第3讲 曲线梁桥基本微分方程
桥梁工程高等数学教材
桥梁工程高等数学教材一、引言桥梁工程是现代社会基础设施建设的重要组成部分，高等数学在桥梁工程中具有重要的应用价值。
本文将以桥梁工程为背景，探讨高等数学在该领域的教学应用，旨在为桥梁工程专业学生提供有效的学习指导和数学应用方法。
二、数值计算与模拟1.了解桥梁的力学性质桥梁工程中，了解桥梁的力学性质是关键，其中包括对桥梁结构的应力、应变、力的平衡等进行分析。
高等数学中的数值计算与模拟方法可以帮助学生理解和求解这些力学问题，例如使用数值方法计算桥梁上各个节点的受力情况。
2.微分方程的应用微分方程在建筑工程中有着广泛的应用，而桥梁工程也不例外。
通过高等数学中微分方程的学习和应用，学生可以理解和分析桥梁的振动情况、稳定性等问题。
例如，可以通过建立桥梁系统的微分方程来分析桥梁的振动频率和稳定性。
三、向量与矩阵1.力的向量分解在桥梁工程中，了解力的方向和大小对设计和施工具有重要意义。
高等数学中的向量可以帮助学生进行力的向量分解，理解力的合成分解原理。
例如，可以通过向量分解将施加在桥梁上的力分解为平行于桥梁轴线和垂直于桥梁轴线的力的分量。
2.矩阵运算在桥梁有限元分析中的应用桥梁工程中，有限元分析是一种常用的方法，用于对桥梁结构进行力学性能分析。
而矩阵运算是有限元分析中的重要工具。
学生通过高等数学中的矩阵运算的学习，能够更好地理解和应用矩阵在桥梁有限元分析中的应用，例如利用矩阵计算桥梁节点的位移、应变等参数。
四、概率统计1.风荷载的概率统计分析桥梁工程中，风荷载是一个重要的考虑因素。
通过概率统计方法，可以对桥梁结构在不同风荷载下的可靠性进行评估。
高等数学中的概率论和数理统计为桥梁工程专业学生提供了分析和评估桥梁结构可靠性的工具。
2.管道内流体力学的统计分析在桥梁工程中，管道是一个常见的构件，涉及到流体的力学行为。
高等数学中的概率统计方法可以帮助学生分析和评估管道内流体的性质，例如流速的概率分布、管道内流体的压力损失等。
梁的挠曲线近似微分方程及其积分.
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
A a
P q
C a
P
a
a
q
a
a
+
=
例6－4-1 按叠加原理求A点转角 和C点挠度.
解、载荷分解如图
、由梁的简单载荷变形表，
查简单载荷引起的变形。
PA
Pa 2 4 EI
f ( x) M ( x) I0 M ( x)
EI ( x) I0
EI 0
EI 0 f ( x) M ( x)
M(x) M(x) I0
I(x)
：几何形状：长度不变，惯性矩变为I0 。
：实梁对应方程： EI0 f ( x) M ( x)
虚梁对应方程：
M (x) q(x)
：令：q(x) M ( x ) 依此建立虚梁上的分布载荷。
8
2
- q a2
a2
C
a
求虚梁B点的剪力和弯矩
x
13qa 3 RA 72
QB
13qa3 72
1 2
qa2 2
a
5 72
qa3
MB
13qa3 72
a
1 2
qa2 2
a
a 3
7 72
qa4
D
B
5qa 3 72EI
7qa4 f B 72EI
C点左右位移怎样？
四、变截面直梁的共轭梁法： ：将截面的变化折算到弯矩之中去。
梁的挠曲线微分:方E程 If ( x) M ( x) 梁的外载与内力的为关 : M系(x) q(x)
上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为 外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求 弯矩与剪力的问题。
弯桥计算理论 (自动保存的)
弯桥计算理论弯桥【curvedbridge】指的是桥面中心线在平面上为曲线的桥梁。
有主梁为直线而桥面为曲线和主梁与桥面均为曲线两种情况。
弯桥主要分为曲线梁桥，曲线斜拉桥，曲线悬索桥。
本文主要论述曲线梁桥。
1 概述随着现代社会的发展和人们需求的提高，交通要求越来越快捷对个体舒适视觉感官的要求也越来越高。
我国近年来修建了大量的高等级公路尤其城市立交桥建设发展很快，道路设计时往往要综合道路平面纵断面和横断面等进行设计，以保证道路的平面顺畅纵坡均衡和横断面合理。
考虑到车辆行驶时的安全舒适以使驾驶人员的视觉和心理反应能保持线形的连续性，由于直线视觉效果单调容易使人疲劳，现在进行道路设计时往往采用平面上避免长直线的设计原则，因此弯桥的使用是不可避免的。
以前由于计算工具和设计理论的欠缺常常以直代弯，如我国南京长江大桥的引桥工程等将直桥上的人行道路缘石和栏杆等稍加修整以满足道路平面曲线线形的要求，但当弯道半径较小或桥梁跨径较大时以直代弯则显得不尽合理，而弯桥就不存在这样的问题。
随着计算理论的日渐成熟和人们的不断实践摸索弯桥有了很大的发展，曲线梁桥以其优美的曲线与道路良好的适应性以及其跨越能力已成为现代交通工程中的一种重要桥型。
在高等级公路中在对环境有特殊要求的地方为了尽量保持原地貌景观也都使用了曲线梁桥。
例如瑞士的勒内恩高架桥依山傍水而行，布伦纳公路上的卢埃克桥紧靠在多岩石茂密森林的山腰上。
这些桥不但起着交通作用还给大自然增添了一道亮丽的风景，早在20世纪30年代很多桥梁工程师就开始了对曲线桥有关问题的研究，60年代初国外一些桥梁专家和学者开始了对曲线梁桥进行深入细致分析探索并付诸于工程实践。
我国自80年代以来随着经济的快速增长，交通业也飞速发展，修建了大量的公路铁路尤其是城市立交桥发展更快，修建了大量的全互通式立交桥，使得我国的曲线梁桥的理论研究和工程实践取得了很大的可喜成果。
广州北京天津沈阳等许多城市都较早地修建了由曲线梁组成的大型立交桥，如弛名全国的天津市中山门蝶式立交桥满足交通功能占地少造价低造型优美。
道路桥梁高等数学教材目录
道路桥梁高等数学教材目录第一章数列与数学归纳法1.1 等差数列1.2 等比数列1.3 通项公式与求和公式1.4 数学归纳法第二章极限与连续性2.1 数列极限2.2 函数极限2.3 极限存在准则2.4 无穷小量与无穷大量2.5 间断与连续2.6 洛必达法则第三章导数与微分法3.1 导数的概念与几何意义3.2 基本导数公式3.3 导数与函数的关系3.4 高阶导数3.5 微分法初步第四章累次和积分法4.1 不定积分4.2 定积分4.3 牛顿-莱布尼茨公式4.4 定积分的应用4.5 定积分上下求和法第五章二重积分与三重积分5.1 二重积分的概念与性质5.2 二重积分的计算5.3 坐标变换与面积变换5.4 三重积分的概念与性质5.5 三重积分的计算5.6 球坐标与柱坐标第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 一阶常微分方程6.3 高阶常微分方程6.4 微分方程的应用第七章多元函数与偏导数7.1 多元函数的概念与性质7.2 多元函数的极限7.3 偏导数的基本概念7.4 偏导数的计算7.5 隐函数的偏导数7.6 雅可比矩阵与梯度第八章重积分与曲线积分8.1 重积分的概念与性质8.2 重积分的计算8.3 曲线积分的概念与性质8.4 曲线积分的计算8.5 格林公式与环量第九章向量代数与空间解析几何9.1 向量的基本概念9.2 向量的内积与外积9.3 平面与直线的方程9.4 空间曲线与曲面的方程第十章无穷级数与幂级数10.1 数项级数的概念10.2 正项级数的收敛性10.3 数项级数的审敛法10.4 幂级数及其收敛域10.5 幂级数的计算第十一章多元函数微分学11.1 多元函数的微分11.2 隐函数的微分与导数11.3 多元函数的极值11.4 条件极值与拉格朗日乘数法第十二章多元函数积分学12.1 二重积分的概念与性质12.2 二重积分的计算12.3 三重积分的概念与性质12.4 三重积分的计算12.5 曲线积分与曲面积分的概念与计算第十三章常微分方程初步13.1 常微分方程的基本概念13.2 一阶常微分方程的解法13.3 线性微分方程与常系数齐次线性微分方程13.4 高阶常微分方程的解法13.5 常微分方程的应用第十四章向量场与曲线积分14.1 向量场的概念与性质14.2 曲线积分的概念与计算14.3 向量场的散度与旋度14.4 曲线积分与向量场之间的关系第十五章无穷级数与幂级数15.1 函数项级数的概念15.2 幂级数及其性质15.3 幂级数的求和与展开15.4 幂级数展开的应用第十六章常微分方程16.1 高阶常微分方程的解法16.2 常系数齐次线性微分方程的解法16.3 非齐次线性微分方程的解法16.4 常微分方程的应用。
《常微分方程》全套课件(完整版)
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
曲线梁桥设计理论研究奚政锋
曲线梁桥设计理论研究奚政锋发布时间：2022-06-30T10:10:12.198Z 来源：《建筑模拟》2022年第4期作者：奚政锋[导读] 按照曲线形状的不同曲线梁桥可以分为圆曲线、缓和曲线、圆曲线与缓和曲线组合型曲线桥。
我们通常将曲率半径小于 100m的曲线桥称为“小半径曲线桥”奚政锋重庆交通大学1. 曲线梁桥的分类按照曲线形状的不同曲线梁桥可以分为圆曲线、缓和曲线、圆曲线与缓和曲线组合型曲线桥。
我们通常将曲率半径小于 100m的曲线桥称为“小半径曲线桥”。
2. 曲线梁桥的受力特点（1）弯扭耦合作用曲线梁桥由于曲率的存在，弯扭耦合效应产生的附加扭矩会加大结构的挠曲变形，因此对于曲线梁桥的设计应该予以额外重视。
（2）曲线梁内外侧受力不均匀由于偏载效应，曲线梁桥梁体可能产生较大的扭矩，使得其向外发生扭转。
（3）梁体横向爬移在整体升降温作用、制动力、离心力作用下，曲线梁桥会发生沿径向不可恢复的位移，过大的梁体爬移会导致最后梁体的倾覆。
（4）竖向挠曲变形在弯扭共同作用下曲线梁桥的挠曲变形将比相同跨径的直线梁桥大。
（5）支座布置形式不同的支承方式将直接影响到全桥的内力分布。
3. 曲线梁桥的分析计算理论及基本微分方程3.1曲线梁桥常用分析计算理论针对不同的曲线桥结构型式，大概可以分为解析法、半解析法和数值法。
3.2曲线梁桥的基本微分方程（1）曲线梁桥的平衡微分方程建立在弯曲与扭转共同作用下的曲线梁平衡微分方程，利用曲线梁微段的空间平衡条件，建立六个平衡方程式。
若令，并设，即成为我们熟知的直梁静力平衡方程。
（2）曲线梁的几何方程曲线梁的“弯扭稱合”效应使得其轴向位移u、径向位移v、竖向位移w和截面扭转角相互影响，为描述曲梁变形与位移分量之间的复杂关系，建立曲线梁的几何方程。
在方程中，若令，即成为我们熟知的直梁几何方程。
4. 混凝土曲线梁桥建模方法的概述4.1单根梁法、以直代曲法建模方法概述4.1.1单根梁法利用 Midas/Civil 对混凝土曲线梁建立单根梁桥模型时，软件不能直接模拟曲线梁桥，只能用直线微段来代替曲线形成整体上的曲线梁桥。
梁的位移与挠曲线近似微分方程
积分常数利用梁的边界条件及连续光滑条件来求得。
边界条件：梁横截面的已知位移条件或约束条件。
连续光滑条件：在相邻梁段的交接处即分段处， 相连两截面应具有相同的转角与挠度。
确定积分常数举例：
边界条件：
连续条件：
x0: A 0 x0: y A 0
x1 0, y A 0 x2 0, yB 0
1.基本概念:
转角
挠度 挠曲线 1、弯曲变形的表示方法：
y
（1）挠度y：截面形心在y 方向的位移;
y
x
x
挠曲线方程：
y y( x )
（2）转角θ:某横截面绕 自己的中性轴转动的角度。 转角方程：
由于小变形，截面形心在x方向的 位移忽略不计挠度转角关系为：
dy tan dx
讨
论
积分法求变形有什么优缺点？
9.7 叠加法求梁的变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等 于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加法。 即叠加法是： 分别求出各载荷单独作用时的变形，然后把各载荷在 同一处引起的变形进行叠加(代数叠加)。
直接查表： pl 3 Pl 2 y BP BP 3EI 2 EI ql 4 ql 3 y Bq Bq 8 EI 6 EI 由叠加法得：
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大 转角和最大挠度，梁的EI已知。
解: 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
A
)
F B
X A 0, YA F (), m A Fl (
x
l
yB
B
x
M ( x ) F (l x分方程并积分 d2y EI 2 M ( x) F (l x) dx dy 1 积分一次 EI EI F (l x) 2 C dx 2 1 再积分一次 EIy F (l x) 3 Cx D 6
2.1梁的弯曲微分方程及其解
第二章 单跨梁的弯曲理论
第二节 第三节定
2.1梁的弯曲微分方程及其解
（1）挠度v向下为正，与y轴同向； （2）载荷q与y轴同向为正； （ 3）
概2.1梁的弯曲微分方程及其解 2，基本假定
（1）平面假定
d dx
顺时针为正 适合纯弯曲的情况，如有剪力则平面变形产生翘曲。 当一般当l≥h时（细长梁），剪力引起的翘曲很小，略 去不计。
(7)
v v0 0 x
(5)
M 0 x 2 N 0 x3 1 2 EI 6 EI EI
0 0 0
x
x
x
x
0
qdx 4
(6)
M ,N ,v ,θ为弯曲要素
v0， M 0 ，N 0 四个初参数由边界条件确定,后述. 0 ， 其中，
3
2012/8/28
2.1梁的弯曲微分方程及其解
(6)
说明两端面面积对Z轴静矩等于零，因此Z轴必通过断面 的形心，叫做梁的中性轴。
2
2012/8/28
2.1梁的弯曲微分方程及其解
将(4)带入（6）
2.1梁的弯曲微分方程及其解
c.与外载荷的关系。
2.1梁的弯曲微分方程及其解
将（8）代入（10）
d d 2v ( EI 2 ) N dx dx d2 d 2v ( )q EI dx 2 dx 2 （ 11） （ 12） 剪力与变形 外载与变形
1 dM Ndx qdx 2 0 2 略去高阶小量，得
若解出v，则， θ ，M, N均可求出; v, θ, M, N 称为弯曲要素。
(8)
此方程为挠度（变形）与弯矩之间的关系。
dM N dx
(10)
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(4-8)
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3.5 不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答
由式（4-7）可得，
ˆ w ˆ ˆ ˆ qD m B AD B AD B
2
ˆ ˆ m A qB
2
(4-9)
ˆ ˆ ˆ ˆ 从式（4-9）中可以看到，曲线梁的挠度是同时由 q 、m 决定的，同样曲线梁的扭转角也是同时由 q 、m 决
( EI r
2
EI x ) w
IV
GI r
2
d
w ' '
EI r
IV
EI
x
GI r
d
'' q y
m x z
（1-18）
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3.4 曲线梁基本微分方程建立
对（1-15）分别求1次导和3次导后，将结果代入式（1-7），经整理后 即得：
V EI y v 2 v ' ' ' 4 v ' 2 z r r r z 2 1 qz q x my
2
my r
2
（1-19）
上述方程中式（1-19）中只包含一个位移量，可独立求解。式（1-17） 和（1-18）中分别包含了竖向位移与扭转位移，因此必须联立求解。
这充分反映出曲线梁的弯曲与扭转耦合作用特点。
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3.5 不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答
对于工程实践中大部分曲线梁可以忽略曲线梁的翘曲惯性矩， 这样可以简化分析。不考虑曲线梁的翘曲惯性矩，则曲线梁的挠曲 扭转微分方程可以写成：
(4-7)
式中 A 、 B 、 D 分别为
4 2 GI d A EI x 2 R l l 2 EI x GI d B R l 2 EI x D GI d 2 R l
除以r
QX mY 1 M Y 0 r z r r
N 1 M y m y q Z （b） z r z
17
N
(1-3)
z
QX r
qZ 0
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MY
3
z
M z
X
3
1 r
2
M z
y
q x z
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4
3.1 曲线梁微元体平衡方程
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5
3.1 曲线梁微元体平衡方程
图1-2 a) 曲线梁微段截面内力
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6
3.1 曲线梁微元体平衡方程
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3.1 曲线梁微元体平衡方程
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8
3.1 曲线梁微元体平衡方程
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2
引言——微分方程建立的基本步骤
微元体的平衡方程 （荷载与内力关系）
微元体的几何方程 （应变与位移关系）
应力与内力关系 （平衡关系）（材料力学）
物理方程 （应变与应力关系）
微分方程（荷载与变形的关系）
微分方程目的：建立荷载与变形的关系。
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3
3.1 曲线梁微元体平衡方程
曲线弧段由Ａ到Ｂ点的 角度增量
曲线弧段沿Ｙ轴挠曲发生 的角度增量
v r
25
此时的弧长为： dz dz （ dz rd ( r v ) d vd
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dz ）
3.2 曲线梁微元体几何方程
于是微段变形后绕Ｙ轴的曲率为：
d v dz
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对（1-16）中的T取1次导数，并将它与式（1-14）中的Mx一起 代入式（1-6），经整理后即得：
EI r
w
IV
EI
x
GI r
d
w ' ' EI
IV
GI d ' '
EI r
2
x
mz
（1-17）
对（1-14）和（1-16）分别求导后，将结果代入式（1-8），经整理后 即得：
ˆ w w sin sin ˆ
z
l
(4-5)
z
l
(4-6)
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3.5 不考虑曲线梁翘曲刚度的曲线梁基本微分方程解答
将式（4-3）~(4-6)分别代入式（4-1）（4-2）中去，可以得到 、
ˆ ˆ Aw B ˆ ˆ Bw D ˆ q ˆ m
3.2.1 曲线梁段在OXZ平面内的变形与应变关系
1) 轴向变形：AB——A’B’ 轴向变形量为：
u z dz
A点处的轴向位移为ｕ； B点处的轴向位移为
u u z dz
2) 径向变形：A’B’——A’’B’’ 变形前后曲率半径发生了变化， 从而导致微段轴向发生变形，即
dz rd ( r v ) d vd v r dz
mz
微段横向弯矩 （亦为面内弯矩）
M
3
z
2
3
1 r
2
M z
y
q x z
qz r
my
2
z
2
m
M z
2
x
m x 1 T qy r z z
曲线梁的典型力学特性：由于曲率半径ｒ引起的曲线梁段 平衡方程中扭矩和竖向弯矩（即面外弯矩）在同一个方程中， 从而表现为竖向弯矩与扭矩的相互影响，习惯上称为“弯扭耦 合”作用。
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3.1 曲线梁微元体平衡方程
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3.1 曲线梁微元体平衡方程
N Q X qX 0 z r QY q 0 FX 0 Y z FY 0 N Q X qZ 0 FZ 0 z r MX 0 M X T Q m 0 Y X z r MY 0 M Y Q X mY 0 MZ 0 z T MX mZ 0 r z
注：略去小量后，Ａ点弯曲角与Ｏ点弯曲角相等．
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3.2 曲线梁微元体几何方程
z
z
注：略去小量后，Ａ点扭转角与Ｏ点扭转角相等．
sin d ( 或 z d )
（d）
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3.2 曲线梁微元体几何方程
发生扭转角引起的 Ａ点转角．
1 N q X 0 r z z
对z求2阶导
Y
M
3
(1-5)
Q X mY 0
Y
z
3
QX
2
z
2
mY
2
z
2
0
两式相减，即
MY
3
z
3
N z
1 r
q x z
mY
2
z
2
0
（a）
(1-5)
M z
Y
Q X mY 0
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3.2 曲线梁微元体几何方程
B’’’点角增量为：（按A‘’‘的角增量沿微段轴向变化规律来写出），即
B dv dz d v dz
2 2
dz
因此，微段沿弧长总的角增量为：
2 dv dv d v d dz 2 dz dz dz
第3讲
曲线梁桥基本微分方程
主讲：刘志文
湖南大学土木工程学院桥梁工程系 2012.3
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湖南大学土木工程学院桥梁工程系
教学目的：
建立曲线梁桥的微分方程，从基本力学公式的角度理解曲线梁的 “弯扭耦合”特性。 教学任务：
（1）曲线梁的平衡方程 （2）曲线梁的几何方程 （3）曲线梁基本微分方程的建立 （4）曲线梁基本微分方程求解 课后作业： 试根据曲线梁桥微分方程来分析曲线梁桥的“弯扭耦合”特性， 给出当曲率半径为R趋于无穷大时对应的微分方程。
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3.2 曲线梁微元体几何方程
为了建立截面内力与变形之间的关系，还须研究梁微段位移与 应变的几何关系。 该曲线梁相对与纵向轴线z轴的一般变形基本定义如下图所示：
坐标系仍为随动坐标系，x,y,z轴正方向符合“右手螺旋法则”。
O x (v)
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3.2 曲线梁微元体几何方程
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3.1 曲线梁微元体平衡方程
以上三个平衡方程为分布荷载对应的平衡方程。
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3.1 曲线梁微元体平衡方程
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3.1 曲线梁微元体平衡方程
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3.1 曲线梁微元体平衡方程
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3.1 曲线梁微元体平衡方程
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3.2 曲线梁微元体几何方程
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3.3 物理方程
《薄壁杆件》扭转理论中将学习！
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3.3 物理方程
将曲线梁微段几何方程代入到如上的４个物理方程中，即
《薄壁杆件》扭转理论中将学习！
2012-6-18 34
3.4 曲线梁基本微分方程建立