平面向量练习题集(附答案解析)

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平面向量练习题
一．填空题。

1． BA CD DB AC +++等于________．
2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________．
3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．
4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．
5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若AB 与CD 共线，则|BD |的值等于________．
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7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．
8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______
9. 已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______
10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____
11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____
13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值
是 .
14．将圆22
2=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 . (
二．解答题。

1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．
（1）试求向量2AB ＋AC 的模； （2）试求向量AB 与AC 的夹角；
（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．
?
2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)
（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底
（2）求|a －b |的取值范围
`
3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，
（1）求t 的值
（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直
|
4. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标.
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5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2
－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.
>
6.已知平面向量).2
3,21(),1,3(=-=b a 若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且
（1）试求函数关系式k=f（t）
（2）求使f（t）>0的t的取值范围.
…
…
参考答案
1.0
2.（－3，－4）
`
°
（21，321
）．
6.
73．
#
7.（－3，2）．
8.－2
10.31
-
…
12. 90°
13.2-
14.51--或
}
'
:
（1）∵AB＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2AB＋AC＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．
∴ |2AB＋AC|＝
2
27
)1
(+
-＝50．
（2）∵ |AB|＝
2
21
)1
(+
-＝2．|AC|＝2
25
1+＝26，
：
AB·AC＝（－1）×1＋1×5＝4．
∴ cos ＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝13132． （3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①
又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）
即为所求．
、
13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)
(6Z k k ∈+=ππθ，即当)
(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组
基底
（2）
)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ
∴ 132||132+≤-≤-b a
14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+
. 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-
=时a+tb(t ∈R)的模取最小值
（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时
|||
|b a t -=
∴
0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )
18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y OB OC OB
OC y x OC ① % 又0)1()2(3)
2,1(,//=+---+=x y y x BC OA BC 即：73=-x y ② 联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11
(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.
19．解法一：设平移公式为
⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到
k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，
把它与
22--=x x y 联立， 得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y
设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），
由已知它们关于原点对称，
即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：
02)21(222=++-+-k h x h x .
由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且
又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，
得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y
241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得
)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .
解法二：由题意和平移后的图形与
22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.
22
--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为
49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.
20．解：（1）
.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥b t a k b t a y x y x 即 ).3(41,0)3(4,1,4,0222
2-==-+-∴===⋅t t k t t k b a b a 即 （2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。