树形图法
小学数学知识点树形图
小学数学知识点树形图小学阶段是培养学生基础数学知识的重要时期，掌握数学知识点对于学生的学习和发展至关重要。
为了更好地整理和理解这些知识点，本文将运用树形图的方式，系统地呈现小学数学知识点的结构和关联。
树形图是一种以树的结构来表示事物之间的层次关系的图形工具，它将相关的概念有机地组织起来，并通过分支和节点的形式清晰地展现出各个概念之间的联系。
下面将按照数学知识的层次结构，从基础知识到拓展应用，展示小学数学知识点树形图。
【根节点】小学数学知识一级子节点：- 数与数- 自然数- 整数- 分数与小数- 负数的认识- 运算- 加法- 减法- 乘法- 除法- 应用题- 口算题- 基本运算应用- 简单问题求解- 几何图形- 点、线、面和体- 直线、曲线- 角、相交、平行- 圆、三角形、矩形、正方形 - 空间几何- 数据统计与概率- 数据的整理和分析- 图表的制作与分析- 概率的认识和计算二级子节点：- 自然数- 数字的认识和读写- 数的排序和比较- 数的拆分和组合- 数的进位和退位- 整数- 正整数和零- 负整数的认识- 整数之间的大小比较 - 整数的运算- 分数与小数- 分数的认识和表示- 分数的大小比较和排序 - 分数的加减乘除- 小数的认识和读写- 小数和分数的转换- 几何图形- 图形的基本概念和性质- 图形的分类和识别- 图形的变换和对称- 图形的透视和投影- 数据统计与概率- 数据的收集和整理- 图表的制作和分析- 数据的平均数和中位数 - 数据的概率计算三级子节点：- 加法- 数字的加法和逆运算 - 整数的加法- 分数的加法和预算- 复数的加法和运算- 减法- 数字的减法和逆运算 - 整数的减法- 分数的减法和运算- 复数的减法和运算- 乘法- 数字的乘法和逆运算- 整数的乘法- 分数的乘法和运算- 复数的乘法和运算- 除法- 数字的除法和逆运算- 整数的除法- 分数的除法和运算- 复数的除法和运算- 数据统计与概率- 数据的收集和整理方法- 常见图表的制作和分析- 四则运算与数据问题的应用 - 概率和统计的实际应用通过以上所示的小学数学知识点树形图，我们可以清晰地了解小学数学知识的结构和内在联系。
【课本】三年级(上)第14讲 树形图
我们已经学过了枚举法，有时还需要先分类再按一定顺序进行枚举．接下来我们将要学习如果对某件事情的过程进行枚举，一般会使用另一种方法：树形图法．所谓树形图法就是用像树一样的、不断分叉的图来表示出所有情况的方法．画出树形图与一棵树的生长过程类似，先从“树根”开始，然后不断长出新的“树枝”，每次长出新的“树枝”时都有可能产生分叉，最后长满了“果实”．这样一直下去把所有情况都画完，最后数一下“果实”的数目即可． 例题1乌龟、兔子、米老鼠站成一排，如果乌龟不站在第1个，兔子不站在第2个，米老鼠不站在第3个，请问它们共有多少种不同的站法？分析：第1个位置可以站哪些小动物？第2个位置呢？以第一动物位置站的人作为“树根”，用树形图表示出所有的站法．甲、乙、丙、丁4个人站队，站成一条直线．如果甲不站第1、2个，乙不站第2、3个，丙不站第3、4个，丁不站第4、1个，那么一共有多少种站队的方法？第十四讲树形图练习1例题2小高、墨莫和萱萱玩传球游戏，每次持球人都可以把球传给另外两人中的任何一人．先由小高拿球，第1次传球可以传给其他两人中的任何一人，经过4次传球之后，球又回到了小高手里．请问一共有多少种不同的传球过程？ 分析：第1次有多少种传法？试着用树形图画出每次传球后给谁．注意：只有第4次传球后回到小高手里上才是符合题意的传法．有A 、B 、C 三片荷叶，青蛙“呱呱”在荷叶A 上，每次它都会从一片荷叶跳到另一片荷叶上，结果它跳了3次之后，不在荷叶A 上．请问：它一共有多少种不同的跳法？例题3一个四位数，每一位上的数字都是0、1、2中的一个，并且相邻的两个数字不同，一共有多少个满足条件的四位数？分析：四位数的千位数字和个位数字分别有几种情况？应该选择哪个数位的数字作为“树根”来画树形图？一个三位数，每一位上的数字都是5、6、7中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？例题4王老师有一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码．只记得密码是一个三位数．这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字．试问：王老师最多需要试多少次就肯定能打开这个公文包？ 练习 2 练习3一个三位数，百位比十位大，十位比个位大，个位不小于5，那么这样的三位数一共有几个？例题5常昊与古力两人进行围棋赛，谁先胜三局就赢得比赛．如果最后常昊获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？分析：试着把每场比赛的结果用树形图表示出来．注意：不会有这样的过程出现，因为在这种情况下，赛完第4场后古力已经获胜，不符合题意．例题65块六边形的地毯拼成了如下图的形状，每块地毯上都有一个编号，现在小高站在1号地毯上，他想要走到5号地毯上．如果小高每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就成为相邻），并且只能向右边走，例如1→2→3→5就是一种可能的走法．请问：小高一共有多少种不同的走法？分析：注意开始是从1号毯开始，结束在5号地毯才能符合题意．23 145 古 常 古 古 常 常 练习4课堂内外汽车品牌家族树形图作业1.一个三位数，个位、十位和百位的3个数字分别是2、3、4中的1个，如果百位不是2，十位不是3，个位不是4，请问符合要求的三位数有多少种？（填出所有的可能）2.甲、乙、丙三个人传球，从甲开始传球，每次拿球的人都把球传给剩下两个人中的一人，传了3次后球在丙的手上，那么一共有多少种可能的传球过程？3.粗心的卡莉娅忘记了日记本的三位密码，只记得密码是由1、2、7三个数字中的某些数字构成的，且相邻的两个数字不一样，那么卡莉娅最多试多少次就一定能打开日记本？4.甲、乙比赛乒乓球，五局三胜．已知甲胜了第1局，并最终获胜．请问一共有多少种不同的比赛过程？5.满足下面性质的数称为阶梯数：它的百位数字比十位数字小，十位数字比个位数字小，并且相邻两位数字的差不超过2．例如：135、234为阶梯数，156就不是阶梯数，那么共有多少个三位数是阶梯数？。
三年级数学春第三讲字典排列法和树形图法
第三讲字典排列法和树形图法先分类：1、2、3再有序：123所以，一共有6个没有重复的三位数：123，132，213，231，312，321。
记住：不重复，不回头。
先分类：不重复，三个数字相同，两个数字相同，分前面两个相同，后面两个相同，一前一后相同。
再有序：不重复：如（1）一共有6个没有重复的三位数：123，132，213，231，312，321。
三个重复：111，222，333一共有3个。
两个重复：前面：112，113 后面：211，311 一前一后：121，131 221，223 122，322 212，232 331，332 133，233 313，323 一共6×3=18个。
三种一起：6+3+18=27（个） 23 32 13 31 12 2 11分、2分、4分、8分各一枚先分类，可以分取1枚，2枚，3枚，4枚4种取法。
再有序：1枚：1分，2分，4分，8分共4种2枚：1分-2分，1+2=32分-4分，2+4=64分-8分，4+8=128分-无，不可取了1分-4分，1+4=52分-8分,2+8=101分-8分，1+8=9所以：3+2+1=6种记住：不回头，不重复。
3枚：1分-2分-4分1+2+4=7 1分-2分-8分1+2+8=11 1分-4分-8分1+4+8=132分-4分-8分2+4+8=14所以：3+1=4种4枚：1分-2分-4分-8分1+2+4+8=15 只有1种所以：一共有4+6+4+1=15种不同的钱数。
分析：可以将7拆成三个整数，每个数分别对应三个人每人分得书的数量，找出所有的情况。
每个数最小是1，最大是7-1-1=5，而且可以相同，而且人的顺序也可以变化。
故可以列举如下：1-1-5，1-2-4，1-3-3，1-4-2，1-5-1 5种2-1-4，2-2-3，2-3-2，2-4-1 4种3-1-3，3-2-2，3-3-1 3种4-1-2，4-2-1 2种5-1-1 1种所以，5+4+3+2+1=15种。
树形表示法
树形表示法
树形表示法是数据结构中用于直观展示树状数据结构的方法，它是一种图形化的表示方法。
在树形表示法中：
1. 每个节点通常由一个圆圈、矩形或类似的形状来表示，节点内部包含该节点所代表的值或数据。
2. 节点之间的关系通过线（或称为边）连接起来，父节点指向其子节点。
3. 根节点没有从上方向下的边，它是树结构的最顶端，而除根节点以外的所有节点都恰好有一个父节点。
4. 子节点间的层级关系通过线条的连接和空间布局来体现，一般情况下，层级较高的节点位于较低层节点的上方。
在实际绘图时，树形表示法可以清晰地展现节点层次以及节点间的父子关系，并且对于理解递归和分层的数据结构特别有帮助。
这种表示法广泛应用于教学、文档编写以及程序设计之初的设计阶段。
用画树状图法求概率(22张PPT)
⑴.取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率 分别是多少？ ⑵.取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
分析： 前面“两步试验的树状图”的例题和练习其实用“列表 法”也是可以的，但本例当一次试验是从三个口袋中取球时, 列表法就不方便了,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常 采用画树状图法．
从树形图可以看出总共有（红1，红2），（红1，蓝1），……12 种等可能情矿，而都是蓝色球体有（蓝1，蓝2），（蓝2，蓝1） 两种，故：
用树状图法求概率的“四个步骤”：
1.定:确定该试验的几个步骤、顺序、每一步可能产生的结果. 2.画:列举每一环节可能产生的结果,得到树状图. 3.数:数出全部均等的结果数m和该事件出现的结果数n. 4.算:代入公式 .
1.学习用树形图法计算概率,并通过比较概率 大小作出合理的决策. 2.会运用树形图法计算事件的概率(重点)；能 根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决 较复杂事件概率的计算问题(难点). 3.经历探索知识过程，感受数学知识的价值和 魅力，培养合作学习的意识和探索精神.
问：你知道孙膑给田忌将军的是怎样的建议吗？
6.一个不透明的盒子中有三张卡片,卡片上面分别标有字母a,b,c,每 张卡片除字母不同外其他都相同,小玲先从盒子中随机抽出一张卡 片,记下字母后放回并搅匀;再从盒子中随机抽出一张卡片并记下 字母,用画树状图的方法,求小玲两次抽出的卡片上的字母相同的 概率. a b c 略解:画出树状图为
a
b
c
a
b
c
第一摸取 第二摸取 共12种等可能的情况；即：A 1 A 2 ，A 1 B2 ,……其中恰好能组
成一张完整图片的结果有4种，则：
新课引入的）
第一场
理清思路的四种方法
理清思路的四种方法理清思路是一种重要的能力，不仅能够帮助我们更加清晰地思考问题，还能够提高我们解决问题的效率。
然而在日常生活中，我们往往会面临一些比较繁琐或者复杂的问题，这时候需要用一些方法来帮助我们理清思路，以下列举了四种常用的做法：1. 分类法分类法是指将问题或者事物按照一定的标准或者特征划分成若干个类别，然后进行分析或者比较。
例如，我们可以根据不同颜色、形状、大小等特征将水果进行分类，这样我们就可以更清晰地了解每一类水果的特点，从而为我们做出决策提供一定的参考。
2. 集合法集合法是指将问题或者事物中的所有元素分别归到不同的集合中，然后对集合中的元素进行分析、对比和推理。
例如，我们可以将一个论据中的所有前提放在一个集合中，再将其它相关信息放在另一个集合中，通过综合考虑两个集合中的信息来推出答案。
3. 特征法特征法是指从问题或者事物中抽取一些关键特征，然后根据这些特征进行分析、比较和推理。
例如，在考虑买一辆汽车的时候，我们可以抽取出车辆的品牌、车型、车龄、价格等关键特征，然后根据这些特征来做出决策，而不是被车的外观、内饰等表面因素所迷惑。
4. 树形图法树形图法是一种将问题或者事物按照层次结构进行分析的方法，通过将主要内容放在上层，次要内容放在下层，从而清晰地展示出问题或者事物的结构和关系。
例如，在考虑做一件事情的时候，我们可以将其分解成若干个子任务，然后将每个子任务再继续逐层分解，最后得到一个完整的任务结构图，有助于我们更好地组织和安排工作。
总之，以上四种方法都是常用的理清思路的技巧，具体选择哪一种方法需要根据不同情况进行选择，但无论使用哪种方法，都需要从整体上把握问题或事物的本质，并且注重细节。
只有这样才能够更好地进行思考和决策，提高工作和生活效率。
树形图法
树形图法
“树形图”是数学中应用最为广泛的图形之一。
在数学计数问题中，每当我们面对一些非常规的题目一筹莫展、无从下手时，枚举法往往可以发挥巨大的威力。
枚举法又叫穷举法，顾名思义，就是把所有符合题目条件的对象一一列举出来，然后根据要求从中挑出合理的。
但是，怎样在枚举的过程中既不重复也不遗漏地枚举出所有符合条件的对象来呢?
“树形图”就可以使我们的枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不易重复或遗漏，使人一目了然。
例：甲乙两人进行乒乓球比赛，规定谁先赢三场谁就胜。
第一场甲胜。
问到决出最后胜负为止，共有几种不同的情形？其中甲胜的情形有几种？
解：采用树形图可以很好的刻画整个比赛过程，画出树形图如下：
第一场
第二场
第三场
第四场
第五场
从树形图中可以清楚的看到，到决出最后胜负，共有10种不同情况，其中甲胜利的情形有16种。
小学奥数7-1-3 加法原理之树形图及标数法.专项练习及答案解析
1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则： ① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．知识要点教学目标7-1-3.加法原理之树形图及标数法模块一、树形图法“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．【例 1】 A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种？【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2005年，小数报【解析】 如图，A 第一次传给B ，到第五次传回A 有5种不同方式．同理，A 第一次传给C ，也有5种不同方式．所以，根据加法原理，不同的传球方式共有5510+=种．C B CC B AAB A B CCBA【答案】10【巩固】 一只青蛙在A ，B ，C 三点之间跳动，若青蛙从A 点跳起，跳4次仍回到A 点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 6种，如图，第1步跳到B ，4步回到A 有3种方法；同样第1步到C 的也有3种方法．根据加法原理，共有336+=种方法．AA A BCAB C BA【答案】6【例 2】 甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况．同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况．一共有 7＋7=14（种）可能的情况． 【答案】14例题精讲【例 3】 如图，从起点走到终点，要求取出每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有 种不同的走法。
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想法对吗， 为什么？
开始 白
绿 （白，绿）
黄 （白，黄
红
绿）蓝
（红，蓝） （红，绿）
黄 （红，黄）
用树状图或列表
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，法而求能概率时，各
够 配成紫色的结果只有一种： （红，蓝），故种游结戏果出现的可
者获胜的概率为1∕9 。
能性务必相同。
注意：
用树状图和列表的方法 求概率的前提:
当试验在三步或三步以上时,用树形图法 方便.
• 作业： 完成《一课一练》P67-69页
A2 A1 A2
B1 A2 B2 A2
B1 A1 B1 A2 B1
B2 B1
B2 A1B2 A2 B2 B1 B2
总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同, 拿到同一双袜子的概率为
P 4 1 12 3
什么时候用“列表法”方便？
• 当一次试验涉及两个因素或要分两步时， 且可能出现的结果较多时，为不重复不遗 漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。
规则：1、只抽一次，一次抽两张，抽到两张红心牌。
2、抽一次不放回再抽一次，两次都抽到红心牌
3、若再加一张红心牌，每抽一次不放回再抽，共抽三次， 三次都抽到红心牌。
解:
（1）共有（红1，红2）（红1，黑）（红2，黑） 共三种可能性相等的情况，所以抽到两张红心牌
的概率P= 1 3
(2)树形图法：
第一次
3、抽一次放回再抽，共抽三次，三次都抽到红心牌。
获奖概率： (1)P 2 (2)P 4 (3)P 8
3
9
27
• 这种方法叫做树形图法
那什么时候用树形图 法更方便呢？
当有三个或以上 因素或步骤时， 用树形图法简单
第二次抽奖 啦！ 请同学们上来抽扑克牌， 按要求抽到红心牌的将 获得奖品。
25.2用列举法求概率()
——树形图法
初三（4）班
例题.小明是个小马虎,晚上睡觉 时将两双不同的袜子放在床头， 早上起床没看清随便穿了两只就 去上学，问小明正好穿的是相同 的一双袜子的概率是多少？
解：设两双袜子分别为A1、A2、 B1、B2，则
A1 A2 B1 B2
A1
A2 A1 B1 A1 B2 A1
红1
红2
黑
第二次 红2 黑 红1 黑 红1 红2
总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，而两 张都是红心牌的结果只有2种，所以:
P= 2 1
63
（3）
开始
第一次
红1
红2
红3
黑
第二次 红2 红3 黑 红1 红3 黑 红1 红2 黑 红1 红2 红3
第三次 红3 黑 红2 黑 红2 红 3 红3黑 红1黑 红1 红 3 红2 黑 红1黑 红1 红 2 红2 红 3 红1红 3红1 红 2
各种结果出现的可能性要相同.
(1) 列表法和树形图法的优点是什么? (2)什么时候使用“列表法”方便?什么时候使 用“树形图法”方便?
利用树形图或表格可以清晰地表示出某 个事件发生的所有可能出现的结果;从而较方 便地求出某些事件发生的概率.
当试验包含两步时,列表法比较方便,当然, 此时也可以用树形图法;
总共有24种结果，每种结果出现的可能性相同，而3张都是红心
牌的结果只有3种，所以:
61
P
24 4
错例解析：
用下图所示的转盘进行“配紫色”
（红色+蓝色）游戏，游戏者获胜
的概率是多少？
小华同学的解法如下：
随机转动两个转盘，所有可能出现的结果如下： 蓝 （灰，蓝）
你认为她的
灰
绿 （灰，绿） 黄 （灰，黄） 蓝 （白，蓝）
上题除了列 表法还有没 有其他方法
呢？
例题.小明是个小马虎,晚上睡觉 时将两双不同的袜子放在床头， 早上起床没看清随便穿了两只就 去上学，问小明正好穿的是相同 的一双袜子的概率是多少？
解：设两双袜子分别开为始A1、A2、B1、B2，则
第一步
A1
A2
B1 B2
第二步 A2 B1 B2 A1 B1 B2 A1 A1 B2 A1 A2 B1
总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同,
所以穿相同一双袜子的概率为P= 4 1
12 3
• 这种方法叫做树形图法
那什么时候用树形图 法更方便呢？
抽奖啦！
请同学们上来抽扑克牌， 按要求抽到红心牌的将 获得奖品。
规则：
1、只抽一次，一次抽一张，抽到红心牌。
2、抽一次放回再抽一次，两次都抽到红心牌。