实变函数论课件基数势的定义
实变函数 讲义
实变函数讲义
摘要：
一、实变函数的定义与背景
1.实变函数的定义
2.实变函数的背景与意义
二、实变函数的基本性质
1.连续性
2.可积性
3.可微性
三、实变函数的重要概念
1.实数集
2.实函数的极限
3.实函数的连续
四、实变函数的应用领域
1.数学分析
2.概率论与数理统计
3.工程与物理学
正文：
实变函数是数学中的一个重要分支，它主要研究实数集上的实函数的性质及其应用。
实变函数的定义是指，将实数集上的每一个实数映射到一个实数，满足某种性质的函数。
它的背景与意义在于，它是数学分析的基础，同时在概
率论、数理统计、工程和物理学等领域中都有着广泛的应用。
实变函数具有许多基本性质，包括连续性、可积性和可微性。
连续性是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值的变化是连续的。
可积性是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值在区间上的积分是有限的。
可微性是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值在区间上的微分是存在的。
实变函数中有一些重要的概念，包括实数集、实函数的极限和连续。
实数集是实变函数的基础，它包括了所有的实数。
实函数的极限是指，当自变量趋近某个值时，函数值的变化趋势。
连续是指，当自变量在某一区间内变化时，函数值的变化是连续的。
实变函数的应用领域非常广泛，包括数学分析、概率论与数理统计、工程和物理学等。
在数学分析中，实变函数是分析的基础，它为微积分提供了理论基础。
在概率论与数理统计中，实变函数为概率分布和统计推断提供了理论基础。
《实变函数论》
《实变函数论》实变函数论是数学的一个重要分支，可以用来分析数学中各种基本实变函数的性质。
它主要是研究如何利用导数、积分、最值和定积分来研究实变函数的性质。
它是求解不可逆微分方程的基础。
它也是研究复变函数性质的基础，把复变函数看作一种特殊的实变函数。
实变函数论包括实值变量函数的微分、积分、最值等，还包括复变量函数的性质。
它是数学分析中的重要分支，与特殊函数论、复变函数论有着密切的关系。
实变函数论中最基础的概念是数量级和极限。
数量级指的是极限的概念，表示随着实变量的变化，函数值的变化程度。
极限是指当实变量接近某个数值时，函数值在某一点处的极限值。
而对极限的深入研究，就是实变函数论的重要内容。
实变函数论几乎可以关注任何一个实变函数的性质，从最基础的极限研究，到有关积分的性质，以及利用实变函数来求解某个特殊的微分方程。
因此，实变函数论的研究对解决各种数学问题都有重要的意义。
实变函数论的重要技术有微分、积分、微分不变性、莱布尼茨定理等等。
它们在极限和积分研究中发挥着重要作用，也是研究复变函数性质的基础。
实变函数论的重要应用在于各种不可逆微分方程的求解。
它可以通过求解它们的极限和积分来解决。
比如，必经微分方程，可以用它的极限和积分来解决；简单自变量微分方程，也可以用它的导数来解决。
由于实变函数论的应用十分广泛，它也与其他学科有着良好的交流和联系。
总之，实变函数论是数学分析中的重要分支，有着重要的研究和实际应用价值，其中涉及到复变函数、微分、积分、最值、极限和定积分等数学基础概念，也与其他学科有着密切的关系。
学习实变函数论不仅有利于研究基础数学，而且可以运用到工程学和其他许多科学中。
实变函数论第三版PPT课件
n
24
单调减集列极限分析
lim A (lim inf
n n n
An )
lim A (lim sup A )
n n n n
{x : N , n N , 有x An } An
N 1 n N
{x : N , n N , 使x An } An
limA
n
n
A
22
单调增集列极限
若集列 {An }满足An An1 (n N ),则称{An }为单调增加 ; 若集列 {An }满足An An1 (n N ),则称{An }为单调减少 ;
定理 9 ：单调集列是收敛的
1)若{ An }单调增加, 则 lim An An ;
1．集合的几种表示法
我们在诸如《数学分析》等前期课程中已接触 过集合这个概念，所谓集合，指的是具有某种 特定性质的对象的全体，通常用大写英文字母 A，B，X，Y…等表示；集合中的每个对象称 为该集合的元素。一般说来，我们总用小写字 母a,b,x,y…表示集合中的元素。
3
集合及其运算
对于集合 A ，某一对象 x 如果是 A 的元素，则称 x 属于A，记作 x A ；如果x不是A的元素，则称x 不属于A，记
{x : N , n N , 有x An } An
N 1 n N
26
例
1 1 1 设A2n1 [ 1 , 4 ], A [ , 1 2n n n n n ], n N , 则
A [0,4) n lim
n
limA
n
n
(0,1]
x A或x A
实变函数讲稿1
1] ⎩0, x是 [ 0，中的无理数
( x ) ，则 f ( x ) 在 [ a, b] 一致收敛于
⎡ lim f ( x ) ⎤dx = lim f ( x )dx n n →∞ ∫a ⎣ n→∞ n ⎦
b
( x ) ，则 f ( x ) 在 [ a, b] 可积，并且
∫ f ( x )dx = lim ∫
（单调递增） 的， 如果 ∀n ∈ (B1) 集合序列 { An } 称为是单调上升
，
An ⊂ An +1 ;
（单调递减） 的， 如果 ∀n ∈ (B2) 集合序列 { An } 称为单调下降 则 lim An = 定理 2 (C1) 若 { An } 是单调上升的集列，
n →∞
，An ⊃ An +1 .
, 则 lim An = ∩ An = {0}
n →∞ n =1
4
实变函数讲稿
█
█
例 2 (p.6) 设 An = ⎨ x −1 +
⎧
⎩
1 1⎫ < x < 1 − ⎬ ， n = 1.2 n n⎭
∞ n →∞ n =1
, 求 lim An .
n →∞
解：因为 An ⊂ An +1 ， n = 1, 2,
∪A
n =1
∞
n
； (C2) 若 { An }
是单调下降的集列，则 lim An =
n →∞
∩A
n =1
∞
n
.
例 1 (p.6) 设 An = ⎨ x −
⎧ ⎩
1 <x< n
1⎫ ⎬ ， n = 1, 2, n⎭
, 求 lim An .
实变函数论中的基本概念及性质分析
实变函数论中的基本概念及性质分析实变函数论是数学分析中的重要内容，主要研究实变函数的基本概念和性质。
实变函数是指定义域和值域都是实数的函数，在实际问题中具有广泛应用。
本文将从实变函数的基本概念、连续性、可导性、极限以及函数的性质等方面对实变函数进行分析。
一、实变函数的基本概念实变函数是数学中最基本的概念之一，它与虚变函数相对应，是指定义域和值域都是实数的函数。
实变函数可以表示为f：D→R，其中D为定义域，R为值域。
实变函数的定义域可以是一个区间、多个区间的并或交，甚至是整个实数集。
实变函数的定义有一些特点，首先是唯一性，同一个定义域和值域的实变函数只能有一个。
其次是有定义性，即每个值域中的元素都有相应的定义域中的元素与之对应。
此外，实变函数还具有有界性、单调性、周期性等多种性质。
二、实变函数的连续性和可导性连续性和可导性是实变函数的重要性质，对于函数的性质和应用具有重要意义。
连续性是指在定义域上函数的变化没有突变，没有间断点。
实变函数在某一点x=c处连续的充分必要条件是：函数在x=c处的极限存在且等于函数在x=c处的值。
如果函数在定义域的每一点处都连续，则称函数在该定义域上连续。
可导性是指函数在某一点处的导数存在。
实变函数f(x)在点x=c处可导的充分必要条件是：函数在点x=c处的两侧导数存在且相等。
如果函数在定义域的每一点处都可导，则称函数在该定义域上可导。
三、实变函数的极限极限是实变函数论中的重要概念，用于描述数列或函数在某一点处的逼近情况。
对于实变函数f(x)，当x无限靠近a时，f(x)无限靠近L，我们称L是函数f(x)在点x=a处的极限。
实变函数的极限有一些基本性质，如保号性、四则运算、夹逼准则等。
利用这些性质，我们可以求解实变函数的极限，帮助我们更好地理解和分析函数的行为。
四、实变函数的性质分析实变函数的性质分析是数学分析中的重要内容，可以帮助我们更深入地研究函数的特点和应用。
实变函数的性质有很多，如有界性、单调性、周期性、奇偶性等。
《实变函数论》课件
共轭内积和正交函数系
1
内积的概念和性质
实内积空间的定义和内积的基本性质。
2
共轭内积和正交函数
共轭内积的作用和正交函数的性质。
3
正交函数系的判定
判断一组函数是否为正交函数系的条件。
度量空间和完备空间的概念和定理
度量空间的概念
距离、度量、度量空间的 基本概念和性质。
完备空间的定义
完备空间的定义和完备空 间的常见例子。
完备空间的性质
完备空间的性质和完备性 的判定方法。
巴拿赫空间及其应用
巴拿赫空间的定义
泛函分析的应用
巴拿赫空间的定义和典型例子。
泛函分析在数学和物理领域中 的应用。
范数空间和巴拿赫空间
范数空间、巴拿赫空间之间的 关系和性质。
实变函数论
一、实变函数的概念和基本性质
连续函数及其性质
连续函数定义
函数连续的必要条件与充分条 件。
连续函数的常见性质
一致连续函数
闭区间上的连续函数一致连续， 最值和介值定理。
一致连续函数的定义和主要性 质。
变量的极限和连续性
1
函数的连续性
2
间断点的分类和连续函数的性质。
3
函数的极限
点极限、上极限、下极限的定义和性 质。
反常极限
无穷极限、无穷小量的定义和应用。
可积函数的概念和定理
可积函数的定义
黎曼可积函数与可积性的条件。
黎曼积分的性质
可积函数的性质，可积函数与连续函数的关系。
积分中值定理
黎曼积分中值定理的证明和应用。
点集上的函数
连通集与间断点
闭集与开集
连通集的性质和间断点的判定。 闭集、开集的定义和性质。
实变函数论PPT课件
VS
牛顿-莱布尼兹公式
对于任何给定的连续函数，在区间上的定 积分都可以通过求和的方式计算，该求和 公式称为牛顿-莱布尼兹公式。
微分与积分的应用举例
微分的应用
积分的应用
在物理学中，微分被广泛应用于计算速度、 加速度、位移等物理量；在经济学中，微分 被用于计算边际成本、边际收益等经济指标。
在物理学中，积分被广泛应用于计算面积、 体积、能量等物理量；在经济学中，积分被 用于计算总成本、总收入等经济指标。
实数集合R在通常的度量下是连 续的，即任意两个不同的实数之 间都存在其他实数。
在实数集合R中，任意两个不同 的实数之间都存在无限多的其他 实数。
实数的运算性质
加法性质
实数的加法满足交换律和结合律，即对任意实数x、y和z， 有x+y=y+x、(x+y)+z=x+(y+z)。
01
乘法性质
实数的乘法满足结合律，即对任意实数 x、y和z，有(x*y)*z=x*(y*z)。
有限覆盖定理
如果E是一个闭区间，{[a(n),b(n)}是一个开区间族，且E被 {[a(n),b(n)}覆盖，那么存在一个有限的子集族 {[a(n_i),b(n_i)}使得E被它覆盖。
03
集合论基础
集合的定义与性质
总结词
集合的基本概念和性质
详细描述
集合是由某些确定的元素所组成的，具有明确的概念和性质。集合可以通过列举法或描述法进行定义，并具有确 定性、互异性和无序性等基本性质。
实变函数论ppt课件
目录
• 引言 • 实数理论 • 集合论基础 • 测度论基础 • 可测函数与积分理论 • 微分与积分定理 • 实变函数论的应用
实变函数课件
实变函数在物理学中的应用
描述电磁场
通过实变函数，可以精确地描述电磁场的 分布和变化，为电磁学的研究提供数学工
具。
解决偏微分方程
实变函数可用于解决物理学中的偏微分方 程，如波动方程、热传导方程等，从而揭 示物理现象的数学规律。
量子力学
在量子力学中，实变函数被用于描述粒子 的波函数，揭示微观粒子的运动规律。
微观经济学
实变函数可用于描述消费者的 效用函数和生产者的成本函数 ，揭示微观经济行为的数学规
律。
宏观经济学
通过实变函数，可以建立宏观 经济模型，分析经济增长、通 货膨胀等宏观经济现象的数学
机制。
金融数学
实变函数在金融数学中有广泛 应用，如期权定价、投资组合 优化等，为金融市场的分析和
决策提供支持。
谢谢
积分的不等式与估计
介绍积分不等式和估计的基本方法，如Holder不等式、 Minkowski不等式、Chebyshev不等式等，并举例说明其应用。
05 实变函数的微分学
CHAPTER
导数与微分的概念
导数定义
详细阐述实变函数导数的定义及其几 何意义，包括左导数、右导数和导函
数等概念。
可导性判定
介绍判断函数在某点是否可导的方法 ，包括利用定义、导函数连续性等。
与连续性的区别
一致连续性是函数在整个区间上的性质，而连续性是函数在一点或一些点上的性质。一致连续的函数在整个区间上具 有“均匀”的连续性，即函数值的变化不会太快或太慢。
性质
一致连续的函数具有有界性、可积性等性质。
04 可测函数与积分
CHAPTER
可测函数的概念与性质
可测函数的定义
详细解释可测函数的定义，包括在给定集合上 的函数及其相关性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
目的：掌握势的定义，熟悉势的性质， 了解势的比较。
重点与难点：势的定义及比较。
现实生活中，当我们谈到一组对象时，很自然的会涉及到这一组对象的个数。
集合论也是这样.假如我们不考虑某个集合中元素的具体特性时，该集合含多少个元素则是一个最基本的概念，比如10个人组成的集合与十块砖头组成的集合，虽然特征不同，但作为集合，它们含相同个数的元素，十块砖头与九块砖头虽然有相同的属性，但其元素个数不同，而是两个不同的集合。
由此可见，集合所含元素的个数也是集合的一个重要的特征。
一．势的定义问题1：回忆有限集是如何计数的？问题2：有限集的计数方法如何移植到无限 集情形？心里默数着1，拿起第二粒石子时，心里默数着2，拿起最后一粒石子时，我们心里默数的最后一个数字就是石子的个数。
在这个过程中，我们不知不觉间将每粒石子都编了号，第一粒石子就是一号，不妨记作 ，第二粒石子就是二号，不妨记作 ，如果有n个石子，则最后一粒石子就是第n号，记作 ，于是这堆石子 ,...2e 1e ne设想有一堆石子，我们要知道它有多少个，当我们拿起第一粒石子时，可记作 。
这个过程实际上建立了石子与自然数1到n之间的一个一一对应关系。
如果我们想知道两堆石子是否有相同个数，我们其实不必将这两堆石子的个数一一数出来，而只需每次各从两堆石子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，则它们的个数就是一样的，否则就不同。
这说明，我们想知道两个集合是否有相同}...,,{21n e e e个数，我们其实不必将这两堆石子的个数一一数出来，而只需每次各从两堆石子中拿一粒，只要最后各剩下一粒石子，则它们的个数就是一样的，否则就不同。
这说明，我们想知道两个集合是否有相同数量的元素，只需看能否在这两个集合之间建立一种一一对应关系，只要能建立这种关系，我们就有理由认为，它们有相同的数量，这种方法对无穷集也适用。
8映射1 , . , , ,: ,fA B A f A x B y f A B f A B A B →−−→定义设是两个集合，非空集若依照规则对于中的每个元，在中都有唯一确定的元与之对应就称是到的映射记作或9{}{} , ()., ()| .()| , ().x y x f f x A f f x x A f f x x E E f f E ∈∈而与对应的元称为（在映射下）的象记作集合称为映射的定义域集合称为映射的值域集合称为在映射下）的象集记作102 : () , .i.e.,,,().()(), .i.e.,,,()(f f A B f A B f y B x A f x y A B y f A x A f x y f x y A f x f →∀∈∈=−−→∈∈=∀∈=定义若映射的值域恰等于就说是满射的存在使得若映射使每个仅有唯一的满足就说是单射的若1111),. : , , (),: .f y x y f A B f A B f A B A B --=→−−→−−→则若映射既是满射的又是单射的就称是到的一一映射“一一映射”有时还说成“一一对应”记作或111 , (), () ( () , , , .f A B y B x A f x yg y x f x y g B A g f f -∈∈===设是到的一一映射则对每个有唯一使定义当时）则是到的一一映射我们称是的逆映射记作注：称与A 对等的集合为与A 有相同的势（基数）， 记作势是对有限集元素个数概念的推广.ABA ~ΦΦ~131 ~ ~, ~ ~, ~, ~. i A A ii A B B A iii A B B C A C 命题对等关系有如下性质：（）； （反身性）（）若则 ； （对称性）（）若则 （传递性）1412121212n 1n 1n 1n 12 ,,,, ,,,,, . ~(1,2,), ; ~ (1,2,).;~ ,n n n n mmn n n n A A A B B B A B n A A B B A B m A B ==∞∞==== 命题设是两两无交的一列集是两两无交的一列集若则~, :. : , ()(),1,2,.n n n n n n n A B f A B f x A f x f x n →∈== 证明故存在一一映射 作映射对每个令 例1 作对应关系则 是 与 之间的一一对应。
Z N ~⎩⎨⎧=-→+=→,2,1,012,2,12:n n n n n n φφN Z{}{}.~ ,,2,,4,2 ,,,,2,1 2 Ne N n Ne n N 则设例 ==.),( 2)( 的一一映射到是显然定义证明Ne N f N n n n f ∈= 12 例、揭示出了一个极其重要的事实，就是无限集是有可能与它的真子集对等的，我们还将证明任何一个无限集必然与它的一个真子集对等，这对于有限集来说，显然是永远办不到的。
~~~N N N Z奇数偶数结论：173 (01)~[01].例，，.,5,4,3 ,101)101( ,1)101( ,0)101( , .,101,,101,101,1,0,,101,101,101,101,101 2222432 ====⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--n f f f f B A B A n n n n 使映射的到作设证明].1,0[~)1,0( 2 .\]1,0[~\)10( ,\]1,0[\)1,0( . 11便知由命题，故又显然B A B A B A f=−→−-18(01)~().a b 例，， ()() .f x a b a x =+-证明定义 (01)~.R 例， ()tan() .2f x x ππ=-证明定义(0,1)~[0,1]~(,)~(,)~,a b a b -∞+∞<>结论：例4 N与R 1不对等，即 。
若不然，存在 与 的一个一一对应 ， 将与N中n对应的元素 记为 ，则 上至少有一个单位长度的区间不含 ，不妨设此间 分为三等分，则 中至少不含 ，==≠1R N )(n φ1R ]1,0[],1,0[1将=I ]1,31[],31,0[φn r 1r 1R N 2r 以 表示这个区间，将 三等分，其左、右两个区间中至少有一个区间不含 ，记为 ，依此类推，可得一串闭区间 ，满足：（1） ，且 的长度趋 于0（2） 。
2I 2I 3r 3I n I ⊃⊃⊃321I I I n I ,3,2,1,=∈n I r n n 由闭区间套定理知 ，但对任意φ≠∞=n n I 1n n m I r m ∞=∈1, ，换言之，n n I ∞=1不在R 1中，这是不可能的。
这一矛盾说明， N与R 1不可能对等。
例4 说明，两个无限集的确可能有不同的势，既然势可以不同，如何对其进行比较呢？下面的定义给出了比较的方法。
2势的比较定义4 假设A、B是两个集合，若A与B 的某个真子集B*对等，但不与B对等，则说 A的势小于B的势，记作 ，或说B的势 大于A的势，记作 。
B A <B A >定义3 假设A与B对等,则说A的势等于B的势， 记作A B=；则称若B A B A =,~)112)~,A B B A B A B B A ⊂≤若则称；相当于：到有一个单射，也相当于到有一个满射3),A B A B A BA B ≤≠<若且，则称注：不能用与的一个真子集对等描述.A B A B ≤⇔命题与的某个子集对等 .A B A B =⇔ 命题从合理性方面讲，任何两个集合A和B 的势都应该是可以比较大小的，即下面三种 情况必有且仅有一种情况出现：（i） ；（ii） ；（iii） 。
B A =B A >BA < 遗憾的是，至今尚无法证明或否认这是真的。
Zermelo给集合论加上了一条公理，即Zermelo选择公理，依据这条公理便可证明（i）、（ii）、（iii）有且仅且一种情形发生。
26., , Bernstein 1 00对等与则对等的子集与且对等的子集与设定理）（定理B A A A B B B A .~ .~ 01100110A B g A B B A f B A gf--−→−−→−使知可找到一个由使知可找到一个由证明ABA fgB 27ABA 1A 2A 3A 1B 2B 3B ff fgggB ,)( \ 1110B A f A A A ==令,)( )( 2221B A f A B g ==.,)( )(3332 B A f A B g ==280210101212121223230123123123123 () (),\, .,, , ,, ,g B A A g B A A A A A A A A f B B B B f A A A A A A A A A A A A A A f B B B ==⊂=由知而故、无交从而、在下的象集、无交从而、在下的象集、无交由、均包含于知与、均无交故、、两两无交从而、、在下的象集、、两两无交这样一直递推下去123123 , .A A AB B B 便知、、，两两无交并且、、，也两两无交29111111(1,2,), . (1)f fn n n n n n A B n A B ∞∞--==−−→=−−→ 显然从而1111112(1,2,), . (2)g gn n n n n n B A n B A ∞∞+--==−−→=−−→ 另一方面从而0110111211111, 2\\\ \\. (3)gg n n nn n n g n n n n B A B B A A A A A A B B -∞∞∞-===∞∞-==−−→−−→=−−→ 由于结合（）便知于是13 A ~B由（）及（）便知30.~~ ,~ , 1 C B A C A C B A 则若系⊃⊃.~~ .~ 1 . , .)( .)( ),( ,. ~ 1111C B A C B C B C B C B f C B C B f B f B A B C A f C A ff从而便知由定理等对的一个子集当然与又对等的一个子集与即故而使，故可找到证明⊂⊂−→−⊂−→−--.4 3 ,1 ,. 1 Bernstein 所述的结论立即推出例可从例根据系例如工具是证明集合对等的有力定理及系,,.A B B C A C<<<定理若则..,)(~. )( ,,.111111不成立再证于是从而使及故存在使及故存在证明CACACBgAC BgBCCBCgC BBBABfBAg gf=≤⊂⊂→⊂→<⊂→<---. ...2 ,,CACAC BB CBCBACA< =<><<=所以不成立可见相矛盾这与题设不再成立知：从而由定理知则由假若31。