例2：如图13—2所示，一个直径为D 的圆柱体，其侧面刻有螺距为h 的光滑的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由下落，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽，如图13—2—甲所示，当圆柱体转一周，相当于沿斜槽下降一个螺距h ，当圆柱转n周时，外侧面上一共移动的水平距离为22122at n D =π①圆弧槽内小球下降的高度为221gt nh =②解①、②两式，可得，为使螺旋形槽内小球能自由下落，圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为hDga π=例3：如图13—3所示，表面光滑的实心圆球B 的半径R=20cm ，质量M=20kg ，悬线长L=30cm 。
正方形物块A 的厚度△h=10cm ，质量m=2kg ，物体A 与墙之间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s 2。
求：（1）墙对物块A 的摩擦力为多大？（2）如果要物体A 上施加一个与墙平行的外力，使物体A 在未脱离圆球前贴着墙沿水平方向做加速度a =5m/s 2 匀加速直线运动，那么这个外力大小方向如何？解析：这里物体A 、B 所受的力也不在一个平面内，混起来考虑比较复杂，可以在垂直于墙的竖直平面内分析A 、B 间压力和A 对墙的压力；在与墙面平行的平面内分析A 物体沿墙水平运动时的受力情况。
（1）通过受力分析可知墙对物块A 的静摩擦力大小等于物块A 的重力。
（2）由于物体A 贴着墙沿水平方向做匀加速直线运动，所以摩擦力沿水平方向，合力也沿水平方向且与摩擦力方向相反。
又因为物体受竖直向下的重力，所以推力F 方向应斜向上。
设物体A 对墙的压力为N ，则沿垂直于墙的方向，物体B 受到物体A 的支持力大小也为N ，有θμtan ,Mg N N f ==而又因为43tan 53sin ==++∆=θθ所以RL R h在与墙面平行的平面内，对物体A 沿竖直方向做受力分析，如图13—3—甲所示有mg F =αsin沿水平方向做受力分析，有 ma f F =-αcos 由以上各式，解得)5/5a r c s i n (,520)()(22==++=a N ma f mgF因此，对物体A 施加的外力F 的大小为205N ，方向沿墙面斜向上且与物体A 水平运动方向的夹角为).5/5arcsin(例4：一质量m=20kg 的钢件，架在两根完全相同的平行长直圆柱上，如图13—4所示，钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m ，钢件与圆柱间的动摩擦因数μ=0.20。
两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动，角速度./40s rad =ω若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速度为s m /050.00=υ的匀速运动，求推力是多大？（设钢件不发生横向运动）解析：本题关键是搞清滑动摩擦力的方向，滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，由于钢件和圆柱都相对地面在运动，直接不易观察到相对地面在运动，直接不易观察到相对运动的方向，而且钢件的受力不在同一平面内，所以考虑“降维”，即选一个合适的角度观察。
我们从上往上看，画出俯视图，如图13—4—甲所示。
我们选考虑左边圆柱与钢件之间的摩擦力，先分析相对运动的方向，钢件有向前的速度0υ，左边圆住有向右的速度ωr ,则钢件相对于圆柱的速度是0υ与ωr 的矢量差，如图中△v ，即为钢件相对于圆柱的速度，所以滑动摩擦力f 的方向与△v ，的方向相反，如图13—4—甲所示。
以钢件为研究对象，在水平面上受到推力F 和两个摩擦力f 的作用，设f 与圆柱轴线的夹角为θ，当推钢件沿圆柱轴线匀速运动时，应有22000)(22cos 2ωθr v v fvv ff F +=∆== ①再从正面看钢件在竖直平面内的受力可以求出F N ，如图13—4—乙所示，钢件受重力G 和两个向上的支持力F N ，且G=2F N ，所以把N N F f G F μ==,2代入①式，得推力N r v v mg r v v F F N 2)(22)(222002200=+⋅=+⋅=ωμωμ例5：如图13—5所示，将质量为M 的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上，圆锥顶角为α，设圆锥底面水平，链条静止时也水平，求链条内的张力。
解析：要求张力，应在链条上取一段质量元m ∆进行研究。
因为该问题是三维问题，图13—4—乙各力不在同一平面内，所以用“降维法”作出不同角度的平面图进行研究。
作出俯视图13—5—甲，设质量元m ∆两端所受张力为T ，其合力为F ，因为它所对的圆心角θ很小，所以2sin 2θT F =，即F=T θ。
再作出正视图13—5—乙，质量元受重力m ∆g 、支持力N 和张力的合力F 而处于平衡状态，由几何知识可得：2cot22cot απθα⋅=⋅∆=Mg mg F 所以链条内的张力2cot22απ⋅==Mg F T例6：杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。
演员骑摩托车从底部开始运动，随着速度增加，圈子越兜越大，最后在竖直圆筒壁上匀速率行驶，如图13—6所示。
如果演员和摩托车的总质量为M ，直壁半径为R ，匀速率行驶的速率为v ，每绕一周上升的距离为h ，求摩托车匀速走壁时的向心力。
解析：摩托车的运动速度v ，可分解为水平速度v 1和竖直分速度为v 2，则向心力速度为Rv a 21=。
处理这个问题的关键是将螺旋线展开为一个斜面，其倾角的余弦为22)2(2cos hR R a +=ππ，如图13—6—甲所示。
所以有v h R R v v 221)2(2cos +==ππα向心加速度为：222221))2(2(hR R RvR v a +==ππ向心力 )4(422222h R R MvMa F +==ππ例7：A 、B 、C 为三个完全相同的表面光滑的小球，B 、C 两球各被一长为L=2.00m 的不可伸和的轻线悬挂于天花板上，两球刚好接触，以接触点O 为原点作一直角坐标系z Oxyz ,轴竖直向上，O x 与两球的连心线重合，如图13—7所示。
今让A 球射向B 、C 两球，并与两球同时发生碰撞。
碰撞前，A 球速度方向沿y 轴正方向，速率为s m v A /00.40=。
相碰后，A 球沿y 轴负方向反弹，速率A v =0.40m/s 。
（1）求B 、C 两球被碰后偏离O 点的最大位移量；（2）讨论长时间内B 、C 两球的运动情况。
（忽略空气阻力，取g=10m/s 2） 解析：（1）A 、B 、C 三球在碰撞前、后的运动发生在Oxy 平面内，设刚碰完后，A 的速度大小为A v ，B 、C 两球的速度分别为B v 与C v ，在x 方向和y 方向的分速度的大小分别为Bx v ，Cy Cx By v v v ,和，如图13—7—甲所示，由动量守恒定律，有0=-Bx Cx mv mv ①ACy ByAxmvmv mvmv-+= ②由于球面是光滑的，在碰撞过程中，A 球对B 球的作用力方向沿A 、B 两球的连心线，A 球对C 球的作用力方向沿A 、C 两球的连心线，由几何关系，得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==6tan6tan ππCyCx By Bx v v v v ③ 由对称关系可知 Cy Bx v v = ④解①、②、③、④式可得 s m v v Cy Bx /27.1==s m v v Cy Bx /20.2==由此解得 s m v v Cy Bx /54.2==设C 球在x >0, y>0, z >0的空间中的最大位移为,OQ Q 点的z 坐标为z Q ，则由机械能守恒定律可写出Q C m g z mv =221 ⑤所以 gv z C Q 22=代入数值解得 z Q =0.32m而Q 点到O z 轴的距离为 )2()(22Q Q Q z L z z L L QD -=--=图13—7甲所以C 球离O 点的最大位移量 Q Q Lz ODz OQ 222=+= ⑥代入数值，得 m OQ 13.1= ⑦由对称性，可得B 球在0,0,0>><z y x 的空间的最大位移量OP 为m OQ OP 13.1== ⑧（2）当B 、C 两球各达到最大位移后，便做回到原点的摆动，并发生两球间的碰撞，两球第一次返回O 点碰撞前速度的大小和方向分别为s m v Bx /27.1= 方向沿正x 轴方向 By v =2.20m/s 方向沿y 轴方向s m v Cx /27.1= 方向沿正x 轴方向 Cy v =2.20m/s 方向沿y 轴方向设碰撞后的速度分别为11C B v v 和，对应的分速度的大小分别为x B v 1、y B v 1、x C v 1和y C v 1，由于两球在碰撞过程中的相互作用力只可能沿x 轴方向，故碰撞后，沿y 轴方向的速度大小和方向均保持不变（因为小球都是光滑的），即y B v 1=By v 方向沿负y 轴方向 ⑨ y C v 1=Cy v 方向沿负y 轴方向 ⑩碰撞过程中，沿x 轴方向的动量守恒，则 Cx Bx x B x C mv mv mv mv -=-11 因为Cx Bx v v = 所以x B x C v v 11=即碰撞后两球在x 方向的分速度大小也相等，方向相反，具体数值取决于碰撞过程中是否机械能损失。